Занимательная математика

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 

Задачи на внимание: 2, 3, 9, 10, 44, 59, 129, 192, 196, 207, 215, 228, 231, 240, 247, 256, 311, 340.

Календарь, время, возраст: 47, 57, 200, 218, 308, 341. Шарады, шифры: 5, 36, 56, 148, 181, 184, 201, 202, 219, 268. Домино: 167, 168, 330.

Задачи со спичками: 124, 125, 134, 161, 253, 316.

2. Распределение задач по темам

Числовые ребусы и прочее: 28, 78, 84, 85, 108, 113, 154, 238, 300, 327, 329. Арифметика

Календарь, время, возраст: 281.

Цифры: 24, 25, 26, 27, 43, 49, 60, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 127, 130, 149, 156, 165, 194, 210, 211, 257, 297, 322, 338, 344. Дроби: 51, 178, 198, 251, 264, 283, 333, 346.

Целые числа: 48, 103, 153, 159, 169, 170, 191, 239, 241, 266, 278, 291, 325. Интервалы: 46, 175, 176, 203, 221, 225, 242, 298. Среднее арифметическое: 107, 135, 224, 250, 295. Проценты: 143, 146, 213, 226, 347.

Алгебра

С алгеброй и без нее: 8, 29, 90, 92, 104, 111, 126, 128, 131, 157, 162, 164,

166, 193, 205, 212, 214, 216, 220, 244, 262, 271, 273, 276, 280, 284, 289, 296,

304, 313, 317, 319, 324, 332.

Комбинаторика: 38, 40, 261, 267, 274, 336, 337, 348.

Неравенства, сравнения: 52, 53, 54, 55, 88, 142, 182, 234, 236, 237, 254, 323, 343.

Логика

Закономерности: 32, 33, 34, 39, 58, 61, 72, 114, 229, 259, 286. Логические задачи: 6, 76, 93, 98, 100, 109, 112, 133, 171, 209, 230, 232, 233, 235, 245, 252, 258, 272, 277, 288, 290, 294, 299, 301, 302, 305, 334, 339, 349. Парадоксы: 37, 101, 123, 158, 180, 260. Алгоритмы

Турниры: 185, 186, 187. Обратный счет: 4, 265, 331.

Стратегии: 11, 31, 42, 50, 69, 71, 77, 86, 91, 99, 105, 106, 132, 177, 188,

189, 195, 197, 199, 204, 208, 243, 285.

Взвешивания: 80, 81, 82, 136, 227, 269, 270. Методы решения

Принцип Дирихле: 140, 150, 246, 248, 282.

Делимость чисел, простые числа: 95, 97, 137, 138, 139, 141, 144, 147,

155, 160, 172, 173, 190, 217, 222, 223, 249, 263, 287, 292, 293, 306, 307, 309,

310, 312, 314, 315, 318, 320, 321, 326, 335, 342, 350.

Четность-нечетность, черное-белое: 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 70, 74, 75, 79, 83, 87, 89, 94, 96, 102, 110, 145, 255, 279.

Геометрия

Размерности: 41, 45, 179.

Промежутки: 1, 12, 13, 14, 15, 18, 23, 174, 206.

Простейшая геометрия: 7, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 30, 35, 73, 151, 152, 163, 183, 275, 303, 328, 345.

3. Комментарии к задачам

Комментарии есть к каждой задаче. Иногда — это просто название темы, к которой относится задача, иногда — наше отношение к задаче, иногда — наше впечатление от отношения детей к задаче.

I,          2. Задачи 1 и 2, как правило, вызывали большой ажиотаж, поскольку
первое решение, приходящее в голову и кажущееся очевидным, на самом деле
неверно. В решениях первых двух задач это описано подробнее.

Эта задача практически повторяет задачу 2, но, поскольку она дава­лось позже (иногда даже значительно позже), дети редко «наступали на те же грабли», и задачу, как правило, решали без труда.

4—6, 7, 8. Когда-то эти задачи были оформлены в виде стенгазеты. Стенга­зета была сделана для участников одного из кружков, который посещали только третьеклассники, поэтому задачи в ней достаточно лёгкие, но и достаточно за­нимательные. Они относятся к самым разным темам, и назначение их только одно — очередной раз дать понять ребятам, что математика — это не «скучно итрудно»,а, скорее «весело и интересно». Так что мы советовали бы давать эти задачи в преддверии какого-то праздника или просто добавлять по одной в разные занятия, особенно в те, которые обещают быть сложными. Разберём теперь задачи подробнее.

Смешное условие. Задача решается просто «влоб».

Шарада, основное её достоинство, пожалуй, в том, что её ответ «Ком­пьютер» в своё время дал заглавие целой серии математических стенгазет. Кроме четырех стенгазет, использованных в этой книге, впоследствии было выпущено ещё 13.

Замечательная логическая задача. Это «мехматовский» фольклор. Впер­вые мы услышали её в 1964 г., нам казалось, что уже тогда она была «очень старой».

Результат, безусловно, поражает воображение. Правда, большим недо­статком этой задачи является то, что её практически невозможно решить. Мы не знаем ни одного человека, который бы решил её самостоятельно. Правда, все эти люди узнали решение ещё в раннем детстве, когда, конечно же, само­стоятельно не могли решить такую задачу.

Это не слишком трудная, но зато забавная задача, которую легко решить при помощи системы уравнений, но можно решить и без этого.

10. Всегда вызывающие ажиотаж задачи с подвохом. Ответы здесь на­столько неожиданны, что дети не сразу понимают, что эти ответы верные.

II.        Относительно стандартная задача о стратегии. Такие задачи дети тоже
очень любят, они вообще больше любят вопросы «как сделать?»,чем«что
сделать?».

12—19. Эти задачи тоже вызывали большой интерес, поскольку опять, как правило, первые ответы были неверны. С помощью этих задач ребята осознают немаловажный факт, что «между пятью словами промежутков не пять, а четы­ре». Эта идея помогает при решении многих задач, например: «Во сколько раз больше ступенек до шестого этажа, чем до второго?»

Хотя эта задача трудновата для малышей, но она будит воображение, и многие дети, знакомые с симметрией на интуитивном уровне, находили ре­шение.

Эта задача оказалась достаточно сложной, тем более что детям трудно было отказаться от мысли, что это сделать невозможно. За час занятия её никто не решил, она осталась «на дом»,нозатопопрошествиинеделимногимибыла решена.

Это «завершающий аккорд» к серии задач 12—19. Конечно, это не за­вершение темы —такие задачи ещё будут появляться.

Это так называемая задача с подвохом. Если внимательно прочесть условие, то никакой трудности она не представляет. Хитрость как раз и состоит в том, что ответ «вдвараза», кажущийся, на первый взгляд, таким очевидным, неверен.

24—27. Все эти задачи «про отличника Поликарпа и двоечника Кольку» — о цифрах и числах. Особо хотелось отметить «связку» из двух очень похожих задач 24 и 25.

Нетрудный и достаточно стандартный числовой ребус. Такого рода за­дачи хорошо добавлять по одной на занятие в виде «утешительных» задач.

Римейк одной из самых известных старинных задач: «Летели галки, увидели палки. Сели по одной галке на палку — одна палка осталась без галки. Сели по две галки на палку — одна галка осталась без палки. Сколько было палок, и сколько было галок?»

Задача на разрезание и простейшую геометрию. Здесь очень легко об­ходится вопрос с количеством прямоугольников — используется абсолютно весь лист, соответственно, не возникает вопроса о возможности получения большего числа кусков.

Эта старинная задача была известна ещё в XVIII веке.

33. Это довольно лёгкие задачи (вернее, набор задач) на закономер­ности. Поскольку здесь, действительно, много задач, то, наверное, лучше их давать не в компании с аналогичными задачами, а одну (или даже часть зада­чи) среди задач на другие темы — ведь эти задачи на закономерности, в общем-то, в больших количествах достаточно скучны, а понемногу — вполне годятся.

34. Это опять задача на закономерность, вернее, на «выбор лишнего». Изюминка состоит в том, что лишним может быть каждое из этих «слов»,что, конечно, всегда радует детей.

35—40. Это опять стенгазета (см. комментарий к задачам 4—8). Задачи опять достаточно легки и достаточно забавны.

Задача «на разрезание и склеивание», не слишком трудная, с интерес­ным сюжетом.

Традиционная для стенгазет задача с ответом «компьютер»,насейраз это система неравенств.

Довольно сложная логическая задача-парадокс, из мехматского фольк­лора 60-х.

40. Простейшая комбинаторика, как всегда, с забавным сюжетом.

К сожалению, эта задача, похоже, устарела: при почти полной утрате эпистолярной культуры дети вряд ли часто видят конверты для писем, на ко­торых используемое в задаче написание цифр предлагается чаще всего.

Эта забавная задача даёт первоначальное представление о размер­ности.

Занимательная задача; она хороша тем, что позволяет провести неболь­шое теоретическое исследование и даёт детям возможность понять, что часто задачи можно «расширить» — решить не просто данную задачу с конкретными цифрами, а попробовать «распространить результат на общий случай».

Достаточно простой ребус.

Просто занимательная задача.

Задача, безусловно, поражает воображение. Обычно на неё достаточ­но уверенно отвечают «конечно, нельзя» и весьма удивляются, придумав (или узнав) решение.

Простейшая геометрия в забавной форме.

Арифметика-алгебра. Эта задача, как и большинство задач «на воз­раст», часто вызывает недоумение — многие дети далеко не сразу понимают, что отношение возрастов меняется со временем, тогда как разность возрастов со временем не меняется.

48—49. Игры с числами.

Стратегии.

Эта задача насчитывает много сотен лет, но до сих пор поражает во­ображение своей красотой и неожиданностью.

52—55. Эти четыре задачи идут «всвязке», каждая следующая чуть труднее предыдущих. Такой набор позволит без всякого объяснения решать в дальней­шем задачи на сравнения и неравенства, в этом плане он напоминает набор задач 62—65, составленный для темы «чётность-нечётность».

Это «шифры». Такие задачи обычно воспринимаются детьми «на ура».

Забавная путаница, если в ней разобраться, задача окажется не такой уж трудной.

Опять закономерности. См. описание задач 32, 33.

Это дополнение и развитие задачи про Кота в Сапогах (задача 2).

Задача обычно вызывает удивление: кажется, что это невозможно.

Опять закономерности.

62—65. Задачи скучноваты, но их обязательно надо давать, тогда дети сами доходят до использования чётности-нечётности при решении задач.

66, 67. Эти задачи составляют «единый блок», в котором задача 66, с одной стороны — «утешительная»,с другой — позволяет перейти к задаче 67 — классической задаче на «чётность-нечётность».

Эта задача тоже на «чётность-нечётность».

Поиск стратегии; как уже говорилось, такие задачи дети решают с удо­вольствием.

Эта забавная задача относится одновременно к двум темам — «целые числа» и «чётность-нечётность».

Обещанное развитие темы «Зайцы пилят бревно» (см. задачи 12 —19 ).

Поиски оптимальной стратегии расчёта.

Это «разрезание и склеивание», задача довольно трудная, но, как все­гда, спасает сюжет.

Приправленная шахматами, задача на чётность-нечётность.

Классическая задача на «чётность и нечётность», вернее, на «чёрное ибелое». Эта задача была опубликована в журнале «Математическое просве­щение» более 40 лет назад.

Логическая задача; трудновата, поскольку содержит путанные данные, но, если в них разобраться, всё станет легко.

Дети решают такие задачи с удовольствием, поскольку забавно.

Опять математический ребус. Не слишком сложный, но требующий до­статочно внимания из-за своей величины.

Опять задача на «чётность-нечётность», дополнительное удовольствие в забавном условии.

81. Две классические задачи (вернее, 8 классических задач) на взве­шивание.

Эта задача тоже на взвешивание, но уже далеко не классическая.

Это опять задача на чётность-нечётность, слегка приправленная шах­матами.

Очередной математический ребус. Надо сказать, что к математическим ребусам мы прибегали достаточно часто, поскольку, как правило, их любят решать все, независимо от отношения к математике. Собственно, ребусов было настолько много, что часть из них мы просто не поместили в эту книгу.

Удивительнейший математический ребус, который, как ни странно, можно решить, он даже не слишком сложный.

Опять стратегия, опять игра, опять удовольствие.

Это снова, приправленная шахматами, задача на чётность-нечётность, вернее, чёрное-белое.

Довольно сложная задача, пожалуй, одна из самых трудных в книге. На одном из кружков ребята, не зная, что эта задача трудная, довольно быстро решили её. Это ещё раз показывает, что детям лучше не знать, какая задача

трудная, какая нет. Иногда, правда, такое незнание приводит к тому, что лёгкие задачи не решаются, но это бывает редко.

Сначала задача вызывает сильное недоумение, мол, почему спраши­ваете, какая разница, сколько проводов и телефонов, конечно, можно. А уж когда понимают, что это действительно задача, и её надо решать, в ход идут «простейшая комбинаторика» и «чётность-нечётность».

За этим забавным условием скрывается задача на тему «салгеброй ибезнеё», т. е. задача, которую легко решить с помощью уравнений, но можно (что значительно интереснее!) обойтись и без них. К сожалению, с введением уравнений уже в 1-м классе современные дети почти утеряли умение решать «арифметические» задачи, что в совершенстве умели делать их дедушки и ба­бушки.

Это опять римейк. Старая задача выглядит так: «Попробуйте за 4 ми­нуты поджарить 3 сырника, если с одной стороны сырник жарится 2 минуты, а на сковородку помещается 2 сырника».

Типичная «арифметическая» задача.

Прелесть задачи, во-первых, в весёлом условии, а во-вторых, в кажу­щемся отсутствии данных (ведь показания двоих подозреваемых пропали!)

Забавная задача, как ни странно, на «чётность-нечётность».

Так называемая «основополагающая» задача на делимость.

Тот, кто хорошо понял тему «чётность-нечётность», легко решит эту задачу.

Симпатичная задача на «целые числа» и «делимость». Казалось бы, какая разница, составляем число из четвёрок и делим на 3, или составляем число из троек и делим на 4. Однако разница есть, и большая.

98—101. Очередная стенгазета (см. комментарий к задачам 4—8и35—40).

Одна из задач, «переделанных под сказку». Удивительное дело: дети легко решили эту задачу-сказку, но когда через несколько занятий мы дали детям решить «исходную задачу, без сказочного антуража»,почтиниктонесмог этого сделать.

Забавная задача сразу на всё: и на смекалку, и на стратегии, и на ком­бинаторику.

Задача замечательна своим совершенно неожиданным ответом.

Очень старая задача, она интересна тем, что позволяет произвести исследование — для однозначного ответа слишком мало данных, приходится добавлять ещё одно условие; окончательный ответ задачи зависит от того, какое именно условие выбрано.

Ребятам, как правило, нравится условие, а задача обычная — на чёт­ность-нечётность.

«Игра с цифрами». Эта задача в связке с задачами 169, 170 и 191.

Нетрудная арифметико-алгебраическая задача с забавным условием.

Эта неожиданная задача — на чётность и нечётность и на поиск стра­тегии.

По существу, несмотря на абсолютную несхожесть фабул, эта задача повторяет и дополняет предыдущую, наверное, стоит обратить внимание ребят на этот факт.

Это задача даёт возможность «подержать в руках» среднее арифме­тическое.

Ребус, но совсем уж необычный.

Довольно стандартная логическая задача. Очень похожа на зада­чу 235, хотя их сюжеты, естественно совершенно разные.

Шахматы, домино, вертикали, горизонтали — всёэто в не слишком лёгкой задаче на чётность-нечётность.

Симпатичная арифметическая задача.

Сначала, разумеется, кажется, что задачу решить невозможно — слишком мало данных, однако после внимательного прочтения всё становится на место.

Задача вызывает удовольствие и сначала кажется абсолютно простой, но «подводные камни» есть и здесь.

Пожалуй, не слишком стандартная задача на «закономерности».

115—122. В общей сумме здесь 173 прелестных примера. Их можно да­вать по 5—10 штук на занятии. Детям они очень нравятся и позволяют со­вершенствовать навыки устного счёта, которые у современных детей почти отсутствуют.

123. Забавная задачка на внимание.

124—125. Задачи со спичками. Они всегда воспринимаются детьми с удо­вольствием и решаются относительно легко. Заметим, что фактически это не две задачи, а 15.

Типичная арифметика-алгебра.

Делимость.

Когда смотришь на условие, кажется, что в задаче слишком мало дан­ных, ан нет!

Типичная задача на внимание.

Задача на внимание и чётность-нечётность.

Арифметика. Стандартнейшая задача времён бабушек и дедушек, од­нако для нынешних школьников это обычно откровение.

Взвешивания в особых условиях. Дети любят такие «затруднённые» задачи.

Прекрасная, ни на что не похожая логическая задача.

Опять задача со спичками, и опять восторг детей.

Снова, как в задаче 107, можно «подержать в руках» среднее ариф­метическое.

Стратегии.

137—138. «Основополагающие» задачи на простые числа. 139—141. Набор разных (не связанных между собой) задач на делимость. Можно давать в любом порядке.

Запутанная, но неожиданно лёгкая задача.

Достаточно стандартная задача «на проценты».

Опять делимость. Задача с подвохом, обычный ответ: «конечно, не может».

Детей всегда радует факт, что строгий директор может ошибаться, атак— ничего особенного, обычная задача на чётность-нечётность.

Достаточно трудно представить себе, что на самом деле цена шайб изменилась; на первый взгляд кажется очевидным, что она осталась прежней.

Простые числа.

Шифровки.

Снова «игра с цифрами».

Задача, в основном, на внимание: этого количества шариков слишком мало. Кроме того, это — напоминание о методе Гаусса (известная байка о том, как Гаусс в детстве придумал способсчитать сумму любого числа последова­тельных натуральных чисел).

151 —152. Забавные задачи на простейшую геометрию. Обе замечательны тем, что на первый взгляд кажется, будто решения не существуют.

Обычно такие задачи нравятся детям своей неожиданностью.

Забавное условие и не менее забавное решение. Задача на сравнения и(или) делимость.

Задача, как ни странно, на делимость. Как правило, детям очень нра­вится условие — всё время говорится о корзинах и грибах, а потом вдруг спрашивают про детей — напоминает юмористическую задачу «Сколько лет капитану?».

Довольно обычная задача о делимости на 9, но она удивляет всех, по­скольку с первого взгляда кажется, что задачу решить невозможно — слишком мало данных.

Стандартная арифметика.

Забавная задача. Конечно же, сразу кажется, что так быть не может. Но, немного подумав, дети обычно легко решали эту задачу.

Казалось бы, невозможно решить одно уравнение с 6-ю переменными. Однако с уравнениями в целых числах и не такое бывает.

Основная цель этой задачи — подготовить детей к решению самой последней 350-й задачи — про привидения, хотя, конечно, и сама по себе задача не плоха.

Задача замечательна неожиданностью своего решения. Сколько раз приходилось слышать, что она неразрешима!

Опять арифметика.

Геометрическая задача, которую можно решить, зная геометрию лишь на «бытовом» уровне.

Арифметика.

Эта задача напоминает задачи 115—122. И, конечно же, после опыта решения тех задач эта покажется очень лёгкой

Задача настолько забавна и нестандартна, что детям даже не приходит в голову, что они, походя, решили систему 4-х уравнений с 4-мя переменными.

Здесь, собственно, 4 задачи. На занятиях была дана только одна из них — самая первая. Но она вызвала такой восторг, что ещё три таких задачи мы дали на дом. И с тех пор две-три таких задачи у нас всегда были в запасе. Они были незаменимы, когда бывали решены все задачи, или задачи решались плохо, и нужно было поднять детям настроение. Эти задачи очень легко составлять: просто сложить из косточек домино прямоугольник, а по­том записать, как разлеглись цифры. Правда, неплохо было бы учитывать, что не надо складывать квадратиком, например, косточки 5—2и5—4 с диагональю 5—5.

Эту задачу дети обычно воспринимают как вариант предыдущей и ре­шают с удовольствием.

169—170. Эти задачи «всвязке» с задачами 103 и 191.

Задача на внимание. Сначала кажется запутанной, но потом благопо­лучно решается.

Признак деления на 9.

Не столько на делимость, сколько на знание «метода Гаусса»,имеется в виду способсложения последовательных натуральных чисел, начиная с 1.

Интервалы. Задача, дающая возможность вспомнить задачи 12—15, предлагавшиеся в самом начале.

175—184. Очередная стенгазета (см. комментарий к задачам 4—8, 35—40 и98—101).

175—179. Эти пять задач в газете были объединены заглавием «Пять минут на размышление»: они забавны, не трудны, и решить их за пять минут вполне реально.

Это старая русская задача. Условие прелестно ещё и своей «воспи­тательной» частью.

Это шифровка, всегда доставляющая радость детям.

Заметьте, в условии этой задачи нет ни одной цифры.

Здесь опять геометрия на «бытовом» уровне.

Очередной шифр.

185—187. Серия задач про шахматные турниры. Задача 185 —вводная, она помогает разобраться в тех свойствах турниров, которые потом будут исполь­зованы при решении гораздо более хитрых задач 186 и 187.

188—190. Связка трех разных задач про таблицы. Особенно интересна связь первых двух задач.

Эта задача «всвязке» с задачами 103, 169 и 170.

Типичная задача «сподвохом»: ответ кажется очевидным, однако обычно не замечают, что в условии ничего не сказано о направлении движения мушкетёров.

Арифметика-алгебра.

Стандартная работа с остатками.

Хотя здесь много гирек, но задача не на взвешивание, а на стратегии. Обычно вызывает детский интерес.

196—198. Набор нестандартных задач про движение

Это «переправа» — развитие задачи 31 про волка, козу и капусту.

Задача вовсе не на «движение»,ана«числа и календарь».

201 —202. Всегда вызывающие огромный энтузиазм задачи-шифровки.

Интервалы.

Забавная задача про неравенства.

Этой задаче всегда очень радуются, хотя на первый взгляд она ка­жется неразрешимой.

Простейшая геометрия. Интервалы.

Поучительная задача, обычно её начинают решать, даже не задумав­шись, можно ли это сделать.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что вместо того, чтобы искать решение, пытаются доказать, что это сделать невозможно.

209.     Эту задачу обычно воспринимают с большим удовольствием.
210—211. Опять две задачи в связке: несмотря на то, что условия очень

похожи, ответы совсем разные.

Как ни странно, задача совсем не по геометрии, а по алгебре — на со­ставление уравнений.

Опять проценты.

Классическая задача по арифметике, времён бабушек и дедушек ны­нешних школьников.

Задача только на внимание.

Эту задачу мы знаем почти 50 лет, уже тогда она была «старой».Это прекрасная арифметическая задача.

Поразительное дело, кажется, что в этой задаче не просто не хватает данных, а их нет вообще. Тем не менее...

Эта задача, как и задача 200, вовсе не на »движение, а на «числа икалендарь».

Всеми любимая шифровка, приправленная географией.

Арифметика.

Это напоминание о старых-старых задачах 12—15.

Конечно, при таком «жутком» сюжете не сразу придёт в голову, что это не слишком сложная задача на делимость.

Вообще-то, для того, чтобы решить задачу на чётность-нечётность, вовсе не обязательно быть победителем математических олимпиад.

Мы опять «держим в руках» среднее арифметическое.

Эта задача «на всё» — и на логику, и на интервалы, и на внимание.

Если удастся «распутать» эту задачу, то она окажется совсем лёгкой.

Авотэто— задача трудная, правда, забавность сюжета, как всегда, помогает эту трудность свести почти на нет.

Это задача только на внимание, но зато, какое внимание!

Не слишком сложные закономерности.

Прелестная логическая задача, открывающая серию логических за­дач — 230, 232, 233, 252, 258, 334.

Задача с подвохом, вызывающая недоумение до решения и весёлый смех — после.

232—233. Задачи из «Алисиной серии» (см. задачу 230). Обычно дети до­статочно долго полагают, что их решить невозможно, но постепенно всё встаёт на свои места.

Эту задачу всегда воспринимают с большим удовольствием, хотя она и довольно трудная.

По смыслу (но, конечно, не по сюжету) эта задача похожа на зада­чу 109.

Слегка запутанная, но не слишком сложная задача на сравнения.

Эта задача, как и предыдущая, тоже запутана, тоже на сравнения, но уже несколько труднее.

«Поиграть в кубики» на уроке дети всегда рады.

И опять сравнения, и опять кажется, что слишком мало данных, но по­том становится понятно, что это не просто неравенства, а неравенства в целых числах.

Очаровательная задача с подвохом. Редко кто её решает, но, узнав ответ, радуются абсолютно все.

Очередная игра в цифры.

Задача не столько на «чётность-нечётность», сколько на интуитивную геометрию.

Это замечательная задача. Её решение — своеобразная игра в «кон­структор».

Не совсем стандартная задача «на движение».

Простая-простая логическая задача. Такие хорошо использовать в ка­честве «утешительных».

Это задача на «старые деньги». Как уже говорилось в предисло­вии, тогда разнообразие монет и купюр было значительно больше, чем теперь. Эта «старая» денежная система позволяла составлять множество интересных задач.

Очень простая, несмотря на использование геометрических терминов, задача, которую хорошо давать в качестве «утешительной».

Принцип Дирихле.

Опять «денежная» задача, но в данном случае, она не про деньги, а про остатки.

Арифметика и среднее арифметическое.

Как ни странно, эта задача не столько на сложение дробей, сколько на неравенства в целых числах.

Логическая задача из «Алисиной серии». Забавность условия явно помогает решать эту достаточно сложную задачу.

Любимая всеми задача со спичками.

Задача на сравнение, похожая на задачу 237. Как всегда, при решении помогает забавный сюжет.

Сильно приправленная шахматами задача на чётность-нечётность.

Очередная задача с подвохом.

Как ни странно, на оба вопроса можно ответить без единого перемно­жения.

Опять задача из серии «Алисиных».

Дети успешно решают эту задачу, даже не всегда понимая, что имеют дело со степенями двойки.

Это опять задача на размерности. Помните задачу 41 про Гулливера?

Комбинаторика. Довольно простая.

Как ни странно, это задача на делимость, а вовсе не на что-то другое.

Тот, кто хорошо усвоил простые числа, решит эту задачу без труда.

Обычная задача на умение складывать дроби, которое у современных школьников не слишком развито.

Задачу воспринимают «на ура», ещё и потому, что всегда находится желающий (и умеющий) показывать математические фокусы.

Эта задача не столько на «деньги», сколько на «степени двойки».

Это «утешительная» задача про цифры.

Разгадывание шифров дети приветствовали всегда.

Взвешивания, сильно приправленные монетами.

Взвешивание — такие задачи дети очень любят.

Арифметика-алгебра.

Это один из вариантов хорошо известной задачи про мудрецов и кол­паки. Однажды на кружке мы устроили игру: дети садились так, как описано в задаче, и на них самыми разными способами надевали колпаки. От этого эксперимента были в восторге даже те дети, которые не слишком успешно за­нимались в кружке. Когда приступили к решению — задачу решили все.

«Утешительная» задача на вычисления.

Снова игры с числами и цифрами.

Если прочесть эту геометрическую задачу внимательно — она ока­жется совсем лёгкой.

Арифметика.

Запутанная логическая задача средней сложности.

Забавная задача. Когда разберёшься, что к чему, решение приходит само собой.

Более или менее стандартная задача на чётность-нечётность.

Опять алгебра, но можно решить и арифметически.

Как только дети понимают, что это задача без подвоха и решение существует, они решают её достаточно быстро.

В чистом виде принцип Дирихле.

Забавная, не слишком трудная задача, которую решают почти все, если только не зациклятся на доказательстве того, что это сделать невозможно.

Арифметика.

Трудность состоит в выборе — можно или нельзя. Как только дети начинают «пробовать красить», задачу решают довольно быстро.

Достаточно простая задача на поиск закономерностей.

Пожалуй, это некоторая компиляция задач 26 и 103. Во всяком слу­чае, задача не слишком сложная и может быть решена без предварительного решения этих задач.

Очень простая, «утешительная» логическая задача.

Эта задача обычно вызывала у мальчишек желание съездить в Парк культуры. А решалась она достаточно легко и быстро.

С этой задачей всегда были трудности. Начинались они с того, что все наперебой начинали доказывать, что решить эту задачу невозможно.

Не очень трудная задача, скорее, «утешительная».

Не слишком сложная задача на делимость и остатки.

Нетрудная задача на здравый смысл и простые числа.

Опять логическая задача, и опять — лёгкая.

Эту задачу дети в состоянии решить гораздо раньше, чем узнают метод координат, и при этом находят удивительные аргументы.

Задача только на внимание. Стоит чуть-чуть задуматься, и ответ готов.

Опять игры с числами и цифрами.

В этой задаче используются и интервалы, и кратности, хотя чаще всего дети решают её подбором.

Трудная задача. Тем не менее, её всегда (правда, не все) решают.

Не слишком трудный ребус. Годится в качестве «утешительной» за­дачи.

Логическая задача, чуть более трудная, чем задачи 288, 294.

Нетрудная задача на логику и закономерности.

Пожалуй, из всех приведённых в книге геометрических задач эта — самая трудная. Тем не менее, её решали (конечно, не все).

Алгебра, система уравнений. Обычно вызывает удивление тот факт, что всё это действительно упоминается в книгах новгородских писцов.

Забавная, не очень трудная логическая задача.

Делимость и остатки.

Опять делимость, но уже без остатков.

Арифметика.

Как только дети перестают доказывать, что это невозможно, они до­вольно быстро находят решение.

Для тех, кто хорошо понял темы «простые числа» и «остатки», задача совсем не трудная.

Эта задача исключительно на здравый смысл и жизненный опыт. На­до ли добавлять, что её решают далеко не все...

Нетрудная задача на делимость.

Дети сразу начинали решать эту задачу, хотя, если бы на минутку задумались, поняли бы, что это сделать невозможно.

Может быть, не слишком стандартная, зато достаточно лёгкая задача на делимость.

После этой симпатичной задачи дети, как правило, требуют конфет. Мы обычно приносим, но обещаем дать только тем, кто решит эту задачу. Как правило, решают почти все, ну, а тем, кто не решит, приходится немного под­сказывать.

Задачи на неравенства, составленные из спичек, всегда пользуются успехом.

Эту замечательную задачу мы знаем уже лет 50, а сколько времени она была известна до этого!

318.     Это задача на действия с дробями и наименьшее общее кратное.
319—320. Игры с цифрами и числами, уравнения, делимость.

Задача трудна до тех пор, пока её воспринимают как задачу с подвохом и пытаются доказать, что этого сделать нельзя. Как только начинают красить клетки реального квадрата, задача решается мгновенно.

Эта задача напоминает задачу 127 про Знайку и Незнайку, не только сюжетом, но и по существу.

Задача на редкость простая, идеальна, как «утешительная».

Арифметика-алгебра.

Игры с цифрами.

Это относительно трудная задача на делимость и остатки.

Очередной, не слишком сложный, ребус.

Этогеометрия,хотяопятьна«бытовом» уровне.

Опять ребус.

Это сильно приправленная домино задача на чётность-нечётность. Интересна реакция детей. Почти все, кто решил задачу с учётом того, что каж­дая цифра встречается на косточках домино ровно 8 раз, тем не менее долго

не могли понять, что если вместо 5 очков на конце будет 4, задача решается точнотакже,хотя5и6— разной чётности, а 4 и 6 — одинаковой. Видимо, дело в том, что на использование этого метода натолкнул факт, что числа 5 и 6 имеют разную чётность.

Это не слишком трудная задача на остатки и периодичность.

Арифметика-алгебра.

Сравнения и игра с цифрами.

Очередная «Алисина» задача.

Довольно простая задача про простые числа.

336—337. Две задачи, про котов и кошек на выставке, как правило, сна­чала вызывающие недоумение — непонятно, как к ним подступиться. Задачи не слишком лёгкие, но иногда на занятиях, а чаще за неделю дома, их решают.

Игра с цифрами.

Совершенно невероятная задача. Сначала дети даже не знают, как к ней подступиться, но потом почему-то начинают рисовать кувшины, часто на редкость красивые, и постепенно придумывают решение.

Оказывается, это произведение надо просто разложить на множители, а дальше всё пойдёт само собой. А вначале казалось, столько раз придётся умножать...

Эта задача похожа на задачу 57, но ещё запутанней.

Несложная задача о простых числах.

Одна из наиболее трудных задач, хотя условие изложено так, что она не кажется трудной, во всяком случае, уж если её решали, то достаточно быст­ро. Собственно, те, кто не смог её решить на занятии, не смог этого сделать идома.

Очередная игра в цифры и числа.

Не слишком трудная «почти геометрическая» задача. Если только де­ти догадаются нарисовать путь Лешего, задача практически будет решена.

Исновацифрыичисла.

Очередная задача с подвохом, она особенно действенна, поскольку от таких задач дети уже успели отвыкнуть.

Это довольно сложная задача, похожая, как ни странно, на задачу 336 о кошачьей выставке. Хорошо бы обратить на это внимание детей: сюжеты разные, а математика одна.

Не слишком трудная логическая задача. Обычно легко решается.

Последняя и довольно трудная задача. Математически она связана с задачей 160, а сюжетно не связана ни с одной из задач этой книги.

4. Как выбрать задачи для занятий

Вы хорошо знаете своего ребёнка, яегонезнаюсовсем.

Доктор Спок

Невозможно дать строгое распределение задач по занятиям. Всё будет за­висеть отваших кружковцев: какие-то задачи они будутрешать быстрее, какие-то медленнее. Мы не можем дать конкретных рецептов, но можем кое-что по­советовать. Довольно подробно про это было написано в послесловии к 1-му изданию этой книги (см. выше).

Здесь, в добавление к первому послесловию, мы предлагаем вам общие рекомендации и, для примера, распределение задач на одном из тех кружков для третьеклассников, которые мы вели.

Когда кружок ведётся для маленьких детишек, не так важно, чтобы на каж­дом занятии была трудная задача. Но наличие очень простой совершенно необ­ходимо. Нельзя допустить, чтобы кто-нибудь к концу занятия не решил ни од­ной задачи. Но обязательно объясните детям, что решить не все задачи на за­нятии — это нормально. То, что не решили, оставьте как домашнее задание. Это очень важно, поскольку многие дети в состоянии решить много достаточно трудных задач, но не в состоянии это сделать быстро.

У нас была возможность — к каждому занятию, для каждого ученика го­товить отпечатанный листок с задачами. Это было очень удобно, поскольку давало детям возможность решать задачи в любом порядке. Раньше, когда такой возможности не было, мы просто записывали (конечно, сокращённо) условия всех задач на доске.

У такой подачи задач есть и свои минусы. К тому времени, когда многие уже решили какую-то задачу, некоторые даже не приступали к ней, поэто­му трудно было найти момент для обсуждения решения. Мы обычно разбору решений посвящали последние 5—10 минут каждого занятия. При этом, если хотя бы один человек просил пока не рассказывать решение какой-то задачи, мы оставляли эту задачу для разбора в начале следующего занятия. Вот то­гда мы уже разбирали все оставшиеся задачи, которые хоть кто-нибудь решил. Если ни на занятии, ни дома задачу не решали, мы обычно откладывали её в долгий ящик, а иногда просто рассказывали решение сами.

Для детей всегда было удовольствием выйти к доске и рассказать своё ре­шение. Обычно решение рассказывал тот, кто решал эту задачу самым первым. При этом мы следили, чтобы каждый появлялся у доски не больше пары раз за занятие. Так что иногда решение рассказывали и те, кто решил вторым, и те, кто третьим. А домашние решения, как правило, рассказывали как раз те дети, которые решали много, но медленно. Так что, в общем, никто не был в обиде.

На два-три первых занятия, пока мы ещё не слишком хорошо знали ре­бят, мы старались давать не слишком трудные задачи, как правило, с забавной формулировкой. Кроме того, обязательно давались задачи поскучнее, но как бы основополагающие к разным темам, т. е. те, которые позволяют ничего не объ­яснять, и у ребят остаётся полное впечатление, что до всех способов решения задач они доходят сами.

Нас всегда поражало, как начинали загораться глаза у детей, когда они ви­дели эти задачи. Сначала им просто нравились условия, но постепенно от неко­торых задач глаза разгорались ещё больше, а от некоторых — наоборот, туск­нели.

Это поворотный момент. Теперь вы уже видите, кому из детей какая задача даётся легче, какая тяжелее. Естественно, у разных детишек эта разбивка раз­ная. Теперь уже список предлагаемых задач зависит не столько от вас, сколько от того, как проходило предыдущее занятие. Иногда, если вы видите, что кто-то начинает скучать, дайте на следующем занятии задачи полегче, и обязатель­но прибавьте пару задач на ту тему, которая у этого скучающего ребёнка идёт лучше других. Уверяем вас, от скуки не останется и следа.

А иногда просто вы вдруг узнаете новую задачу, которая понравится вам, и не можете устоять от соблазна — поделиться этой задачей с кружковцами. Иногда сами дети приносят задачи. Ну, в общем, часто бывает так (да что там — часто, почти всегда!), что не вы ведёте кружок, а кружок ведёт вас.

Когда создавалась эта книга, мы пыталась так её составить, чтобы на её основе можно было бы вести самые разные кружки. Можно, например, ис­пользовать только лёгкие задачи, такой кружок будет вполне доступен для третьеклассников. Причём не «сильных», а всех желающих и не желающих; в данном случае наша задача — как раз нежелающих и пристрастить (в этом случае на первый план выступают не темы задач, не их сложность, а исклю­чительно занимательность условий) . Можно этот же набор задач перетасовать по-другому, например, разбить по темам и устроить кружок для тех детей, ко­му математика достаточно интересна, и которые в результате «повысят свою квалификацию».

Если мы отберём задачи потруднее, то то же самое можно будет сделать для детей постарше. Вообще, нужно сказать, что запись «книга предназначена для учащихся 3—7 классов» означает только то, что эти задачи доступны детям этого возраста, но вовсе не означает, что для детей старше или для взрослых эти задачи не интересны, вовсе нет! Как правило, именно у этих категорий читателей задачи вызывают неожиданный интерес.

Есть разные способы подбора задач для занятий. Часто, например, ис­пользуется такой способ: на каждое занятие (или на несколько занятий) даётся определённая тема, и все задачи на занятии даются на эту тему. Таким обра­зом, отрабатывается техника решения задач. Мы всегда предпочитали другой способ: на одно и то же занятие даются задачи из различных тем, причём не го­ворится, какая задача на какую тему. Тогда отрабатывается не «техническая»

сторона решений, а «идейная»: дети незаметно для себя обучаются навыку «ди­агностирования» задач, что много важнее.

Итак, повторим главное. Важно, чтобы 1) задачи были облечены в занима­тельную форму, 2) на каждом занятии давалась лёгкая задача (утешительная), 3) задачи давались из разных разделов, 4) трудность задач постепенно (ни в ко­ем случае не слишком быстро!) возрастала, 5) обязательно обращалось внима­ние на всех кружковцев (если кому-то стало скучно — на следующее занятие подберите задачи специально для него).

5. Вариант распределения задач по занятиям

Общий принцип подбора задач для очередного занятия таков.

Вы вводите новую тему — даёте очень простые, понятные задачи, кото­рые используют основные деи этой темы. Понемножку, но очень аккуратно, подсказываете, чтобы дети смогли всё-таки дойти до этих идей, но успели бы забыть, что дошли они до этих идей не совсем сами, а их аккуратно подве­ли. Тогда и удовольствия ребята получат больше, и хорошо запомнят основные идеи.

Теперь несколько занятий даёте по 1 —2 задачи на эту тему и продолжа­ете давать задачи на предыдущие темы. Когда вы увидите, что тема усвоена, переходите к следующей и т. д.

Надо следить, чтобы задачи определённой уже «пройденной» темы не про­падали надолго. Всё-таки хотя бы одну задачу на 3—4 занятия давать обяза­тельно.

В приведённом ниже наборе задач для занятий темы распределялись в та­ком порядке. Закономерности (занятие 1), Интервалы (занятие 2), Неравенства (занятие 3), Чётность-нечётность (занятие 5), Взвешивания (занятие 6), Дели­мость (занятие 9), Простые числа (занятие 12).

Вы вольны выбрать и другой порядок, Важно только соблюдать основной принцип — трудность задач должна возрастать постепенно, но как только та или иная задача вызвала затруднение, на следующее занятие надо дать задачу на ту же тему, но легче... и опять всё повторяется.

Перейдём к подбору задач. Можно давать задачи практически подряд — от 1-й до 350-й. Трудность задач возрастает очень постепенно, а заниматель­ность условий падает тоже очень постепенно. Такой кружок вполне по силам ученикам 3-го класса.

Приведём ещё один набор задач. Здесь будут перечислены их номера и ино­гда будет поясняться, почему именно эти задачи были выбраны. Это, пожалуй, набор для «продвинутых» третьеклассников или для «обычных» пятикласс­ников.

И последнее. Нам хочется обратить ваше внимание на набор задач 115—122. Это 173 маленьких примера на составление чисел из пяти оди­наковых цифр и арифметических действий. Хорошо бы давать такие примеры

5. Вариант распределения задач по занятиям

на каждом кружке (если давать по 5 примеров на занятие, то хватит на год) . Эти задачи хороши вот чем: как правило, они не сложны, значит, могут слу­жить в качестве утешительных; они позволяют детям отладить навыки устного счёта, которыми далеко не все современные школьники хорошо владеют; когда таких задач набирается много, они стимулируют у детей желание найти хоть какую-то общую методику решения; конечно, общую методику они не найдут, но до нескольких частных вполне смогут докопаться.

Занятие 1: 1, 2, 4, 29, 32. Занятие 2: 3, 12, 14, 15, 16, 33, 40. Занятие 3: 13, 18, 21, 26, 52, 53, 35. Занятие 4: 54, 17, 19, 44, 71, 31. Занятие 5: 62, 64, 253, 11, 245, 68, 98. Занятие 6: 80, 88, 221, 38, 70, 182.

Давайте приостановимся на этом блоке задач. Это та самая вступительная часть, о которой говорилось выше. Здесь преобладают задачи с занимательны­ми условиями, но, как бы между прочим, даются «основополагающие» задачи (на 1 -мзанятии— закономерности, на 2-мзанятии— обинтервалах, на тре­тьем — о сравнениях и т. д.) .

Обратите внимание: как только началась какая-то тема, на каждом следу­ющем занятии обязательно даётся задача на ту же тему — для «закрепления». Когда мы введём уже достаточно много тем, задачи для «закрепления» можно будет давать реже.

И вот ещё на что обратите внимание: мы для своих занятий выбрали появ­ление математических тем именно в таком порядке, а вы вольны взять и другой порядок появления этих тем. Кроме того, если вы увидите, что тема оказалась трудноватой, лучше отбросьте эту тему и дайте её значительно позже (если вы посвятите ей не одно занятие, а два-три, чтобы дети во всём разобрались, то возникнет опасность сделать кружок скучным).

Вот темы, которые можно дать сразу же, эти задачи не требуют особых знаний и умений, а только сообразительности и здравого смысла: задачи с под­вохом; внимательный счёт; числовые ребусы, магические квадраты и т. п.; па­радоксы; домино; задачи со спичками. Только на самых первых занятиях надо следить, чтобы формулировки этих задач были достаточно забавны (это свое­образный рекламный трюк).

Вот темы, которые можно дать довольно быстро и, более или менее, в лю­бом порядке: интервалы; простейшая геометрия; чётность-нечётность и чёрное-белое; неравенства и сравнения; закономерности; делимость чисел и простые числа. И тоже, на первых занятиях надо следить за тем, чтобы формулировки этих задач были достаточно забавны.

Одновременно можно вводить и темы: с алгеброй и без неё; логические задачи; комбинаторика; стратегии; взвешивания; цифры; целые числа. Отличие этих тем от предыдущих состоит в том, что для них не нужна предварительная подготовка. Но, как всегда, желательно начинать с забавных условий.

Задачи на оставшиеся темы (обратный счёт; шарады, шифры; размерно­сти; турниры; среднее арифметическое; целое и его части; календарь и время;

принцип Дирихле), как правило, более трудные, поэтому, например, третье­классникам их можно вообще не давать, хотя, конечно, и здесь есть исключе­ния. Посмотрите эти задачи и решите сами, как с ними поступить. Это зависит в основном от того, какие дети посещают ваш кружок и что их интересует. Вы ведь не обязаны дать абсолютно все задачи, которые есть в книге.

Занятие 7: 167, 43, 81, 134, 271, 86. Занятие 8: 192, 55, 50, 57, 59. Занятие 9: 124, 95, 228, 90, 323, 132. Занятие 10: 321, 34, 24, 25, 9, 38. Занятие 11: 231,

175, 176, 199, 316, 79, 180. Занятие 12: 61, 137, 138, 23, 37, 153. Занятие 13:

96, 167Б, 10, 80, 111, 30. Занятие 14: 313, 87, 144, 91, 159, 185. Занятие 15: 81, 109, 142, 66, 67, 99. Занятие 16: 84, 161, 126, 105, 56, 123. Занятие 17: 97,

6, 226, 229, 136, 125. Занятие 18: 106, 181, 100, 131, 46, 151. Занятие 19: 154,

147, 47, 204, 218, 183. Занятие 20: 148, 200, 165, 289, 164, 127, 128.

Вот, собственно, расклад задач по занятиям. Здесь 20 занятий — ровно на 20 учебных недель. Напоследок хотелось бы ещё раз подчеркнуть, что задачи в этом расписании можно инужно менять в зависимости от интересов, умения и возможностей ваших учеников. И конечно, хотелось бы пожелать вам успеха на этом не слишком лёгком, но удивительно увлекательном пути!