ОБ ОЧЕВИДНОСТИ РАЗУМА

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 

Предположим,   что   нужно   доказать такое предложение: Площадь (mesurе)   всякого  треугольника есть  про­изведение его высоты на половину его основания.

Конечно, в этих выражениях не видно тождества идей. Значит, это предложение не является очевидным само по себе; значит, его нужно доказать, нужно показать, что оно — очевидное следствие очевидного предложения, или что оно тождественно тождественному предложению; нуж­но показать, что идея, которую я должен составить себе о площади всякого треугольника, — это та же самая идея, ко­торую я должен иметь о произведении высоты всякого тре­угольника на половину его основания.

Для этого есть только одно средство, а именно сначала точно объяснить идею, которую я связываю со словами «измерить площадь», а затем сравнить эту идею с той иде­ей, которую я имею о произведении высоты треугольника на половину основания.

Но измерить площадь — это то же самое, что последова­тельно наложить на все ее части другую площадь опреде­ленной величины, например квадратный фут. Здесь тожде­ственность заметна уже при одном взгляде на слова. Зна­чит, это предложение относится к числу тех, которые нет нужды доказывать.

Но я не мог бы непосредственно приложить к треуголь­ной поверхности определенное число квадратных поверх­ностей одинаковой величины, и здесь-то доказательство становится необходимым, т. е. мне нужно путем ряда тождественных предложений прийти к открытию тожде­ственности предложения Площадь всякого треугольника есть произведение его высоты на половину его основания. Может быть, сначала это покажется Вам очень трудным, однако нет ничего проще этого.

Сначала я хочу обратить Ваше внимание на то, что знать измерение какой-нибудь величины и знать ее отношение к величине, размер которой известен,— одно и то же; на­пример, нет разницы между знанием того, что величина данной площади — один квадратный фут, и знанием того, что она есть половина площади, о которой известно, что ее величина — два квадратных фута.

После этого Вы легко поймете, что если мы находим площадь, на которую мы могли бы наложить последовательно определенное число квадратных площадей одинако­вой величины, то тотчас же, как мы откроем отношение величины площади треугольника к величине площади, которую мы измерили, мы узнаем размер площади тре­угольника.

Возьмем для этого прямоугольник (рис. 1), т. е. поверх­ность, ограниченную четырьмя перпендикулярными ли­ниями. Вы видите, что можете рассматривать его как составленный из нескольких маленьких площадей одной и

той же величины; все они оди­наково ограничены перпенди­кулярными прямыми. Вы ви­дите также, что все эти ма­ленькие площади, взятые вме­сте,— это то же самое, что и це­лая поверхность всего прямо­угольника.

Ведь нет разницы между тем, чтобы разделить прямо­угольник на одинаковые квад­ратные площади или нало­жить последовательно на все его части площадь определен­ной величины.

Итак, я рассматриваю разделенный таким образом прямоугольник и вижу, что число квадратных футов, кото­рое он имеет, в высоту, повторяется столько раз, сколько футов содержит его основание. Если на первом футе своего основания он имеет в точности три квадратных фута высоты, то он имеет также в точности три квадратных фута на втором, на третьем и на всех других. Эта истина заметна на глаз, но ее легко проверить при помощи тождественных предложений.

В самом деле, прямоугольник представляет собой пло­щадь, четыре стороны которой перпендикулярны друг другу. У площади, стороны которой перпендикулярны, про­тивоположные стороны параллельны, т. е. одинаково уда­лены друг от друга во всех противоположных точках своей длины.

Площадь, противоположные стороны которой одинако­во удалены во всех точках, противоположных ее длине, име­ет одинаковую высоту по всей длине своего основания. Площадь, имеющая одинаковую высоту по всей длине своего основания, имеет столько же футов в высоту, сколь­ко ее основание имеет футов в длину.

Все эти предложения тождественны. Они суть лишь различными способами выраженное предложение Прямо­угольник есть прямоугольник.

Следовательно, измерить прямоугольник, наложить последовательно на все части его поверхности площадь определенной величины, разделить его площадь на равные квадраты, взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько футов имеет в длину его основание, — это значит сделать одно и то же несколькими различными способами.

Если это так, то больше нет необходимости ни в том, чтобы делить площадь на маленькие квадраты, ни в том, чтобы последовательно накладывать на различные части площадь определенной величины; взяв число футов в высо­ту столько раз, сколько имеется футов в основании, мы получим точные размеры данной площади.

Таким образом, можно заменить предложение Измерить прямоугольник — значит взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько он имеет футов в основании предложением, с которого мы начали: Измерить прямоугольник — значит последовательно наложить на его различные части площадь определенной величины.

В самом деле, взглянув на эти выражения, мы не узна­ли, что эти два предложения являются по существу одним предложением, но тождество не могло от нас ускользнуть, когда мы стали его разыскивать в ряде промежуточных предложений. Мы видели, что одна и та же идея переходит из одних предложений в другие, а изменяется лишь способ, которым она выражается.

Доказать — значит осуществить перевод очевидного предложения, придавая ему различные формы до тех пор, пока оно не станет предложением, которое требуется доказать. Это значит изменять слова, которыми выражено предложение, и прийти через посредство ряда тождествен­ных предложений к заключению, тождественному тому предложению, из которого оно непосредственно выводится. Нужно, чтобы тождественность, незаметная, когда прохо­дят через промежуточные предложения, была бы явной при одном только взгляде на выражения, когда непосредствен­но переходят от одного предложения к другому.

Предложение, которое мы только что доказали: Изме­рить прямоугольник — значит взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько футов содержится в его основании — это то же самое, что умножить его высоту на основание, а это опять-таки то же самое, что взять произведение его высоты на его основание.

Предложение же Площадь прямоугольника есть про­изведение его высоты на его основание есть правило, от ко­торого следует идти путем ряда предложений, всегда тож­дественных друг другу, вплоть до самого вывода: Площадь всякого треугольника есть произведение его высоты на половину основания.

Но я уже отметил, что если нам известна площадь прямоугольника, то мы найдем площадь треугольника, когда узнаем отношение одной из этих фигур к другой, ибо нет разницы между знанием площади фигуры и знанием того, как относится площадь данной фигуры к уже извест­ной площади какой-либо фигуры.

Прямоугольник (рис. 2). раз­деленный по диагонали, дает два треугольника, площади ко­торых, взятые вместе, равны его площади. Ведь сказать, что эти две площади равны площа­ди прямоугольника, — то же самое, что сказать, что два треугольника были образова­ны из прямоугольника при помощи диагонали, которая де­лит его пополам. Кроме того, Вы заметите, что поверх­ности этих двух треугольников равны; Вы даже на глаз видите истинность этого предложения; но нужно доказать Вам их тождественность.

Площадь [фигуры] определяется величиной прямых, которые ее ограничивают, и величиной углов, образуемых этими прямыми. Следовательно, в двух выражениях: две площади равны и две площади ограничены равными пря­мыми, образующими одинаковые углы — содержится только одно предложение, выраженное двумя способами. Следовательно, предложения Площади двух треуголь­ников равны и Стороны этих треугольников равны опять-таки суть два тождественных предложения. Два треуголь­ника, которые содержат в себе прямоугольник, разделен­ный по диагонали, имеют, стало быть, равные площади, если их стороны равны и если они образуют одинаковые углы.

Ведь сказать, что два треугольника заключены таким образом в прямоугольнике,— это то же самое, как если бы

мы сказали, что они имеют одну общую сторону — диагональ прямоугольника — и что они имеют также одинаковое основание и одинаковую высоту, образуя одинаковые углы, т. е. сказать, что они имеют три равные стороны и равные площади, или, короче, равны во всем.

Но сказать, что они равны во всем,— значит сказать, что каждый из двух треугольников относится к прямоугольни­ку как половина к целой единице, а это предложение есть не что иное, как перевод предложения Прямоуголь­ник разделен на два равных треугольника.

Ведь высказывание Поверхность треугольника относит­ся к поверхности прямоугольника, имеющего то же основа­ние и ту же высоту, что и данный треугольник, как полови­на к целому и высказывание Площадь такого треугольника представляет собой половину площади этого прямоуголь­ника представляют собой по смыслу выражений два тож­дественных предложения.

Но мы видели, что площадь прямоугольника есть произведение высоты на основание; значит, предложение Площадь этого треугольника есть половина площади дан­ного прямоугольника будет тождественно предложению Площадь этого треугольника есть половина произведения его высоты на основание, или, как обычно выражаются, произведение высоты на половину основания.

Предстоит лишь узнать, равна ли площадь всякого дру­гого вида треугольника произведению высоты на половину основания.

Какова бы ни была форма треугольника, площадь кото­рого хотят узнать, из его вершины можно опустить перпен­дикуляр и этот перпендикуляр опустится на основание либо внутри треугольника, либо вне его.

Если он опустится внутри треугольника (рис. 3), он разделит его на два треугольника, у каждого из которых две стороны взаимно перпендикулярны и которые, следова­тельно, являются треугольниками того же рода, что и тре­угольник, который мы измерили. Значит, площадь каждого из них равна половине произведения высоты на основание.

Однако узнать суммарную площадь двух треугольни­ков — то же самое, что узнать площадь треугольника, кото­рый мы разделили, опустив перпендикуляр. Эта площадь остается одной и той же, заключена ли она в одном треугольнике или разделена пополам. Значит, сказать ли, что площадь большого треугольника равна половине про­изведения его высоты на его основание, или сказать о

двух малых треугольниках [из которых он состоит], что она равна половине произведения их высоты на их основа­ние,— это одно и то же.

Если перпендикуляр (рис. 4) опускается вне треуголь­ника, нужно продолжить основание до точки, где встретят­ся эти две прямые, и мы образуем треугольник того же вида, что и треугольник, который мы измерили сначала.

Благодаря этой операции Вы получаете два треуголь­ника, заключенные в одном, и Вы видите, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых треугольников, на которые он разделен.

Следовательно, одно и то же, измерить ли эту площадь, взяв половину произведения высоты большого треугольни­ка на его основание, или взяв раздельно половины про­изведений высоты каждого из двух малых треугольников на их основания. Эти две операции сводятся к одному и тому же, и здесь нет иного различия, кроме того, что в одной операции делается в два приема то, что в другой делается сразу.

Таким образом, явно выступает тождество двух сле­дующих предложений: Площадь большого треугольника, который мы образовали, продолжая основание до перпен­дикуляра, равна половине произведения его высоты на его основание; Площадь каждого из треугольников, заключен­ных в большом, равна половине произведения его высоты на его основание.

Но какую бы форму ни имел треугольник, Им всегда можете опустить из вершины перпендикуляр, который либо опустится внутри треугольника на его основание, либо, опустившись вне треугольника, разделит основание, которое Вы продолжили. Значит, Вы всегда можете убедиться при помощи ряда тождественных предложений, что его площадь равна половине произведения его высоты

на его основание. Значит, доказательство применимо ко всем треугольникам, и эта истина не допускает никакого исключения: Площадь всякого треугольника есть половина произведения его высоты на его основание.

Другой пример, доказывающий, что тождество есть признак очевидности разума

Я выбираю это предложение не толь­ко для того, чтобы привести пример; эта истина, Ваше высочество, по­служит мне правилом, для того что­бы вести Вас к другим знаниям. При

помощи этого же правила я докажу Вам, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым, ибо это еще одна истина, в познании которой мы нуждаемся.

Прямая есть линия, которая идет прямо от одной точки к другой. Это линия, направление которой не изменяется, или же линия, сохраняющая на всем своем протяжении направление, в каком она начинается; это наикратчайшая линия между двумя точками; это такая линия, что, когда поворачиваются ее крайние точки, вся она поворачивается так, что ни одна из ее частей не изменяет своего положения относительно других частей. Вы видите, что все эти выражения представляют собой лишь различные способы излагать одну и ту же идею и что они предполагают идею, которую они будто бы определяют.

Когда речь идет об идее, составленной из нескольких других идей, она определяется легко, так как для этого достаточно выразить идеи, из которых она образована. Говоря, например, что треугольник есть площадь, ограни­ченная тремя прямыми, дают его определение; и это определение носит характер, весьма отличный от мнимых дефиниций, даваемых прямой линии. В самом деле, дефиниция треугольника дала бы его идею тому, кто ни­когда не замечал ни одного треугольника; напротив, дефи­ниции прямой не дали бы ее идеи тому, кто никогда не замечал никакой прямой линии.

Дело в том, что идеи, когда они просты, не приобретают­ся при помощи дефиниций, а происходят исключительно из чувств. Проведите линию при помощи компаса — это будет кривая линия; проведите ее с помощью линейки, и это будет прямая линия. Правда, ничто не убедит Вас в том, что эта линия действительно прямая, так как ничто не убедит Вас, что сама линейка прямая; но, в конце концов, прямая линия — это то, чем Вам кажется линия, проведенная с помощью линейки; и хотя эта видимость может быть ложной, она тем не менее является идеей прямой линии. Рассматривая прямую и кривую линии, Вы можете заметить, что вторая образована из нескольких линий, которые пересеклись бы, если бы они были продол­жены. Но когда Вы скажете: «прямая линия — одна, кри­вая линия состоит из многих», Вы не дадите определение ни той, ни другой. Вы видите, что есть вещи, которым не следует даже и помышлять дать определение *.

Прямая перпендикулярна другой прямой, когда она не отклоняется ни в какую сторону, или когда она не наклон­на, когда она с обеих сторон образует два равных угла, два прямых угла, два угла, каждый из которых имеет 90 °, или измеряется четвертью окружности. Все это лишь синони­мические и тождественные выражения для того, кто знает значение слов.

Прямая является наклонной, когда ее направление отклоняется от направления другой прямой, когда, будучи продолжена до точки, где она встречается с этой другой прямой, она составила бы с ней два неравных угла, два угла, один из которых имел бы более, а другой — менее 90 °.

Две прямые параллельны, когда по всей их длине точки одной прямой одинаково удалены от соответствующих точек другой, или когда все прямые, проведенные из точек одной прямой в соответствующие точки другой, имеют совершенно одинаковую длину.

Вы заметите прежде всего, что положение прямой линии есть лишь отношение ее направления к направлению другой линии и что, следовательно, если дано ее направле­ние, то ее положение определено.

Во-вторых, Вы заметите, что одна прямая может зани­мать по отношению к другой прямой лишь три положения: она или перпендикулярна ей, или наклонна к ней, или ей параллельна. Наконец, Вы заметите, что положение одной прямой по отношению к другой является взаимным: если одна параллельна другой, то и другая ей параллельна; если одна перпендикулярна другой, то и другая ей перпен­дикулярна; если одна наклонна к другой, то и другая к ней наклонна и каждая из них образует с другой одни и те же углы. Достаточно взглянуть на термины, в них употребляемые, и мы увидим, что все эти предложения тождественны и, следовательно, не относятся к числу тех, которые следует пытаться доказать. Нам остается дойти путем ряда тож­дественных предложений до заключения, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым.

Предположить, что прямая EG (рис. 5) является пер­пендикуляром, опущенным на прямую АВ,— значит пред­положить, что она образует с прямой АВ два равных угла, или два прямых угла.

Предположить, что эта прямая продолжена вниз от пря­мой АВ,— значит предположить, что она продолжена в направлении прямой EF. Следовательно, если мы пред­положим, что прямая EF является этим продолжением, мы тем самым признаем, что прямая GF, так же как и прямая EF, образует с прямой АВ два прямых угла, ибо, если бы два угла были неравными, один был бы больше прямого угла, а другой — меньше. А это означало бы, что прямая GF была бы наклонной; значит, она не была бы продолжением прямой EG, что противоречит предположе­нию, из которого мы исходим.

Стало быть, как в своей нижней части, так и в своей верхней части прямая EF перпендикулярна прямой АВ, а сказать так — то же, что сказать, что прямая АВ перпенди-кулярна прямой EF, поскольку предположить, что пря­мая АВ наклонна к прямой EF, означало бы предположить, что прямая EF наклонна к прямой АВ, поскольку прямые занимают по отношению друг к другу одинаковое положе­ние.

Но прямая EF, будучи продолжена до точки Н, следует направлению, заданному двумя точками Е, G, и является прямой по всей своей длине.

Если это так, то сказать, что прямая CD параллельна прямой АВ,— значит сказать, что она образует с прямой ЕН углы, подобные углам, которые образует пря­мая АВ с той же самой прямой; а сказать, что она образует два подобных угла,— значит сказать, что она образует прямые углы. В самом деле, если бы мы допустили противоположное, мы допустили бы, что она наклонна по отношению к прямой ЕН; а предположив в ней наклон, которого лишена прямая АВ, мы допустили бы, что она не параллельна прямой АВ.

Ведь сказать, что прямая CD образует с прямой ЕН прямые углы,— значит сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD, а сказать, что прямая ЕН обра­зует прямые углы с прямой CD,— значит сказать, что она образует прямые углы с прямой АВ. Таким образом, доказано, что прямая, перпендикулярная другой прямой, перпендикулярна всем прямым, параллельным этой второй прямой, или что она образует со всеми прямыми, парал­лельными последней, прямые углы.

Следовательно, если эта прямая наклонна к одной из параллельных, она будет одинаково наклонна ко всем дру­гим параллельным, ибо предположить, что она не одинако­во к ним наклонна,— значит предположить, что она не прямая или что прямые, которые она пересекает, не парал­лельны.

Следовательно, прямая FG одинаково наклонна к пря­мой АВ (рис. 6 ) и к прямой CD. Ведь сказать, что она одинаково наклонна к обеим,— значит сказать, что она образует с той стороны, в которую она отклоняется, равные углы на каждой параллели; что угол q, внешний двум параллелям, равен внутреннему углу и и что внутрен­ний угол s равен внешнему углу у.

Очевидно также, что с другой стороны прямой FG внеш­ний угол р равен внутреннему углу t, а внешний угол х — внутреннему углу r. Чтобы сделать это явным, нужно лишь перевернуть рисунок.

Впрочем, если на первом рисунке прямая, которая перпендикулярно пересекает две параллели, образует на каждой два прямых угла, то на втором рисунке прямая, пересекающая их наклонно, образует на каждой два угла, сумма которых равна двум прямым. Ибо наклонность линии FG, образующая, например, угол q, не равный углу р, не может изменить суммарную величину этих двух углов. В самом деле, чтобы заметить тождество суммы двух углов на втором рисунке и суммы двух углов на первом, достаточно принять во внимание, что на обоих рисунках

Величина рассматриваемых нами двух углов равна полу-Окружности.

Значит, угол р равен двум прямым минус угол q; аналогичным образом угол t равен двум прямым минус угол и, ведь угол и равен углу q. Таким образом, каждый из углов p и t равен одной и той же величине; следователь­но, они равны друг другу.

Та часть прямой FG, которая находится выше линии АВ, наклонена в сторону В, а нижняя часть ее наклонена в сторону А. Ведь предположить, что эти две линии пря­мые,— значит предположить, что, как в той своей части, которая выше АВ, так и в той, которая ниже АВ, прямая FG имеет одинаковый наклон; если бы он не был одинаковым, одна из двух линий не была бы прямой.

Но сказать, что наклон одинаков,— значит сказать, что прямая FG со стороной А образует угол, равный углу, который она образует со стороной В, и угол r равен углу q. Таким же путем можно будет доказать, что угол р равен углу s, угол t равен углу y, угол и — углу х. Это накрест-лежащие углы; следовательно, накрестлежащие углы равны.

В самом деле, очевидно, что угол г равен двум прямым минус угол р, а угол q равен двум прямым минус угол р. Значит, каждый из них равен двум прямым за вычетом одной и той же величины. Следовательно, они равны друг ДРУгу.

Ведь сказать, что угол r равен накрестлежащему уг­лу q,— значит сказать, что он равен всякому углу, которо­му равен сам угол q. Но мы видели, что угол q равен углу и. Значит, угол r равен углу и. На том же основании угол s равен углу t, угол р — углу у, угол q — углу х. Именно это и выражают, говоря, что противолежащие углы равны. Предположим теперь, что прямая FG (рис. 7) парал­лельна прямой de. Вы ви­дите два противолежащих угла а и d и два других — с и е. Значит, угол а ра­вен углу d, а угол с — углу е. Ведь сумма углов а, Ъ, с равна двум прямым. Значит, три угла треугольника равны двум прямым уг­лам.

Двух примеров, которые я привел в этой главе, более чем достаточно, для того чтобы сделать понятным, что

очевидность разума состоит исключительно в тождестве. К тому же я, как и предупреждал, выбрал их потому, что это две истины, которые поведут нас к другим истинам.