ГЛАВА XI

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 

 О МАЯТНИКЕ

Тело, падающее

вдоль хорд

окружности,

проходит их

за такое же время,

как если бы оно

проходило весь

диаметр

Начертим несколько наклонных пло­скостей между точкой А и горизон­тальной линией ВС и опустим пер­пендикуляры из С на эти плоскости. Наметим центр на равных расстоя­ниях от А и от С и начертим окруж­ность по угловым точкам D, Е, F. Линии AD, АЕ, AF (рис. 25) — хорды окружности; и мы

можем во второй полуокружности начертить прямые, ко­торые, будучи параллельны первым, будут им равны и одинаково наклонны.

Ведь очевидно, что все эти прямые играют ту же роль, что и плоскости, о которых мы только что говорили. Тело спустится вдоль каждой из них за такое же время, как если бы оно падало с верха диаметра вниз из А в С.

Сколько бы мы ни проводили хорд в вертикально поставленной окружности, тело всегда затратит одина­ковое время на прохождение каждой хорды, и время это будет равно тому, которое оно затратило бы на прохож­дение диаметра. Вы также заметите, что хорды пропор­ционально степени их наклона будут более длинными или более короткими.

Маятник производит

колебания за то же

время, за какое он

прошел бы четыре

диаметра окружности,

радиусом которой

он является

Сила тяготения всегда действует пер­пендикулярно, и независимо от угла наклона плоскости тело, достигнув горизонтальной линии ВС, имеет ту же силу, как если бы оно падало перпендикулярно из А в С. Пусть тело подвешено (рис. 25) к центру М на нити, длина которой равна полудиаметру

окружности. Это тело, опускаясь из h, не может упасть ниже С; но сила, приобретенная им при прохождении данного пути, может быть использована для прохожде­ния еще одного, равного ему пути, и оно вновь поднимется в F. Дойдя до этой точки, оно утратит всю свою силу и, таким образом, вновь упадет под действием своего тяго­тения, вновь обретет достаточную силу, для того чтобы

подняться в точку h,  откуда  оно снова  упадет,  и  т. д.

Тело, подвешенное таким образом, называется маятни­ком. Оно может быть подвешено на веревке либо на прово­локе. Движение маятника из h в С и из С в h называется колебанием или качанием.

Оно падает ускоренным движением из h в С за то же время, за какое оно упало бы из А; и за такое же время оно поднимается в F затухающим движением.

Стало быть, если бы за эти два промежутка времени оно падало перпендикулярно из точки А, оно прошло бы четыре диаметра окружности.

Значит, тело, подвешенное в центре М, затратило бы на колебание такое же время, какое оно затратило бы, проходя перпендикулярно четыре диаметра, либо, что то же самое, проходя высоту маятника восемь раз.

Условия, необходимые

для изохронных

колебаний

Таково соотношение между движением колебательным и движением перпендикулярным, когда, по нашему пред­положению, маятник опускается и поднимается по хордам. Ведь поскольку дуги окружности тем менее отличаются от хорд, чем они меньше, предполагается, что соотношение остается тем же, когда маятник совершает колебание по ма­лой дуге LCK. По правде говоря, это допущение не совсем точно, поскольку геометры доказывают, что время, необхо­димое для того, чтобы опустить тяжелое тело по бесконечно малой дуге, относится к времени, необходимому для того, чтобы опустить его по хорде той же дуги, как длина окруж­ности — к четырем ее диаметрам, или приблизительно как 355 к 452. Между тем периоды колебания по сколь угодно малым дугам окружности равны, потому что они соотно­сятся как равные периоды падения по хордам этих дуг. Вам следует отметить, что во всем сказанном нами о движении мы упускаем из виду трение, а также сопротивление воздуха. Но трение тем менее ощутимо, чем длиннее маятник и чем меньшую дугу он описывает.

Если бы не существовало ни трения, ни сопротивления воздуха, маятник, раз качнувшись, вечно продолжал бы свои колебания в равные промежутки времени. Когда маят­ник короток, а дуги большие и трение и сопротивление воз­духа более ощутимы, то колебания происходят в неравные промежутки времени. А когда, наоборот, маятник длиннее, а дуги меньше, колебания могут без ощутимой ошибки рас­сматриваться как происходящие в одинаковые периоды

времени, до тех пор пока маятник не остановится. Подоб­ные колебания называются изохронными.

Соотношение между

длиной маятника

и продолжительностью

колебаний

Время колебаний тем меньше, чем короче сам маятник. Вот каково должно быть это соотношение (рис. 26). AGBE и D/Bi — две окружности, диаметры которых АВ и DB отно­сятся друг к другу как 4 к 1.

Мы доказали, что если тело падает из А в В за опреде­ленное время, то за промежуток времени, вдвое меньший,

оно может упасть лишь из D в В. Мы доказали также, что тело падает вдоль хорды окружности за то время, за какое оно падает вдоль диаметра. Стало быть, тело в Е упадет вдоль хорды BE за время, вдвое большее по сравнению с тем временем, в течение которого тело в f упадет вдоль хорды fВ. Итак, доказано, что если допустить, что дуги BE и fВ подобны или очень малы, то периоды падений по этим ду­гам, или периоды полуколебаний, соотносятся как периоды падений по хордам. Следовательно, время колебания маят­ника СВ будет вдвое больше, нежели время колебания маятника Be.

Если Вы хотите, чтобы колебания были в два раза мед­леннее, надо, чтобы маятник был в четыре раза длиннее, и, напротив, надо, чтобы он стал в четыре раза короче, если Вы желаете, чтобы колебания стали вдвое быстрее.

Для определения длины маятника необходимо знать центр колебаний

Но для того чтобы вымерить маятник, надо уметь определить центр колеба­ний, ведь длина маятника равна рас­стоянию от центра колебаний до центра подвешивания. Это один из труднейших вопросов. Всего того, что мы изучили до сих пор, недостаточно, чтобы научиться отыскивать точку, ко­торая и есть центр колебания. Ограничимся же тем, что составим понятие о данной проблеме.

Представим себе маятник СР (рис. 27) как рычаг, имеющий точку опоры в центре подвеса С, и, не учитывая силы тяготения рычагов, предположим, что вся тяжесть подвешенного тела сосредоточена в точке Р.

Предположим, что это тело упадет из Р в В со ско­ростью, пропорциональной массе, умноженной на расстоя­ние от центра тяжести до центра подвеса С, и центр колеба­ния будет тот же, что и центр тяжести. Если предположить то же относительно маятника ср, составляющего лишь одну четверть СР, центр колебания будет для него снова тот же, что и центр тяжести подвешенного тела. Итак, если эти два маятника совершают колебания по дугам, соотносящимся как окружности, частями которых они являются, то р дос­тигнет /, когда Р будет еще только в В; и р возвратится в точку, откуда оно вышло, когда Р достигнет F; р делает два колебания, в то время как Р делает одно, и если р затра­чивает полсекунды на каждое колебание, то Р затратит на каждое колебание целую секунду.

Вы также можете рассматривать (рис. 28) подвешен­ный рычаг АС, не учитывая силы тяготения, и, разделив его на четыре равные части, поместить на втором делении тело В весом в два ливра, а на конце — тело С весом тоже в два ливра.

Скорости В и С соотносятся как произведения их масс на их расстояние от А, и произведения будут 12. А ведь произведение массы на расстояние для тела весом в четыре ливра, помещенное в D, на третьем делении было бы тоже 12. Следовательно, колебания этого маятника будут происходить со скоростью, составляющей среднее арифме­тическое по отношению к скоростям В и С, как если бы вся тяжесть сосредоточивалась в D.

Из всех этих предположений Вам ясно, что, чем мень­шую тяжесть будет иметь нить по отношению к весу маят­ника, тем меньше поправок внесет сила тяготения рычага. Так именно и получается, когда тело значительного веса

 

 

подвешивают на очень тонкую стальную проволоку; наблю­дали, что маятник длиной 39,2 дюйма (в английской мере) от центра диска до точки подвеса совершает одно колебание в секунду и, следовательно, 3600 колебаний в час. Этот опыт был проведен с маятником весом 50 ливров, которому была придана чечсвицеобразная форма, чтобы уменьшить

сопротивление воздуха; колебания продолжались целый день. Опыт (рис. 29) приблизительно показывает центр колебания бруска, однородного и имеющего одну и ту же плотность во всех своих частях, так как его колебания изохронны с колебаниями маятника, длина которого была бы равна третям длины бруска.

Предмет следующей книги

Я не склонен входить в дальнейшие подробности устройства механизмов. Принципов, изложенных мною, дос­таточно для объяснения того, как очевидность факта и оче­видность разума содействуют друг другу при достижении истины, и, поскольку эти принципы позволяют составить идею о системе планет, я дам Вам представление об этой системе в качестве нового примера рассуждений, ка­сающихся одновременно и очевидности факта, и очевидно­сти разума. Вы увидите, монсеньер, что вселенная — не что иное, как машина, подобная только что изученным нами; это — весы. Эта истина будет доказана Вам при помощи ряда теорем, тождественных теоремам второй книги.