Задачи

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 

Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она подни­мается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножья до вершины столба?

Кот в Сапогах поймал четырех щук и ещё половину улова. Сколь­ко щук поймал Кот в Сапогах?

Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственного веса. Сколько весит кирпич?

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вше­стеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут.

Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?

5.         Три слога в слове. Первый слог —
Большой снеговика кусок.
Осуществляют слог второй
Слоны, придя на водопой.

А третий слог зовётся так, Как прежде звался твёрдый знак. Соединивсетрикакнадо— Получишь ЭВМ в награду!

6.         В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют десять источ-
ников мёртвой воды: от № 1 до № 10. Из первых девяти источников
мёртвую воду может взять каждый, но источник № 10 находится в пе-
щере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.

На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако, если человек выпьет из какого-нибудь источника, он умрёт. Спасти его может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника, то ему надо обязательно запить ядом № 8, № 9 или № 10. Если он выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может помочь только яд № 10. А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет.

Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и даёт её вы­пить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 10, иИванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который Иванушка-дурачок мне принесёт, запью его своим десятым и спасусь!»

В назначенный день оба противника встретились в условленном ме­сте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса, когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив!

Только Василиса Премудрая догадалась, как удалось Иванушке по­бедить Кощея. Попробуйте догадаться и вы.

Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через ко­торую пролез бы человек?

Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и По­ликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания со­чинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании, прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвёртого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?

В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится попо­лам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Имеются двое песочных часов — на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько полу­чилось чурбачков?

Зайцы распилили несколько брёвен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько брёвен они распилили?

Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько полу­чилось кусков?

Чем объяснить, что в задачах 12 и 14 ответы разные?

На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?

У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?

Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и оста­лись закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?

Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4, 5, 6, 7 частей?

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разре­зать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?

На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем лестница на второй этаж этого же дома?

Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максималь­ное 5-значное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся — он не заметил в условии слово «различных», и очень радовался, что его число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили Поликарп и Колька?

Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли минималь­ное 5-значное число, которое состоит из различных чётных цифр. По­ликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся. Однако ока­залось, что разность между Колькиным числом и правильным ответом меньше 100. Какие числа составили Поликарп и Колька?

Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все цифры. Сможете ли вы восстановить таблицу?

 

6

_

_

_

_

_

_

_

 

_

_

_

_

_

 

 

Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123 ... 10111213 ... 499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

Расшифруйте ребус, изображённый на схеме.   АБ + 8 = ЗВ

Чук и Гек вместе с мамой наряжали елку. — — — Чтобы они не подрались, мама выделила каждому   

из братьев по одинаковому числу веточек и по оди-   гб + 3 = АД наковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хвати­ло для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как вы думае­те, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?

У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22 х 15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3 х 5. Как это сделать?

Это старинная задача, она былаизвестнаещё в XVIII в.

Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лод­ка вмещает одного человека, а с ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест ко­зу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти свой груз через речку?

Найдите два следующих числа:

а)         2, 3, 4, 5, 6, 7  г) 6, 9, 12, 15, 18

б)         10, 9, 8, 7, 6, 5            д) 8, 8, 6, 6, 4, 4

в)         5, 10, 15, 20, 25

33. Найдите два следующих числа:

а)         3, 7, 11, 15, 19, 23        г) 25, 25, 21, 21, 17, 17

б)         9,1, 7,1, 5,1     д) 1, 2, 4, 8, 16, 32

в)         4, 5, 8, 9, 12, 13

34. АРФА, БАНТ, ВОЛКОДАВ, ГГГГ, СОУС. Из этих пяти «слов» четыре составляют закономерность, а одно — лишнее. Попробуйте най­ти это лишнее слово. Интересно, что задача имеет пять решений, т. е. про каждое слово можно объяснить, почему именно оно лишнее, и ка­кой закономерности подчиняются остальные четыре слова.

В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму».

УИвана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 х 12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький ков­рик размером 1 х 8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1 х 4, чтобы получился прямоугольник 8 х 12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она раз­резала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10 х 10.

Р

О

К

V

 

А

 

А

Е

М

П

V

 

А

 

А

Т

Ю

Ь

Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?

Замените каждую букву на схеме циф­рой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все неравенства, а затем расставьте буквы в по­рядке возрастания их числовых значений.

Какое слово у вас получилось?

Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар — продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой — без правой) и попро­сили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талера.

Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле — каждому за 10 та­леров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера.

Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги — каждому по одному талеру.

Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рас­сказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан. Сидя в чулане, Ганс заду­мался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талера: 12,5 — 1 = 11,5.

Значит, сапоги стоили 23 талера: 11,5 + 11,5 = 23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23 + 3 = 26.

Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Белоснежка вырезала из батиста большой квадрат и положила его в сундук. Пришёл Первый Гном, достал квадрат, разрезал его на че­тыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл Второй Гном, достал один из квадратов, разрезал его на четыре квад­рата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл Третий Гном. И он достал один из квадратов, разрезал его на четыре квадрата и по­ложил все четыре снова в сундук. То же самое проделали все остальные гномы.

Сколько квадратов лежало в сундуке после того, как ушёл Седьмой Гном?

Какой должна быть следующая фигурка в ряду, изображённом на рисунке?

— У меня зазвонил телефон.

Кто говорит?

Слон.

...А потом позвонил Крокодил...

...А потом позвонили Зайчатки...

... А потом позвонили Мартышки...

... А потом позвонил Медведь...

...А потом позвонили Цапли... Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого понадобилось проводов?

Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный ко­робок Гулливера?

В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки — деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?

Дано трехзначное число ABB, произведение цифр которого — двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно C (здесь,

как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буква­ми; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные). Определите исходное число.

Очень хитрый киоскёр получил для продажи несколько пачек конвертов по 100 конвертов в каждой. 10 конвертов он отсчитывает за 10 с. За сколько секунд он может отсчитать 60 конвертов? А 90?

Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько непе­ресекающихся квадратов, сумма сторон которых равна 1992?

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столбс табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкина, а на другой — до Палкина. Вдумчивый На­блюдатель заметил, что на каждом столбе сумма равна 13. Каково расстояние от Ёлкина до Палкина?

Когда отцу было 27 лет, сыну было только три года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?

Сможете ли вы найти два числа, идущих подряд, у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе — делится на 8?

Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше сво­ей последней цифры в 5 раз.

Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пу­стых бочонка — в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками: а) разделить квас на две части — 3 и 9 л; б) разделить квас на две равные части.

Эта задача насчитывает много сотен лет, но до сих пор поражает воображение своей красотой и неожиданностью.

Три брата получили в наследство от отца 17 верблюдов. Старше­му отец завещал половину стада, среднему — треть, а младшему — девятую часть.

Братья пытались поделить наследство и выяснили, что старшему брату придётся взять 8 верблюдов и кусок верблюда, среднему — 5вер-блюдов и кусок верблюда, а младшему — верблюда и кусок верблюда.

Естественно, разрезать верблюдов не хотелось никому, и братья решили попросить помощи у Мудреца, проезжавшего мимо них на вер­блюде.

Мудрец спешился и присоединил своего верблюда к стаду братьев. От нового стада из 18-ти верблюдов Мудрец отделил половину —

9 верблюдов для старшего брата, затем треть — 6 верблюдов для сред­него брата, и, наконец, девятую часть — 2-х верблюдов для младшего брата.

После успешной делёжки Мудрец сел на своего верблюда и про­должил путь. А братья стали думать, почему же каждый из них получил больше верблюдов, чем полагалось.

Сможете ли вы объяснить, что же произошло?

Яблоко тяжелее банана, а банан тяжелее киви. Что тяжелее — киви или яблоко?

Мандарин легче груши, а апельсин тяжелее мандарина. Что тя­желее — груша или апельсин?

7 шоколадок дороже, чем 8 пачек печенья. Что дороже — 8 шоколадок или 9 пачек печенья?

6 карасей легче 5 окуней, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее — 2 карася или 3 леща?

Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2 011 533. Как её зовут?

Если для вчера завтра был четверг, то какой день будет вчера для послезавтра?

Замените знаки вопроса соответствующей цифрой:

а)         1,3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, ?;      г) 17, 27, 47, 87, 167, ?;

б)         1, 2, 3, 5, 8, 13, ?;       д) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ?;

в)         7, 9, 11, 13, 15, ?;       е) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ?.

За книгу заплатили 100 руб. и осталось заплатить ещё столь­ко, сколько осталось бы заплатить, если бы за неё заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следую­щих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Замените знаки вопроса соответствующими буквами или сло­вами:

а)         к, о, ж, з, г, ?; г) А, Ж, М, Н, О, П, Т, ?, ?, ?;

б)         а,в,г,ё,ж,з,л,м,н,о,?,?,?; д)о,д,т,ч,п,ш,с,?.

в)         один, четыре, шесть, пять, ?, ?;

Как вы считаете, какой — чётной или нечётной — будет сумма: а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел; в) чётного и нечётного чисел? г) нечётного и чётного чисел?

Как вы считаете, какой — чётной или нечётной — будет сум­ма: а) чётного числа чётных чисел; б) чётного числа нечётных чисел; в) нечётного числа чётных чисел; г) нечётного числа нечётных чисел?

Как вы считаете, каким — чётным или нечётным — будет про­изведение: а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел; в) чётного и нечётного чисел; г) нечётного и чётного чисел?

Как вы считаете, каким — чётным или нечётным — будет про­изведение: а) чётного числа чётных чисел; б) чётного числа нечётных чисел; в) нечётного числа чётных чисел; г) нечётного числа нечётных чисел?

Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью ку­пюрами достоинством 1, 3 и 5 руб.

Можно ли решить предыдущую задачу, если число купюр будет не одиннадцать, а десять? Почему?

Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну — 10 коп., а в другую — 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки — на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети — правой или левой — монета достоинством в 10 коп.? Почему?

Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предло­жил хозяину в уплату цепочку из еми серебряных колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хо­зяином гостиницы?

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько по­надобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с 1-й. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц, если не могло — объяс­ните почему.

Имеется пять звеньев цепи по 3 кольца в каждом. Какое наи­меньшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья в одну цепь?

12

*х 4 х

* х

7 = 4*

* = * 2 = ** 5=

*4 ** 3

** + * + ** + ** = **

Начнём считать пальцы на правой руке: первый — мизинец, второй — безымянный, третий — средний, четвёртый — указательный, пятый — большой, шестой — снова указательный, седьмой — сно­ва средний, восьмой — безымянный, девятый — мизинец, десятый — безымянный и т. д. Какой палец будет по счёту 1992-м?

На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямо­угольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых верти­кальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на ко­рабле было 12 пленных, а на флаге — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?

Во время шахматного турнира под­считали, сколько игроков сыграло нечётное количество партий. Докажите, что число таких игроков чётно.

Из шахматной доски вырезали две клетки — a1 игі8. Можно лиоставшую-ся часть доски (см. рисунок) покрыть 31-й косточкой домино так, чтобы каждая ко­сточка покрывала ровно две клетки доски?

В доме, который был заселён только супружескими парами с детьми, проводилась перепись населения. Человек, проводивший перепись, в отчёте указал: «Взрослых в доме больше, чем детей. У каждого мальчика есть сестра. Мальчиков больше, чем девочек. Бездетных семей нет». Этот отчёт был неверен. Почему?

Если Конёк-Горбунок не будет семь суток есть или не будет семь суток спать, то лишится своей волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

В ребусе, изображённом на рисун­ке, действия в каждой строке производятся подряд слева направо, хотя скобки не рас­ставлены. Каждое число последней строки равняется сумме чисел столбца, под кото­рым оно расположено.

Результат каждой строки равен сумме чисел столбца с тем же но­мером. Ни одно число в ребусе не равно нулю и не начинается нулём, однако на нуль числа могут оканчиваться. Расшифруйте ребус.

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате полу­читься число 10?

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внеш­нему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколь­ко надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с мо­нетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, на­чав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

*1х* * = ** 0

Расшифруйте ребус: замените звёздоч- 6 * : * 7 = *
ки цифрами так, чтобы выполнялись равенства * * j * * = 20
во всех строках и каждое число последней стро- 2 =

ки равнялось сумме чисел столбца, под которым

* * * * *

оно расположено.     *** + ** = 1 **

Расшифруйте   ещё   один   ребус.    ******* | * * Несмотря на то, что здесь известны все-    * * * о го две цифры, а все остальные заменены звёздочками, пример можно восстановить.

* *

средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно 0

86. На столе лежат в ряд пять монет:

перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

На шахматной доске 5 х 5 клеток расставили 25 шашек — по одной на каждой клетке. Потом все шашки сняли с доски, но за­помнили, на какой клетке стояла каждая. Можно ли ещё раз расставить шашки на доске таким образом, чтобы каждая шашка стояла на клет­ке, соседней с той, на которой она стояла в прошлый раз (соседняя по горизонтали или вертикали, но не наискосок) ?

В каждой клетке шахматной доски стоит оловянный солдатик. Все 64 солдатика разной величины. Среди каждых восьми солдатиков, составляющих горизонтальный ряд, выбирают самого большого. По­сле этого из отобранных восьми больших солдатиков выбирают самого маленького. Затем среди каждых восьми солдатиков, составляющих вертикальный ряд, выбирают самого маленького. После этого из ото­бранных восьми маленьких солдатиков выбирают самого большого. Какой солдатик больше: самый маленький из больших или самый боль­шой из маленьких?

Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?

Мальвина велела Буратино умножить число на 4 и к результату прибавить 15, а Буратино умножил число на 15 и потом прибавил 4, однако ответ получился верный. Какое это было число?

48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратят на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая — 5 маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая птица?

В Стране Чудес проводилось следствие по делу обукраденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болван-щик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного за­седания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого

можно получить при помощи исключения или добавления буквосоче­таний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова

«ОММ» и «МОО»?

Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на 2? А на 3? А на 4? А на 5?

Сумма двух чисел чётна. Каким — чётным или нечётным — будет их произведение? А если чисел три?

Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?

Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уез­жала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — ещё не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: «Мак», «Просо» и «Смесь».

Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами все таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная над­пись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зёрнышко из одного мешка и, по­смотрев на него, сразу догадалась, где что лежит.

Как она это сделала?

Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемода­ны? А сколько понадобится попыток, если ключей и чемоданов будет не по 6, а по 10?

Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух, — Говорящие Коты; все, кроме двух, — Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей визбушкеуБабыЯги?

Эта старинная задача была известна ещё в Древ­нем Риме.

Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное 210 та­лантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (т. е. 140 талантов), а остальную

треть (т. е. 70 талантов) — матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния (т. е. 70 талантов), а остальные две трети (т. е. 140 талантов) — матери».

У вдовы сенатора родились близнецы — мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить иму­щество между тремя наследниками с наилучшим приближением к усло­вию завещания?

Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 ли­стов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чи­сел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

По кругу написано 7 натуральных чисел. Попробуйте доказать, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

Фома и Ерёма нашли на дороге по пачке 11-рублевок. В чай­ной Фома выпил 3 стакана чая, съел 4 калача и 5 бубликов. Ерёма выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Стакан чая, калач и бублик стоят по целому числу рублей. Оказалось, что Фома может расплатиться 11-рублевками без сдачи. Покажите, что это может сде­лать и Ерёма.

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если сорвать сразу два одинако­вых плода — вырастет апельсин, а если два разных — вырастет банан. В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли вы определить, какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трехгла­вым и треххвостым.

— Вот тебе меч-кладенец, — сказала царевичу Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову — новая вырастет; срубишь хвост — два новых вырастут; срубишь два хвоста — голова вырастет; срубишь две головы — ничего не вырастет. За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты?

В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй — 80; третий — среднее арифметическое очков

первых двух; четвёртый — среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-йстрелок?А50-й?

ЧЧ Н НН

х

+

ЧН Ч Н ЧН Н

ННННН

Расшифруйте ребус (см. рисунок). Все цифры, обозначенные буквой Ч, — чётные (не обязательно рав­ные) ; все цифры, обозначенные буквой Н, — нечётные (тоже не обязательно равные).

На столе лежат в ряд четыре фигуры: тре­угольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Из­вестно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры ле­жат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

Все поля шахматной доски 8 х 8 покрыли 32-мя косточками домино. Каждая косточка закрывает в точности два поля. Докажите, что при любом покрытии число вертикально лежащих косточек чётно, и число горизонтально лежащих косточек тоже чётно.

Четыре чёрные коровы и три рыжие дают за 5 дней столь­ко молока, сколько три чёрные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. У каких коров больше удои, у чёрных или у рыжих?

Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Са­мым высоким в компании был Юра Воробьёв, следующим по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Серёжа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьёва. Определите, кто с кем катался?

Заполните свободные клетки «шести­угольника» (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19, чтобы во всех вертикальных и диагональ­ных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, былабыоднаитаже.

На затонувшей каравелле XIV века былинайденышестьмешковсзолотымимо-нетами. В первых четырех мешках оказалось

по 60, 30, 20 и 15 золотых монет. Когда подсчитали монеты в оставших­ся двух, кто-то заметил, что число монет в мешках составляет некую последовательность. Приняв это к сведению, смогли бы вы сказать, сколько монет в пятом и шестом мешках?

«=

і «= ft

і «= ft

«=

ft

Используя пять двоек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 26.

Используя пять троек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 39.

Используя пять четвёрок, арифметические действия и возве­дение в степень, составьте числа от 1 до 22.

Используя пять пятёрок, арифметические действия и возведе­ние в степень, составьте числа от 1 до 17.

Используя пять шестёрок, арифметические действия и возве­дение в степень, составьте числа от 1 до 14.

Используя пять семёрок, арифметические действия и возведе­ние в степень, составьте числа от 1 до 22.

Используя пять восьмёрок, арифметические действия и возве­дение в степень, составьте числа от 1 до 20.

Используя пять девяток, арифметические действия и возведе­ние в степень, составьте числа от 1 до 13.

Заходит в магазин покупатель, выбирает товар стоимостью 20 рублей, даёт продавцу сторублёвку. Смотрит продавец — нету сда­чи. Пошёл в соседний отдел, разменял сотню. Отдал покупателю товар и сдачу. Ушёл покупатель. Вдруг прилетает продавец из соседнего от­дела, приносит ту сотню. Фальшивка! Отдал наш продавец ему свою сотню. На сколько в итоге прогорел наш горе-продавец?

Двенадцать спичек выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов? Выполните следующие задания:

а)         уберите 2 спички так, чтобы образовалось
2 неравных квадрата;

б)         переложите 3 спички так, чтобы образова-
лось 3 равных квадрата;

в)         переложите 4 спички так, чтобы образова-
лось 3 равных квадрата;

г)         переложите 2 спички так, чтобы образовалось 7 квадратов;

д)         переложите 4 спички так, чтобы образовалось 10 квадратов.

125. Двадцать четыре спички выложены так, как показано на ри­сунке. Сколько здесь квадратов? Выполните следующие задания:

і «= ft

«=

ft

«=

ft

і «= ft

«=

ft

«=

ft

а)         уберите 4 спички так, чтобы об-
разовалось 4 маленьких квадрата
и один большой;

б)         уберите 4 спички так, чтобы обра-
зовалось 5 равных квадратов;

і «= ft

«=

ft

«=

ft

в)         уберите 6 спичек так, чтобы обра-
зовалось 5 равных квадратов;

г)         уберите 8 спичек так, чтобы обра-
зовалось 5 равных квадратов;

д)         переложите 12 спичек так, чтобы
образовалось 2 равных квадрата;     "        ' "        ' " '

е)         уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата и 2 равных
неправильных шестиугольника;

ж) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата (два решения);

з)         уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

и)         уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

к) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата (два ре­шения) .

В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умно­жать числа «вуме». Чтобы его проверить, Знайка предложил ему напи­сать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. «1210», — немедленно выпалил Незнайка. «Ты неправ!» — сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

В коробке синие, красные и зелёные карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зелёных, красных меньше, чем си­них. Сколько в коробке красных карандашей?

Вычислите произведение

(100 - 12)(100 - 22)(100 - 32) ... (100 - 252).

130. Из книги выпала часть. Первая из выпавших страниц имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

В трех ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором — на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и пра­вильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?

Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:

«В этой тетради ровно одно неверное утверждение»; «В этой тетради ровно два неверных утверждения»; « В этой тетради ровно три неверных утверждения»;

« В этой тетради ровно сто неверных утверждений». Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

На рисунке изображено неверное равенство, составленное из спичек.

Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным. (Воз­можны два решения.)

Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании ко­торых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 очков, то его средний балл составил бы 90; а если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?

Известно, что p > 3и p — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете: а) будут ли чётными числа (p + 1) и (p — 1); б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?

Известно, что p > 3и p — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел (p + 1) и (p — 1) делиться на 4? А на 5?

Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном полу­чится то же число, что и в остатке.

Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бы­вал в нём каждый 3-йдень,Серёжа— каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в ки­нотеатре в следующий раз?

На лужайке босоногих мальчиков столько же, сколько обутых девочек. Кого на лужайке больше, девочек или босоногих детей?

В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних язы­ков — греческий или латынь, а некоторые — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?

Может ли сумма семи слагаемых делиться на число, на кото­рое не делится ни одно из слагаемых?

Два класса с одинаковым количеством учеников написали кон­трольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистра-тович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович?

Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после окончания Олимпиады подешевели на 10%. Когда шайбы стоили дороже — до подорожания или после удешевления?

Найдите два таких простых числа, что и их сумма, и их раз­ность — тоже простые числа.

Какое слово зашифровано: 222122111121? Каждая буква за­менена своим номером в русском алфавите.

Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число?

Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек, чтобы коли­чество шариков в разных кучках было различным?

В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у ко­торого отмеченная точка стояла бы в центре?

Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каж­дая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими?

За один ход разрешается или удваивать число, или стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить из числа 458 число 14?

Может ли быть верным равенство

К х О х Т = У х Ч х Ё х Н х Ы х Й,

если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

Ребята принесли из леса по полной корзинке грибов. Всего было собрано 289 грибов, причём в каждой корзинке оказалось одина­ковое количество. Сколько было ребят?

Пусть M — произвольное 1992-значное число, делящееся на 9. Сумму цифр этого числа обозначим через A. Сумму цифр числа A обозначим через B. Сумму цифр числа B обозначим через С.Чему равно число С?

Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

Коля однажды сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в буду­щем году исполнится 13».Может ли так быть?

Сумма шести различных натуральных чисел равна 22. Найдите эти числа.

Простые числа имеют только два различных делителя — еди­ницу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Из двенадцати спичек сложено имя «ТОЛЯ».

Переложите одну спичку так, чтобы получилось женское имя.

162. Купец случайно перемешал конфеты 1-го сорта (по 3 руб. за фунт) и конфеты 2-го сорта (по 2 руб. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму, если известно, что первоначально общая стоимость всех конфет 1-го сорта была равна общей стоимости всех конфет 2-го сорта?

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины A и B верхнего листка лежат на сто­ронах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закры­та верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше — за­крытая или открытая? B

На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и раздели­лись на две стаи: одна стая уселась на вет­ви старой берёзы, а другая — на ольху. Через некоторое время с берёзы на ольху

перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с берёзы, после чего на берёзе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон было в каждой из двух стай первоначально?

Семьдевятоквыписалиподряд:9999999.Поставьтемежду некоторыми из них знаки «+» или «—», чтобы получившееся выражение равнялось 1989.

166.     КУВШИН = БУТЫЛКА + СТАКАН;
ДВА КУВШИНА = СЕМЬ СТАКАНОВ;
БУТЫЛКА = ЧАШКА + ДВА СТАКАНА;
БУТЫЛКА = сколько ЧАШЕК?

167.     Двадцать восемь косточек домино можно разными способами
выложить в виде прямоугольника 8 х 7клеток.

На рис. 167.1 — 167.4 приведены четыре варианта расположения цифр в прямоугольниках. Можете ли вы расположить косточки в каж­дом из этих вариантов?

50103125 44524623 25601302 51204043 54516323 01021566 61364634 1 4 0 2 1 2 0 3

32563451 30150066 61311360 24156424 62445026 03532554

Рис. 167.1

Рис. 167.2

36623220

1 2 4 1 5 2 4 5

66136200 01430556 55046211 31231464 30450435 01251456 01251456 52633041 52633041 33442233 46006602 46115502

Рис. 167.3

Рис. 167.4


 

 

 

 

 

 

 

а а

a b

b с

с с

d d

d е

е е

e с

d а

а с

с f

T

f

g е

g g

g ь

b f

е f

f g

g d

d b

Т

d

f а

a e

e b

d с

с g

g a

 

Весь комплект косточек домино, кроме 0—0, уложили так, как изображено на рисунке. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые. Сумма очков в каж­дой строке равна 24. Попробуйте восстановить цифры.

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырех чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каж­дой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

Делится ли число 102002 + 8 на9?

Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 + ... + 1999?

Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинако­вом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?

Сколько нечётных чисел заключено между 300 и 700?

Башенные часы отбивают три удара за 12 с. В течение какого времени они пробьют шесть ударов?

Какой знак надо поставить между 2 и 3, чтобы получилось число больше 2 и меньше 3?

Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию?

Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора — 8. Тут к ним подошёл охотник.

Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью!

Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады, — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды

охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал:

Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!

Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит:

По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает:

За 12 лепёшек — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки — мне

20 коп.!

А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?

Попробуйте прочесть слово, изображённое на рис. 181.1, пользуясь ключом (см. рис. 181.2).

182. Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок.

Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине.

Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы?

Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида со­стоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 х 10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обя­зательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?

Перед вами замок «ссекретом» (см. рисунок).

Если вы поставите стрелки на нужные буквы, то получите ключевое слово и замок откроется. Какое это слово?

В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участ­ника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего бы­ло сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали шахматисты все вместе1?

В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каж­дый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное коли­чество очков; занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место не проиграл ни одной партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной партии.

Определите результаты всех партий турнира (см. сноску к зада­че 185).

В шахматном турнире участвовали восемь человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший 2-еместо, на­брал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3-еи 7-еместа (см. сноску к за­даче 185)?

Можно ли таблицу 5 на 5 заполнить числами так, чтобы сум­ма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом столбце — отрицательной? Если да, нарисуйте таблицу, если нет, объ­ясните почему.

Можно ли расположить фишки в клетках шахматной доски 8 х 8(в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы во всех

1За выигранную партию шахматист получает одно очко, за проигранную — нуль, за ничью оба играющих получают по половине очка.

вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях — не поровну?

В клетках таблицы 5 х 5 стоят ненулевые цифры. В каждой строке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлены десять 5-значных чисел. Может ли оказаться, что из всех этих чисел ровно одно не делится на 3?

Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух со­седних чисел была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна.

Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат — 40 мин. Че­рез сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

На какую цифру оканчивается число 19891989? А на какие циф­ры оканчиваются числа 19891992, 19921989, 19921992?

Из набора гирек с массами 1,2, 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

Буратино и Пьеро бежали наперегонки. Пьеро весь путь бежал с одной и той же скоростью, а Буратино первую половину пути бежал вдвое быстрее, чем Пьеро, а вторую половину — вдвое медленней, чем Пьеро. Кто победил?

У Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправи­лись в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились при­быть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодр­ствующим?

Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго — 50 кг, третьего — 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег?

Саша гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал домой в понедельник. Саша заметил, что в этот понедельник число сов­пало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в по­езд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона иместа?

Попробуйте расшифровать отрывок из книги «Алиса в Зазер­калье»:

«— БЕРПИ Э ЙДЕМГОКВЭЫ БИБЕО-ЖАКЙПЧ ЗВЕЛЕ, — ЗБИСИВ ФИВМИУ-КЕВМИУ ПЕЛЕВЧЖЕ ДГОСГАМОВЧЖЕ, — ЕЖЕ ЕСЖИЬИОМ МЕВЧБЕ МЕ, ЬМЕ Э ЦЕЬЙ, ЬМЕКЮ ЕЖЕ

ЕСЖИЬИВЕ, — ЖА КЕВЧФО, ЖА ТОЖЧФО».

Текст зашифрован так: десять букв («а», «е», «и», «й», «о», «у», «ы», «э», «ю», «я») разбиты на пары, и каждая из этих букв в тексте заменена второй из пары. Все остальные буквы точно так же разбиты на пары.

Найдите ключ к «тарабарской грамоте» — тайнописи, приме­нявшейся ранее в России для дипломатической переписки: «Пайцике тсюг т „камащамлтой чмароке" — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти».

Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета.

Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 57 стаканов чая, а Таня — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в коробке?

В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на неко­торых написано «МА»,наостальных— «НЯ». Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово «МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ» — 30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких ребят все три кар­точки одинаковы?

На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три про­межуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.

Даны 16 чисел: 1, 11, 21, 31 и т. д. (каждое следующее на 10 больше предыдущего). Можно ли расставить их в таблице 4 х 4 так, чтобы разность любых двух чисел, стоящих в соседних по стороне клет­ках, не делилась на 4?

Напишите вместо пропуска число (буквами, а не цифрами!), чтобы получилось истинное предложение:

В ЭТОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ ... БУКВ (к последнему слову, возможно, придётся добавить окончание, чтобы фраза правильно звучала по-русски).

Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

Найдите наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была равна 1, на концах некоторой другой стороны была равна 2, ... на концах по­следней стороны — равна 5.

Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10% от помола — осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет.

Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, го­рячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, что­бы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

215.     Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:

 

7

8

2

6

9

5

4

7

6

9

2

6

2

1

3

3

2

8

4

6

5

6

3

4

1

8

4

8

9

7

6

4

7

5

8

7

3

8

1

8

7

1

5

6

7

4

6

3

5

2

3

7

2

9

2

3

9

5

4

3

1

4

9

2

4

6

9

2

9

6

8

9

5

9

5

9

6

1

8

6

4

1

8

1

4

2

1

5

1

5

216. Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль «Москвич». Самолёт с почтой приземлился раньше

установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 мин езды грузо­вая машина встретила на дороге «Москвич», который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение «Моск­вич» прибыл на 20 мин раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?

Группа восьмиклассников решила поехать во время каникул на экскурсию в Углич. Ежемесячно каждый ученик вносил определён­ное количество рублей (без копеек) , одинаковое для всех, и в течение пяти месяцев было собрано 49685 руб. Сколько было в группе учени­ков и какую сумму внёс каждый?

Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем ме­сяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

Как-то раз Таня ехала в поезде. Чтобы не скучать, она стала зашифровывать названия разных городов, заменяя буквы их порядко­выми номерами в алфавите. Когда Таня зашифровала пункты прибытия и отправления поезда, то с удивлением обнаружила, что они записыва­ются с помощью всего лишь двух цифр: 21221—211221. Откуда и куда шёл поезд?

Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придёт в школу за 3 мин до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке?

На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 ч». И действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 ч утра, а последний — в 7 ч вечера. Через какие интервалы времени вынимают письма из ящика?

Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену кото­рых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?

31

Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову:

У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками...

Не может этого быть, — сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады.

Почему он так решил?

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с по­ля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

В кабинете со звуконепроницаемыми стенами висят старинные стенные часы, которые бьют каждые полчаса (один удар) и каждый час (столько ударов, сколько показывает часовая стрелка). Однажды, от­крыв дверь в кабинет, хозяин услышал один удар часов. Через полчаса часы в кабинете пробили ещё раз — опять один удар. Спустя полча­са — ещё один удар. Наконец, ещё через полчаса часы снова пробили один раз.

Какое время показывали часы, когда хозяин входил в кабинет?

«То» да «это», да половина «того» да «этого» — сколько это будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?

Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальши­вая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса?

Как известно, игры на кубок по футболу проводятся по олим­пийской системе: проигравший выбывает, а в случае ничьей проводится повторная игра. В тот год повторных игр не было, а в играх участвовало 75 команд. Сколько было сыграно матчей на кубок?

Найдите недостающие числа:

а)         4, 7, 12, 21, 38, ... ;   в) 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ... , ... ;

б)         2,3, 5,9, ... , 33;      г) 1, 5, 6, 11, ... , 28.

Однажды Алиса оказалась в какой-то из двух стран — Аили Я. Она знает, что все жители страны А всегда говорят правду, а все жители страны Я — всегда лгут. Притом все они часто ездят в гости друг к другу. Может ли Алиса, задав один-единственный вопрос пер­вому встречному, узнать, в какой из стран она находится?

Вы вошли в тёмную комнату. В коробке у вас всего одна спич­ка. В комнате находятся свеча, керосиновая лампа и готовая к растопке печь. Что вы зажжёте в первую очередь?

Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой во­прос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

Дети держат в руках флажки. Тех, у кого в обеих руках поровну флажков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Когда каждый ребёнок переложил по одному флажку из одной руки в другую, тех, у кого в обеих руках поровну флажков, стало в 2 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале более чем у половины детей в одной руке было ровно на один флажок меньше, чем в другой?

В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, ли­монад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не ли­монад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Ира, Наташа, Алёша и Витя собирали грибы. Наташа собра-лабольшевсех,Иранеменьшевсех,аАлёша— больше, чем Витя. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Как-то в минуту отдыха друзья-мушкетёры — Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян решили померяться силой при перетягивании ка­ната. Портос с д'Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос стал в паре с Атосом, то победа против Арамиса с д'Артаньяном досталась им уже не так легко. Когда же Портос с Ара­мисом оказались против Атоса с д'Артаньяном, то ни одна из этих пар не смогла одолеть друг друга. Можете ли вы

определить, как мушкетёры распределяются по силе?

238. Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась преж­ней, но каждый кубик соприкасался только с но­выми кубиками.

Девять одинаковых воробьёв склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же воробьёв склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. По скольку зёрнышек склёвывает каждый воробей?

В равенстве 101 — 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

Сможете ли вы найти четыре целых числа, сумма и произве­дение которых являются нечётными числами?

На прямой расположили несколько точек. Затем между каж­дыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так несколь­ко раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек будет нечётным.

На столе лежат три красные палочки разной длины, сумма длин которых равняется 30 см, и пять синих палочек разной длины, сум­ма длин которых тоже равняется 30 см. Можно ли распилить те и другие палочки так, чтобы потом можно было расположить их парами, причём в каждой паре палочки были бы одинаковой длины, но разного цвета?

Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом уВалиниплатье, нитуфлинебылисиними,аМашабылавкрасных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (т. е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинаково­го достоинства?

Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, сто­ящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной сторо­ны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?

В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было 30 букетов роз, 20 — гвоздик и 10 — хризантем, причём в каждой комнате стоял хотя бы один букет.

При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трех комнатах — и хризантемы, и розы, ровно в четырех комнатах — и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть 55 комнат?

Любую ли сумму из целого числа рублей, больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 руб.? Почему?

Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.

Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, — сказал рулевой.

А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машини­ста, — заметил боцман. — Кроме того, я на 4 года старше матроса.

—        Средний возраст команды — 28 лет, — дал справку капитан. Сколько лет капитану?

В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную ра­боту седьмая часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки. Остальные работы были оценены как неудовле­творительные. Сколько было таких работ?

Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в спе­циальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет по­милован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через день на все вопросы отвечает правду, а через день — ложь.

Приговорённому разрешается задать стражнику ровно один вопрос, после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой стул неисправен?

И «бокал» (см. левый рисунок),

о

и «рюмка» (см. правый рисунок) состав­лены из четырех спичек. Внутри каждого « сосуда» — вишенка. Как нужно пере­местить «бокал» и «рюмку», переложив по две спички в каждом из них, чтобы ви­шенки оказались снаружи?

254. Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак; саквояж и рюкзак

весят больше, чем чемодан и корзина; корзина и саквояж весят столь­ко же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи дамы в порядке убывания их веса.

На клетке b8 шахматной доски написано число —1, анавсех остальных клетках число +1. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной вертикали или одной горизонтали. Докажите, что сколько бы раз мы это ни проделывали, невозможно добиться, чтобы все числа в таблице стали положительными.

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

Какую последнюю цифру имеет произведение всех нечётных чисел от 1 до 99? А от 1 до 199?

Ваня и Вася — братья-близнецы. Один из них всегда говорит правду, а другой всегда лжёт. Вы можете задать только один вопрос одному из братьев, на который он ответит «да» или «нет». Попробуйте выяснить, как зовут каждого из близнецов.

В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном чис­ле вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т. д. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

Население Китая составляет один миллиард человек. Каза­лось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1 000 000 (1 см: 10 км) смо­жет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объ­яснить это противоречие?

В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косто­чек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на ко­сточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12?

У Володи было гораздо больше орехов, чем у Павлика. Ес­ли бы Володя отдал Павлику столько же орехов, сколько у того было, то у обоих мальчиков орехов стало бы поровну. Но вместо этого Воло­дя дал Павлику совсем немного орехов (не больше пяти), а остальные поровну разделил между тремя белками. Сколько орехов Володя дал Павлику?

Найдите десять последовательных натуральных чисел, среди которых: а) нет ни одного простого числа; б) одно простое число; в) два

простых числа; г) три простых числа; д) четыре простых числа; е) сколь­ко вообще простых чисел может быть среди десяти последовательных натуральных чисел?

Вася взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочёл полкниги, во второй — треть оставшихся страниц, а в третий день прочитал половину прочитанного за первые два дня. Успел ли Вася прочитать всю книгу за три дня?

Лёня задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил результат на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Лёня?

Какие восемь монет нужно взять, чтобы с их помощью можно было бы без сдачи заплатить любую сумму от 1 коп. до 1 руб.?

У скольких двузначных чисел сумма цифр равна 10?

Директор завода, рассматривая список телефонных номеров и фамилий своих сотрудников, заметил определённую взаимосвязь между фамилиями и номерами телефонов. Вот некоторые фамилии и номера телефонов из списка:

Ачинский                 8111    Лапина           6131

Бутенко                     7216    Мартьянов     9143

Галич                         5425    Ронидзе          7176

Какой номер телефона у сотрудника по фамилии Огнев?

Известно, что «медные» монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех «медных» монет (по од­ной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9и15кг?

Полный бидон с молоком весит 34 кг, а наполненный до по­ловины — 17,5 кг. Сколько весит пустой бидон?

Женю, Лёву и Гришу рассадили так, что Женя мог видеть Лё­ву и Гришу, Лёва — только Гришу, а Гриша — никого. Потом из мешка, в котором лежали две белые и три чёрные шапки (содержимое мешка было известно мальчикам) , достали и надели на каждого шапку неиз­вестного ему цвета, а две шапки остались в мешке.

Женя сказал, что он не может определить цвет своей шапки. Лёва слышал ответ Жени и сказал, что и у него не хватает данных для опре­деления цвета своей шапки. Мог ли Гриша на основании этих ответов определить цвет своей шапки?

Из литра молока получают 150 г сливок, а из литра сливок получают 300 г масла. Сколько масла получится из 100 л молока?

Сколько существует трехзначных чисел?

Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.

Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой кошке досталось 5 галет, а каждой собаке — 6. Сколько было собак и сколько кошек?

Один из пяти братьев испёк маме пирог. Никита сказал: «Это Глебили Игорь». Глебсказал: «Этосделал не я ине Дима». Игорь сказал: «Вы оба шутите». Андрей сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул».Димасказал: «Нет, Андрей, ты не прав». Мама знает, что трое из её сыновей всегда говорят правду. Кто испёк пирог?

Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флаж­ков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?

На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

Три ковбоя зашли в салун. Один купил 4 сандвича, чашку кофе и10 пончиков — всего на 1 доллар 69 центов. Второй купил 3 сандвича, чашку кофе и 7 пончиков на 1 доллар 26 центов. Сколько заплатил третий ковбой за сандвич, чашку кофе и пончик?

Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

В классе учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся в один месяц.

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого 2/3метра?

На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После то­го как 8 белых облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков

стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых оду­ванчиков росло на лужайке вначале?

В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше за­нимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой се­мьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать? Если да, то как, а если нет, то почему?

Поняв принципы, по которым составлены таблички чисел, изображённые на рис. 286.1 и 286.2, в первую табличку вставьте недостающее число, а из второй — уберите лишнее число.


По кругу записано больше трех натуральных чисел, сумма ко­торых равна 37. Известно, что суммы любых трех последовательных чисел равны между собой. Какие числа написаны по кругу?

Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и первораз­рядник Рыжов встретились в клубе перед тренировкой.

—        Обратите внимание, — заметил черноволосый, — один из нас седой, другой — рыжий, третий — черноволосый. Но ни у одного из нас цвет волос не совпадает с фамилией. Забавно, не правда ли?

—        Ты прав, — подтвердил мастер спорта. Какого цвета волосы у кандидата в мастера?

Гена пошёл с папой в тир. Договорились, что Гена делает 5 вы­стрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Всего Гена сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал вцель?

Я купил лотерейный билет, у которого сумма цифр его пяти­значного номера оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, если известно, что мой сосед без труда решил эту задачу.

Представьте число 203 в виде суммы нескольких положитель­ных слагаемых так, чтобы и произведение этих слагаемых было рав­но 203.

При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили оди­наковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребёнка — простое число. Сколько лет младшему?

На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Ася, Катя, Галя и Нина. Девочка в зелёном платье (не Ася и не Катя) стоит между девочкой в голубом платье и Ниной. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Катей. Какого цвета платье было надето на каждой из девочек?

На числовой прямой отмечены две точки. В каком месте этой прямой расположена точка, соответствующая их среднему арифмети­ческому?

Может ли произведение двух чисел быть меньше меньшего из сомножителей?

Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы сво­их цифр.

Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые — через каждые 3 с. Всего было сде­лано 13 ударов (совпавшие удары воспринимались за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

Пять тетрадей — синяя, серая, коричневая, красная и жёл­тая — лежали в стопке в определённом порядке. Их разложили на столе в две стопки: сначала верхнюю тетрадь, потом следующую за ней и т. д. В результате в первой стопке оказались: на столе — красная тетрадь, на ней — жёлтая, сверху — серая; во второй: на столе — коричневая тетрадь, на ней — синяя.

Затем тетради собрали в одну стопку в прежнем порядке и вновь вы­ложили на стол, снимая их так же поочерёдно сверху стопки. На этот раз в первой стопке лежали: на столе — коричневая тетрадь, на ней — красная; во второй: на столе — жёлтая тетрадь, на ней — серая, свер­ху — синяя.

В каком порядке тетради лежали в стопке первоначально?

Расшифруйте ребус, изображённый на рисунке. A Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, раз- + BB ным — разные. A

Три друга — Пётр, Роман и Сергей — учатся    CC C на математическом, физическом и химическом факульте­тах. Если Пётр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Пётр математик. Если Сергей не математик, то Роман — химик. Сможете ли вы определить специальности каждого?

В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильно­го восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по од­ному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?

В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало извест­но, что бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью бочка­ми и восемью вёдрами. Могут ли историки на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?

В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Припишите к числу 10 справа и слева одну и ту же цифру так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 12.

Лиза на 8 лет старше Насти. Два года назад ей было втрое больше лет, чем Насте. Сколько лет Лизе?

Может ли сумма трех различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

Докажите, что любое простое число, большее трех, можно за­писать в одном из двух видов: 6n + 1либо6п — 1, где n — натуральное число.

Мальчик лёг спать в 7 ч вечера, поставив будильник так, чтобы он прозвенел в 9 ч утра. Сколько времени проспит мальчик?

Делится ли число 11 х 21 х 31 х 41 х 51 — 1 на 10?

Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором?

Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель уве­личить в три раза?

Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быст­рее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну.

Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причём одновременных решений не было. Они ошибаются. Как вы думаете, почему?

316.     Из спичек составлены три неверных равенства (см. рисунок).

Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными. Можно смещать части формулы без изменения рисунка.

Король сказал королеве:

«Сейчас мне вдвое больше лет,

чем было Вам тогда,

когда мне было столько лет,

сколько Вам теперь.

Когда же Вам будет столько лет,

сколько мне теперь,

нам вместе будет шестьдесят три года».

Интересно, сколько лет каждому из них?

Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидо­на. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла 2/3, а в третьем бидоне — 3/4его объ­ёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров.

При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

Найдите два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.

Попытайтесь получить миллиард (1 000 000 000), перемножая два целых сомножителя, в каждом из которых не было бы ни одно­го нуля.

Дан квадрат 7 х 7 клеток. Можно ли так покрасить некоторые клетки, чтобы в любом квадратике 2 х 2 была ровно одна закрашенная клетка?

Существует ли целое число, произведение цифр которого рав­но 1980? А 1990? А 2000?

Найдите хотя бы одно решение неравенства 0,05 < x < 0,051.

В одной американской фирме каждый служащий является ли­бо демократом, либо республиканцем. После того как один из респуб­ликанцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда де­мократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?

Найдите два числа, разность и частное которых были бы рав­ны 5.

Про заданные семь чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.

Расшифруйте ребус, изображённый на рисунке. A Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, раз- + AB ным — разные. ABC

Легко можно разрезать квадрат на два равных    BC B треугольника или два равных четырехугольника. А как раз­резать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шести­угольника?

Расшифруйте ребус: КИС + КС И = ИСК.

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

Можно ли выложить в ряд все 28 косточек домино согласно правилам игры так, чтобы на одном конце ряда оказалось 5, а на другом 6очков?

Написано 1992-значное число. Каждое двузначное число, об­разованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1. Какова первая?

Десять человек захотели основать клуб. Для этого им необ­ходимо собрать определённую сумму вступительных взносов. Если бы организаторов было на пять человек больше, то каждый из них должен был бы внести на 100 долларов меньше. Сколько денег внёс каждый?

Какая из трех дробей наибольшая: 3/4, 4/5или5/6?

На острове живут два племени — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы — все­гда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попро­сил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном.

Кем был проводник — аборигеном или пришельцем?

При каких значениях p все три числа p,2 p + 1и4 p + 1 будут простыми?

На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя. Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.

На кошачьей выставке в ряд сидят 10 котов и 19 кошек, причём рядом с каждой кошкой сидит более толстый кот. Докажите, что рядом с любым котом сидит кошка, которая тоньше него.

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведе­ния своих цифр.

Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал вгостикАли-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кув­шина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.

Чему равно произведение

(1 - 1/4)(1 - 1 /9)(1 - 1/16) ... (1 - 1/225)?

Когда «послезавтра» станет «вчера»,то«сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было «завтра». Как вы думаете, какой сегодня день недели?

Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Двадцать рыцарей надели двадцать плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т. д. Рыцарь самого малень­кого роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.

Существует ли трехзначное число, равное произведению сво­их цифр?

Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.

Знаю, — говорит, — я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути — прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.

Нет, — отвечал Иван-царевич, — если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.

Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?

Какое число нужно вычесть из числителя дроби 537/463 и при­бавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить 1/9?

На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в кото­рых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

В сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с шестью Карабасами и девятью Барабасами. Каждый Барабас знаком с деся­тью Карабасами и семью Барабасами. Кого в этой стране больше — Карабасов или Барабасов?

Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хо­тел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: «В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них напи­сано „Останьтесь",на другом — „Уходите". Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу».

Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано «Уходите». Однако ему удалось сделать так, что король его оста­вил. Как поступил премьер-министр?

В небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одеж­ды — всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами от 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения — ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то за­пирая их.

Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое при­видение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шка­фы, номер которых делился на 2; затем третье привидение поменяло позиции (т. е. открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло — ес­ли он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним четвёртое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер ко­торых делился на 4 и т. д. Как только тысячное привидение поменяло позицию тысячного шкафа — пропел петух и все привидения срочно убрались восвояси.

Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посе­щения привидений?

Подсказки

Где будет находиться улитка к концу третьей ночи? А к началу третьей ночи?

Какую часть улова составляют 4 щуки?

Вспомните задачу 2.

Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?

В старой русской азбуке буквы Ъ, Ь и Ы назывались, соответ­ственно, «ер», «ерь» и «еры».

Яд может быть и ядом, и противоядием в зависимости от того, когда он выпит.

Попробуйте сложить лист вдвое и вырезать вдоль линии сги­ба узкое отверстие. Вы получите узкую дыру с широкими кра­ями. Попробуйте увеличить «длину» краёв за счёт уменьшения их « ширины».

Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала в условии задачи дважды — один раз как выпитая с одной подругой, второй раз — сдругой.

Попробуйте вспомнить, как стоят на книжной полке тома из со­брания сочинений.

Обратите внимание, за сутки число лотосов удваивается.

Заметьте, с помощью двух разных песочных часов можно отме­рить не только время, равное их «сумме»,ноивремя,равноеих « разности».

На сколько частей бревно делится первым распилом? Как изме­няется число кусков после каждого следующего распила?

Вспомните задачу 12.

14—15. Обратите внимание: чтобы из бублика «сделать» бревно, по­надобится один разрез.

Заметьте: десять разрезов — это 20 радиусов.

Обратите внимание: разрезы могут пересекаться.

Сколько чурбачков получили зайцы?

Число частей зависит от того, пересекаются ли разрезы между собой внутри блинчика.

Помните ли вы, что если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные части?

Заметьте, торт не обязательно должен быть выпуклой фигурой.

Вспомните задачу 19.

Подумайте, сколько этажей надо пройти, чтобы подняться на второй?

Подумайте, какими должны быть первые цифры искомых чисел.

Подумайте, какими должны быть две первые цифры числа Поли­карпа и две последние цифры Колькиного числа.

Любые два числа, стоящие на расстоянии трех клеток друг от дру­га, равны между собой. Подумайте, почему.

Обратите внимание: Колька стирал цифры, а Поликарп записы­вал числа — однозначные, двузначные, трехзначные.

Как вы считаете, чему равно число В?А Д?

Попробуйте поступить как Чук — повесить на каждую ветку по одной игрушке.

Обратите внимание: больше чем 22 заготовки получить нельзя. Почему?

31.       Подумайте, кого крестьянин может оставить без присмотра.
32—33. Единственный совет — будьте внимательны.

Подумайте, почему лишнее «ГГГГ».

Подумайте, как стал выглядеть ковёр-самолёт после того, как Змей Горыныч отрезал от него кусок.

Подумайте, какой цифре соответствует буква, от которой отходят только знаки «<».

Подумайте, сколько денег должен был получить Карл, сколько он их получил и почему.

Сколько квадратов «добавляет» каждый гном?

Не напоминают ли вам эти фигурки почтовые индексы?

Заметьте, каждый провод соединяет два аппарата.

Обратите внимание: в Гулливерский спичечный коробок должно помещаться 12 лилипутских коробков в ширину, 12 — в длину и12— ввысоту.

Ответ «Из 9 заготовок можно сделать 9 деталей» неверен. По­чему?

Подумайте, чему равно А.

Обратите внимание: 100 - 60 < 60.

Попробуйте разделить квадрат на четыре или девять маленьких квадратиков и посмотрите, какова будет сумма периметров этих квадратиков.

Обратите внимание: на каждом столбе одно число показывает расстояние от столба до Ёлкина, а другое число — расстояние от столба до Палкина.

Подумайте, на сколько отец старше сына.

Подумайте, что можно сказать о сумме цифр числа, если сумма цифр предыдущего равна 8.

Подумайте, чему может быть равна последняя цифра искомого числа.

Попробуйте сначала решить задачу а).

Заметьте, 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1.

Внимательно прочтите условие.

Подумайте, достаточно ли данных в задаче.

Подумайте, что дороже: 7 х 8 шоколадок или 8 х 8 пачек печенья.

Подумайте, нет ли здесь лишних условий.

Обратите внимание: первая буква имеет номер либо 2, либо 20.

Заметьте, «для вчера завтра» — это «сегодня».

Вспомните задачи 32, 33.

Эта задача очень похожа на задачу 2, только ещё сильнее запу­тана.

Заметьте, «числа равны» и «числа начинаются с одной и той же буквы» — это два совершенно разных утверждения.

Обычно, когда закономерность ищется в буквах, либо это первые буквы слов, либо номера букв в алфавите. Бывают, естественно, и другие закономерности.

Вспомните задачу 63.

Обратите внимание: содержимое левой руки Петя умножает на чётное число, а содержимое правой — на нечётное. Вспомни­те задачи 62 и 64.

Путешественник может отдать несколько скованных колец, по­лучив при этом сдачу кольцами.

Заметьте, номер последней страницы — двузначное число. По­чему?

Для соединения двух звеньев требуется одно кольцо.

Заметьте, с некоторого момента начнёт повторяться группа из восьми пальцев: безымянный, средний, указательный, боль­шой, указательный, средний, безымянный, мизинец.

Просуммируйте все партии, сыгранные каждым игроком, и поду­майте, какой будет эта сумма — чётной или нечётной. Вспомните задачи 62, 63, 67.

Обратите внимание: каждая косточка домино покрывает одну бе­лую и одну чёрную клетку.

Из отчёта следует, что в каждой семье обязательно есть девочка. Почему?

Заметьте, невозможно одновременно и есть, и спать.

Использовали ли вы условие, что результаты в строках и столб­цах с одинаковыми номерами равны между собой? Какими могут быть первые цифры в двузначных числах первого столбца? Че­му может быть равно первое число первой строки? Чему может быть равно второе число второй строки? Чему может быть равен результат первой строки (и, соответственно, первого столбца)?

Вспомните задачу 63.

При поиске фальшивой монеты среди трех монет попробуйте по­ложить на каждую чашку весов по одной монете, среди 4 — по две, а среди 9 — по три монеты.

Обратите внимание: требуется определить фальшивую монету, при этом вовсе не требуется указывать, легче она, чем настоящие, или тяжелее.

Попробуйте взять 1 монету из первого мешка, 2 — из второго, 3 — из третьего,     10 — из последнего и взвесить их.

Заметьте, после каждого нечётного хода конь находится на белой клетке, после каждого чётного — на чёрной.

Вспомните задачу 78.

Чему равны вторая и четвёртая цифры частного? Чему равны пер­вая и последняя цифры частного?

Попробуйте перевернуть первые три монеты.

Заметьте, что на шахматной доске из 25 клеток количество белых и чёрных клеток неодинаково. Вспомните задачу 83.

Подумайте, что можно сказать о величине того солдатика, кото­рый стоит на одной горизонтали с самым маленьким из больших и на одной вертикали с самым большим из маленьких.

Вспомните задачи 62, 40.

Попробуйте составить уравнение.

Обратите внимание, меньше чем за 25 мин подковать всех лоша­дей нельзя. Почему?

Попробуйте выразить разницу покупок двух дам «вмаленьких птицах».

Подумайте, почему Мартовский Заяц не может быть вором.

Заметьте, разность между количествами букв М и О не меняется при добавлении или удалении разрешённых буквосочетаний.

Обратите внимание на остатки от деления каждого из этих чисел на 2, на 3 и т. д.

Вспомните задачи 62 и 64.

Обратите внимание: число, оканчивающееся на 3, нечётно.

Подумайте, можно ли взять зёрнышко из мешка, на котором на­писано «Мак».

Попробуйте за пять попыток определить, к какому из 6 чемоданов подходит первый ключ.

Подумайте, сколько в избушке Мудрых Сов и Усатых Тараканов вместе? А сколько Говорящих Котов и Усатых Тараканов вместе?

Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть вы выполните, будет принят тот или иной способдележа.

Обратите внимание: сумма номеров на обеих сторонах любого листа нечётна.

Подумайте о соотношении чётных и нечётных чисел среди напи­санных семи.

Попробуйте составить систему уравнений, хотя эту задачу можно решить, не составляя уравнений.

Можно ли срывать плоды так, чтобы число бананов на яблоне стало чётным? Вспомните задачи 62—63.

Обратите внимание: после удара Ивана-царевича у Змея Горы-ныча ничего не вырастает только тогда, когда Иван-царевич от­рубает ему две головы.

Помните ли вы, что если в группу чисел добавить число, рав­ное среднему арифметическому этой группы, то среднее арифме­тическое новой группы будет равно среднему арифметическому начальной группы?

Почему первая цифра второго сомножителя не может быть рав­на 1? Почему она не может быть больше 3? Почему первая цифра первого сомножителя равна 2? Почему первая цифра первого

промежуточного результата равна 2? Почему вторая цифра вто­рого сомножителя равна 9? Почему первая цифра второго про­межуточного результата равна 8? Почему вторая цифра первого сомножителя равна 8?

Попробуйте сначала определить, как расположены фигуры по цвету, не обращая внимание на их форму.

Попробуйте доказать, что число вертикально лежащих косточек, « начинающихся» в верхнем горизонтальном ряду, чётно.

Заметьте, из условия следует, что за день 20 чёрных коров и 15 рыжих дают столько же молока, сколько 12 чёрных и20рыжих.

С кем катается Люся Егорова — самая высокая среди девочек?

Попробуйте определить сумму чисел в ряду, тогда вы сможете расставить по местам несколько чисел. Затем попробуйте опре­делить, какое число стоит в центральной клетке.

114.     Обратите внимание: все числа 60, 30, 20, 15 — делители числа 60.
115—122. Попробуйте написать формулу, при подставлении в которую

любых пяти одинаковых цифр получается 1. 123. Обратите внимание: продавец не потерпел бы никакого урона, если бы не было фальшивой 100-рублёвки.

Заметьте, в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых в сумме 39 ног.

Попробуйте найти цифры числа, которое взял Незнайка.

Подумайте, сколько может быть синих карандашей.

Обратите внимание на сомножители, который скрыты за много­точием.

Заметьте, когда из книги выпадает часть, то первая из выпавших страниц имеет нечётный номер, а последняя — чётный.

Можно, конечно, составить систему уравнений, но лучше попро­буйте обойтись без этого.

Попробуйте поставить на одну чашку весов гирю в 1 кг и урав­новесить весы.

Заметьте, в тетради написано сто утверждений, каждые два из ко­торых противоречат друг другу.

Попробуйте представить условия задачи системой уравнений.

Попробуйте начать с деления песка на две равные части. 137—138. Вспомните, p — простое число, т.е. не делится ни на что,

кроме единицы и самого себя.

Заметьте, при делении числа на 7 возможны только 7 разных ос­татков.

Обратите внимание: при делении числа на 5 возможны только 5 разных остатков.

Обратите внимание: номер дня, когда все трое пришли в киноте­атр, должен одновременно делиться на 3, на 5 и на 7.

Вспомните, если к равным числам прибавить одно и то же число, равенство не изменится.

Заметьте, каждый гимназист знает хотя бы один древний язык.

Попробуйте рассмотреть набор из равных, но не кратных 7, чисел.

Вспомните задачу 62.

Обратите внимание: числа, от которых мы вычисляем 10%, разные.

Вспомните задачу 62.

Обратите внимание: первая буква —либоБ, либоФ.

Заметьте, первые 10 простых чисел составят 16-значное число.

Подумайте, сколько надо шариков, чтобы выполнить условие за­дачи.

151 —152. Заметьте, в обоих случаях нам не дано никаких ограничений на форму кусков, определено только их количество.

Попробуйте умножать исходное число на 2 до тех пор, пока пер­вая цифра результата не станет равна 7.

Подумайте, могут ли быть кратны 7 обе части равенства?

Заметьте, общее количество собранных грибов равно произведе­нию числа ребят на число грибов в каждой корзинке.

Обратите внимание: сумма цифр числа M не может содержать больше пяти знаков и должна делиться на 9.

Сколько времени займёт путь в один конец на автобусе? А сколь­ко — путь в один конец пешком?

Подумайте, когда у Коли день рождения.

Попробуйте рассмотреть шесть самых маленьких натуральных чисел: 1, 2, ... ,6. Обратите внимание: среди искомых чисел не должно быть равных.

Заметьте, обычно всякому делителю m соответствует «парный де­литель» — M/m.

162. Попробуйте представить условия задачи системой уравнений.

Попробуйте сделать дополнительное A построение, как показано на ри­сунке.

Попробуйте представить условие за­дачи системой уравнений. Подумай­те, как решить эту задачу, не состав­ляя системы уравнений. Попробуйте заменить в первой стро­ке БУТЫЛКУ на её эквивалент в ЧАШКАХ и СТАКАНАХ (см. тре­тью строку).

Вариант 1 (см. рис. 167.1 в задачах). Попробуйте определить, на каких местах расположены косточки-дубли.

Вариант 4 (см. рис. 167.4 в задачах). Где расположена ко­сточка 4—2? Могут ли во второй строке находиться косточки 0—1 и5—6? Могут ли в первой строке лежать косточки 1—2и 4—5? Могут ли во второй строке лежать косточки 2—5и1—4? Может ли косточка 1 —1 стоять во втором столбце? А может ли косточка 5—5 стоять в седьмом столбце? Где расположена косточка 0—6? Могут ли косточки 6—3и3—0 находиться в третьей или четвёртой строках?

Какой буквой зашифрован нуль? Может ли буква «а» обозначать нечётное число (см. последнюю строку на рисунке к задаче 168)? Может ли «а» быть равно 2 (см. первую строку на рисунке)? Заметьте, все числа отрицательными быть не могут. Обратите внимание: эта задача очень похожа на предыдущую, но есть существенное отличие.

Подумайте, может ли в комнате быть два красных шара. Подумайте, из каких цифр состоит это число. Попробуйте сосчитать сумму. Вспомните Карла Гаусса. Вспомните задачу 12.

Чему равен интервал между двумя соседними ударами? Вспом­ните задачу 12.

Половина от половины — четверть.

В одном кубическом километре — миллиард кубических метров. Обратите внимание, на каждого едока приходится по 4 лепёшки. Не напоминают ли вам элементы ключа уменьшенные фрагменты основного рисунка?

182. Заметьте, общий объём жидкости в стакане не изменился.

Обратите внимание, во дворце султана 4 наружных стены и 18 внутренних перегородок.

В первом кружке стрелку надо поставить на букву Б. Почему?

Вспомните задачу 40.

Догадались ли вы воспользоваться результатами предыду­щей 185-й задачи? Как сыграли между собой первый и второй игроки (т. е. игроки, занявшие 1-еи2-еместа)?Каксыграли между собой первый и четвёртый игроки? Может ли второй игрок набрать больше чем 2,5 очка? Может ли второй игрок набрать меньше чем 2,5 очка? Как закончились все игры первого и второго игроков? Может ли третий игрок набрать больше 2 оч­ков? Может ли третий игрок набрать меньше 2 очков? Сколько очков набрал четвёртый игрок? Сколько очков набрал пятый игрок?

Может ли второй игрок (т. е. игрок, занявший 2-е место) набрать меньше чем 6 очков? Может ли второй игрок набрать больше чем 6очков?

Попробуйте сосчитать сумму всех чисел в таблице.

Как ни странно, это можно сделать.

Вспомните признак делимости на 3.

Обратите внимание: сумма положительных чисел должна быть по модулю больше, чем сумма отрицательных.

Заметьте, ничего не сказано о том, в одну или разные стороны скачут мушкетёры.

Можно, конечно, составить уравнение, но попробуйте обойтись без этого.

Попробуйте определить, каковы последние цифры у чисел 91989,

91992   21989 21992

Попробуйте начать с того, чтобы положить в первую кучку гирьки массой101 и1г,авовторую— массой 100 и 2 г.

Заметьте, на вторую половину пути Буратино потратил ровно столько времени, сколько Пьеро потратил на весь.

Попробуйте организовать путешествие так, чтобы и Буратино и Пьеро ровно полдороги проехал на велосипеде.

Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без этого.

Туристы могут начать с того, что двое с меньшим весом садятся в лодку и переправляются на противоположный берег, после чего один из них пригоняет лодку обратно. Вспомните задачу 31.

Заметьте, номер одного и того же вагона в субботу был меньше числа, а в понедельник равен числу.

Попробуйте применить метод, которым пользовался Шерлок Холмс, расшифровывая «пляшущих человечков».

Известный венгерский математик Д. Пойа в таких случаях пред­лагал смотреть на условие задачи до тех пор, пока решение само не придёт в голову:

Найдите ключ к «тарабарской грамоте» - тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки:

Пайцике тсюг т «камащамлтой чмароке» - кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти.

Вспомните задачу 12.

Обратите внимание: для того, чтобы заварить 57 стаканов, необ­ходимо иметь не меньше чем (57 : 3) и не больше чем (57 : 2) пакетиков.

Заметьте, карточек у каждого ребёнка 3, а различных надписей на них — 2.

Попробуйте нанести первое деление в точке «1см».

Попробуйте определить длину стороны искомого квадрата.

Обратите внимание: разность чисел в соседних клетках может быть 10, 30, 50 и т. д. и не может быть 20, 40, 60 и т. д.

Обратите внимание: сейчас в предложении двадцать букв.

Заметьте, когда в двух числах количество цифр совпадает, то больше будет то, у которого больше первая цифра.

Заметьте, из двух чисел больше то, в котором больше цифр.

Попробуйте составить уравнение.

Подумайте, какую часть оплата будет составлять не от первона­чальной выручки, а от окончательной.

Можно, конечно, представить условие задачи в виде уравнения, но лучше обойтись без этого.

Обратите внимание, ведь нигде не сказано, что нельзя изменить порядок суммирования.

За сколько минут до предполагавшегося по расписанию момента посадки самолёта автомобиль «Москвич» встретился на дороге сгрузовиком?

Заметьте, за один месяц ребята собрали денег в 5 раз меньше, чем за пять месяцев. Вспомните задачу 155.

Почему тот месяц, в который Митя был в Смоленске и в Вологде, начинался во вторник?

Обратите внимание: название города, из которого шёл поезд, мо­жет состоять только из букв с номерами 1, 2, 11, 12, 21, 22.

На сколько времени больше Петя потратит на весь путь, если он вернётся домой за ручкой, чем потратил бы, если бы не возвра­щался?

Сколько будет интервалов между выемками писем? Вспомните задачу 12.

Обратите внимание: Билл купил 6 коробков спичек.

Вспомните задачу 89.

Чему равна общая сумма возрастов 11 игроков команды?

Подумайте, в какое время суток часы будут бить три раза подряд через каждые полчаса по одному удару.

Заметьте, «то» да «это» плюс половина «того» да «этого» полу­чится полтора «того» да «этого».

Обратите внимание: от Буратино вовсе не требуется узнать, какая именно монета фальшивая. Требуется только, чтобы он опреде­лил, кто сделал эту монету — Кот Базилио или Лиса Алиса, или, что то же самое, тяжелее фальшивая монета, чем настоящие, или легче.

Обратите внимание: после проигрыша команда выбывает.

Вспомните задачи 32, 33, 58.

Попробуйте найти такие вопросы, на которые все люди, находя­щиеся в данный момент в стране А, ответят одинаково, а затем среди этих вопросов выберите такие, на которые в стране Я от­ветят тоже одинаково, но по-другому.

Вспомните задачу 230.

Вспомните задачи 230 и 232.

Обратите внимание: если у ребёнка было поровну флажков в обе­их руках, то после перекладывания у этого ребёнка флажков станет не поровну.

Что находится в банке? А в чашке?

Заметьте, Ира собрала грибов не меньше, чем Витя.

Обратите внимание: четыре мушкетёра могут тремя различны­ми способами разбиться на пары: (1, 2)—(3, 4); (1, 3)—(2, 4); (1 , 4)— (2, 3) . Здесь цифрами обозначен номер места, которому соответствует сила каждого мушкетёра.

Подумайте, какие кубики можно поставить в центр пирамиды, какие — ввершины.

Заметьте, воробей может склевать только целое число зёрнышек.

Вспомните задачи 63 и 65.

Обратите внимание: каждый раз число добавляемых точек на 1 меньше, чем число тех, которые были.

Попробуйте сложить синюю и красную палки длиной по 30 см и сравните их между собой.

Заметьте, скорость Толи составляет 9/10 от скорости Серёжи.

УВали белые туфли — почему? Вспомните задачу 235.

Подумайте, сколько будет монет, если каждого из четырех типов монет не более шести?

Подумайте, в скольких комнатах стоит два букета.

Попробуйте рассмотреть три случая: а) сумма кратна 3; б) при делении на 3 сумма даёт остаток 1; в) при делении на 3 сумма даёт остаток 2.

Чему равна сумма возрастов всех членов команды? Сколько лет боцману? Сколько лет юнге и машинисту вместе? А сколько лет каждому из них? Сколько лет рулевому?

Обратите внимание: число школьников, получивших ту или иную оценку всегда целое.

Вспомните задачи 230, 232, 233.

Попробуйте записать условие задачи в виде системы неравенств. Вспомните задачу 237.

Обратите внимание: при перемене знаков в строке или столбце произведение всех чисел в таблице не меняется.

Заметьте, среди чисел, входящих в произведение, есть оканчива­ющиеся на 5.

Вспомните задачи 230, 232, 233, 252.

Чем характеризуются порядковые номера цифр, оставшихся по­сле первого вычёркивания? А после второго?

Обратите внимание: речь идёт не о линейных размерах, а о пло­щади.

Попробуйте понять, почему в стандартном наборе домино именно 28 косточек.

Первоначально орехов у Володи было в 3 раза больше, чем уПавлика.Почему?

Обратите внимание: среди десяти последовательных натуральных чисел (больших 5) обязательно пять чётных, а из нечётных одно кратно 5.

Какую часть книги Вася прочёл во второй день?

Попробуйте составить уравнение для определения искомого числа.

Попробуйте разбить эту задачу на две: сначала найдите моне­ты, при помощи которых можно заплатить любую сумму от 1 до 10 коп., а затем — монеты, при помощи которых можно за­платить 10, 20, ... ,90 коп.

Подумайте, что может означать первая цифра телефона? Какие два числа получаются из трех оставшихся цифр?

Попробуйте сделать два взвешивания: при первом на одну чашку весов положите монеты достоинством в 2 и 3 коп., а на другую — в 5 коп.; при втором на одну чашку весов положите монеты в 1 и 2 коп., а на другую — в3коп.

Попробуйте отвесить сначала 12 кг, затем — 6кг, затем— 3кг.

На сколько удвоенный вес бидона, наполненного до половины, больше, чем вес полного бидона?

При каком условии Женя может определить цвет своей шапки?

Сколько сливок получится из 100 л молока?

Попробуйте разрезать квадрат по диагонали.

Сколько понадобилось бы галет, если бы все животные были со­баками?

Один из двоих — Дима или Андрей — говорит неправду. Как это определить? И Игорь тоже говорит неправду. Как это опре­делить?

Заметьте, чем больше флажков справа от первоклассника, тем «левее» его место в шеренге.

Обратите внимание: после любого хода сумма написанных чисел остаётся нечётной. Вспомните задачу 63.

Сколько стоят 8 сандвичей, 2 чашки кофе и 20 пончиков? А сколько — 9 сандвичей, 3 чашки кофе и 21 пончик?

Заметьте, ни 1-е, ни 2-е, ни 3-е января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу.

Вспомните задачу 246.

Попробуйте отрезать четверть шнурка.

Сколько одуванчиков осталось на лужайке после того, как 8 бе­лых облетели?

Попробуйте условно разбить все семьи города на цепочки так, чтобы после каждой семьи в цепочке стояла та, в дом которой предыдущая семья переехала.

Заметьте, в каждой строке первой таблицы стоят основание сте­пени, показатель и результат; во второй таблице собраны пары равных чисел.

Попробуйте рассмотреть два случая: а) количество записанных чисел не кратно 3; б) количество записанных чисел кратно 3.

Вспомните задачи 109, 235, 245.

Сколько выстрелов Гена заслужил попаданиями в цель?

Заметьте, в билете не может быть двух неравных цифр.

Попробуйте разложить число 203 на множители.

Как определить, на сколько остаток от деления на 15 больше, чем остаток от деления на 13, если известно, чему равно частное?

Может ли возраст младшего ребёнка быть чётным числом?

Вспомните задачи 109, 235, 245, 288.

Попробуйте рассмотреть произведение любых двух положитель­ных чисел, меньших 1.

Обратите внимание: искомое число должно делиться на 5.

Сколько раз пробьют часы за первые 6 с?

Может ли в исходной стопке серая тетрадь лежать выше жёлтой, ажёлтая— выше красной?

Чему равно С?

Подумайте, может ли Роман быть математиком. Вспомните зада­чи 109, 235, 245, 288, 294.

Подумайте, может ли в четвёртом пенале лежать лиловая ручка.

Могут ли какие-нибудь два многоугольника граничить друг с дру­гом больше, чем по одной стороне?

Попробуйте записать условие задачи в виде системы уравнений.

Вспомните задачи 109, 245, 294.

Чему равно частное?

Обратите внимание: полученное число должно одновременно де­литься и на 4, и на 3.

Подумайте, сколько лет было девочкам два года назад.

Заметьте, условие задачи равносильно условию, что сумма любых двуx из этих чисел делится на третье.

Какие остатки при делении на 6 может давать простое число, большее трех?

Подумайте, когда должен прозвенеть будильник.

Чему равна последняя цифра произведения?

Заметьте, если бы такое переливание было возможно, то во вто­ром баке должно было быть больше чем 26 л бензина.

Попробуйте рассмотреть два случая: а) остаток равен нулю; б) остаток не равен нулю.

Заметьте, за решение каждой задачи все три девочки вместе по­лучали 7 конфет.

Попробуйте обозначить через x возраст короля «тогда», через y возраст королевы «тогда» и составить систему уравнений. Поду­майте, как решить эту задачу, не составляя системы уравнений.

Обратите внимание: и объём бака, и объёмы всех бидонов явля­ются целыми числами. Вспомните задачу 251.

Попробуйте представить условия задачи в виде системы урав­нений.

Попробуйте рассмотреть делители числа 1 000000 000.

Эту задачу можно сформулировать иначе: «Можно ли разложить числа 1980, 1990, 2000 на однозначные сомножители?»

Заметьте, у этого неравенства очень много решений.

Попробуйте представить условия задачи в виде системы урав­нений.

Заметьте, если одно число больше другого в 5 раз, то их разность в 4 раза больше меньшего из чисел.

Попробуйте доказать, что сумма всех семи чисел делится на 5.

Вспомните задачи 78, 84, 300.

Подумайте, будут ли искомые многоугольники выпуклыми.

Из вида первых цифр всех трех чисел следует, что К < И.По-чему?

Обратите внимание: в наборе косточек домино имеется чётное число пятёрок (8 штук).

Попробуйте рассмотреть все двузначные числа, делящиеся на 17 или 23. Вспомните задачу 72.

Попробуйте представить условие задачи в виде системы уравне­ний. Подумайте, как решить эту задачу, не составляя системы уравнений.

Попробуйте привести дроби к общему знаменателю.

Подумайте, что ответил проводнику повстречавшийся человек.

Подумайте, какие остатки дают все три числа при делении на 3.

Вспомните задачу 223 и мысленно натяните ниточки между каж­дой кошкой и погладившим её посетителем.

 

Вспомните задачи 12 и 336.

Попробуйте составить уравнение для определения искомого числа.

Попробуйте рассмотреть два кувшина разной формы.

Обратите внимание: в каждой скобке заключена разность квад­ратов.

Подумайте, сколько дней отделяет «сегодня» от того дня, когда « послезавтра» станет «вчера».

Вспомните задачу 335.

Попробуйте сначала выстроить по росту рыцарей, а потом уже распределять «по росту» плащи.

Вспомните задачу 338.

Попробуйте начертить путь Лешего.

Заметьте, 537 + 463 = 1000.

Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг «сухого вещества».

Вспомните задачу 336.

Вспомните задачи 230, 232, 233, 252.

Вспомните задачу 160.

Решения

Часто получают в ответе 10 суток, рассуждая так: за сутки улитка поднимается на 1 м, следовательно, на высоту 10 м она поднимется через 10 суток. Но при этом забывают, что к концу дня улитка бывает значительно выше, чем к концу ночи.

К концу пятых суток улитка окажется на высоте 5 м, а к началу ше­стой ночи — на высоте 10 м. Значит, вершины столба улитка достигнет за пять с половиной суток.

Часто получают в ответе 6 щук, рассуждая так: улов состоит из четырех щук и ещё половины от четырех щук, следовательно, улов — 6 щук. Это неверно. Поскольку 4 щуки составляют половину улова, то весь улов — 8щук.

Задача аналогична предыдущей. Ответ:3 кг.

Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5 х 6Мышек. Внучка заменяет 4 х 5 х 6 Мышек. Бабка заменяет 3 х 4 х 5 х 6Мы-шек. Дедка заменяет 2 х 3 х 4 х 5 х 6 Мышек. Итого потребуется: (2 х 3 х 4 х 5 х 6) + (3 х 4 х 5 х 6) + (4 х 5 х 6) + (5 х 6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.

КОМ + ПЬЮТ + ЕР = КОМПЬЮТЕР.

В зависимости от того, когда выпит яд, он может служить и ядом, и противоядием. Иванушка дал Кощею простой воды, поэтому яд № 10, выпитый Кощеем как противоядие, подействовал как яд.

сгиб

дырка

Перед тем как выпить яд № 10, который дал Кощей, Иванушка выпил любой другой яд, поэтому Кощеев яд стал противоядием.

Нужно сложить лист вдвое, вы­резать вдоль линии сгиба узкое от­верстие, а затем сделать много пря­молинейных разрезов так, как показа­но на рисунке. Первый разрез дела­ет «дырку», а остальные увеличивают длину «краёв» этой дырки.

Чашка, выпитая каждой купчи­хой, учитывалась дважды — один раз

как выпитая с одной подругой, второй — с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам. Ответ: 20 чашек.

9.         Обратите внимание: когда тома стоят на полке по порядку,
то первая страница 1-го тома прикасается к последней странице
2-го тома, а последняя страница 4-го тома прикасается к первой стра-
нице 3-го тома. Таким образом, червячок прогрыз только 2-йи3-й
тома, т. е. 400 страниц.

Если вы прочтёте условие задачи внимательно, то поймёте, что озеро было заполнено наполовину через 29 суток. За сутки до того, как озеро заполнится, оно будет заполнено ровно наполовину.

«Включим» одновременно двое часов. Когда 7-минутные часы пересыпятся, перевернём их и дадим сыпаться 4 минуты, до окончания пересыпания 11-минутных часов. Если теперь перевернуть 7-минутные часы, они будут сыпаться ровно 4 минуты, а всего часы «сыпались» 15 минут, что и требовалось.

Чурбачков всегда на 1 больше, чем распилов, поскольку первый распил делит бревно на две части, а каждый следующий прибавляет ещё один чурбачок. Ответ: 11 чурбачков.

Из каждого бревна получается на 1 чурбачок больше, чем сде­лано распилов. Раз чурбачков на 6 больше, значит, было 6 брёвен.

Когда на части режут бублик, число разрезов и число секторов совпадают, поскольку один разрез нужен для того, чтобы «сделать» из бублика бревно.

См. решение задачи 14.

Десять разрезов — это 20 радиусов, которые делят круглый торт на 20 секторов.

Это могло получиться, если в первом случае разрезы не пере­секались между собой, а во втором — пересеклись. Например, если в первом случае разрезы были параллельны друг другу, а во втором — перпендикулярны.

Зайцы получили 12 чурбачков — 10 упавших и 2 закреплённых. Значит, распилов было 11.

Проведём в блинчике три прямые и рассмотрим точки их пе­ресечения. В зависимости от того, где будут расположены эти точки, получится то или иное количество частей. Чтобы получить 4 части, надо все три точки расположить вне блинчика (рис. 19.1). Перенос одной из этих точек из-за границы блинчика внутрь добавляет одну часть. Так, чтобы получить 5 частей, надо одну точку перенести внутрь

блинчика (рис. 19.2), 6 — ещё одну точку перенести внутрь блинчика (рис. 19.3), 7 — все три точки пересечения расположить внутри блин­чика (рис. 19.4).


Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, прохо­дящая через него, делит эту фигуру на две равные части. Поэтому для того чтобы одновременно разрезать и торт и шоколадку на две равные части, надо провести прямую через центр торта и центр шоколадки.

Если бы торт был выпуклой фигу­рой, этого сделать было бы нельзя, но ведь нигде не сказано, что он должен быть та­ким. Можно, например, испечь торт в виде буквы «Ш» и разрезать так, как показано на рисунке.

Если из трех прямых каждые две пересекаются внутри блин­чика, получится 7 кусков (см. рис. 19.4). Если же из этих прямых какие-нибудь две параллельны или пересекаются за пределами блин­чика, то кусков будет меньше.

Для того чтобы подняться на 2-й этаж, надо пройти 1-йэтаж, а для того чтобы подняться на четвёртый — надо пройти три этажа. Итак, ответ: в 3 раза (а вовсе не в 2, как кажется сначала).

В число Поликарпа будут входить цифры 1, 3, 5, 7, 9. Для то­го, чтобы оно было наибольшим, надо цифры в нём записать строго в обратном порядке: 97531. В Колькино же число войдут пять цифр 9, и его число будет 99 999.

Если действовать так же, как в предыдущей задаче, Поликарп должен был бы составить число 02468, но первая цифра не может быть нулём, так что Поликарп составил число 20468. Попробуем най­ти Колькино число. Оно больше, чем число Поликарпа, но состоит из тех же цифр. Первые три цифры изменить нельзя, поскольку то­гда разность между числами Кольки и Поликарпа будет больше 100. Заменить можно только 4-ю цифру, причём менять её можно только на пятую, иначе опять разность будет больше 100. Значит, Колькино

число 20 486.

Поскольку сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клет­ках, постоянна, значит, равны между собой все числа, стоящие на ме­стах 1, 4, 7, ... , т. е. на этих местах стоит 6. Также равны между собой все числа, стоящие на местах 3, 6, 9, ... , значит, на всех этих местах стоит 4. Числа, стоящие на местах 2, 5, 8, ... тоже равны между со­бой и должны быть равны 5, чтобы соблюдалось условие о сумме 15. Окончательное решение приведено в таблице.

 

6

5

6

±

4

6

±

4

6

5

j_

6

5

Из 500 цифр, стёртых Колькой, на однозначные числа уйдёт 9 цифр, значит, на остальные останется 491 цифра. На двузначные чис­ла уйдёт 90 х 2 = 180 цифр, значит, на остальные останется 311 цифр. Из этого количества цифр получится 103 трехзначных числа и ещё две цифры от 104-го. Это значит, что интересующая нас цифра — 3-яциф-ра 104-го трехзначного числа. Это число 203, значит, искомая цифра 3.

Все такого типа ребусы расшифровываются практически оди­наково. Например, этот ребус расшифровывается так.

В среднем столбце написано 8 - В = 3, отсюда     27 + 8 = 35

В = 5. Из второй строки получаем Д = 0. Теперь в пер-   —     — —

вой строке читаем АБ + 8 = 35, отсюда А = 2, Б = 7.        10 + 5 = 15
Тогда из первого столбца получаем Г = 1, и весь ребус

расшифрован.            17 + 3 = 20

Попробуем поступить, как Чук, — повесим на каждую ветку по одной игрушке, тогда одна игрушка останется лишней. Теперь возь­мём две игрушки — одну, оставшуюся лишней, а другую снимем с одной из веток. Если теперь эти игрушки повесить вторыми на те ветки, на ко­торых остались игрушки от первого раза, тогда на двух ветках будут висеть игрушки и одна ветка останется пустой. Если бы, кроме этих

трех веток, были бы ещё ветки, то на этих «лишних» ветках висело бы по одной игрушке, что противоречит условию. Таким образом, веток было 3, а игрушек, соответственно, 4.

30. Прежде всего заметим, что Джузеппе не сможет получить за­готовок больше, чем (22 х 15)/(3 х 5) = 22 штуки. Теперь приступим к разрезанию.

Разрежем наш лист на три поперёк стороны 22: 5 х 15, 5 х 15 и 12 х 15. Теперь третий кусок раз­режем вдоль стороны 12 на четыре равных куска 3 х 15. Всего получится 6 кусков — два 5 х 15

ичетыре3х 15. Из первых двух кусков мы получим по 5 заготовок 5 х 3, а из оставшихся четырех — по 3 заготовки 3 х 5. Итого полу­чится 22 куска (см. рисунок).

31.       Крестьянин не может оставить вместе волка с козой или козу
с капустой, но он может оставить капусту с волком. Покажем на схеме,
как крестьянин должен действовать дальше:

Крестьянин и коза —.      5. Крестьянин и капуста —.

— Крестьянин.          6. — Крестьянин.

Крестьянин и волк — .7.Крестьяниникоза— .

— Крестьянин и коза.

Таким образом, крестьянин со всем своим имуществом сможет пере­правиться на другой берег. Подумайте, как надо вести себя крестьянину, если при третьей переправе он возьмёт с собой не волка, а капусту?

а) 8, 9 — числа идут подряд; б) 4, 3 — числа идут в обратном порядке; в) 25, 30 — последовательно записаны числа кратные 5; г) 21, 24 — последовательно записаны числа кратные 3; д) 2, 2 — каждые следующие два числа меньше предыдущих на 2.

а) 27, 31 — каждое следующее число больше предыдущего на 4; б)3,1 — на нечётных местах: каждое следующее число меньше преды­дущего на 4; все числа на чётных местах равны 1; в) 16, 17 — соединены два ряда, в обоих каждое следующее число больше предыдущего на 4, но первый ряд начинается с 4, а второй — с 5; г) 13, 13 — числа в следующей паре на 4 меньше чисел в предыдущей паре; д) 64, 128 — последовательные степени числа 2.

АРФА — начинается на гласную; БАНТ — первая и послед­няя буквы не совпадают; ВОЛКОДАВ — не четыре буквы; ГГГГ — не слово; СОУС — не в алфавитном порядке.

35. После того как Змей Горыныч испортил ковёр-самолёт, Иван-царевич мог отрезать от этого ковра кусочек размером 1 х 4ипревра-тить его в ковёр размером 8 х 12. Это значит, что после ухода Змея Горыныча ковёр выглядел так, как показано на рис. 35.1.

Василиса Премудрая разрезала этот ковёр так, как показано на рис. 35.2, и сшила так, как показано на рис. 35.3.


Находим ту букву, от которой отходят только знаки «<».Она соответствует минимальной цифре. Определяем, что это буква «К».За-чёркиваем и её и все выходящие из неё знаки. Снова находим ту букву, от которой отходят только знаки «<». И так далее. В результате читаем слово «КОМПЬЮТЕР».

Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них полу­чил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычис­лил разность дохода и расхода — тогда остался бы «чистый» доход, т. е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

Каждый гном берёт из сундука 1 квадрат, а кладёт 4 — т. е. добавляет 3 квадрата. Следовательно, после ухода Седьмого Гнома в сундуке должно лежать 1 + (3 х 7) = 22 квадрата.

Здесь нарисованы цифры, написанные шрифтом почтовых индексов и симметрично отра­жённые относительно правой вертикальной границы сетки. Фигурка справа «сделана» из цифры 6.

Всего телефонных аппаратов 7, каждый соединён с шестью. Значит, соединений всего 7 х 6 = 42. А провод — это два соединения. Значит, всего понадобился 21 провод.

В гулливерском спичечном коробке должно помещаться 12 ли­липутских коробков в ширину, 12 — в длину и 12 — ввысоту. Всего 12 х 12 х 12 = 1728 коробков.

Из 9 заготовок можно на первом этапе получить 9 деталей, а из оставшихся стружек сделать 3 заготовки, на втором этапе — 3 детали, а из оставшихся стружек сделать 1 заготовку, на третьем —

1 деталь и останутся стружки на ^ заготовки. Итого из 9 заготовок

можно сделать 13 деталей.

Из 14 заготовок получим: 1) 12 деталей, 2 заготовки и стружки

на 4 заготовки; 2) 6 деталей и стружки на 2 заготовки; 3) 2 детали 2

и стружки на g заготовки. Итак, из 14 заготовок можно сделать 20 де­талей.

Последний вопрос о 40 деталях решается подбором. Если 20 де­талей мы получили из 14 заготовок, естественно предположить, что 40 деталей мы получим из 28 заготовок. Проверим это предполо­жение.

Из 28 заготовок получим: 1) 27 деталей, 1 заготовку и стружки

на 9 заготовок; 2) 9 деталей, 1 заготовку и стружки на 3 заготовки;

3) 3 детали, 1 заготовку и стружки на 1 заготовку; 4) 2 детали и струж-

22 ки на g заготовки. Всего 41 деталь и стружки на ^ заготовки.

Мы получили много деталей, но не слишком. Проверим теперь, что будет, если взять 27 заготовок: 1) 27 деталей и стружки на 9 заготовок; 2) 9 деталей и стружки на 3 заготовки; 3) 3 детали и стружки на 1 за­готовку; 4) 1 деталь и стружки на ^ заготовки. Всего 40 деталей, что и требовалось.

Заметим, что всякий раз, когда мы из 3 заготовок вытачиваем 3 де­тали, а из стружек выплавляем 1 новую заготовку, у нас число заготовок уменьшается на 2, а число деталей увеличивается на 3, т. е. 2 заготовки как бы превращаются в 3 детали. И такое превращение возможно до тех пор, пока не останется только 1 или 2 заготовки. Значит, если заготовок чётное число, то мы все их, кроме последних 2, постепенно превратим в детали. А из последних 2 выточим ещё 2 детали и останется стружек

на g заготовки, которые мы так и не сможем превратить в целую деталь

(хотя по весу металла в них достаточно). Значит, из (2л + 2) заготовок 3

выйдет (2л х - + 2) = (Зл + 2) детали. Если же число заготовок будет нечётным, то все их, кроме одной, мы превратим в детали, и из этой

последней заготовки получим еще одну деталь и стружки на  заготовки, т. е. из (2л + 1) заготовки выйдет (2л х - + 1) = (Зл + 1) деталь.

Отсюда, между прочим, следует, что, сколько бы мы ни взяли заго­товок, число полученных из них деталей не может быть кратно 3.

 

 

 

 

 

 

п

 

Из условия задачи видно, что A х С = С;тогда A = 1и B х B = = 10 + С,где C — цифра. Последнее уравнение имеет единственное решение B = 4, С = 6. Значит, искомое число 144.

Киоскёр сообразил, что, имея пачку в 100 конвертов, можно не отсчитывать 60 конвертов, а отсчитать только 40 — тогда в пачке останется 60 конвертов. То же и с 90 конвертами: достаточно убрать 10 конвертов из пачки.

Разместим внутри нашего квадрата малень­кие квадратики, как показано на рисунке. Попро­буем найти количество таких квадратиков и длину стороны каждого, чтобы общая сумма их перимет­ров была равна 1992.

Обозначим число маленьких квадратиков вдоль стороны через N, а длину сторон маленьких квадра­тиков через A. Сумма периметров этих квадратиков будет равна 4N2A, а нам надо, чтобы эта сумма была равна 1992, т. е. 4N2A = 1992. По­скольку вдоль большого квадрата размещается N квадратиков со сто­роной A,to NA « 1и NA < 1. Значит, 4N > 1992 и 4N « 1992, т. е. N « 498. Взяв N = 500, A = 0,001992, получим набор квадратиков, сум­ма периметров которых будет равна 0,001992 х 4 х 500 х 500 = 1992, что и требовалось.

На каждом столбе одно число показывает расстояние от столба до Ёлкина, а другое число — расстояние от столба до Палкина. Зна­чит, расстояние от Ёлкина до Палкина равно сумме чисел на столбе, т. е. 13 км.

Из условия следует, что отец старше сына на 24 года. Если сейчас сыну x лет, то отцу — 24 + x. Можно составить уравнение 3x = 24 + x. Решив его, получим x = 12. Значит, сыну сейчас 12 лет, аотцу— 36.

У второго числа сумма цифр, скорее всего, будет 9 (поскольку у предыдущего — 8). Попробуем искать среди чисел, одновременно кратных 9 (сумма цифр 9) и 8 (по условию), т.е. чисел, кратных 72. Первое же приходящее на ум такое число — 72 — годится, поскольку

 

оно делится на 8, а у предыдущего — 71 — сумма цифр равна 8. Итак, это числа 71 и 72.

 

12 л

5 л

8 л

1

12

0

0

2

4

0

8

3

4

5

3

4

9

0

3

5

9

3

0

6

1

3

8

7

1

5

6

8

6

0

6

При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит, она была 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то всё число было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра была 5. А всё число 25. Естественно, больше 25 это число быть не мо­жет, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т. е. не может превышать 45.

Сначала решается задача а), и из неё уже выводится решение задачи б) . Решение задачи а) приведено в строках 1—4 таблицы, а решение задачи б) приведено в строках 1—8 таблицы.

Всё дело в том, что наследники с са­мого начала не заметили: завещанные им доли в сумме составляют вовсе не 100% наслед­ства (как это бывает обычно), а всего 17/18 от общего количества. Так что даже если бы они решились, во имя буквального исполнения доли завещателя, резать верблюдов на части, то и тогда у них осталась бы лишней 1/18 доля наследства, т. е. лишних 17/18 верблюда.

Естественно, яблоко тяжелее киви.

Данных в задаче недостаточно для решения: при заданных усло­виях и апельсин может быть тяжелее груши, и груша может быть тя­желее апельсина.

7 шоколадок дороже, чем 8 пачек печенья. То есть, 7 Ш > 8 П, значит, (8/7) х 7 Ш > (8/7) х 8 П или 8 Ш > 64/7 П,но64/7 П > 9 П. Значит, 8 Ш > 9 П, или 8 шоколадок стоят больше, чем 9 пачек печенья.

Здесь есть лишнее условие (обокунях). Поскольку 6 К > 10 Л, то, тем более, 6 К > 9 Л. Разделив обе части последнего неравенства на 2, получим 2 К > 3 Л. Значит, 2 карася тяжелее, чем 3 леща.

Число 2011 533 нужно разбить на однозначные и двузначные числа, чтобы соответствующая последовательность букв образовывала имя. Первое число не может быть 2, т. к. иначе второе число 0 или 01, чего быть не может. Значит, первое число 20, т. е. первая буква «Т». Последнее число 33, поскольку иначе два последних числа 53 и 3 или 3 и3,но53-й буквы в алфавите нет, а на «вв» не может кончаться имя девочки. Значит, последняя буква «я». На средние буквы осталось

сочетание 115, т.е. либо 1, 1, 5, либо 11, 5, либо 1, 15. Этому соот­ветствуют наборы букв «аад», «йд» и «ан». Отсюда видно, что девочку зовут Таня.

«Для вчера завтра» — это «сегодня»,а «вчера для послезав­тра» — это «завтра». Значит, если «для вчера завтра» — четверг, то « вчера для послезавтра» — пятница.

а) 12, 13. От натурального ряда оставляют одно число, следую­щее выкидывают, затем два числа, следующее выкидывают и т. д. б) 21, 34. Каждой следующее число — сумма двух предыдущих. в) 17, 19. Написаны последовательные нечётные числа. г) 327, 647. Записывает­ся очередная степень двойки и сзади приписывается цифра 7. д) 28, 36. Записаны последовательные суммы чисел натурального ряда. е) 19, 23. Это — последовательность простых чисел.

Если вы внимательно прочтёте условие, то поймёте, что запла­ченные 100 рублей — это «первая половина» стоимости книги. Значит, книга стоит 200 руб.

Эти числа, соответственно, 147 и 111. Задача решается простым перебором вариантов, которых не так уж много.

а) с, ф. Записаны первые буквы цветов радуги. б) у, ф, х. Од­на буква алфавита записана, одна — пропущена, две буквы записаны, две — пропущены, и т. д. в) один, четыре. Записывается число букв в предыдущем слове. г) Ф, Х, Ш. Записаны буквы, имеющие вертикаль­ную ось симметрии. д) в, д. Написаны первые буквы чисел натурального

ряда.

Сумма двух чётных или двух нечётных чисел будет чётной, а сумма чётного и нечётного — нечётной.

Сумма любого числа чётных чисел, а также чётного числа нечёт­ных чисел будет чётной, сумма же нечётного числа нечётных чисел — нечётной.

Произведение будет чётным, если хотя бы один из сомножи­телей — чётное число. Если же оба сомножителя — числа нечётные, то и произведение будет нечётным.

Если в произведении ни один из сомножителей не является чёт­ным числом (т. е. все числа нечётны) , оно будет нечётным. В противном случае (т. е. если хотя бы одно число чётно) произведение будет чётным.

Если мы возьмём все 11 купюр достоинством 3 руб., то по­лучим 33 руб. — на 8 руб. больше, чем надо. Заменим несколько трехрублевых купюр на однорублевые. Каждая купюра уменьшает раз­ницу на 2 руб. Следовательно, чтобы уменьшить сумму на 8 руб., надо заменить 4 трехрублевые купюры на 4 однорублевых: (7 х 3 руб.) + (4 х х 1руб.) = 25 руб. Чтобы найти все возможные решения, составим систему уравнений:

J x + y + z = 11, \x + 3y + 5z = 25,

где x, y, z — количество одно-,трех- и пятирублевых купюр. Вы­чтя первое уравнение из второго, получим 2y + 4z = 14, или y + 2z = 7. Из последнего уравнения видно, что для z возможны четыре значе­ния — 0, 1, 2, 3. Им соответствуют четыре значения y — 7, 5, 3, 1 и четыре значения x — 4, 5, 6, 7. Таким образом, задача имеет четыре различных решения.

Задача не имеет решения. Сумма десяти купюр, каждая из кото­рых нечётна, обязательно будет чётной, следовательно, никогда не будет равна 25.

Содержимое левой руки Петя умножает на чётное число, а со­держимое правой — на нечётное. Первое из этих произведений всегда чётное число. Поэтому сумма обоих произведений будет иметь ту же чётность, что и второе произведение, которое в свою очередь будет иметь ту же чётность, что и монета в правой руке.

Итак, если Петя назвал нечётный результат (неважно, какой имен­но), то в правой руке у него 15 коп., а если чётный, — то 10 коп.

Путешественник должен распилить 3-е кольцо. Тогда он полу­чит три звена: первое — из одного кольца, второе — из двух, третье — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину гостиницы 1 кольцо. Во второй — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий — даст 1 кольцо. В четвёртый — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый — даст 1 кольцо. В шестой — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний (седьмой) день даст 1 кольцо.

При этих условиях номер последней страницы — двузначное число (сумма цифр во всех двузначных и однозначных числах рав­на 9 + 90 х 2 > 100). Но все однозначные страницы дадут 9 цифр, т. е. нечётное число, а добавление любого количества страниц с двузначным номером прибавит чётное число цифр, т. е. оставит эту сумму нечётной, т. е. никак не равной 100. Значит, Незнайка ошибся.

Расковываем 3 кольца из одного звена. Оставшиеся 4 звена соединяем тремя раскованными кольцами.

72. Первый палец — мизинец, а затем всё время повторяется груп­па из восьми пальцев: безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный, мизинец. Когда мы станем пе­речислять пальцы, первым будет мизинец, затем 248 раз повторится группа из восьми пальцев, а потом — последние семь. Седьмой палец внашемсписке— безымянный.

Просуммируем все партии, сыгранные каждым игроком, т. е. каждое слагаемое — это число партий, а количество слагаемых — чис­ло игроков. Здесь каждая конкретная партия будет сосчитана дважды: один раз — как сыгранная первым игроком, а ещё раз — вторым. Зна­чит, такая сумма обязательно будет чётной.

Однако если предположить, что число игроков, сыгравших нечётное количество партий, было нечётным, то эта сумма получится нечётной. Действительно, нечётных слагаемых нечётное число, поэтому сколь­ко бы нибылочётных слагаемых — общая сумма нечётна. Мы пришли к противоречию. Стало быть, наше предположение неверно.

Нет, нельзя, потому что каждая косточка домино должна покрыть одну белую и одну чёрную клетку, т. е. фигура, которую можно полностью покрыть косточками домино, должна содержать одинаковое количество бе­лых и чёрных клеток. Обратное, конечно же, неверно:

далеко не любая фигура из одинакового количества белых и чёрных клеток может быть покрыта косточками домино. Один из самых про­стых примеров приведён на рисунке.

В каждой семье обязательно есть девочка, так как если в семье есть мальчик, то у него, согласно отчёту, должна быть и сестра, а если мальчика в семье нет, должна быть девочка, поскольку бездетных семей нет. Этозначит,чтоколичестводевочек не меньше количества семей. А поскольку мальчиков больше, чем девочек, то детей больше, чем удвоенное количество семей, т. е. чем число взрослых. Но в отчёте было написано, что взрослых больше, чем детей. Значит, в отчёте где-то есть ошибка.

78. Для удобства дальнейших рассуждений заменим все звёздочки различными буквами, имея при этом в виду, что разным буквам может соответствовать одна и та же цифра. Буквы З, Э и О не будем при этом употреблять, чтобы не путать их с тройкой и нулём.

Наш ребус примет следующий вид, значения некоторых букв можно сразу определить.

 

АБ

:  5 + В

X

7 =

Д4

:  Е - 4

X

Ж =

И

КЛ

- 1 - М

X

2 =

НП

Р 3

- С + Т У

-

5 =

ФХ

ЦЧ

+ ш + щъ

+

ЫЬ =

юя

Ц = 4 (результаты в строках и столбцах с одинаковыми номера­ми равны между собой). А = Д = К = Р = 1 (четыре двузначных числа в первом столбце в сумме дают 4Ч, это возможно только, если все эти четыре числа начинаются с 1). Б = 0 или 5 (1Б делится на 5), но 5 оно равно быть не может, поскольку в этом случае сумма чисел первого столбца будет больше 50, следовательно, Б = 0. Г = 2или 9 (4Г — ре­зультат умножения на 7), но результат первого столбца явно больше 42, значит, Г = 9. Отсюда Ч = 9, Л = 2, В = 5.

Перепишем ребус, заменив цифрами расшифрованные значения букв

10 :  5 +    5 x     7 = 49

14 : Е - 4 X Ж = И 12 - 1 -   М X   2 = НП

13-С + ТУ- 5=ФХ 49 + Ш + ЩЪ + ЫЬ = ЮЯ

Е = 2 или 7 (оно является делителем 14), но Е не может быть равно 7, поскольку в этом случае сумма цифр второго столбца будет больше, чем нужно, следовательно, Е = 2. С = 0 или 1 (чтобы сумма чи­сел второго столбца была однозначным числом), но по условию ни одно из чисел не равно 0, значит, С = 1. Отсюда Ш = 9, И = 9, Ж = 3, Ы = 1, Ь = 7. Ф = 1, X = 7 (результат четвёртой строки равен результату чет­вёртого столбца). Отсюда Т = 1, У = 0.

Поскольку результат третьего столбца 10: 5 + 5 x 7 = 49 равен результату третьей строки, получа- 14 : 2 - 4 X 3 = 9 ем 5 + 4 + М + 10 = (12 - 1 - М) x 2, от- 12 - 1 - 1 x 2 = 20 куда М= 1. А отсюда уже можно опре- 13—1 + 10 — 5 = 17 делить значения остальных букв: Н = 2, 49 + 9 + 20 + 17 = 95 П = 0, Щ = 2, Ъ = 0, Ю = 9, Я = 5. Окон­чательное решение изображено справа.

79. Нет, не может. После того как листок побывает в руках у бога­тыря, число, на нём написанное, будет менять свою чётность, т. е. станет чётным, если было нечётное, и наоборот. Это значит, что после 33-хиз-менений число станет нечётным, т. е. никак не сможет равняться 10.

Если у нас 3 монеты, достаточно одного взвешивания. Кладём на каждую чашку весов по одной монете, при этом если одна из чашек легче, значит, фальшивая монета на ней. Если же весы в равновесии, то фальшивая монета та, которую не положили на весы.

Если у нас 4 монеты, то потребуется два взвешивания: при первом кладём на каждую чашку весов по 2 монеты, при втором берём те 2 мо­неты, которые оказались легче, и кладём их по одной на каждую чашку. Та монета, которая легче, — фальшивая.

Если у нас монет 9, снова потребуется два взвешивания. Делим мо­неты на три группы по 3 монеты и кладём две из этих троек на две чашки весов. Если весы в равновесии — рассматриваем те 3 монеты, которые мы не клали на весы. Если весы не в равновесии — рас­сматриваем те 3 монеты, которые легче. Теперь задача свелась к самой первой: «есть 3 монеты, одна из них фальшивая».Как мы уже знаем, в этом случае для определения фальшивой монеты требуется только одно взвешивание.

Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии, значит, та монета, которая осталась, — настоящая. Кладём её на весы с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивая. Если же весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась, и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем настоящие.

Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на ве­сы — по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то обе монеты на них настоящие. Если весы не в равновесии, то обе моне­ты на столе настоящие. Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую — монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии, значит, фальшивая монета оста­лась на столе, а если не в равновесии, значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она или тяжелее) .

Если у нас монет 9, потребуется три взвешивания. Делим монеты на три кучки по 3 монеты и кладём две из этих троек на две чашки весов. Если весы в равновесии — в оставшейся кучке находится фальшивая монета, и за два взвешивания (как это показано в случае 1 настоящей задачи) мы определим фальшивую монету. Итак, всего нам понадобит­ся три взвешивания. Пусть теперь весы не будут в равновесии, значит,

одна из кучек на весах — с фальшивой монетой, а в той кучке, кото­рая осталась, только настоящие. Кладём на весы эту кучку и любую из первых двух. Так мы найдём не просто кучку с фальшивой моне­той, но и сразу определим, легче эта монета или тяжелее настоящих. Мы проделали два взвешивания, но зато теперь уже только одним взвешиванием (как показано в случае 1 задачи 80) можем определить фальшивую монету Итак, всего нам понадобится три взвешивания.

Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третье­го — 3, ... ,из последнего — 10 монет. Всего будет 1 + 2 + 3 +...+ 10 = = 45 монет. Взвесим их. Если бы все они были настоящие, они веси­ли бы (45 х 20) = 900 г, но в нашем случае будут весить меньше. Если фальшивая монета одна — будет не хватать 5 г, если две — 10 г, ... если десять фальшивых монет — будет не хватать 50 г.

Таким образом, зная, сколько не хватает до 900 г, мы сразу опреде­лим число фальшивых монет. А число фальшивых монет в свою очередь покажет нам номер мешка, в котором они лежат.

Нет, нельзя. Чтобы обойти все клетки шахматной доски, надо сделать 63 хода. После каждого нечётного хода конь находится в белой клетке, после каждого чётного — в чёрной. Значит, на 63-м ходу конь обязательно придёт в белую клетку. Но клетка h8 — чёрная, следова­тельно, после последнего хода в этой клетке конь оказаться не может.

Для удобства дальнейших рассуждений заменим все звёздочки различными буквами, имея при этом в виду, что разным буквам может соответствовать одна и та же цифра. Букву O при этом употреблять не будем, чтобы не путать её с нулём. Наш ребус примет вид

A1       х          BC       =          DF0

6G       :           H 7      =          K

LM      +          NP       =          2 0

Q 2      -           R         =          S

TU V   +          WX     =          1 Y Z

Значения некоторых букв можно сразу определить.

C = 0 (при других значениях C результат первой строки не может оканчиваться на 0); D = 1 (иначе результат третьего столбца не мо­жет начинаться с 1); A = B = 1(если A > 1или B > 1, то D не может равняться 1); F = 1 (определяем, зная A, B, C); L = N = 1; M = P = 0 (при других значениях любой из этих букв равенство в третьей стро­ке невозможно); Q = 1 (иначе равенство в четвёртой строке не будет

выполняться); T = 1 (иначе не будет выполняться равенство в пятой строке).

11

6G 10 12

110 K 20

S

10 H7 10

R

+

Для удобства перепишем наш ребус, заменив цифрами те буквы, значения ко­торых мы определили.

1 U V + WX = 1 Y Z

Далее: G = 7, 8 или 9 (иначе результат первого столбца будет меньше 100). G = 8 (вторая строка: из чисел 67, 68, 69 толь­ко 68 делится на число, оканчивающееся на 7). Отсюда H = 1, K = 4, U = 0, V = 1.

11        х 10 = 110
68 : 17 = 4

10 + 10 = 20

12        - 4 = 8
101 + 41 = 142

Если в равенстве пятой строки числа WX и 1YZ заменить суммами чисел второго и тре­тьего столбцов, получим 101 + (10 + 17 + 10 + R) = = (110 + 4 + 20 + S), или S = R + 4. Но S + R = 12 (четвёртая строка). Следовательно, R = 4, S = 8; отсюда W = 4, X = 1, Y = 4, Z = 2. Окончательный результат приведен справа.

8

Из расположения звёздочек в ре­бусе можно сразу заключить, что вторая и четвёртая цифры частного — нули.

Делитель при умножении на 8 даёт дву­значное число, а при умножении на первую и пятую цифры частного — трехзначное, значит, первая и последняя цифры частно­го — 9, а всё частное — 90 809. Найдём делитель. Это такое двузначное число, которое при умножении на 8 даёт двузначное число, а при умножении на 9 — уже трехзначное.

10 8

9 080 9

97 96

10 8 1 0 8

0

Отсюда легко заключить, что делитель    1 0 8 9 7 0 8 | 1 2 равен 12. Зная делитель и частное, восста­навливаем делимое, а затем и весь пример (см. справа).

Это действительно можно сделать, причём довольно быстро. Перевернём пер­вые три монеты. Тогда первые две моне­ты будут лежать вверх орлом, а последние три — вверх решкой. Теперь переворачиваем последние три монеты, и все пять монет лежат вверх орлом.

Шахматная доска из 25 клеток содержит либо 12 белых клеток и 13 чёрных, либо наоборот — 13 белых клеток и 12 чёрных. Для того

чтобы каждая шашка переместилась на соседнюю клетку, необходимо, чтобы все шашки, которые стояли на белых клетках, встали на чёрные, и наоборот. Но поскольку количество белых и чёрных клеток неодина­ково, сделать это невозможно.

Если самый большой солдатик из маленьких и самый маленький из больших стоят на одной горизонтали или одной вертикали, очевидно, что самый большой из маленьких будет ниже, чем самый маленький из больших.

Пусть теперь они стоят на разных горизонталях и на разных вер­тикалях. Найдём того солдатика, который стоит на одной горизонтали с самым маленьким из больших и на одной вертикали с самым боль­шим из маленьких. Этот солдатик будет ниже, чем самый маленький из больших, и выше, чем самый большой из маленьких.

Заметим, что один и тот же солдатик может одновременно быть и самым большим из маленьких и самым маленьким из больших. Это произойдёт, например, тогда, когда 8 самых маленьких солдатиков бу­дут поставлены в верхний горизонтальный ряд, а оставшиеся (64 — 8) солдатиков произвольно расставлены в остальных 56 клетках.

Таким образом, самый большой солдатик из маленьких будет не выше (т. е. ниже, или такой же), чем самый маленький солдатик из больших.

Нет, нельзя. Если каждый из 77 телефонов соединён ровно с15-ю, то «концов» проводов будет 77 х 15. Это нечётное число, но число «концов» должно быть чётным, поскольку каждый провод имеет два конца.

Обозначим искомое число через x и запишем уравнение: 4x + 15 = 15x + 4. Решая это уравнение, получим: 11 = 11х,или x = 1.

Покажем, как надо действовать.

Сначала 48 кузнецов берут 48 лошадей и подковывают каждой одну ногу, на это уходит 5 минут, у 48-ми лошадей одна подкова, у 12-ти — ни одной.

Затем 12 кузнецов подковывают тех лошадей, у которых ещё нет подков, а остальные 36 кузнецов ставят 36-ти лошадям вторые подко­вы. На это опять уходит 5 минут, 36 лошадей с двумя подковами и 24 — содной.

Теперь 24 кузнеца ставят вторые подковы, и 24 — третьи. Теперь 24 лошади с тремя подковами и 36 — сдвумя.

Теперь 36 кузнецов ставят 36 третьих подков и 12 — 12 четвёртых. Теперь 48 лошадей с тремя подковами и 12 — с четыремя.

Последний этап — 48 кузнецов ставят последние подковы 48-ми лошадям. Итак, за 5 этапов, т. е. за 25 минут, все лошади подкованы.

Покажем, что меньше чем за 25 минут это сделать нельзя. Нуж­но поставить 60 х 4 = 240 подков. На каждую подкову нужно 5 ми­нут, значит, всего не меньше, чем 240 х 5 = 1200 минут. Но у нас есть 48 кузнецов, значит, можно сделать это за 1200 : 48 = 25 минут, но ни­как не меньше. Мы и сделали за 25 минут.

Первая дама за свою покупку заплатила как за 13 маленьких птиц (напомним, что большая птица в два раза дороже маленькой), а вторая — какза11маленьких.Тоестьразницавпокупках— 2ма-ленькие птицы, а разница в цене — 20 руб. Значит, маленькая птица стоит 10 руб., а большая — 20 руб.

Вором не может быть Мартовский Заяц, потому что вор сказал правду, а Заяц, в этом случае, соврал. Вором не может быть Болванщик, потому что, в этом случае, Заяц сказал правду, а правду сказал только вор. Значит, вор — Соня.

Заметьте, что при каждом добавлении или удалении разре­шённых буквосочетаний не меняется разность между количеством букв «М» и «О» вслове— онавсегдаравна1дляслова«ОММ» и — 1дляслова«МОО». Значит, эти слова не синонимы.

Сначала рассмотрим вопрос о делимости на 4. При делении на 4 возможны четыре разных остатка: 0, 1, 2 или 3. Если первое из чисел даёт остаток 0, то оно кратно 4. Если оно даёт остаток 1, то последнее число кратно 4. Если оно даёт остаток 2, то третье число кратно 4. И, если оно даёт остаток 3, то второе число кратно 4.

О делимости на 2 и 3. Рассуждая так же, как в случае делимости на 4, придём к выводу, что в обоих случаях найдётся кратное число.

Теперь о делимости на 5. Если первое число даёт при делении на 5 остаток 1, то ни одно из четырех чисел не будет кратно 5 (например,

если эти числа 21, 22, 23, 24).

Итак, обязательно найдутся числа, кратные 2, 3, 4, но может не най­тись числа, кратного 5.

В случае двух чисел произведение может быть и чётным (если оба числа были чётными) , и нечётным (если оба числа были нечётными) . В случае же трех чисел произведение всегда будет чётным, поскольку из трех чисел либо все три будут чётными, либо одно чётное и два не­чётных.

Да, конечно, например 444 444 делится на 33. Что же каса­ется второй части задачи, то ответ всегда отрицательный: какое бы число, составленное из троек, мы ни взяли, оно будет нечётным, сле­довательно, не может делиться ни на какое чётное число, в частности, и на составленное только из четвёрок.

Надо взять зёрнышко из того мешка, на котором написано «Смесь». В нём не может оказаться смесь, значит, в нём лежат именно те зёрна, которые мы оттуда достанем. Пусть для определённости в этом мешке лежит мак. (Это предположение делается также и для удобства изложения; впрочем, в качестве упражнения попробуйте повторить все рассуждения для случая, когда в мешке с надписью «Смесь» лежит просо.) Итак, в мешке с надписью «Смесь» лежит мак. Это значит, что в мешке с надписью «Мак» может лежать только просо (если бы там лежала смесь, то в мешке с надписью «Просо» лежало бы просо, что невозможно). Отсюда сразу следует, что в мешке с надписью «Просо» лежит смесь.

Стандартное неверное решение: «Каждый из шести чемоданов пытаемся открыть каждым из шести ключей, всего попыток 6 х 6 = 36». Можно найти соответствие между ключами и чемоданами за меньшее число попыток.

Берём первый ключ и по очереди пытаемся открыть им чемоданы. Если один из чемоданов открылся — прекрасно, отставляем в сторону этот чемодан с этим ключом. Если же среди первых 5-ти чемоданов ни один не открылся, то значит этот ключ непременно соответствует шестому чемодану. Что произошло? Мы использовали не более пяти попыток; у нас осталось 5 ключей и 5 чемоданов.

Снова берём один ключ и открываем все оставшиеся чемоданы под­ряд. Для того чтобы определить, какому чемодану соответствует этот ключ, нужно четыре попытки. Берём следующий ключ и т. д. Всего понадобится 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 попыток. А если бы чемоданов бы­ло 10, число попыток было бы 9 + 8 + ... + 2 + 1 = 45.

Из условия задачи следует, что Мудрых Сов и Усатых Тарака­нов — двое, а Говорящих Котов и Усатых Тараканов — тоже двое. Это выполняется в двух случаях: либо Тараканов — 2, Котов и Сов — 0, либо и Котов, и Сов, и Тараканов — по одному. Первый случай не го­дится, так как в условии сказано, что и Совы, и Коты живут визбушке. Значит, у Бабы Яги поселились Говорящий Кот, Мудрая Сова и Усатый Таракан — всего трое.

Поскольку все требования завещателя выполнить невозмож­но, придётся выполнять только часть из них. В зависимости от того,

какую именно часть мы выполним, получим тот или иной ответ. Вари­антов много. Например: 1) из первого условия завещания следует, что 2

сын должен получить - состояния, а из второго — что дочь должна получить в два раза меньше матери; 2) из первого условия завещания следует, что доля матери в 2 раза меньше доли сына, а из второго — что эта доля в 2 раза больше доли дочери; 3) в каждом из условий доля

матери не меньше -, при этом доля сына в 4 раза больше доли дочери. Можно предложить и другие варианты.

Эта задача возникла из практики. Такой случай действительно про­изошёл в Древнем Риме. Там суд разделил наследство так, как пред-

4 2 ложено во втором варианте: отдал сыну - состояния, матери — -,

дочери — j, т. е. 120 талантов сыну, 60 — матери, 30 — дочери.

Сумма номеров на одном листе нечётна, поскольку это — сум­ма двух последовательных чисел. Всего страниц 25. Сумма 25 нечётных чисел должна быть нечётной, а у Кольки получилось чётное число. Зна­чит, Колька ошибся в своих вычислениях.

Если сумма двух чисел чётна, то либо оба числа чётны, либо оба нечётны. Выберем любое из записанных чисел и начнём все эти числа подряд перебирать. Либо мы найдём два подряд идущих чис­ла одинаковой чётности (тогда наша задача решена), либо не найдём таких чисел. В этом случае наши числа будут образовывать цепочку, в которой чередуются чётные и нечётные числа. Всего записано семь чисел, значит, чётность первого и седьмого чисел цепочки будут совпа­дать. А это, в свою очередь, означает, что, когда мы замкнём цепочку (числа выписаны по кругу!), то первое и седьмое числа окажутся рядом и их сумма будет чётной, что и требовалось доказать.

Фома смог за свою покупку расплатиться 11-рублёвыми ку­пюрами. Если мы к его покупке добавим 33 ч и11 б (т. е. 33 стакана чая и 11 бубликов), то за всё в сумме тоже можно будет расплатиться 11 -рублевками. Но эта покупка составляет 36 ч + 4 к + 16 б, т. е. ров­но в 4 раза больше покупки Еремы. Но числа 4 и 11 взаимно просты, поэтому и за четверть большой покупки (за покупку Еремы) можно расплатиться 11-рублевками без сдачи, что и требовалось доказать.

Как бы мы ни срывали плоды, число бананов на яблоне всегда будет нечётным. Действительно, если мы сорвём 2 банана — вырастет апельсин, т. е. число бананов уменьшится на чётное число и останется опять нечётным. (Напомним, что вначале было 15 бананов.) Если же

мы сорвём только банан (с апельсином ли, или без апельсина — всё равно), то вырастет снова банан, т. е. число бананов даже не изменится. А отсюда следует вот что: раз нам точно известно, что плод остался только один, то это банан. Другое дело, что здесь мы не обсуждаем вопрос, возможно ли, чтобы остался ровно один плод.

Для того чтобы на яблоне остался только один плод, можно сорвать 7 раз по 2 банана — останется банан и 27 апельсинов, после этого 27 раз сорвать по банану и апельсину — останется только один банан.

Из предыдущих рассуждений уже видно, что как бы мы ни срывали плоды, на яблоне всегда останется хотя бы один банан.

106. Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все хвосты за 9 ударов. Первыми тремя ударами он срубит по одному хвосту за каждый удар — останутся 3 головы и 6 хвостов. Вторыми тремя ударами он срубит по 2 хвоста за каждый удар — останется 6 голов. Последними тремя ударами он срубит по 2 головы за каждый удар — ничего не останется.

Давайте подумаем, может ли Иван-царевич победить Змея Горыны-ча, нанеся меньше или больше 9 ударов.

При большем количестве ударов, конечно же, может. Пока есть хо­тя бы одна голова, Иван-царевич может сколько угодно раз отрубать Змею одну голову. Вид Змея при этом не изменится, а число ударов может быть любым.

А вот ударив меньше, чем 9 раз, убить Змея невозможно. Последним ударом Иван-царевич должен срубить две головы (это единственный удар, после которого ничего не вырастает). Значит, нужно действовать так, чтобы добавить нечётное число голов (три головы у Змея уже есть, а всего их должно быть чётное число) . Голову можно получить, срубая два хвоста. Значит, надо сделать так, чтобы общее число хвостов бы­ло чётно и при делении на 2 давало нечётное число, т. е. как минимум у Змея должно быть 6 хвостов. Три хвоста уже есть — надо доба­вить ещё 3. Единственная возможность добавить хвост — отрубить 1хвост, — тогда вырастет 2. Значит, надо 3 раза отрубать по 1 хвосту. Всего хвостов станет 6. Затем ещё тремя ударами отрубить по 2 хвоста. Хвостов не останется, но прибавятся 3 головы. А всего голов станет 6. Последними тремя ударами отрубаем по 2 головы.

Следовательно, предложенный нами способдействительно самый короткий. Другое дело, что порядок действий можно изменять. Напри­мер, сначала отрубить 2 головы, потом — 2 хвоста, потом — снова 2 головы и т. д.

Третий игрок выбил (60 + 80): 2 = 70 очков. Каждый следую­щий тоже выбивал по 70 очков: если в группу чисел добавить число, равное среднему арифметическому этой группы, то среднее арифмети­ческое новой группы будет равно среднему арифметическому начальной группы.

Для удобства дальнейших рассуждении заме-      AE B
ним все чётные числа гласными буквами, а нечётные — CD
согласными, имея при этом в виду, что разным буквам j р tj q
может соответствовать одна и та же цифра. Букву O    + YH K

не будем при этом употреблять, чтобы не путать её

с нулём. Наш ребус примет вид, изображённый справа.    LM N Р R

В дальнейшем будем пользоваться чётностью глас­ных букв и нечётностью согласных, не оговаривая этого специально.

C > 1(при C = 1 числа AEB и YHK равнялись бы между собой, а это невозможно, так как в одном вторая цифра чётная, в другом — не­чётная). C = 3, A = 2(при C > 3или A > 2 произведение AEB х Cбудет четырехзначным числом). I = 2(при A = 2, I не может быть больше 2).

Отсюда следует, что D = 9 (при меньшем значении D выражение AEB х D будет меньше 2100, a IFUG > 2100, поскольку F соответ­ствует нечётному числу, значит, не равна 0).

Y = 8 (иначе всё произведение не будет пятизначным    2 8 5

числом). Е = 8 (если Е < 8, то YHK < 810). F = 5 (при из-       *       39

менении В от 1 до 9 число IFUG будет меняться от 2529 2 5 6 5 до 2601), отсюда следует, что B < 9. H = 5 (при измене-    + 8 5 5

ний В от 1 до 7 число YHK будет меняться от 843 до 861).

K = 5 (иначе число 85K не будет делиться на 3. 11115

Так можно восстановить весь пример (см. справа) .

Для удобства изложения повторим все условия задачи: 1) красная фигура — между синей и зелёной; 2) справа от жёлтой фигуры — ромб; 3) круг — правее и треугольника и ромба; 4) тре­угольник — не с краю; 5) синяя и жёлтая фигуры — не рядом.

Поскольку красная фигура лежит между синей и зелёной (условие 1), а жёлтая — не рядом с синей (условие 5) , то возможны только два варианта расположения фигур по цвету: «синяя, красная, зелёная, жёл­тая» или «жёлтая, зелёная, красная, синяя». Первый из приведённых вариантов неверен, поскольку по условию 2 жёлтая фигура не может лежать на правом крае. Остаётся только одна возможность располо­жения фигур по цветам: «жёлтая, зелёная, красная, синяя».

Из условия 2 сразу же определяется, что ромбзелёный. Отсюда и из условия 4 следует, что треугольник красный. В свою очередь от­сюда и из условия 3 следует, что круг синий. Значит, прямоугольник может быть только жёлтым. Окончательный ответ: жёлтый прямоуголь­ник, зелёный ромб, красный треугольник, синий квадрат.

Достаточно показать, что количество вертикально лежащих косточек чётно.

Рассмотрим верхний горизонтальный ряд: в нём «начинаются» несколько вертикально лежащих косточек. Их число может быть толь­ко чётным, потому что количество клеток ряда чётно (равно 8) , а число клеток, не занятых вертикальными косточками, тоже должно быть чётно, чтобы в этих клетках смогли разместиться горизонтальные ко­сточки. Таким образом, в первом ряду «начинается» (т. е. находится в первом и втором ряду) чётное число вертикальных косточек.

Рассмотрим теперь второй ряд, причём не весь, а только те его клет­ки, в которых «заканчиваются» вертикально стоящие косточки домино, «начинавшиеся» в первом ряду. Число таких косточек чётно. Следо­вательно, мы можем повторить наши рассуждения для второго ряда и заключить, что и в нём тоже «начинается» чётное число вертикально лежащих косточек.

Аналогично поступим со всеми остальными рядами и определим, что во всех рядах «начинается» чётное число вертикально лежащих косточек. Значит, и общее число таких косточек чётно. Следовательно, и число горизонтальных косточек тоже чётно.

Наше условие, по существу, означает, что 20 чёрных коров и 15 рыжих дают за день столько же молока, сколько 12 чёрных и 20 рыжих. А это значит, что 8 чёрных коров дают молока столько же, сколько 5 рыжих. Отсюда заключаем, что у рыжих коров удои больше.

Самая высокая из девочек — Люся Егорова, и по условию она катается с мальчиком, который выше её. Таких мальчиков двое, но один из них её брат. Значит, Люся Егорова катается с Юрой Во­робьёвым. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что Оля Петрова катается с Андреем Егоровым, Инна Крымова — с Серёжей Петро­вым, а Аня Воробьёва — с Димой Крымовым.

Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно опре­делить сумму ряда — она равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7 пустых клеток, в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15.

Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18.

Две пустые клетки на ней должны зани­мать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два чис­ла с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диа­гоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

114. Число монет в этих мешках — делите­ли числа 60, записанные в порядке убывания. Так что в пятом и шестом мешках, соответ­ственно, 12 и 10 золотых монет.

115—122. При решении этих задач можно использовать некоторые общие соображения. Например, число 2 можно представить в виде (m/m) + (m/m)m ,где m — любое число (в на­шем случае, от 2 до 9). Ещё заметим вот что: если число k можно представить, использовав только 3 цифры m, то числа k — 1, k, k + 1 можно представить, вычтя, умножив или сло­жив полученное представление из трех цифр с m/m. Ответы приведены в таблицах на с. 133—134.

123. Продавец дал покупателю товара и сдачи на сумму 100 руб., да ещё второму продавцу заплатил 100 руб., но и от второго продавца он предварительно получил 100 руб. Так что вся пропажа — 100 руб.

Можно решить и по-другому. Покупатель, фактически, «недодал» продавцу 100 руб. На эти-то 100 руб. и погорел продавец.

По условию, в комнате находятся пяти- и шестиногие суще­ства, у которых в сумме 39 ног. Число ног у пятиногих оканчивается на 0 или 5. Но в данном случае на 0 это число оканчиваться не может, т. к. тогда число ног у шестиногих будет кончаться на 9. В таком случае пятиногих может быть 1, 3, 5 или 7. Простым перебором определя­ем, что пятиногих существ — 3, а шестиногих — 4. То есть в комнате 4 стула и 3 табуретки.

Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две « цифры» 11, поскольку среди делителей числа 1210 дважды встреча­ется простое число 11.

Значит, синих и зелёных вместе — 7 или 14. Синих, со­ответственно, 6 или 12, а зелёных — 1  или 2. Поскольку всего

карандашей 20, то для красных осталось две возможности: либо их 20 — 7 = 13, либо 20 — 14 = 6. Но красных меньше, чем синих, значит, единственный возможный ответ: 12 синих карандашей, 2 зелёных и6красных.

Произведение равно 0, поскольку среди сомножителей будет

и (100 — 102).

Когда из книги выпадает часть, первая из выпавших страниц имеет нечётный номер, а последняя — чётный (каждая страница нуме­руется с двух сторон, и на её нумерацию требуются два числа). Значит, последняя цифра последнего номера страницы — 8, т. е. номер стра­ницы либо 378, либо 738; но 378 не может быть, поскольку 378 < 387 (последняя страница не может иметь номер меньше, чем первая) . Сле­довательно, остаётся единственная возможность — номер последней страницы 738. Это значит, что из книги выпало (738 — 386) : 2 = 176 ли­стов. (Пополам надо делить потому, что лист нумеруется с двух сторон.)

Соединим оба заданных условия и получим следующее утвер­ждение: «В первом и втором ящиках орехов на 6 кг + 10 кг меньше, чем в первом, втором и двух третьих». Отсюда следует, что в двух третьих ящиках 16 кг орехов, т. е. в третьем ящике 8 кг орехов.

Можно поступить, например, так: поставим на одну чашку ве­сов гирю весом 1 кг и уравновесим весы крупой из мешка. Теперь снимем с весов эту гирю и вместо неё насыпем крупу. Когда этой крупы станет ровно 1 кг, весы окажутся в равновесии.

То, что в тетради записано 100 утверждений, каждые два из ко­торых противоречат друг другу, означает, что если среди них и есть верные утверждения, то их не может быть более одного. Посмотрим, может ли здесь быть хотя бы одно верное утверждение. Если верно ровно одно утверждение, то ровно девяносто девять неверных. А такое утверждение в тетради есть: «В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений». Итак, в тетради записано ровно одно верное утверждение.

135. Обозначим через x число тестов в серии, а через A — коли­чество очков, набранных Джоном за предыдущие тесты. На основании условия задачи можно составить следующую систему уравнений:

{(A + 97): x = 90, {(A + 73): x = 87.

Решив эту систему относительно x, узнаем, что искомое количество тестов равно 8.

Можно. Первый случай (гири 200 ги 50 г). 1-е взвешивание: 4,5 кг = 4,5 кг. 2-е: 2,25 кг = 2,25 кг. 3-е: 2,25 кг = 2 кг + 200 г + 50 г.

Второй случай (гиря 200 г). 1-е взвешивание: 4,6 кг = 4,4 кг + + 200 г. 2-е: 4,4 кг = 2,2 кг + 2,2 кг. 3-е: 2,2 кг = 2 кг + 200 г.

Вспомните задачу 95. Поскольку p — простое, то среди де­лящихся на 2 его не будет, а среди трех последовательных чисел p — 1, p, p + 1, одно обязательно делится на 2, но это не p. Значит, ответ задачи положительный. Для 3 задача решается аналогично, ответ по­ложительный.

Обратите внимание! Здесь мы пользуемся тем, что простое число не может делиться на 2 или 3. Будьте осторожны — это не всегда так. Есть два простых числа 2 и 3, для которых эти соображения неверны. Но в нашем условии указано, что p > 3, значит, мы можем пользоваться этим свойством.

Вспомним задачи 95 и 137. На 5 ни одно из чисел может не де­литься (например, при p = 13). Что же касается 4, то здесь дело другое. Рассмотрим числа p — 1, p, p + 1, p + 2. Из четырех последователь­ных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p (оно простое) ине p + 2 (оно нечётное). Значит, одно из чисел p + 1или p — 1будет делиться на 4.

Остаток при делении на 7 не может превышать 6, таким об­разом, интересующие нас числа можно представить в виде 7a + a = 8a, где a = 1,2,      6. Итак, вот эти числа: 8, 16, 24, 32, 40, 48.

При делении числа на 5 возможны 5 остатков: 0, 1, 2, 3 или 4. Но у нас шесть чисел, значит, среди них обязательно найдутся два с одинаковыми остатками. Если мы рассмотрим их разность, то она будет давать при делении на 5 остаток 0, т. е. будет делиться на 5. Что же касается суммы, то это утверждение не будет верным. Например, если все пять чисел при делении на 5 дают остаток 1, то сумма любых двух из них будет давать остаток 2, т. е. нацело делиться не будет.

Начнём отсчитывать дни от первого посещения кинотеатра всеми мальчиками. Номер дня, когда в кинотеатр приходит Коля, де­лится на 3, когда приходит Серёжа — делится на 7 и т. д. Значит, чтобы все трое пришли в кинотеатр, номер дня должен одновременно делиться на 3, на 5 и на 7. Таким образом, номер этого дня должен делиться на 105, т. е. 105, 210, 315 и т. д. Поскольку нас интересует самый первый день, то это день под номером 105 (это значит, что до встречи ребятам придётся ходить в кинотеатр больше 3-х месяцев).

Мы знаем, что босоногих мальчиков столько же, сколько обу­тых девочек. Если теперь к каждому из чисел прибавим количество босоногих девочек, то числа опять останутся равными. Но в первом случае мы получим число босоногих детей, а во втором — общее чис­ло девочек. Значит, количества девочек и босоногих детей на прогулке равны.

Поскольку 85% всех ребят знают греческий язык, то 15% его не знают, т.е. знают латынь. Это значит, что из 75% ребят, знающих латынь, 15% не знают греческого, а оставшиеся 75% — 15% = 60% говорят на обоих языках. Если бы мы начали решение не со знающих греческий, а со знающих латынь, ответ получился бы тот же, только 60% мы получили бы как разность 85% — 25%.

Да, конечно, например сумма 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2делится на 7, хотя 2 на 7 не делится.

Конечно же, Фёдор Калистратович ошибся. Число оценок должно быть чётным, поскольку чётно число учеников, но если бы Фёдор Калистратович был прав, то число учеников можно было бы выразить формулой 13 + 2a,где a — число «не двоек», т. е. получается, что число учеников нечётно. Противоречие и доказывает, что Фёдор Калистратович был неправ.

Если перед началом Олимпиады хоккейные шайбы стои­ли A руб., то после подорожания они стали стоить 1,1 A. 10% от этого числа будет 0,11 A, значит, после удешевления шайбы будут стоить 0,99A. Значит, до подорожания шайбы стоили дороже.

Если оба числа нечётные, то и сумма их, и разность будут чёт-ны, а чётное простое число всего одно. Это значит, что среди искомых простых чисел обязательно одно чётное, т. е. одно число равно 2. Чтобы подобрать второе число, нужно иметь в виду, что разность, второе число и сумма являются последовательными нечётными числами. Среди таких чисел одно обязательно делится на 3. Значит, все три простыми могут быть только в случае, когда одно из них равно 3. Итак, одно из чисел равно 2, разность (или сумма) равна 3. Единственная возможность — искомые числа 2 и 5.

Для решения этой задачи выпишем буквы с номерами 1, 2, 11, 12, 21, 22. Это будут, соответственно, «А», «Б», «Й», «К», «У», «Ф». Теперь займёмся перебором вариантов.

Первая буква либо «Б»,либо«Ф». В первом случае далее воз­можны варианты «БББА», «БББЙ», «ББУБ», «ББУФ», «БФАБ»,

« БФК» . Ни одно русское слово с таких буквосочетаний не начинается. Значит, первая буква в слове будет «Ф».

Продолжим. Далее могут идти буквы «ФБУБ», «ФБУФ», «ФБАБ», «ФБАФ», «ФУББ», «ФУБУ», «ФУФА», «ФУФЙ». Среди этих сочета­ний только «ФУБУ» и «ФУФА» дают надежду на нахождение искомого слова. Продолжив перебор, получим единственный возможный ответ:

«ФУФАЙКА».

Вот первые десять простых чисел, записанных подряд: 2357111317192329. Это 16-значное число. Мы должны вычеркнуть 6 цифр. Сначала выберем максимальную первую цифру. 9 сделать пер­вой цифрой нельзя — слишком много придётся вычёркивать. А вот 7 можно сделать первой цифрой: для этого нужно вычеркнуть три первые цифры. Осталось вычеркнуть ещё три. Очевидно, что нужно вычерк­нуть три единицы, идущие сразу после нашей первой семёрки, чтобы вторая цифра оказалась 3. Ответ: 7317192329.

Нет. Если у нас есть 9 кучек, в каждой из которых разное количество шариков, то их должно быть не меньше, чем 1 + 2 + 3 + ... ... + 9 = 45. Итак, шариков должно быть не меньше 45, а у нас — только 44.

Вырежем из круга два одинаковых маленьких кружка, один с центром в отмеченной точке, а другой — с центром в центре круга (нужно так подобрать их радиусы, чтобы в большом круге эти кружки не пересекались), третий кусок — то, что осталось от большого круга. Поменяв местами маленькие кружки, получим такой круг, как требова­лось в условии.

Можно. См. рисунок справа.

Можно сначала удвоить число, потом за­черкнуть последнюю цифру, а можно наоборот — сначала зачеркнуть последнюю цифру, а потом удво­ить число. На значение первой цифры результата это почти не влияет. Поэтому можно, например, удваи­вать число до тех пор, пока первая цифра результата

не станет равна 7; зачеркнуть все цифры, кроме первой; удвоить её. По­лучим: 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.

Равенство не может быть верным, потому что одной из букв обязательно должна соответствовать цифра 7; тогда та часть равенства, в которую входит эта буква, будет делиться на 7, а вторая часть равен­ства — не будет. Значит, они не могут быть равны. Это рассуждение справедливо и для цифры 5.

Общее количество собранных грибов равно произведению числа ребят на число грибов в каждой корзинке. Представим чис­ло 289 в виде произведения двух сомножителей. Это можно сделать двумя способами: 289 = 1 х 289 либо 289 = 17 х 17.

Случаи «1 ребёнок» или «1 гриб» не годятся, так как по условию и грибов и детей было много. Значит, остаётся единственный вариант — в лес ходили 17 детей, каждый из которых принёс 17 грибов.

Сумма цифр числа M не может быть больше, чем 1992 х 9 = = 17928, и кроме того, она должна делиться на 9, т. е. A — число, состоящее не более чем из пяти знаков (разумеется, оно может состо­ять из меньшего числа знаков, например, при M = 90 ... 0число A будет однозначным). Но если A содержит не более пяти знаков, то B не мо­жет быть больше 45 и при этом должно делиться на 9. Сумма цифр всех таких чисел равна 9. Следовательно, C = 9 при любом возможном значении M.

Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч — 15 мин, т. е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2,5 ч.

Если в будущем году Коле исполнится 13 лет, значит, в ны­нешнем ему 12, а в прошлом году было 11 лет. Но поскольку позавчера Коле было 10, то единственный день, когда ему могло успеть испол­ниться 11 (в прошлом году) — это вчера, а именно 31 декабря. Значит, сегодня 1 января, и 31 декабря этого года Коле исполнится 12 лет, а в будущем году — 13.

Рассмотрим шесть самых маленьких натуральных чисел: 1,2, 6. Их сумма равна 21. Значит, наше исходное равенство будет достигаться, если любое из чисел мы увеличим на 1. Но если мы увеличим одно из чисел от 1 до 5, то среди наших чисел окажется два равных. Это значит, что надо увеличить последнее число, т. е. вместо 6 взять 7. В результате получаем искомый набор — 1, 2, 3, 4, 5, 7.

160.     У любого числа M всегда есть делители 1 и M.Если у M

есть делитель т, то есть и делитель —. Значит, чтобы число М име-

m M ло три различных делителя, необходимо выполнение условий: т= —

(т. е. M = ш2)и m — простое число. Отсюда следует, что ровно по три различных делителя имеют квадраты простых чисел.

162. Сразу напрашивающийся ответ «за 2 руб. 50 коп.» — неверен. Обозначим через a первоначальную стоимость всех конфет 1-го сорта.

2а a a 3+2

Тогда общая выручка за несмешанные конфеты 1-гои2-го сорта со­ставляла бы 2a рублей. При этом конфет 1-го сорта у купца было бы ^ фунта, а конфет 2-го сорта ^ фунта. Таким образом, за смесь, со­стоящую из 7j +    фунта, он должен выручить 2а рублей. Значит, цена

рублей. Проведя несложные

смеси конфет должна быть равна

арифметические действия, определим, что смесь конфет надо прода­вать по 2руб.40коп. (ане по 2 руб.50коп.) за фунт.

 

1 /

 

/1

4

 

 

 

3'\

 

 

Площадь открытых участков 1', A 2' и3' равна площади закрытых участ­ков 1, 2 и 3 (см. рисунок). Значит, закры­тая часть листка больше открытой на пло­щадь закрытого участка 4.

С поляны улетели 5 ворон, а остались 30. Поскольку при этом на бе­рёзе их стало в два раза больше, чем на ольхе, значит, на берёзе оказалось 20 ворон, а на ольхе — 10. Но до этого

на ольху с берёзы перелетели 5 ворон, следовательно, сначала на оль­хе было 5 ворон. А с берёзы 5 ворон улетели на ольху и 5 ворон улетели совсем, т. е. на берёзе было 30 ворон.

Перепишем условия задачи:

КУВШИН = БУТЫЛКА + СТАКАН; ДВА КУВШИНА = СЕМЬ СТАКАНОВ; БУТЫЛКА = ЧАШКА + ДВА СТАКАНА; БУТЫЛКА = сколько ЧАШЕК?

Из 1-йи3-й строк следует, что емкость кувшина равна емкости чашки и трех стаканов. Сравнивая это равенство со 2-й строкой, полу­чим, что в стакане содержится две чашки. Учитывая теперь 3-ю строку, определяем, что емкость бутылки составляет пять чашек.

Все подобные задачи решаются одинаково. Используются обычные свойства косточек домино. Например, в наборе домино обя­зательно встречается косточка с парой любых чисел от 0 до 6, причём ни одна такая пара не повторяется дважды. Косточки домино не могут расположиться на нечётном числе клеток и т. д.

Поскольку варианты предложены в порядке возрастания трудно­сти, рассмотрим подробные решения только для первого — всилуего наглядности и для последнего — в силу его сложности.

Вариант 1 (рис. 167.1):

1. Места всех дублей в этой раскладке определяются однозначно. Отметим их Отсюда однозначно определяется местоположение косточек 5—0, 5—3, 0—2, 3—4, 0—6, 2—5. Отметим теперь, что ес­ли где-нибудь перечисленные пары цифр и стоят рядом, то они не могут образовывать косточки. Полученная позиция изобра­жена на рис. 167.2.

Надпись: 50Надпись: 44Надпись: 25Надпись: Рис. 167.1
2.	Отсюда однозначно определяется местоположение косточек 2—4 и0—3. Отметив, что эти косточки не могут находиться на других местах, получим расположение косточек (позиция на рис. 167.3).
3.	И снова обратим внимание на то, что, если где-нибудь пере¬численные пары цифр и стоят рядом, они не могут образовывать косточки. Отсюда уже можно однозначно восстановить всю рас¬кладку (рис. 167.4).
501031 25 44524623 25601302 51 204043 54516323 01 021566 61 364634

2 4 6 2

1 0 З 1 12

6

5

1. Единственная косточка, расположение которой можно опреде­лить однозначно, это 4—2 (нигде больше 4 и 2 не стоят рядом).

Во второй строке не может находиться косточка 0—1 (иначе по­лучим две одинаковые косточки 0—1 в первой и второй строках). По тем же соображениям во второй строке не может находиться косточка 5—6, а в шестой — косточки 4—6и0—2. Отметим это

(рис. 167.6).


01 251456 01 251456 52633041 52633041 33442233 46006602 46115502

Рис. 167.5

В первой строке не может лежать косточка 1 —2 (иначе цифра 1, стоящая на пересечении второй строки и второго столбца, будет образовывать ещё одну косточку 1 —2). По аналогии, в первой строке не может лежать косточка 4—5.

Аналогично тому, как это уже делалось в пункте 2, определим, что косточки 2—5и1—4 не могут лежать во второй строке. От­метим это (рис. 167.7).

Теперь очевидно, что косточка 1 —1 не может стоять во втором столбце (иначе негде расположить косточку 1— 2). По аналогии, 5—5 не может находиться в седьмом столбце (иначе нет места для косточки 4—5). Отсюда можно однозначно восстановить распо­ложение косточек 0—1, 0—5, 5—6и6—1. Отметив, что в других местах эти косточки располагаться не могут, получим однознач­ную возможность расположить косточки 1 —1и5—5. Отметим,

что иное их расположение невозможно. Таким образом получаем расположение косточек, изображённое на рис. 167.8. 6. 0 и 6 трижды встречаются рядом, и все три раза — вшестом строке. Однако только та пара, которая лежит точно под ко­сточкой 4—2, может образовывать косточку 0—6 (в противном случае получим две косточки 0—6) . Отсюда однозначно опреде­ляется положение косточек 4—0и2—6. Отметим невозможность расположения этих косточек в других местах (рис. 167.9).

7. Обратим внимание на то, что ни в третьей, ни в четвёртой стро­ках не могут находиться косточки 6—3и3—0; отсюда определяем расположение косточек 6—6и0—0. Далее, косточка 3—3немо-жет находиться ни в третьей строке, ни в четвёртом или пятом столбцах. Отсюда определяем расположение косточек 3—3, 5—3 и1—3. Отметив, что эти косточки нигде в других местах рас­полагаться не могут, получим однозначное расположение всех косточек домино (рис. 167.10).

168. Рассмотрим рисунок.

Поскольку на рисунке не хватает дубля b—b, значит, b= 0.

По виду последней строки ясно, что a — чётное число: все буквы, кроме a, встре­чаются по два раза, а сумма чисел в стро­ке чётная (равна 24), т. е. a = 2, 4 или 6.

Из вида первой строки следует, что a = 2

(при a = 2будет c = 9, что невозможно). Поэтому возможны все­го два варианта: a = 6, c = 3или a = 4, c = 6.

Рассмотрим третью строку. Если c = 6, a = 4, то d + f = 2, что невозможно. Отсюда получаем единственные возможные значе­ния a и c: a = 6, c = 3.


 

 

 

 

 

 

 

6 6

6 0

0 3

3 3

1 1

1 4

4 4

4 3

1 6

6 3

3 2

2 2

5 4

5 5

5 0

0 2

4 2

2 5

5 1

1

0

2 1

2 6

6 4

4 0

1 3

3 5

5 6

 

Из той же третьей строки находим, что d + f = 3, т. е. либо d = 1, f = 2, либо d = 2, f = 1.

Рассмотрим вторую строку, подставив в неё c = 3. Получим 2d + 4e = 18. При d = 2 получаем e = 3,5, что невозможно. При d = 1 получаем e = 4, f = 2. Значит, g = 5 (просто все другие значения уже заняты).

Проверяем, действительно ли при найден­ных значениях переменных сумма чисел во всех строках равна 24. Убедившись, что это так, можем записать: a = 6, b = 0, c = 3, d = 1, e = 4, f = 2, g = 5. Оконча­тельное расположение косточек домино показано на рисунке справа.

Да. Все числа отрицательными быть не могут. Выберем любое положительное число, а остальные 24 числа любым способом разобьём на 6 наборов по 4 числа в каждом. Сумма выбранного числа и 6-ти наборов будет, с одной стороны, положительна, с другой — равна сумме всех чисел.

Нет, неверно. Вот пример: 24 числа равны —1, а одно число равно 5. Тогда условие задачи выполняется, а общая сумма равна —19.

Обратите внимание! Хотя задача очень похожа на предыдущую, ответ прямо противоположный.

Поскольку среди двух любых шаров один синий, то двух крас­ных шаров в комнате быть не может. Значит, в комнате находятся 84 синих воздушных шара и 1 красный.

Да. Первая цифра этого числа — 1, последняя цифра — 8, а между ними 2001 раз повторяется цифра 0. Сумма цифр равна 9, значит, число делится на 9.

Да, делится, поскольку

1 + 1998 = 2 + 1997 =

999 + 1000 = 1999,

т. е. эта сумма равна 1999 х 999.

Между 12-юфлажками 11 «расстояний».Между 4-мя флаж­ками 3 «расстояния». На пробег одного «расстояния» требуется 4 с. Значит, всего потребуется 44 с.

Всего между 300 и 700 заключено 399 чисел, причём чётных на 1 меньше, чем нечётных. Значит, нечётных чисел 200.

Поскольку 3 удара часы отбивают в течение 12 с, интервал между двумя последовательными ударами составляет 6 с. От первого

удара до второго — 6 с и от второго до третьего — тоже 6 с. Шесть же ударов раздаются с 5-ю интервалами. Следовательно, 6 ударов часы пробьют за 5 х 6 = 30 с.

Если половина от половины (т. е. четверть) данного числа рав­на 0,5, то само число равно 0,5 х 4 = 2.

В одном кубическом километре миллиард кубических метров (1000 в длину, 1000 в ширину и 1000 в высоту). Если все их выложить в ряд, то получится полоса длиной в миллиард метров, т. е. в миллион километров.

Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Про­хор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все 60 коп. должен получить Прохор.

Ключ показывает, какие именно стрелки отходят из того места, где стоит буква, которую мы должны выбрать. В результате прочиты­вается слово КОМПЬЮТЕР.

Поскольку общий объём жидкости в стакане не изменился, значит, сколько из него вылили чая, ровно столько же добавили сливок. Следовательно, чая в кувшине со сливками оказалось ровно столь­ко же, сколько сливок в стакане чая.

Поскольку во дворце султана 4 наружных стены, по длине каждой из которых располагаются 10 комнат, и 18 внутренних перего­родок (9 продольных и 9 поперечных), каждая также длиной 10 комнат, можно определить число окон (10 х 4 = 40) и дверей (10 х 18 = 180).

184.

В первом кружке стрелку надо, безусловно, поставить на бук­ву Б — ибо на остальные буквы (Ъ и Ь) ни одно слово не на­чинается.

Во втором кружке стрелку надо поставить на букву А, так как из всех букв всех кружков это единственная гласная, а слов без гласных в русском языке не бывает.

Таким образом, найдены первые две буквы слова — БА. Для подбора двух последних букв существует 9 возможностей: каж­дой из трех букв на 3-е место соответствуют три возможные буквы на 4-е место. Перебрав все эти возможности, получим единственное осмысленное слово — БАНК.

185. Каждый шахматист сыграл по 5 партий (по одной партии с каждым участником турнира, естественно, кроме себя). Но сказать, что эти шесть шахматистов сыграли между собой 30 партий (т. е.

каждый из шести шахматистов по 5), будет неверно, потому что тогда каждую партию мы сосчитаем дважды: во-первых, как партию, сыг­ранную первым партнёром, а во-вторых — вторым. Так что всего было сыграно (6 х 5) : 2 = 15 партий.

Интересно, что как бы ни сыграл каждый конкретный участник тур­нира, общая сумма очков будет постоянной, поскольку она зависит только от количества игр. В каждой игре в сумме набирается одно очко (либо 1 + 0; либо 0,5 + 0,5; либо 0 + 1). Таким образом, всего в 15-ти партиях будет набрано 15 очков.

 

1

2

3

4

5

1

 

0

 

1

 

2

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

0

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

186. Для удобства перечислим все условия: а) каждый игрок сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков; б) занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; в) занявший 2-е место не проиг­рал ни одной партии; г) занявший 4-еместо не выиграл ни одной партии.

Из условий б) и в) следует, что партия между первым и вторым игроками закончи­лась победой второго. А из условий б) и г) следует,чтопартиямеждупервымичетвёр-тым закончилась победой первого. Можно заполнить часть турнирной таблицы.

 

1

2

3

4

5

1

 

0

1

1

1

2

1

 

0,5

0,5

0,5

3

0

0,5

 

 

 

4

0

0,5

 

 

 

5

0

0,5

 

 

 

Из этой таблицы видно, что первый игрок не может набрать больше 3 очков. А это значит, что второй игрок не может набрать больше чем 2,5 очка. Но он не может набрать и меньше чем 2,5 очка, поскольку за каждую из партий с третьим, четвёр­тым и пятым игроками он должен набрать не менее 0,5 очка. Всё это возможно толь­ко в случае, когда эти три игры (2—3, 2—4, 2—5) закончились с ничейным результатом.

Итак, второй игрок набрал 2,5 очка. От­сюда следует, что первый игрок набрал 3 оч­ка, т. е. выиграл все партии, кроме партии со вторым игроком. Заполним ещё часть таблицы.

Третий игрок не может набрать больше 2 очков (так как второй набрал 2,5), но он не может набрать и меньше 2 очков, поскольку даже если третий наберёт 1,5 очка, четвёртый — 1 очко и пятый — 0,5 очка, всё равно в сумме очков будет набрано слишком мало. Поскольку всего должно быть набрано 10 очков (см. решение задачи 52), а первые два

игрока набрали 5,5 очка, то оставшиеся три игрока должны в сумме набрать 4,5 очка. Значит, третий игрок набрал 2 очка.

Если третий набрал 2 очка, то на долю четвёртого и пятого остаётся 2,5 очка. Это возможно только в том случае, когда четвёртый набрал 1,5 очка, а пятый — 1очко.

Третий игрок набрал в двух играх 1,5 очка (т. е. всего он набрал 2 оч­ка, а в играх со вторым и первым — в сумме 0,5 очка). Это возможно, только если в одной из этих игр он набрал 1 очко, а в другой — 0,5.

 

1

2

3

4

5

1

 

0

1

1

1

2

1

 

0,5

0,5

0,5

3

0

0,5

 

0,5

1

4

0

0,5

0,5

 

0,5

5

0

0,5

0

0,5

 

Пятый игрок в двух играх набрал 0,5 очка. Это возможно, только если в одной игре он набрал 0,5 очка, а в другой — 0. Что же касается четвёртого игрока, то он должен в двух играх набрать 1 очко, т. е. ли­бо 1 и 0, либо 0,5 и 0,5. Но ведь, согласно условию, четвёртый игрок не выиграл ни одной партии, значит, случай «1и 0» невозможен.

Итак, за две игры третий игрок набрал 1 и 0,5 очка; четвёртый игрок — 0,5 и 0,5 очка; пятый игрок — 0,5 и 0 очков. Это возможно, только если третий выиграл у пятого, а все остальные игры закончились вничью. Те­перь можно составить окончательную таб­лицу.

Четыре последних игрока сыграли между собой 6 игр и набрали в этих иг-pax 6 очков. Это значит, что второй игрок не может получить меньше 6 очков. Но он не может набрать и боль­ше 6 очков, потому что тогда будет нарушено условие, что все набрали разное число очков. Если у второго 6,5 очка, значит, у первого не мо­жет быть 6,5. Однако у него не может быть и 7 очков, так как это означало бы, что первый игрок выиграл у всех, в том числе и у второго. Но тогда второй получит меньше, чем 6,5 очка.

Итак, второй игрок набрал ровно 6 очков. Это в свою очередь озна­чает, что последние четыре игрока все очки набрали в играх между собой, следовательно, любой из последних четырех игроков проиграл каждому из первых четырех. А это уже означает, что игра между тре­тьим и седьмым игроками закончилась победой третьего.

Нет, нельзя. Если бы это было возможно, то сумма всех чи­сел таблицы, подсчитанная «по строкам», была бы положительной, а « по столбцам» — отрицательной, что невозможно.

Как ни странно, можно.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вот некоторые соображения: раз во всех вертикалях фишек поровну, то общее чис­ло фишек кратно 8. Если в любых двух горизонталях разное число фишек, то фи­шек не меньше, чем 0 + 1 + 2 + ... + 7 = 28. Наименьшее число, отвечающее обоим тре­бованиям, будет 32, т. е. в каждой вертика­ли по 4 фишки. После небольшого перебора можно получить ответ (см. рисунок).

Нет, так быть не может. Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3. Пусть, для определённости, не делящееся на 3 число стоит в верхней строке. Сумма всех цифр в каждом столбце де­лится на 3. Значит, сумма всех цифр в таблице делится на 3. Вычтем из этой суммы сумму цифр 4-х чисел, стоящих в строках 2—5. Эта сум­ма делится на 3, поскольку все слагаемые (вычитаемые) делятся на 3. Но, с другой стороны, это и есть сумма цифр, стоящих в верхней строке. Пришли к противоречию, значит, предположение неверно.

Вот пример: +3, —4, +3, —4, +3. Хитрость в том, что сумма «немного отрицательна», а крайние числа «сильно положительны».

Эта задача допускает четыре разных ответа, которые зависят от расположения всадников в первый момент. Мушкетёры могли ехать:

а)         в разные стороны, навстречу друг другу; б) в разные стороны, уда-
ляясь друг от друга; в) в одну сторону — Атос за Арамисом; г) в одну
сторону — Арамис за Атосом. Соответственно и ответы:а) 11лье;

б)         29 лье; в)21 лье; г)19 лье.

За 5 мин брат пройдёт 1/8 пути. За каждую минуту я прохожу 1/30 пути, а брат — 1/40, т.е. за минуту я навёрстываю (1 /30 — 1/40) = 1/120 часть пути. А 1/8 я наверстаю, соответственно, за (1/8) : (1 /120) = 15 мин, т.е ровно на полпути до школы.

Поскольку нас интересуют только последние цифры резуль­татов, то достаточно определить, каковы последние цифры у чи­сел 91989  91992   21989 и21992

Число 9 при возведении в степень даёт два варианта последних цифр — 9 (если степень нечётная) и 1 (если степень чётная). Это значит, что 91989 имеет последнюю цифру 9, а 91992 — цифру 1.

Число 2 при возведении в степень может давать следующие по­следние цифры: 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 1 — последняя цифра будет 2; если остаток 2 — последняя цифра будет 4; остаток 3 — последняя цифра 8;

без остатка — последняя цифра 6. Это значит, что 21989 имеет последнюю цифру 2, а 21992 — цифру 6.

Положим в первую кучку две гирьки массой 101 г и 1 г, а во вторую — 100 г и 2 г; затем в первую две гирьки — 99 г и 3 г, а во вторую — 98 г и 4 г. Так будем действовать, пока не положим во вторую кучку гирьки в 84 г и 18 г. К этому моменту в каждой кучке будет лежать по 18 гирек. Теперь положим в первую кучку две гирьки массой83ги20г, авовторую— 82 г и 21 г.

Так будем продолжать до тех пор, пока во вторую кучку не придётся положить последнюю пару гирек массой 52 г и 51 г.

На вторую половину пути Буратино потратил ровно столько времени, сколько Пьеро на весь путь. А ведь сколько-то времени у Бу-ратино ушло и на первую половину пути. Так что победил Пьеро.

Буратино проехал на велосипеде полдороги, слез с него и даль­ше пошёл пешком. А Пьеро первую половину пути прошёл пешком, затем дошёл до велосипеда, сел на него и поехал. Таким образом они и сэкономили время.

Обозначим через s отрезок пути, который Буратино проехал от того момента, как проснулся, до конца. Тогда путь, который Буратино проспал, составит 2s. Всего же от момента, как Буратино заснул, он проехал путь 2s + s = 3s. Но известно, что это — половина всего пути. Значит, длина всего пути 6s. Поскольку же бодрствующим Буратино проехал путь 4s, то по отношению ко всему пути эта часть составит 4s _ 2

6s ~ 3'

Туристы могут действовать так: 1) два с меньшим весом са­дятся в лодку и переправляются на противоположный берег; 2) один из них пригоняет лодку обратно; 3) наиболее тяжёлый турист садится в лодку и переправляется; 4) второй лёгкий садится в лодку и пригоняет её назад; 5) два лёгких садятся в лодку и окончательно переправляются на нужную сторону.

Поскольку номер одного и того же вагона в субботу был мень­ше числа, а в понедельник равен ему, то очевидно, что суббота и поне­дельник принадлежат разным месяцам, т. е. понедельник — первое или второе число, а номер вагона — 1 или 2. Но номер вагона не может быть равен 1, поскольку номер места меньше номера вагона. Значит, Саша ехал в вагоне № 2 на месте № 1.

201. Для расшифровки этого отрывка можно воспользоваться ме­тодом, которым пользовался Шерлок Холмс, расшифровывая «пляшу­щих человечков».

В Алисиной записи буква а встречается 4 раза, е — 24, и — 11, й — 3, о — 8, у — 2, ы — 1, э — 3, ю — 1, я — 0. Отсюда, следуя методу Шерлока Холмса, можно предположить, что е — это О, и — это А. Значит, о — это Е, а — это //.Заменив эти буквы в тексте, получим:

«— бОрпА э йдОмгЕквэы, бАбОЕ-жикйпч звОлО, — збАсАв фАвмАу-кОвмАу пОлОвчжО дгЕсгИмЕвчжО, — ОжО ОсжАьАЕм мОвчбО мО, ьмО э цОьй, ьмОкю ОжО ОсжАьАвО, — жИ кОвчфЕ, жИ тЕжчфЕ». Здесь для удобства разгаданные буквы показаны заглавными, а зашифрованные строчными.

Из слова бАбОЕ первой строки сразу видно, что б — это К, а к — это Б.

Слово ОжО в третьей и четвёртой строках может быть толь-коОНО, ОБО или ОКО, при всех других значениях «ж» полу­чаем бессмысленный набор букв. Но К и Б мы уже определили, так что единственная возможность для ж — это Н.

4.         Заменим текст с учётом полученных пар Б — К и Ж — Н:

«— КОрпА э йдОмгЕБвэы, КАКОЕ-НиБйпч звОлО, — зКАсАв фАвмАу-бОвмАу пОлОвчНО дгЕсгИмЕвчНО, — ОНО оснАьАЕм мОвчКО мО, ьмО э цОьй, ьмОБю ОНО ОсНАьАвО, — НИ БОвчфЕ, НИ тЕнчфЕ».

Из последнего слова первой строки определяем сразу три пары букв Й — У, П — Д, Ч — Ь.

Слово мО в четвёртой строке может означать только ДО, НО, ПО или ГО.Нодля букв Д, Н, П уже определены пары, значит, м может быть только Т.

Снова заменим текст с учётом пар Й — У, П — Д, Ч — Ь, М — Т.

«— КОрДА э УПОТгЕБвэы, КАКОЕ-НИБУДЬ звОлО, — зКАсАв фАвТАЙ-бОвтАй ДОлОвЬНО ПгЕсгИТЕвЬНО, — ОНО ОсНАЧАЕТ ТОвЬКО ТО, ЧТО э цОЧУ, ЧТОБю ОНО ОсНАЧАвО, — НИ БОвЬфЕ, НИ МЕНЬфе».

Из первого слова первой строки сразу определяется пара Р — Г.

Из первого слова четвёртой строки — пара В — Л.

Из последнего замечания с учётом первого слова второй строки получаем пару 3 — С.

Подставив пары Р — Г, В — Л и С — 3 в текст, получаем:

«— КОГДА э УПОТРЕБЛэы, КАКОЕ-НИБУДЬ

СЛОВО, — СКАЗАЛ фАЛТАЙ-БОЛТАЙ ДОВОЛЬНО ПРЕЗРИТЕЛЬНО, — ОНО ОЗНАЧАЕТ

ТОЛЬКО ТО, ЧТО э цОЧУ, ЧТОБю ОНО ОЗНАЧАЛО, — НИ БОЛЬфЕ, НИ меньфе».

12.       Из этого текста уже совсем легко определяются пары Э — Я,
Ы — Ю, Ф — Ш, Ц — X, а весь текст полностью выглядит так:

«— КОГДА Я УПОТРЕБЛЯЮ, КАКОЕ-НИБУДЬ

СЛОВО, — СКАЗАЛ ШАЛТАЙ-БОЛТАЙ ДОВОЛЬНО ПРЕЗРИТЕЛЬНО, — ОНО ОЗНАЧАЕТ

ТОЛЬКО ТО, ЧТО Я ХОЧУ, ЧТОБЫ ОНО

ОЗНАЧАЛО, — НИ БОЛЬШЕ, НИ МЕНЬШЕ».

Известный венгерский математик Д. Пойа в таких случаях предлагал смотреть на условие задачи до тех пор, пока решение само не придёт в голову.

Последовав этому методу и присмотревшись к напечатанному усло­вию задачи, можно заметить, что в зашифрованной фразе и фразе, пред­шествовавшей ей, все гласные буквы совпадают, а согласные — рас­пределены по парам и каждая буква из пары заменяет другую из той же пары. Это значит, что здесь зашифрована первая фраза условия задачи.

У нас есть 70 мерседесов и 30 других машин. По условию, рядом с мерседесом может стоять либо мерседес того же цвета, ли­бо другая машина. Чем больше мерседесов будут стоять парами, тем меньше понадобится других машин. Но пар мерседесов 35, а на их «окружение» понадобится 33 другие машины. Если мерседесы стоят не обязательно парами, то других понадобится ещё больше. Но других машин по условию всего 30, значит, поставить можно только 32 пары. То есть должны рядом стоять три одинаковых мерседеса.

Для того чтобы заварить 57 стаканов, необходимо иметь не меньше чем (57 : 3) и не больше чем (57 : 2) пакетиков, т. е. не мень­ше 19 и не больше 28 пакетиков. Для того чтобы заварить 83 стакана, необходимо иметь не меньше чем (83 : 3) и не больше чем (83 : 2) пакетиков, т. е. не меньше 28 и не больше 42 пакетиков. Поскольку

пакетиков было одинаковое количество, то единственный возможный ответ: 28 пакетиков.

1

11

21

31

51

41

71

61

81

91

101

111

131

121

151

141

Поскольку у каждого ребёнка по 3 карточки, а надписей все­го 2, то обязательно 2 надписи должны совпадать, т. е. каждый может написать либо МАМА (таких детей 20), либо НЯНЯ (таких детей 30). Значит, всего детей 50. Но если у ребёнка все три карточки одинаковы, то он не сможет написать слово МАНЯ (а таких было 40). Значит, три одинаковые карточки у 50 — 40 = 10 детей.

Достаточно нанести промежуточные деления в точках 1 см, 3 см, 7 см. Тогда у нас образуются 4 отрезка: 1 см, 2 шт. по 2 см и 4 см. Нетрудно убедиться, что такой линейкой можно измерять расстояния от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

Такой квадрат составить нельзя, поскольку его периметр дол­жен быть 50 см, т. е. стороны не являются целыми числами.

Это сделать можно. Один из вари­антов ответа приведён в таблице.

Сейчас в предложении двадцать букв. Это значит, что мы должны вставить число не менее 20, что добавит, как ми­нимум, 8 букв. Но если мы вставим числа 28 или 29, предложение не станет истинным. Значит, искомое число не менее 30, что добавляет, как минимум, те же 8 букв. Перебрав все числа от 31 до 39 (и не забы­вая обокончании), получим единственный ответ «В этом предложении тридцать две буквы».

Если первая буква была a, а вторая — Ь,то третьябудет (a + b), четвёртая — (a + 2b), пятая — (2a + 3b), шестая — (3a + 5b). Нам надо подобрать максимальное возможное значение a^k^u при этом шестая цифра оставалась «цифрой», т. е. чтобы выполнялось неравенство 3a + 5b < 10. Это возможно при a = 3, b = 0, т. е. искомое число будет 303 369.

Казалось бы, эта задача очень похожа на предыдущую, однако решение совсем другое. Число будет тем больше, чем больше в нём цифр. А всего цифр будет тем больше, чем меньше первые две цифры. Проверим. Если первые цифры 1 и 0, то получаем 10112 358. Если первые цифры будут 1 и 1, то получим 112 358, если 2 и 0, то получим 202246. Итак, искомое число 10112 358.

Поставим в 1-йвершине число х,во 2-йпоставим1 — х,в3-й поставим 1 + х,в4-йпоставим 2 — х,в5-йпоставим2 + x. Тогда при

любых значения x суммы чисел на четырех сторонах составят, соответ-ственно,1,2,3,4.Чтобысуммачиселна5-й стороне была равна 5, надо подобрать x из условия x + (2 + x) = 5. Отсюда x = 1,5. Следо­вательно, в вершинах надо поставить, соответственно, числа 1,5; —0,5; 2,5; 0,5; 3,5.

Те 100 фунтов, которые остались, составляют (100 — 10)%, т.е. 90%. Значит, 100 ф. есть 9/10. Отсюда можно найти исход­ное количество зёрна A. A = 100 ф.х10/9. Отсюда A = 1000/9 ф. или 111 + 1/9 ф. Действительно, (9/10) х (111 + 1/9) ф. = (9/10) х

х (1000/9) ф. = 100 ф.

Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 ми­нут 40 секунд заменим на 6 + 2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд заменим на 13 + 1/3, или 40/3. Тогда за одну минуту холодной водой заполнится 3/20 ванны, горячей — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны. Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) — (3/40), т. е. (1 /5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.

Рассмотрим суммы чисел не по строкам, а по столбцам. Две последовательные цифры в столбцах дают в сумме 10, значит, сумма цифр в любом столбце будет 30. А всего столбцов 15. Значит, сумма всех цифр равна 450.

Поскольку на всю поездку (туда и обратно) «Москвич» потра­тил на 20 мин меньше, то на путь только в одну сторону он потратил на 10 мин меньше. Значит, встреча «Москвича» с грузовиком состоя­лась за 10 мин до предполагавшегося по расписанию времени посадки самолёта. Самолёт же приземлился за 30 мин до встречи грузовика с « Москвичом», т. е. на 40 мин раньше установленного в расписании времени.

За один месяц ребята собрали денег в пять раз меньше, чем за пять месяцев, т. е. 9937 р. Эта сумма является произведением чис­ла учеников на ежемесячный взнос каждого из них. Число 9937 может быть представлено в виде двух сомножителей только двумя способа­ми: 9937 = 9937 х 1 = 19 х 523. Но учеников не может быть ни 9937, ни 523, ни 1. Следовательно, единственный вариант ответа: 19 школь­ников ежемесячно вносили по 523 р.

Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смо­ленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпа­ли бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинать­ся во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц —

февраль, а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, во Пскове — 1 марта, во Владимире — 8марта.

219.     На примере расшифровки названия первого города покажем
способрассуждений:

Первая буква либо Б (2), либо У (21).

Варианты для вторых букв: БА (21), БК (212), УБ (212), УФА (21221). Итак, возможный ответ — УФА, проверим, нет ли других.

Варианты для третьих букв: БАБ (212), БАФА (21221), БКБА (21221), БКУ (21221), УБУ (21221), УББА (21221).

Следующие варианты: БАББА, БАБУ.

Таким образом, мы выяснили, что поезд идёт из Уфы, а куда — вы сможете определить сами, рассуждая аналогично. При этом должно получиться название города БАКУ.

Если Петя вернётся домой за ручкой, то на весь путь он по­тратит на 3 + 7 = 10 мин больше, чем потратил бы, если бы не возвра­щался. Это значит, что путь от того места, где он вспомнил про ручку, до дома и обратно занимает 10 мин. Следовательно, Петя вспомнил про

ручку в 5 мин ходьбы от дома, т. е. он прошёл - пути.

Если письма вынимают 5 раз в течение указанного времени, то интервалов будет 4, т. е. продолжительность одного интервала со­ставит 3 часа.

Сколько бы ни стоили спички, общая сумма, которую должен заплатить Билл, должна делиться на 3: цена бутылки делится на 3, и цена шести коробков спичек тоже делится на 3, даже если цена од­ного коробка на 3 не делится. Бармен, однако, назвал общую сумму, не кратную 3. Значит, сумма была подсчитана неверно.

Представим себе, что между каждыми двумя друзьями про­тянута ниточка. Тогда каждый из 35 учеников будет держать в руке 11 концов ниточек, и значит, всего у протянутых ниточек будет 11 х х 35 = 385 концов. Но общее число не может быть нечётным, так как у каждой ниточки 2 конца.

Общая сумма возрастов 11 игроков равна 11 х 22 = 242. По­сле того как один игрок ушёл, эта сумма стала 10 х 21 = 210. Вычислив разницу, получим, что ушедшему игроку было 32 года.

Три раза подряд через каждые полчаса по одному удару часы будут бить только в 12:30, 13:00, 13:30. Четвёртый же раз один удар

можно услышать, «захватив» последний из 12-ти ударов в 12:00. Таким образом, когда хозяин входил в кабинет, часы показывали 12:00.

«То» да «это», да половина «того» да «этого» — это полто­ра «того» да «этого», что в 2 раза больше трех четвертей «того» да «этого», т. е. составляет от них 200%.

Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет.

При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет оди­наковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую — столько насто­ящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тя­желее.

Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино убе­рёт с весов лёгкую кучку, а монеты из тяжёлой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, пред­варительно добавит к ним одну настоящую монету) . Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее.

Поскольку после каждой игры одна команда выбывает, то все­го было сыграно 74 матча.

а) 71; чтобы получить очередное число, надо умножить преды­дущее на 2 и вычесть порядковый номер предыдущего числа. б) 17; чтобы получить следующее число, надо умножить предыдущее на 2 и вычесть 1. в) 11 и 14; на чётных местах расположена последователь­ность 10, 11, 12, 13, ... , а на нечётных местах — последовательность 8, 9, 10,... .г) 17; каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

Определим сначала такие вопросы, на которые все, находя­щиеся в данный момент в стране А, ответят одинаково, а затем среди этих вопросов выберем такие, на которые в стране Я ответят тоже оди­наково, но по-другому.

Итак, находясь в стране честных людей, Алиса должна задать та­кой вопрос, на который и честный местный житель, и приезжий лгун дали бы один и тот же ответ, например «да». Смысл в том, чтобы ответ « да» на этот вопрос был для местного правдой, а для приезжего лгу­на — ложью. Иными словами, этот вопрос должен относиться к таким

обстоятельствам вопрошаемого, которые верны лишь для местных жи­телей. Таких обстоятельств два: наличие честности и принадлежность к числу местных жителей. Поэтому и вопросов два: либо «Вы чест-ный?»,либо «Вы местный?». На любой из этих вопросов в стране А всегда ответят «да». Но на первый вопрос: «Вы честный?» ив стране Я, как и повсюду в мире, тоже любой ответит «да». Поэтому первый во­прос Алисе не подойдёт, а вот второй («Вы местный?») — годится: встранеА на него всегда ответят «да»,австранеЯ — «нет».

Что бы вы ни собирались зажечь — свечу, керосиновую лампу или печь, — всё равно начать придётся со спички.

Как и в задаче 230, вопрос должен относиться к такому об­стоятельству, которое верно по отношению к одному из мальчиков (на­пример, Феде) и неверно по отношению к другому. Таких обстоятельств, по условиям задачи, два: имя и честность. Поэтому и вопросов в про­стейшем виде может быть два: «Ты всегда говоришь правду?» или: «Те-бязовут Федя?» При желании любой из этих вопросов можно услож­нять до бесконечности, например: «Твой друг говорит правду?»,или «Твоего друга зовут Федя?»,или«Ты честнее твоего друга?» ит.п.

Любопытно сравнить вопросы: «Ты честнее Вадима?» и «Ты чест­нее Феди?» На первый из них мальчики ответят одинаково — «да», а на второй — по-разному, ибо Федя не может быть честнее самого себя и, как честный человек, признает это.

Второй ответ Ильи отличается от первого, значит, что-то из­менилось. Вопрос не менялся. Что же могло измениться, кроме во­проса? Только ситуация, в которой этот вопрос был задан. Поскольку в условии задачи ничего не сказано ни о местности, ни о личности задававшего, ни о температуре воздуха и т. д., то к свойствам ситу­ации, в изменении которых можно убедиться, относятся, во-первых, число вопросов, уже заданных Илье, и, во-вторых, время. Стало быть, возможных вопросов два: «Сколько вопросов я тебе уже задавал?» и «Который час с точностью до секунды?» Если же мы позволим себе пользоваться свойствами ситуации, не участвующими в условии зада­чи, то объяснений различия в ответах можно придумать сколько угодно. Например, один и тот же вопрос: «Я — мужчина?» ему задали сначала папа, а потом — мама.

В начале было n/6 детей, у которых в руках было поровну флажков, и 5n/6 детей, у которых не поровну. Допустим, что в нача­ле у n/2 + a детей в одной руке было ровно на один флажок меньше, чем на другой. Тогда после перекладывания у этих n/2 + a детей будет

неравное количество флажков в руках, да и у тех n/6 детей, у которых в начале было поровну, тоже будет не поровну. Значит, всего не поровну будет (n/2 + a) + n/6 > 2/3. Мы пришли к противоречию, которое до­казывает, что в начале менее чем у половины детей в одной руке было ровно на один флажок меньше, чем в другой.

В банке может быть только квас, ибо из условия следует, что там не лимонад, не вода и не молоко. В чашке — лимонад, так как известно, что там не молоко, не вода и не квас. Поскольку в стакане не молоко, не квас, не лимонад — значит, вода, а в кувшине — то, что осталось, т. е. молоко.

Конечно, верно. Наташа собрала грибов больше, чем Алёша, аИра— не меньше, чем Витя.

Четыре мушкетёра могут тремя различными способами раз­биться на пары. Если мы заменим каждого мушкетёра номером его места в соревновании, то пары эти будут выглядеть так: (1, 2)—(3, 4), (1,3)—(2, 4), (1,4)—(2, 3).

Понятно, что в первых двух случаях обязательно победят первые пары (в первом случае очень легко, во втором — труднее), а в тре­тьем исход поединка может быть любым (в нашем случае это оказалась ничья) .

Следовательно, 1-еи2-е места заняли д'Артаньян и Портос, 1-е и3-е — Портос и Атос, а 2-еи 4-е — д'Артаньян и Арамис. Отсюда уже сразу следует, что по силе мушкетёры распределяются так: Портос, д'Артаньян, Атос, Арамис. Причём это можно определить, даже не ис­пользуя результат третьего поединка (Портос и Арамис против Атоса ид'Артаньяна).

Заметим следующее: кубик, стоящий в центре, соприкасается с шестью кубиками; кубики, стоящие в вершинах, — с двумя; а кубики, стоящие на сторонах треугольника, — с четырьмя. Отсюда сразу можно заключить, что при новой перекладке кубик из центра может попасть только в вершину, а в центр, наоборот, — только из вершины.

Для определённости, пусть в центр попадёт кубик 1, а кубик 5 — в верхнюю вершину. Тогда на место кубиков 2 и 3 могут лечь только кубики 7 и 10, поскольку остальные кубики уже соприкасались с ку­биком 5 (рис. 238.1). В нижние вершины должны лечь кубики 2 и 3. Расположение остальных кубиков определим перебором. Окончатель­ный вариант показан на рис. 238.2.

Заметим, что уже имея одно решение, можжно получить ещё несколько. Во-первых, пирамиду можно поворачивать на 120°,что

даст ещё два решения. Во-вторых, её можно симметрично отражать относительно медианы верхней вершины — при этом число решений удваивается. Кроме того, напомним, что в самом начале в качестве центрального кубика мы взяли 1, хотя могли взять 1, 7 или 10, и это даст утроение общего количества ответов. Таким образом, из приве­дённого на рис. 238.2 решения можно получить ещё 17.

Поскольку 10 воробьёв склёвывают больше 1100 зёрнышек, то 9 воробьёв будут склёвывать больше чем (1100: 10) х 9 = 990 зёр­нышек. При этом известно, что 9 воробьёв склёвывают меньше чем 1001 зёрнышко. Единственное делящееся на 9 число в промежутке от 991 до 1000 — это 999. Значит, 9 воробьёв склёвывают 999 зёр­нышек, а 1 воробей — 111 зёрнышек.

Если цифру 2 в числе 102 передвинуть вверх, на место показа­теля степени, то исходное равенство примет вид 101 — 102 = 1ибудет верным.

Это невозможно: ведь если нечётно произведение, значит, нечётны все четыре сомножителя. Но тогда сумма этих четырех сомно­жителей — чётное число.

Каждый раз число добавляемых точек на 1 меньше, чем число тех, которые были. Значит, общее количество точек будет нечётным.

Проверим, нет ли среди наших палочек пар одной длины и раз­ного цвета. Если есть — отложим эти пары в сторону, если нет — выберем самую короткую палочку. Теперь возьмём любую палочку дру­гого цвета и отпилим от неё палочку такой же длины, как первая. Две одинаковые по длине, но разные по цвету палочки отложим в сторону, а оставшийся после отпиливания кусочек приложим к оставшимся па­лочкам. Теперь их будет уже меньше, но при этом сумма длин красных палочек останется равной сумме длин синих. Повторив предыдущую операцию несколько раз, в конце концов распилим палочки на пары, в которых длины совпадают, а цвета отличаются, что и требуется.

Можно поступить по-другому. Сложим из синих палочек синюю палку общей длиной 30 см, а из красных — красную палку длиной 30 см. Теперь на синей палке сделаем разрезы в тех местах, в которых они есть на красной, а на красной палке — в тех местах, в которых они есть на синей. Тогда красная и синяя палки будут разрезаны на палочки попарно равной длины.

244.     Поскольку скорость Толи составляет — от скорости Серёжи,

то к моменту, когда финишировал Антон, Толя пробежал т-г расстояния,

9 10 прёодолённого Серёжей, т. е. 90 х — =81 м. Значит, к этому моменту

Толя отставал от Антона на (100 — 81) = 19 м.

У Вали туфли не синие (по условию) и не красные (красные — у Маши), следовательно, у Вали белые туфли; у Нади, таким образом, оставшиеся синие. Это в свою очередь означает, что у Нади — синее платье (по условию, цвета туфель и платья у Нади совпадают). То­гда у Вали — красное платье, а у Маши — белое (поскольку у них по условию туфли и платья разного цвета, причём не синего, так как всё синее — на Наде). Итак: у Нади туфли и платье синего цвета; у Вали туфли белые, платье красное; у Маши туфли красные, платье белое.

Да, обязательно. Если бы монет каждого из четырех типов было не более 6, то всего монет было бы не более 6 х 4 = 24, а их 25.

Сумма двух чисел, стоящих у вершины и у противоположной стороны, равна сумме трех чисел, стоящих у трех вершин. Поскольку эта сумма неизменна, то и сумма числа, стоящего у вершины, и чис­ла, стоящего у противоположной стороны, будет постоянна для любой вершины треугольника.

Если комнат 55, а букетов 60, то, чтобы соблюсти условия за­дачи, не больше 5 комнат могут получить более одного букета. Но таких комнат 6. Значит, комнат должно быть не больше 54, т. е. 55 никак быть не может.

Да, любую. Если эта сумма кратна 3 (наименьшее возможное число 9), используем только 3-рублёвые купюры. Если при делении на 3 она даёт остаток 1 (наименьшее возможное число 10), то берём две 5-рублёвые купюры, остальное доплачиваем 3-рублёвыми. Если же при делении на 3 сумма даёт остаток 2 (наименьшее возможное число 8), то берём одну 5-рублёвую купюру, остальное доплачиваем 3-рублё­выми.

Для удобства перечислим все условия: 1) матросу 20 лет; 2) в команде шесть человек; 3) рулевой вдвое старше юнги; 4) руле­вой на 6 лет старше машиниста; 5) юнге и машинисту в сумме в два раза больше лет, чем боцману; 6) боцман на 4 года старше матроса; 7) средний возраст команды 28 лет.

Из условий 2 и 7 следует, что сумма возрастов всех членов команды (28 х 6) = 168 лет. Из условий 1 и 6 следует, что боцману 24 года. Отсюда и из условия 5 следует, что юнге и машинисту вместе 48 лет. Отсюда и из условий 3 и 4 мы можем определить возраст юнги и ма­шиниста:

\Ю + М = 48, \2Ю = М + 6,

здесь Ю — возраст юнги, М — машиниста. Решив эту систему уравне­ний, определим, что юнге 18 лет, а машинисту — 30. Отсюда и из усло­вий 3 и 4 следует, что рулевому 36 лет.

Зная возраст пяти членов команды и сумму возрастов всех шесте­рых членов команды, можем определить возраст капитана: К = 168 — — (20 + 24 + 18 + 30 + 36) = 40. Итак, капитану 40 лет.

Поскольку число школьников, получивших ту или иную оцен-ку,всегдацелое,тодлярешениязадачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным воз­можным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14 — четвёрки; 21 — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.

Джо может, например, спросить: «Что быВымне ответили вчера на вопрос, какой стул неисправен?» И независимо от того, гово­рит ли сегодня стражник правду или ложь, ответ на это вопрос всегда будет неверным.

Интересно, что, если Джо в этом вопросе вместо слова «вчера» ис­пользует «позавчера», т. е. спросит: «Что бы Вы мне ответили позавче­ра на вопрос, какой стул неисправен?», ответ всегда будет правдивым, независимо от того, говорит ли стражник правду сегодня или говорил её вчера.

254. Обозначим вес рюкзака — Р,вес чемодана — Ч,вес сакво­яжа — С, вес корзины — К. Тогда условия задачи можно записать в таком виде: 1) Ч > Р;2) С + Р > Ч + К;3) К + С = Ч + Р. Из усло­вий 1) и 2) следует, что С > К. Действительно, если бы выполнялось условие К > С, то с учётом этого и условия Ч > Р, получилось бы, что

К + Ч > С + Р, а это противоречит условию 2). Из условий 2) и 3) сле­дует, что 2С + Р + К > 2Ч + Р + К,или С > Ч.Но, если С > Ч, то усло­вие 3) может выполняться только при Р > К. Таким образом, нам известно, что Ч > Р, С > К, С > Ч, Р > К. Выполнение всех четырех неравенств возможно только в случае, когда С > Ч > Р > К.Следо-вательно, самой тяжёлой вещью является саквояж, несколько легче чемодан, ещё легче рюкзак, а самая лёгкая — корзина.

Поскольку мы меняем знаки каждый раз в восьми клетках, то произведение всех чисел в таблице не меняется. А раз в начале оно было равно —1, то +1 оно никогда быть не сможет.

Эта площадь равна 0. Подумайте, почему.

Произведение любой последовательности чисел, среди кото­рых есть числа, оканчивающиеся на 5, будет заканчиваться либо на 0 (если в последовательности есть хотя бы одно чётное число), либо на 5 (если все числа нечётны) . У нас в обоих случаях отсутствуют чётные числа, но есть числа, оканчивающиеся на 5, поэтому последней в обоих произведениях будет цифра 5.

Если мы спросим: «Что ответит твой брат на вопрос: „Ты Ва­ся?"» — то в ответ всегда услышим неправду, так как будет либо ложно передан истинный ответ, либо истинно — ложный. Вася скажет «да», аВаня— «нет».

После первого вычёркивания останутся лишь те цифры, пер­воначальные номера которых чётны, после второго — те, чьи перво­начальные номера делились на 4, после третьего — на 8 и т. д. Перед последним вычёркиванием останется цифра, первоначальный номер ко­торой равен наибольшей возможной степени 2, т. е. равен 64. Это циф­ра 4.

Поскольку речь идёт не о линейных размерах, а о площади, то и число людей надо уменьшить не в 1 000 000, а в 1 000 0002,т.е. в триллион раз.

Сначала постараемся понять, почему в стандартном наборе домино именно 28 косточек. Для этого нарисуем табличку из косточек.

Здесь на каждой косточке первая цифра соответствует номеру ряда (начиная нумерацию с нуля), а вторая — номеру столбца, в кото­ром эта косточка находится. Вдоль каждой стороны расположены семь косточек. Значит, всего их здесь 7 х 7 = 49. При этом все «дубли» встречаются по одному разу, а все «не дубли» — по 2 раза. «Дуб­лей» всего 7 (от 0—0до6—6), следовательно, «не дублей» вобычном домино (49 — 7) : 2 = 21. А всего косточек в наборе 7 + 21 = 28.


0 0

 

3

10

ш

3

2 0

m

3

3 0

s

3

4 0

и

3

5 0

@

3

6 0

6

3

 

 

0

2

0

3

0

3

0

3

0

3

 

к

2

П

з]

п

 

п

3

п

6

 

2

2

2

з]

2

 

2

3

2

6

 

3

2

3

3

3

 

3

3

3

6

 

и

2

И

3

И

3

и

3

и

6

 

5

2

5

з]

5

3

5

3

5

6

 

6

2

6

1

6

3

6

3

6

3

 

Если все номера будут изменяться не от 0 до 6, а от 0 до 12, то «дуб­лей» будет 13, рядов косточек в табличке — по 13, и общее число « не дублей» составит (13 х 13 — 13) : 2 = 78. Всего же косточек, т. е. «не дублей» вместе с «дублями»,будет(78+ 13) = 91.

У Володи сначала было в 3 раза больше орехов, чем у Павли­ка, — это следует из того, что, когда Павлик получил от Володи столько орехов, сколько у него уже было, у мальчиков стало их поровну. Итак, число орехов у Володи было кратно 3. Но после того, как он отдал часть орехов Павлику, число его орехов всё равно осталось кратно 3 — иначе он не смог бы их разделить поровну между тремя белками. А это в свою очередь значит, что Володя отдал Павлику 3 ореха.

а) Рассмотрим произведение простых чисел от 2 до 11. Оно равно 2310. Теперь рассмотрим числа 2312—2321. Среди этих десяти чисел нет ни одного простого числа. Действительно, чётные числа де­лятся на 2, числа 2313 и 2319 делятся на 3, 2315 делится на 5, 2317 —

на 7, 2321 — на 11.

б)         Непосредственной проверкой можно убедиться, что все числа
от 2312 до 2332 — составные, а 2333 — простое. Значит, в интервале
от 2325 до 2334 ровно одно простое число.

в)         В интервале от 30 до 39 два простых числа.

г)         В интервале от 22 до 31 три простых числа.

д)         В интервале от 10 до 19 четыре простых числа.

е)         В интервале от 2 до 11 пять простых чисел.

Среди десяти последовательных натуральных чисел (больших 5), обязательно пять чётных, а из нечётных одно кратно 5. Это значит, что среди десяти последовательных чисел простыми могут быть не более

четырех чисел. В интервале от 2 до 11 простых чисел больше, потому что это единственный интервал, в котором числа, оканчивающиеся на 2 и5, — простые.

264.     В первый день Вася прочёл ^, во второй день ^ от ^1 — ^

т. е. -L Следовательно, за первые 2 дня Вася прочёл     + ^) = f книги;

значит, в третий день он прочёл оставшуюся ^ книги, т. е. успел за 3 дня прочесть всю книгу.

Обозначим число, задуманное Лёней, через х.Тогда можно составить уравнение

{[ ((x + 5):3) - 4] - 6} :7 = 2.

Перенеся последовательно все числа из левой части в правую, получим
новое уравнение       {[         ] }

x = { [((2 х 7) + 6): 4] х 3} - 5,

из которого легко определяем, что x = 10. Отсюда, кстати, видно, что для определения задуманного числа (которое мы обозначили через x) нужно с полученным Лёней числом (т. е. с 2) проделать обратные дей­ствия в обратном порядке.

Возьмём монеты достоинством 1, 1, 3, 5, 10, 10, 20, 50 коп. Покажем, как при помощи этих монет можно заплатить сумму от 1 до 10 коп.: 1 = 1;2 = 1 + 1;3 = 3;4 = 3 + 1; 5 = 5; 6 = 5 + 1; 7 = 5 + 1 + + 1; 8 = 5 + 3; 9 = 5 + 3 + 1; 10 = 5 + 3 + 1 + 1. Теперь покажем, как заплатить 10, 20, 100 коп.: 10 = 10; 20 = 20; 30 = 20 + 10; 40 = 20 + + 10 + 10; 50 = 50; 60 = 50 + 10; 70 = 50 + 20; 80 = 50 + 20 + 10; 90 = = 50 + 20 + 10 + 10; 100 = 50 + 20 + 10 + 10 + 5 + 3 + 1 + 1. Следова­тельно, располагая указанным набором монет, можно заплатить любую сумму от 1 коп. до 100 коп. Например, чтобы заплатить 78 коп., надо отдельно использовать возможность заплатить 70 коп. и 8 коп.

Таких чисел девять: 19, 28, 37, ...91.

Первая цифра телефона равна количеству букв в фамилии, а три оставшихся — порядковым номерам в алфавите первой и по­следней букв фамилии. Отсюда следует, что телефон Огнева — 5163.

Делаем два взвешивания. Первое — на одной чашке весов монеты в 2 коп. и 3 коп., на другой — в 5 коп. Второе — на одной чашке весов монеты в 1 коп. и 2 коп., на другой — в 3 коп. При этом возможны четыре варианта.

Если вдруг все монеты небракованные — весы оба раза будут в равновесии.

Если бракованной окажется монета в 1 коп. — при первом взве­шивании весы будут в равновесии, при втором — нет.

Если бракованной окажется монета в 5 коп. — второй раз весы будут в равновесии, первый раз — нет.

Если оба раза весы не будут в равновесии, то бракованной ока­жется монета либо в 2 коп., либо в 3 коп. Тогда результат первого взвешивания покажет нам, тяжелее или легче бракованная мо­нета, чем настоящие, а результат второго взвешивания определит эту монету.

Отвешиваем 12 кг гвоздей и откладываем их в сторону. От оставшихся 12 кг отвешиваем 6 кг и откладываем их в другую сторону. От оставшихся 6 кг отвешиваем 3 кг и соединяем их с отло­женными 6 кг. Получаем искомые 9 кг гвоздей.

Вес бидона равен разности между удвоенным весом бидона, наполненного до половины (т. е. вес содержимого + удвоенный вес би­дона), и весом полного бидона (т. е. вес бидона + вес содержимого). Значит, вес бидона 1 кг.

Женя сможет определить цвет своей шапки, только если и на Лёве и на Грише будут надеты белые шапки. Поскольку он не на­звал цвет своей шапки, значит, на Лёве и Грише либо обе шапки чёрные, либо — одна белая, другая чёрная. Если бы на Грише была белая шапка, то Лёва, услышав ответ Жени, мог бы точно сказать, что на нём — чёрная. А раз он этого не сказал, значит, Гриша может быть уверен, что на нём надета чёрная шапка.

Из 100 л молока получится 15 кг сливок, а из 15 кг сливок — 4,5 кг масла.

Чисел, содержащих не более трех цифр, — 999 (от 1 до 999). Из них 99 содержат менее трех цифр, а остальные 999 - 99 = 900 — ровно три цифры.

Разрежем квадрат по диагонали. Один из тре­угольников отложим в сторону. Теперь на какие бы тре­угольники мы ни разрезали второй треугольник, условие задачи будет выполнено. Один из возможных вариантов приведён на рисунке.

Если бы кормили только собак, понадобилось бы 10 х 6 = 60 галет. Лишние 4 галеты понадобились бы потому, что собака съедает

на одну галету больше, чем кошка. Это значит, что кошек было 4, а со­бак, соответственно, 6.

Один из двоих — Дима или Андрей — явно говорит неправду (их слова противоречат друг другу). И Игорь тоже говорит неправду, так как в противном случае неправду говорили бы трое (Никита, Глеб и либо Дима, либо Андрей), а по условию задачи неправду говорят только двое. Это означает, что и Никита и Глебоба сказали правду. Следовательно, пирог испёк Игорь.

Очевидно, что чем больше флажков справа от первоклассни­ка, тем «левее» его место в шеренге. Справа от Максима кто-то стоит (иначе справа от него не было бы флажков) . Но все, кроме Даши, на­верняка стоят левее Максима. Значит, справа от Максима стоит Даша идержит8флажков.

Сумма написанных чисел нечётна (она равна 21). За каждый ход эта сумма увеличивается на 2, т. е. всегда остаётся нечётной. А сум­ма шести равных чисел всегда чётна. Это значит, что сделать числа равными невозможно.

Из того, сколько заплатил первый ковбой, можно узнать, сколько стоят 8 сандвичей, 2 чашки кофе и 20 пончиков. А из того, сколько заплатил второй ковбой, можно узнать, сколько стоят 9 санд­вичей, 3 чашки кофе и 21 пончик. Разность этих сумм даст как раз стоимость сандвича, чашки кофе и пончика, а именно 40 центов.

Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедель­ник, ни на пятницу, поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января получатся пятой пятницей или пятым понедельником в месяце. Наше условие может быть выполнено, только если 1, 2 и 3 января придут­ся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января — вторник.

Если бы в каждом месяце родилось не более трех учеников этого класса, то в классе не могло бы учиться больше, чем 3 х 12 = 36 учеников, а их по условию 38.

4>

283.     Если от шнурка отрезать j, останется как раз 50 см. Действи-

2    / 2     1 \ 1 тельно,--(-х-)=-

Когда 8 белых одуванчиков облетели, на лужайке осталось 27 одуванчиков — 18 жёлтых и 9 белых. Значит, вначале на лужай­ке росли 18 + 2 = 20 жёлтых и 9 + 8 — 2 = 15 белых одуванчиков.

Все семьи города можно условно представить в виде цепочек, в которых после каждой семьи будет стоять та, в дом которой семья

переехала. Все эти цепочки будут замкнутые (может быть, будет всего одна цепочка) . В цепочках, в которых представлено чётное число семей, будем красить дома попеременно в синий и зелёный цвета — тогда каждая семья переедет из синего дома в зелёный или наоборот. А в тех цепочках, где число семей нечётно, покрасим один дом в красный цвет, а оставшееся чётное число домов — попеременно в синий и зелёный. Тогда все дома будут покрашены с выполнением требований задачи.

В первой табличке на каждой строке в первом столбце сто­ит основание степени, в третьем — показатель степени, во втором — результат возведения в степень. Таким образом, недостающее число 49.

Вторая табличка построена по-другому: в ней собраны пары равных

чисел, но один раз число записано в виде десятичной дроби, другой

раз — в виде обыкновенной. Таким образом, здесь лишнее число у^-

Поскольку суммы любых трех, последовательно записанных по кругу чисел равны между собой, то каждые третьи числа равны между собой. Рассмотрим два случая: а) количество записанных чисел не кратно 3; б) количество записанных чисел кратно 3.

В первом случае все числа будут равны между собой, а во втором — сумма их будет кратна 3. Второй случай невозможен, так как 37 на 3 не делится. В первом случае единственная возможность — записать по кругу 37 единиц.

Черноволосым был не мастер (так как мастер подтвердил его слова). Это значит, что черноволосый — Рыжов. Седов тогда может быть только рыжим, а кандидат в мастера Чернов — седым.

Заранее было определено 5 выстрелов, остальные 12 Гена за­служил попаданиями в цель — по 2 выстрела за каждое. Значит, по­паданий было 6.

Номер билета — 99999. Если бы в билете были хотя бы две неравные цифры, то их можно было бы поменять местами и сосед не смог бы наверняка решить задачу. Если же все цифры равны, но меньше 9, всегда есть возможность одну цифру увеличить на 1, другую — уменьшить, т. е. имеется дополнительный вариант решения. И только в случае, когда соседу 45 лет и номер билета 99999, — ре­шение получается единственным.

Разложим число 203 на множители и получим: 203 = 7 х 29. Значит, в нашем случае все остальные сомножители должны быть пред­ставлены единицами. Поскольку сумма всех этих сомножителей также

будет 203, то в произведении должно быть 203 — (7 + 29) = 167 единиц: 203 = 7 х 29 х 1 х 1 х ... х 1 = 7 + 29 + 1 + 1 + ... + 1.

Число 13 на 2 меньше 15. Значит, при одном и том же част­ном n остаток от деления на 15 на 2n больше, чем остаток от деления на 13, т. е. 2n = 8. Отсюда делимое m равно 15 х 4 = 13 х 4 + 8 = 60.

Возраст младшего ребёнка не может быть чётным числом, так как иначе возрасты старших детей не будут простыми числами. Он не может оканчиваться на 1, 3, 7, 9 — иначе возраст одного из старших детей будет делиться на 5. Единственное простое число, удовлетво­ряющее этим условиям, — 5. Проверка показывает, что если возраст младшего ребёнка будет равен 5 годам, возрасты всех старших будут выражаться простыми числами.

Поскольку в зелёном платье — не Ася, не Катя и не Нина, остаётся Галя. Катя не в зелёном платье, не в белом и не в розовом, значит, в голубом. Итак: Галя стоит между Катей и Ниной, а значит, и Ася тоже стоит между Катей и Ниной. То есть девочки стоят так: Галя (в зелёном), Катя (в голубом), Ася, Нина. Отсюда и из условия, что девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Катей, следует, что Ася в белом платье, а Нина — в розовом.

Искомая точка находится ровно посередине между нанесён­ными двумя, поскольку среднее арифметическое любых двух чисел на столько же меньше большего числа, на сколько больше меньшего.

Да, конечно. Возьмём, например, произведение любых двух положительных чисел, меньших 1, или возьмём одно число произволь­ным отрицательным, а другое — положительным, большим 1.

Число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, должно делиться на 5. Значит, оно оканчивается на 0 или на 5. Однако на 0 оно оканчиваться не может, ибо в этом случае будет в 10 раз больше суммы своих цифр. Итак, искомое число можно записать в виде 10а + 5. Сумма цифр этого чиста равна а + 5. Значит, можно составить урав­нение

10а + 5 = 5(а + 5).

Решив его, получим: а = 4, искомое же число 45.

В течение каждых 6 с часы бьют 4 раза: на 2-й, 3-й, 4-йи6-й секундах. Значит, 13 раз они ударят, когда пройдёт три раза по 6 с, ещё один удар, т. е. — на 20-й секунде. Поскольку первый удар раздался на 2-й секунде, пауза между первым и последним ударами составляет 18 с.

Из того, как выложились тетради в первый раз, следует, что в исходной стопке серая тетрадь не могла лежать выше жёлтой, а жёл­тая — выше красной. Из второй же раскладки видно, что красная тетрадь не могла лежать выше коричневой, а синяя — выше жёлтой и серой. Таким образом, единственная возможная последовательность тетрадей в стопке: коричневая, красная, жёлтая, серая, синяя.

Поскольку среди слагаемых в ребусе есть одно A двузначное и два однозначных числа, а сумма — число + BB трехзначное, то это трехзначное число должно начинать- A ся с 1, а двузначное число начинается не менее чем с 8. CC C Итак, C = 1, B = 8 или 9. Если бы B было равно 8, то C

при любом A должно было бы быть чётным (см. последний столбец).

Но C = 1, значит, B = 9. Зная B и C, определяем, что A = 6. Итак, при замене букв цифрами получаем: 6 + 99 + 6 = 111.

Предположим, что Роман не физик, тогда (по условию 2) Пётр математик, но если Пётр математик, то Сергей (по условию 1) не фи­зик — получилось явное противоречие. Значит, Роман — физик. Тогда Сергей математик — иначе (по условию 3) Роман был бы химиком. Значит, Пётр — химик. Итак: Пётр — химик, Роман — физик, Сер­гей — математик.

В четвёртом пенале должны лежать предметы, которые уже встречаются в первых трех пеналах, но только по одному разу. Это синяя ручка, оранжевый карандаш и красный ластик.

Поскольку пропавшие пять многоугольников являются выпуклыми, то ни один из них не может иметь с восьмиугольником границу больше чем по одной сто­роне. А это значит, что как минимум три стороны вось­миугольника принадлежат квадрату. Это соображение позволяет однозначно восстановить размеры квадрата; длина его стороны равна расстоянию между противопо­ложными сторонами восьмиугольника.

Интересно, что хотя мы и можем восстановить размеры квадрата, но не можем точно сказать, из каких многоугольников он состоит. Толь­ко 4 многоугольника можно восстановить — это восьмиугольник и три угловых треугольника. А про два последних многоугольника известно только то, что они образуют четвёртый угловой треугольник. Мы даже не можем точно восстановить количество сторон каждого — это могут быть треугольник и четырехугольник, или два треугольника (см. ри­сунок).

Запишем наши условия в виде системы уравнений:

ІБ + 20В = 3Б;

[195 + Н + 15,5В = 20Б + 8В,

здесь Б, В, Н — бочка, ведро, насадка.

Требуется узнать, сколько насадок помещается в бочке.

Из первого уравнения следует, что емкость бочки 10 вёдер, а из вто­рого — что в бочку помещаются 7,5 ведра и насадка. Значит, 1 насадка вмещает 2,5 ведра, или четверть бочки, т. е. в бочке 4 насадки.

Для удобства повторим условия: 1) Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; 2) Боря и Алла не стоят рядом; 3) Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. Из условия 1 следует, что девочки стоят в таком порядке: Алла, Вика, Соня. Поскольку ни Денис, ни Боря не стоят рядом с Аллой (условия 2 и 3), значит, Алла стоит первой, а Вика второй. Из условия 3 следует, что Денис может стоять только с краю — рядом с Соней. А из условий 2 и 3 следует, что Боря может стоять только между Викой и Соней. Итак, дети стоят в следующем порядке: Алла, Вика, Боря, Соня, Денис.

Поскольку делимое в 6 раз больше делителя, значит, частное равно 6. А так как делитель в 6 раз больше частного, значит, он равен 36, а делимое, соответственно, равно 216.

Пусть приписана цифра а. Тогда полученное число записыва­ется в виде а 10а. Поскольку это число делится на 12, то оно должно делиться и на 4, и на 3. Это в свою очередь означает, что а делится на 4, а (2а + 1) делится на 3. Это возможно лишь при а = 4, значит, приписать надо цифру 4, а число получается 4104.

Двагода назад Лиза тоже былана8 летстаршеНасти. А если при этом она ещё была старше в 3 раза, то Насте было 4 года, а Лизе 12. Значит, сейчас Лизе 14 лет.

Попробуем найти такие числа. Обозначим их A, B, ^при­чём A > B > C. Условие задачи равносильно условию, что сумма любых двух из этих чисел делится на третье, т. е.

'A + B = cC; A + C = bB; B + C = aA,

здесь a, b, c — натуральные числа.

Поскольку B < A и C < A,to B + C < 2A, т. е. последнее из трех равенств может выполняться только при а = 1. Значит, A = B + C. Сделаем замену переменных в двух верхних уравнениях:

|2B + C = cC; [B + 2C = bB.

Последнее равенство может выполняться только при b = 2, так как B + 2C < 3B и C = 0. Значит, B = 2C, A = 3C. Таким образом, если в качестве слагаемых взять числа C,2C и3C (где C — произвольное натуральное число), то сумма, равная 6C, будет делиться на каждое из слагаемых.

Простое число, большее 3, при делении на 6 не может давать остатки0,2,3,4— в любом из этих случаев оно будет составным. Возможны только остатки 1 и 5. Следовательно, простое число можно записать как 6n + 1или 6n + 5, но 6n + 5 = 6(n + 1) — 1.

Будильник прозвенит, как только часовая стрелка первый раз после завода встанет на цифру 9, т. е. в 9 ч вечера. Это значит, что мальчик проспит всего 2 ч.

Да, делится, так как последняя цифра произведения 1, а по­следняя цифра разности 0.

При таком переливании во втором баке должно было быть больше 26 л бензина, а в первом — ещё больше, чем во втором. Сле­довательно, даже если надо было бы наполнить только эти два бака, всё равно на это не хватило бы 50 л. Значит, разделить бензин так, как требуется в условии, невозможно.

Если остаток был равен нулю, никаких изменений не произой­дёт. Действительно, пусть наш пример был AB : A = B.Тогда новый пример будет 3AB :3A = B.

Если же остаток не был равен нулю, то при увеличении и де­лимого и делителя в 3 раза частное не изменится, а остаток уве­личится втрое. Действительно, пусть первоначальный пример был такой — (AB + a): A = B (остаток а < A); тогда новый пример будет (3AB + 3а): 3A = B (остаток 3а).

Если за решение каждой задачи все три девочки вместе полу­чали 7 конфет (первая — 4, вторая — 2, третья — 1 конфету) , значит, сумма всех полученных ими конфет должна обязательно делиться на 7, но 60 на 7 не делится. Следовательно, девочки ошиблись.

Обозначим через х возраст короля «тогда»,а через у — воз­раст королевы «тогда». Отсюда получаем: возраст короля «теперь» — 2y, возраст королевы «теперь» — х,а «будет» королеве 2y лет, т.е. от «тогда» до «будет» прошло y лет, значит, королю «будет» (х + у)лет. Составим систему из двух уравнений:

(у + (х + у) = 63; [2у - х = х - у.

Первое уравнение означает, что «им вместе будет 63 года»,а вто­рое — что разность возрастов короля и королевы постоянна и «теперь», и «тогда»,и «всегда». Решив эту систему уравнений, определим, что «сейчас» королю 28 лет, а королеве — 21 год.

Можно эту задачу решить и не составляя системы уравнений. Обо­значим через t разницу возрастов короля и королевы «сейчас», «тогда» и « всегда». Поскольку «сейчас» королеве столько же лет, сколько бы­ло королю «тогда», значит, от «тогда» до «сейчас» прошло тоже t лет.

Разница между возрастом короля «сейчас» и королевы «тогда» рав­на сумме двух чисел — разницы этих возрастов «всегда» иотрезка от «тогда» до «сейчас». Эта сумма — 2t лет. Значит, возраст короле­вы «тогда» — 2t лет, а возраст короля «сейчас» — 4t лет. «Сейчас» королеве — 3t лет, и королю «было» — 3t лет.

Когда королеве станет 4t лет, королю будет 5t лет. И все вместе эти 9t составят 63 года. Отсюда t = 7. Итак, «сейчас» королю 28 лет, а королеве — 21 год.

В каждый бидон перелито по ^ объёма бака. Значит, объём первого бидона равен : ^) = ^ бака, объём второго — (з~: f) = 2~ бака, а объём третьего — (з~' 4~) = -9~ бака, и все эти количества —

целые числа. Чтобы ^ некоторого целого числа являлись тоже целым, это число (вместимость бака) должно быть кратно 3. Аналогично, для второго и третьего бидонов оно должно быть кратно 2 и 9. Наименьшее общее кратное чисел 3, 2 и 9 — это 18. Значит, минимальная вмести­мость бака 18 л.

Составим систему уравнений:

х + у = ху; х

хц = -. у

Из второго уравнения следует, что у2 = 1. Но решение y = 1 не годится, так как при этом значении не может выполняться первое уравнение. Значит, единственное возможное значение у = — 1. Зная у, находим х

из первого уравнения. Ответ: х = ^; у = — 1.

320. Делителями числа 1 000 000 000 будут девять двоек, девять пятёрок и любые комбинации их произведений. Но как только в про­изведении сомножителями одновременно будут и 5 и 2 — число будет оканчиваться на 0. Это значит, что единственными возможными сомно­жителями являются 29 и59 (так как во всех остальных парах делите­лей есть числа, оканчивающиеся на 0). Проверка показывает, что оба эти числа не содержат нулей. Итак: 1 000 000 000 = (29 х 59) = (512 х х 1 953 125).

Эту задачу можно переформулировать так: «Можно ли раз­ложить числа 1980, 1990, 2000 на однозначные множители?» Среди делителей числа 1980 — двузначное простое число 11, а среди дели­телей числа 1990 — трехзначное простое число 199, поэтому ни 1980, ни 1990 в такие произведения разложить нельзя. Число 2000 мож­но разными способами разложить на однозначные множители, напри­мер так: 2000 = 2 х 2 х 2 х 2 х 5 х 5 х 5. Следовательно, таких чисел, как требуется в условии задачи, достаточно много. Вот, например, два из них — 555422 и 25855.

Это неравенство имеет большое количество решений. Вот некоторые из них: 0,0501; 0,050739; 0,050211. Как видите, у всех этих чисел совпадают первые три цифры после запятой.

324.     Обозначим общее число служащих через х.Тогда на фир-

х 2х ме стало — республиканцев и — демократов. До этого же момен­та республиканцев было (3 + tQ> а демократов (—3+^")> ПРИ этом известно, что количество их было одинаковым. Составим уравнение

її) = (_^ іг)' Решив котоРое. получим х=18. Отсюда вы­текает, что первое условие задачи (один республиканец решил стать демократом) для определения общего числа служащих фирмы лишнее, хотя оно могло бы понадобиться для определения первоначального ко­личества республиканцев и демократов в отдельности.

325.     Когда одно число больше другого в 5 раз, их разность в 4 ра-
за больше меньшего из чисел. Это значит, что меньшее число равно

или в десятичной записи — 1,25

^, а большее, соответственно, и 6,25.

Обозначим наши числа через A, B, С, D, E, F, G, а их сумму через ЛГ,т. е. M = A + B + С + D + E + F + G. Тогда все числа M — A, M — B, M — С, M — D, M — E, M — F, M — G будут делиться на 5. Сле­довательно, и их сумма обязательно должна делиться на 5. Сумма равна 7M — (A + B + С + D + E + F + G) = 6M. Таким образом, 6M делится на 5. Это возможно только, если M делится 5. Ноесличисла M и M — A делятся на 5, то тогда и A делится 5. Аналогично установим, что и все остальные числа — B, С, E, F и G — делятся на 5.

Для решения этого ребуса можно составить систему урав­нений:

A + С = 10; A + B + 1 = С + 10; A + 1 = B.

КИС к с И

иск

Решив эту систему, получим: A = 6, B = 7, С = 4. Ребус можно записать ввиде 6 + 67 + 674 = 747.

Разумеется, искомые много­угольники не могут быть выпуклыми. Одно из возможных решений показано на рисунке.

Для удобства изложения запи­шем этот ребус иначе.

+

Из первого столбика видно, что К < И. Отсюда и из последнего столбика следует, что С + И = К + 10 (а не С + И = К). Тогда из второго столбика выводим 1 + И + С = С, или 1 + И + С = 10 + С. Первый вариант невозможен, а из второго сразу определяем, что И = 9. Отсюда К = 4, С = 5. Весь ребус расшифровывается так: 495 + 459 = 954.

Поскольку всего на косточках домино имеется чётное число пятёрок (8 штук), то всякий раз, как мы к косточке с пятёркой прикла­дываем другую косточку с пятёркой, расходуются две пятёрки, так что остаётся чётное число неизрасходованных пятёрок. В итоге на концах должно остаться либо две пятёрки, либо ни одной, но никак не одна.

Выпишем все двузначные числа, делящиеся на 17 или 23. Это 17, 34, 51, 68, 85, 23, 46, 69, 92. У всех этих чисел последние цифры различны, значит, искомое число мы сможем восстановить однозначно.

Последняя цифра 1, значит, соответствующее двузначное чисто 51, т. е. предыдущая цифра в числе 5. Эта цифра 5 соответствует двузнач­ному числу 85, следовательно, перед ней стоит цифра 8. Рассуждая аналогично, получим ряд из девяти последних цифр числа: 692 346 851. Набор 92 346 будет теперь всё время повторяться. Всего же цифр 1992, в том числе: 3 последние, наши 5 цифр из периода, встречающиеся 397 раз, и ещё 4 цифры — последние 4 цифры периода, они же — пер­вые 4 цифры числа. Таким образом, первая цифра искомого числа 2.

332.     Обозначим величину вступительного взноса через х.Тогда
можно составить уравнение 10x = 15(x — 100), решив которое, опреде-
лим x = 300 долларов.

Можно было бы решить эту задачу не составляя уравнения, рас­суждая следующим образом: те 100 долларов, которые сэкономят 10 первоначальных членов клуба, заплатят 5 новых членов, т. е. каждый из 5-ти заплатит по 200 долларов. Таким образом, при 15-ти членах клуба общий взнос составит (200 х 15) = 3000 долларов. Значит, для 10-ти участников членский взнос был равен (3000 : 10) = 300 долларов.

333.     Перейдём к дробям с общим знаменателем 60 и полу-

45  4    48  5 50

чим: - = —; - = —• — = —. Отсюда следует, что здесь наибольшая

60   5     60   6 60 5

дробь -. Возможно и другое решение задачи: первой дроби до 1 не хва-
тает -|, второй —     третьей — ^, следовательно, здесь наибольшая
4          5 6

дробь -.

Второй туземец, кем бы он ни был, на вопрос: «Абориген ли Вы?» ответит положительно. Значит, проводник не обманул путеше­ственника, следовательно, и он тоже абориген.

Каковы бынибыличисла p,2p + 1, 4p + 1, одно из них все­гда будет кратно 3. Действительно, p при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. В первом случае на 3 делится число p, во втором — 2p + 1, в третьем — 4 p + 1.

Единственное простое число, делящееся на 3, — это 3. При 2p + + 1 = 3или 4p + 1 = 3число p не будет простым. При p = 3 получаем: 2p + 1 = 7, 4p + 1 = 13. Таким образом, единственный возможный от­вет: p = 3,2 p + 1 = 7,4 p + 1 = 13.

Если мы мысленно натянем ниточки между каждой кошкой и погладившим её посетителем, тогда от каждой кошки будут протя­нуты 3 ниточки и от каждого посетителя тоже 3. Значит, число ниток

одновременно в 3 раза больше числа посетителей и в 3 раза больше числа кошек. Отсюда следует, что число кошек равно числу посети­телей.

Проведём к каждой кошке стрелочку от сидящего рядом с ней более толстого, чем она, кота. Число стрелочек — 19 штук: столько, сколько кошек. Но, с другой стороны, от каждого кота не может ид­ти больше 2-х стрелок, т. к. стрелки направлены на соседних кошек, да ещё не на всех, а только на более худых. Поэтому, если хотя бы от одного кота не идёт ни одной стрелки, т. е. рядом с этим котом нет более тонкой кошки, то стрелок не может быть больше чем 18 (число котов, от которых отходят стрелки, умноженное на число стре­лок). Пришли к противоречию. Стало быть, предположение наше было неверным, значит, рядом с любым котом сидит кошка, которая тоньше него.

Обозначим искомое число через 10а + b, тогда условие задачи примет вид:

10а + b = 2ab.

Это равенство может выполняться только при чётном b ,т. е. b = 2c. Заменив в нашем уравнении b на 2c, получим

10а + 2c = 4ас,или   5а + c = 2ас,или   5а = (2 а — 1) с.

Чтобы выполнялось последнее равенство, необходимо, чтобы со­блюдалось одно из двух условий:

2а — 1 = 5или   c = 5.

Если c = 5, то b = 10, что невозможно (b — цифра). Это значит, что 2а — 1 = 5, откуда а = 3. Определив а,найдём: c = 3, b = 6, т. е. искомое число равно 36.

Выберем два кувшина разной формы. Если они при этом раз­личаются по цвету, то задача решена. Если же они оказались одного цвета, тогда возьмём любой кувшин, не совпадающий с ними по цвету. Этот третий кувшин не будет совпадать с одним из двух наших кувши­нов и по форме. Эти два кувшина (третий и тот, который не совпадает с ним по форме) и будут искомыми кувшинами.

Будем упрощать наше произведение:

ї)('-5)0-ії)-('-2В

Ж'+Ш('4)КШМ)Ы)]

X

(і х 3\(2 44 /З 5Л /14 16Л 1 16 _ _8_ ~\2    2Аз    ЗД4 Х 4j---\l5    15У    2 Х 15 — 15"

Непосредственной проверкой можно убедиться, что между днём, когда «вчера» было «завтра», и днём, когда «послезавтра» ста­нет «вчера», проходит 4 дня. Значит, интересующие нас дни не могут одинаково отстоять от одного и того же воскресенья, а могут только от двух разных. Это возможно, если первый из дней — понедельник, второй — суббота, а сегодня — среда.

Нет. Сумма трех последовательных натуральных чисел будет кратна 3. Действительно, пусть первое число даёт при делении на 3 остаток а, второе — а + 1, третье — а + 2. Тогда их сумма будет при делении на 3 давать остаток 3а + 3, т. е. будет делиться на 3.

Сначала каждому рыцарю его плащ был короток. Начнём од­новременно выстраивать по росту рыцарей и перераспределять плащи.

Поменяем плащи у самого высокого рыцаря и рыцаря, имеюще­го самый длинный плащ. Тогда каждому из этих рыцарей их новые плащи будут малы: первому — потому что даже рыцарю меньшего ро­ста этот плащ был короток; второму — потому что ему был короток даже более длинный плащ. Теперь на самого высокого рыцаря надет самый длинный плащ. Отведём этого рыцаря в сторону. (Разумеется, если на самом высоком рыцаре был уже надет самый длинный плащ, он не будет ни с кем меняться плащами, а сразу отойдёт в сторону.)

Среди оставшихся снова поменяем плащи у самого высокого ры­царя и рыцаря, имеющего самый длинный плащ; снова отведём самого высокого рыцаря в сторону. Снова всем рыцарям их плащи будут ко­ротки. Будем повторять всё это до тех пор, пока и все рыцари, и все плащи не «выстроятся по росту».

Поскольку на всех промежуточных этапах всем рыцарям были ко­ротки их плащи, то после всех переодеваний каждому рыцарю будет короток надетый на нём плащ.

Нет, не существует. Для доказательства представим искомое число в виде 100а + 10b + c. Поскольку b и c — цифры, получим: bc < 100, а это значит, что abc < 100а. Но тогда можно написать серию неравенств: 100а + 10b + c > 100а > abc. Таким образом, каковы бы ни были а, b, c, всегда 100а + 10b + c > аbc.

345. В первые сутки Леший прошёл ^ пути (на се-

1          3 1

вер), во вторые — g пути (на запад), в третьи сутки — -

(на юг) и в последние — оставшуюся ^ пути (на восток).

Его путь изображён на рисунке.

Понятно, что Иван-царевич собирается пройти только - путшего — ^ на север и - на восток. Этот путь в 100 вёрст, притом

по хорошей дороге, Иван-царевич сможет пройти за сутки.

Сумма числителя и знаменателя не изменится, если из одного из них вычесть, а ко второму — прибавить одно и то же число. По­скольку эта сумма равна 1000, то дробь перед сокращением должна

быть 100, а чтобы её получить, надо отнять и, соответственно, приба

быть а чтобы ее получить, надо отнять и, соответственно, приба­вить число 437.

В начале хранения в ягодах был 1% (т. е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%—98%) от всех ягод. Значит, если 2% — 1 кг, то 100% — 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.

Мысленно натянем ниточки между каждым Карабасом и зна­комым с ним Барабасом. (Между двумя знакомыми Карабасами или двумя знакомыми Барабасами ниточек натягивать не будем.) Тогда от каждого Карабаса протянется 9 ниточек, а от каждого Барабаса — 10 ниточек. Значит, числю ниток одновременно будет в 9 раз больше числа Карабасов и в 10 раз больше числа Барабасов. Следовательно,

в стране Перра-Терра Карабасов в     раза больше, чем Барабасов.

Премьер-министр мог вытащить любой из листов и, не раз­ворачивая, уничтожить его. Тогда королю ничего другого не останется, как признать, что на уничтоженном листе было написано не то, что осталось в портфеле, т.е. «Останьтесь».

Если номер шкафа C не является точным квадратом, то все его делители разбиваются на пары, дающие в произведении C. Такой шкаф поменяет позиции чётное число раз и в итоге окажется закры­тым. Если же номер шкафа C является точным квадратом, то число его различных делителей будет нечётно, и шкаф в итоге окажется откры­тым. Количество точных квадратов среди первой тысячи чисел — 31. Значит, и открытых шкафов будет 31, а закрытых — 969.