ГЛАВА V

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 

ПЛОЩАДИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ВРЕМЕНИ

Часть эллипса,

описываемая

при ускоренном

движении

Часть эллипса,

где движение

замедляется

Увеличение и уменьшение углов —

не единственная

причина, ускоряющая

и замедляющая

движение

Я хочу, чтобы Вы сначала отметили, что вес, что мы бу­дем   говорить   для   объяснения   этих   эллипсов,   сводится, в сущности, к тому, что уже говорилось и доказывалось, когда мы объясняли кривую, называемую параболой, имен­но что небесные тела описывают эллипсы только потому, что, подчиняясь двум силам, всегда направленным под уг­лом друг к другу, они движутся от одной диагонали к другой. Тело (рис. 38), брошенное в направ­лении ай, притягивается Солнцем в направлении  AS,  т.  е.  под  прямым углом, следовательно, оно будет дви­гаться ускоренно из А в В. Когда оно придет в эту точку, сила проекции понудит его двигаться по линии ВЬ, но оно притягивается под острым углом в направлении BS; сле­довательно, его движение еще будет ускоренным, и оно бу­дет двигаться из В в С. Таким образом, направление силы, действующей вдоль касательных, всегда составляет острый угол с направлением силы тяготения, и две сложные силы ускорят   движение   планеты,   пока   она   не   придет   в   Р. Когда планета приходит в Р, направ­ление силы, действующей вдоль каса­тельной   Р,  составляет  прямой  угол с PS, направлением силы тяготения; планета будет двигаться в F.  Но поскольку она прошла путь из D в Р, двигаясь ускоренно, то из Р в F она движется замедленно. ВF направление силы, действующей по каса­тельной F/, составит тупой угол с FS, направлением силы тяготения, следовательно, движение будет еще замедлен­ным, и оно будет замедленным до тех пор, пока планета не придет в А, потому что углы все время будут тупыми. Но следует заметить, что увеличение и уменьшение углов — не единствен­ная причина, которая ускоряет и за­медляет  движение.   Ведь  из  А  в   Р углы уменьшаются лишь до половины пути, точно так же как и возрастают

они до половины пути из Р в А. Следовательно, ускорение и замедление имеют еще и другую причину. И действи­тельно, планета ускоряет свое движение по пути из А в Р, так как все больше приближается к Солнцу, которое притя­гивает ее обратно пропорционально квадрату расстояния, а замедляет она свое движение, возвращаясь из Р в А, поскольку, по мере того как она все больше удаляется от Солнца, она все меньше им притягивается.

Что подразумевается под радиусом,

вектором и

под описываемыми

ими площадями

Площадь треугольника — это про­странство, ограниченное тремя его сторонами (рис. 38). Таковы отрезки AS, BS и т. д. Когда планета дви­жется из А через В, С и т. д., ра­диус SA представляется как прямая, которая, подни­маясь над центром S, уносит планету на другой конец и которая, перемещаясь вместе с планетой, так сказать, заметает соответствующую площадь, по мере того как планета описывает сторону, противоположную центру S. Этот радиус называется «радиус-вектор», т. с. «несущий». Вот что подразумевают, когда говорят, что планета описы­вает площади вокруг центра своего движения. Площади пропорциональны промежуткам времени.

Ныне все астрономы знают, что площади, описываемые планетой, пропорциональны времени, т. е. в равные проме­жутки времени планеты описывают равные площади. Кеп­лер первый открыл это явление и первый выдвинул до­гадку, что причина его — притяжение Солнца. Ньютон до­казал истинность этого открытия и этого предположе­ния.

Эта истина становится наглядной, когда планета дви­жется по круговой орбите. Когда планета движется кругообразно вокруг центра, она описывает одинаковые дуги окружности в одинаковые промежутки времени. В данном случае площади, которые описывает радиус-век­тор, не только равны, но также и подобны, и это подобие делает наглядным их равенство. Вот что должно происхо­дить всякий раз, когда планета движется по круговой ор­бите, ибо поскольку ее движение ни замедленно, ни уско­ренно, то, очевидно, радиус-вектор в одинаковые промежутки времени проходит равные и подобные пло­щади.

Именно так, по-видимому, движутся вокруг Юпитера его спутники. По правде сказать, сообразно их положениям они должны более или менее отклоняться, так как они не всегда находятся на одном и том же расстоянии от Солн­ца и на одинаковом расстоянии друг от друга. Но мы можем пренебречь этими неправильностями, так как они не столь значительны, чтобы их можно было наблюдать в теле­скоп.

Доказательство

данной истины,

когда планета

движется

по эллипсу

Когда планета совершает движение по эллипсу, а центр движения нахо­дится в одном из фокусов, то радиус-вектор описывает равные площади. Это равенство вначале не столь ощу­тимо, потому что площади не все подобны и Вы найдете подобие лишь среди тех, которые соответствуют одна другой на одинаковом расстоянии от перигелия и от афелия. Но хотя площади (рис. 39) не все подобны, они все равны: те, у которых наименьшая длина, выигрывают в ширине то, что они проигрывают в длине. Вы сможете наглядно увидеть это на рисунке; однако необходимо привести доказательство этого.

Вы знаете, что площадь треуголь­ника, или пространство, заключен­ное между тремя сторонами, есть половина произведения высоты на основание, а потому Вы полагае­те, что, когда треугольники имеют одно и то же основание и одина­ковую высоту, площади равны. Теперь предположим, что тело (рис. 39), двигаясь равномерно, проходит в равные промежутки

времени равные отрезки АВ, ВС; очевидно, что площади ASB, BSC, описываемые радиусом-вектором, равны, так как оба этих треугольника имеют одинаковую высоту и одинаковое основание: одинаковое основание — так как ВС равно АВ и одинаковую высоту — так как высота и того и другого — это перпендикуляр, опущенный из вершины S на прямую AD.

Следовательно, пока это тело будет продолжать двигаться по той же прямой и пока треугольники будут иметь общую вершину в той же точке, площади останутся равными и будут различаться лишь потому, что они будут выигрывать в длине то, что потеряют в ширине.

Однако, когда это тело вместо прямой линии будет опи­сывать кривую линию вокруг точки S, где мы установили вершину треугольников, данное направление не изменит размера площадей, а изменит лишь их конфигурацию, так что они выиграют в ширину то, что они потеряют в длину. Для доказательства сообщим этому телу, пришедшему в С, силу, способную, при условии что на тело не будут действо­вать другие силы, перенести его в Е за то же время, за какое

оно пршло бы, двигаясь равномерно, из С в D. Из выше­сказанного явствует, что данное тело, подчиняясь этим двум силам, пройдет диагональ CF параллелограмма CDFE за то же время, за какое оно прошло бы СЕ или CD. Стало быть, радиус-вектор опишет площадь SCF, но эта площадь равна SCD, так как два треугольника имеют общее ос­нование в CS и, находясь между двумя параллелями СЕ и DF, имеют также общую высоту в перпендикуляре, опу­щенном с одной из этих прямых на другую. Вам понятно, что то же самое рассуждение доказывает равенство следующих площадей.

Площади

пропорциональны

периодам времени

лишь при допущении,

что планета

постоянно направлена

к одному и тому же

центру

Но если бы планеты не всегда направ­лялись в точку S, а периодически устремлялись бы в какую-либо смеж­ную точку, то плоскости непременно были бы неравны; потому что тело, вместо того чтобы попасть на пря­мую DF, в тот же период времени либо пройдет поверх этой прямой, либо не достигнет ее, и, следовательно, описанные площади будут либо большими, либо меньшими, чем SCD.

Итак, доказано, что, когда тело двигается по кривой, постоянное направление к той же точке доказывает про­порциональность площадей периодам времени; отсюда Вы должны заключить обратное данному положению, а именно что пропорциональность площадей периодам времени доказывает, что тело постоянно направлено к одной и той же точке.

Следствия,

вытекающие

из данной истины

Это одна из наиболее значительных истин в системе Ньютона, она явля­ется непреложным законом, от кото­рого природа никогда не отклоняется. Достаточно вместе с Кеплером наблюдать спутники Юпи­тера и вместе с ним заметить соразмерность описываемых площадей периодам времени, чтобы убедиться, что его спутники всегда направлены к центру основной планеты. Точно так же Луна в течение всего периода своего обра­щения направлена к центру Земли, поскольку ее радиус-вектор в равные промежутки времени описывает равные площади, а если и замечены некоорые неправильности к описываемых площадях, то доказано, что Луна направ­лена не в точности к центру нашего шара. И наконец, уже не подлежит сомнению, что все планеты направлены к центру Солнца, поскольку радиус, проведенный от любой

из них к данному центру, описывает равные площади в равные промежутки времени; достаточно наблюдения, чтобы убедиться, что дело обстоит именно так.

Почему комета

не падает на Солнце

и не выходит

за пределы своей орбиты

Быть может, Вы спросите меня, по­чему комета, находясь в своем пери­гелии, не падает на Солнце и почему в своем афелии она не выходит за пределы своей орбиты. В самом деле,

в эллипсе, таком, какой я Вам приводил в пример, ко­мета в перигелии * в 6 раз ближе к Солнцу и поэтому в 36 раз сильнее притягивается, а в афелии она в 6 раз дальше от Солнца и в 36 раз менее притягивается. Но отметьте, что, больше притягиваясь, она имеет большую скорость, а скорость не может увеличиваться так, чтобы при этом не возрастала также и центробежная сила. И наоборот, ее скорость уменьшается по мере того, как ослабевает притяжение; соответственно уменьшается и центробежная сила.

Из этого Вы видите, что, чем более эксцентрическим яв­ляется эллипс, тем более изменяется скорость от афелия к перигелию. Именно это происходит с кометами: они быстро движутся в нижней части своей орбиты — в периге­лии и медленно в верхней части — афелии, и именно это ускорение и замедление заставляют радиус-вектор описы­вать площади, соразмерные периодам времени.

Ее тяготение

подчинено тем же

законам, что и

сила тяготения

вблизи земной

поверхности

* Перигелием называется точка, которая показывает ближайшее расстояние планеты от Солнца, афелием — точка, показывающая наи­большее расстояние от Солнца.

Для того чтобы понять, как тяготение планет и комет (рис. 40) согласуется с силой тяготения на Земле, допусти­те, что с одной части солнечной по­верхности брошено тело таким обра­зом, что оно поднимается по линии ВА до А; Вы видите, что при этом предположении оно подни­мается до А, совершая замедленное движение, и что, придя в эту точку, где метательная сила и сила, притягивающая его к центру, действуют под прямым углом, оно будет па­дать, совершая ускоренное движение по линии ВА. Если же на некотором расстоянии от Солнца Вы бросите то же тело в направлении, параллельном ВА, оно будет двигаться, например, из С в D и опишет эллипс CDc. Все это выводы из всего вышесказанного, или из теорем, тождественных с уже доказанными нами теоремами.

Планеты и кометы

должны постоянно

приближаться

к Солнцу

Тем не менее не следует думать, что кометы и планеты должны вечно дви­гаться по орбитам, однажды ими пройденным. Это было бы так, если бы они перемещались в совершенно пустой среде, где они не встретили бы никакого сопротивления, но разве свет, пронизывающий все небесное пространство, или тон-

Как комета

может упасть

на Солнце

чайшие частицы, отрывающиеся от комет и от планет, не могут стать препятствием для движения этих тел, обращающихся вокруг Солнца? Это сопротивление, правда, будет в несколько тысяч раз меньше того, ко­торое оказал бы воздух, окружающий Землю, но все же это сопротивление. Метательные силы этих тел и, следова­тельно, их центробежная сила убывают соразмерно с этими препятствиями, а если сила притяжения Солнца, или центростремительная сила, остается неизменной, то все планеты должны постоянно, хотя бы и незаметно, прибли­жаться к Солнцу. Именно это заставило Ньютона сказать, что вселенная будет существовать, лишь пока господь бог будет заводить эту гигантскую машину. К этому я добавлю, что некоторые астрономы уже полагают, что им удалось наблюдать незначительные изменения в орбите планет. Это всё догадки. Однако посмотрим, как комета может упасть на Солнце. Наблюдениями установлено, что Солнце имеет огромную атмосферу; в силу царящей там жары его поверх­ность должна испускать вовне ис­течения, которые образуют вокруг среду, по меньшей мере столь же плотную, как наш воздух.