ГЛАВА VII

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 

НАСКОЛЬКО ПРОСТО РАССУЖДЕНИЕ, КОГДА ПРОСТ САМ ЯЗЫК

Я не буду давать более точное понятие о нем, как потому, что я его не понимаю, так и потому, что понять его невозможно. Он тем более ускользает от нас, что принимает все характерные черты умов, которые хотят его применять, и в особенности заблуждающихся умов. Вот как один известный писатель высказывается по этому вопросу. «Наконец,— говорит он,— эти два метода (анализ и син­тез) различаются между собой, как путь, который проде­лывают, поднимаясь из долины на гору, и путь, который проделывают, спускаясь с горы в долину» *. Из этого высказывания я вижу только, что анализ и синтез — два противоположных метода и что если один хорош, то другой плох.

В самом деле, идти можно только от известного к не­известному. Ведь если неизвестное находится на горе, то, не спускаясь, можно его достигнуть, а если оно в долине, то его нельзя будет достигнуть, поднимаясь. Значит, не может быть двух путей для его достижения. Подобные взгляды не заслуживают более серьезной критики («Курс занятий», «Об искусстве мыслить», ч. I, гл. 9).

Полагают, что сущность синтеза заключается в сое­динении наших идей, а сущность анализа — в их расчлене­нии. Вот почему автор «Логики» думает, что объясняет их, когда говорит, что один путь ведет из долины на гору, а другой — с горы в долину. Но чтобы хорошо или плохо рассуждать, обязательно нужно, чтобы ум то восходил, то опускался; или, проще говоря, для него так же важно соединять, как и расчленять, ибо ряд рассуждений являет­ся и не может не являться лишь рядом соединений и расчленений. Следовательно, цель синтеза — как расчле­нение, так и соединение, а цель анализа — как соедине­ние, так и расчленение. Было бы нелепо воображать, что эти две вещи взаимно исключают друг друга и что можно было бы рассуждать, запрещая себе всякое соединение или всякое расчленение. В чем же различаются эти два метода? В том, что анализ всегда начинает хорошо, а синтез всегда начинает плохо. Первый, не нарушая поряд­ка, обладает им естественно, так как является методом природы; второй, не знающий естественного порядка пото­му, что он метод философов, во многом его нарушает и утомляет ум, не просвещая его. Одним словом, истинный анализ, анализ, который следует предпочесть,— тот, кото-

*  «Логика, или Искусство мыслить», ч. IV, гл. 2 20.

Заблуждение тех,

кто предпочитает

синтез анализу

Хотя анализ есть единственный ме­тод, кажется, что сами математики, всегда готовые от него отказаться,

применяют его лишь постольку, поскольку вынуждены это делать. Они отдают предпочтение синтезу, который счита­ют более простым и более быстрым; а их сочинения о нем являются более путаными и длинными *.

Мы только что видели, что синтез как раз противополо­жен анализу. Он уводит нас в сторону от пути, ведущего к открытиям, тем не менее огромное количество математи­ков воображают, будто этот метод наиболее пригоден для обучения. Они считают его настолько хорошим, что не хотят допустить в своих учебниках другой метод.

Клеро думал иначе 21. Я не знаю, говорили ли господа Эйлер и Лагранж, что они думают по этому вопросу. Но они делали так, как если бы они об этом говорили, поскольку в своих основах алгебры они следуют только аналитическому методу **.

* Это обвинение, обоснованное в общем, не остается без исключе­ний. Например, господа Эйлер и Лагранж, склонные благодаря своей гениальности к наибольшей ясности и изяществу, предпочли анализ, который они усовершенствовали. В их сочинениях, полных изобретатель­ности, этот метод получил новый размах; они великие математики, потому что являются великими аналитиками. Они превосходно писали на алгебраическом языке, а из всех языков это такой, в котором хорошие писатели наиболее редки, так как он создан наилучшим образом.

** «Основы» г-на Эйлера22 не похожи ни на что из того, что было сделано его предшественниками. В первой части автор рассматрива­ет определенный анализ при помощи простого, ясного метода, которым он полностью владеет, Только теория уравнений излагается иногда слиш­ком кратко. Несомненно, г-н Эйлер пренебрег подробностями, которые столь часто повторялись другими; но это вызывает сетования у читателя, который хочет обучаться.

Столь мало известный во Франции неопределенный анализ, успеху которого так много способствовали господа Эйлер и Лагранж, является предметом второй части, представляющей собой шедевр и включающей добавления г-на Лагранжа. Превосходные качества этого произведения — результат аналитического метода, который оба этих великих ученых знают превосходно. Тем, кто его не знает, бесполезно писать об основах наук.

Одобрение, высказанное этими математиками, кое-что значит. Следовательно, другие математики были особенно настроены в пользу синтеза, раз они убедили себя в том, что анализ, "этот . метод изобретения, не есть еще метод теории, и что для того, чтобы узнать открытия других. якобы имеется способ более предпочтительный, нежели способ, позволивший нам сделать эти открытия.

Если анализ обычно изгоняется из математики каждый раз, когда в ней можно применить синтез, то, по-видимому, ему закрыт всякий доступ в другие науки и он вводится в них лишь без ведома тех, кто ими занимается. Вот почему среди множества произведений древних и совре­менных философов столь мало таких, которые были бы созданы для обучения. Истину редко узнают, когда анализ не показывает ее, а синтез, напротив, окутывает ее грудой неясных понятий, мнений, заблуждений и создает себе жаргон, который принимают за язык искусств и наук.

Все науки были бы

точными, если бы

говорили очень

простым языком

Если только поразмыслить над ана­лизом, следует признать, что он должен проливать тем больше света, чем он проще и точнее; и если вспомнить, что искусство рассуждать сводится к хорошо построенному языку, то следует заклю­чить, что наибольшая простота и точность анализа могут быть следствием наибольшей простоты и точности языка. Стало быть, нам нужно образовать идею этой простоты и точности, чтобы приблизиться к ним во всех наших ис­следованиях, насколько это будет возможно.

Точными науками называют науки, в которых имеется строгое доказательство. Почему же не все науки точные? И если есть среди них такие, где положения доказаны не строго, то как они там доказываются? Хорошо ли знают, что хотят сказать, когда предполагают доказательства, кото­рые, строго говоря, не являются доказательствами?

Доказательство либо не является доказательством, либо оно точное доказательство. Но нужно согласиться, что если оно не выражено в том языке, в каком оно должно быть выражено, то оно будет казаться тем, чем оно вовсе не является. Поэтому не вина наук, если они не доказывают строго; это вина ученых, которые плохо говорят.

                                Язык  математики,  алгебра,— самый простой  из всех

языков. Не означает ли это, что доказательства имеются

только в математике? И поскольку другие науки не могут

достичь такой же простоты, смогут ли они быть достаточно

 

простыми, чтобы убеждать, что они действительно доказы­вают то, что доказывают?

Во всех науках доказывает анализ; и он доказывает там каждый раз, когда говорит на языке, на котором он дол­жен говорить. Я хорошо знаю; что различают разные виды анализа: логический анализ, метафизический, математический, но есть только один анализ, который одинаков во всех науках, потому что всюду ведет от известного к неизвестному путем рассуждения, т. е. путем ряда суждений, которые заключены одни в других. Мы составим себе идею языка, которого он должен при­держиваться, если попытается разрешить одну из задач, обычно разрешаемую только с помощью алгебры. Вы­берем одну из более легких задач, потому что она бу­дет для нас более доступна; к тому же такой задачи будет достаточно для того, чтобы раскрыть все искус­ство рассуждения.

Задача, которая это доказывает

Если, имея в обеих руках жетоны, я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь их

столько же в одной руке, сколько и в другой; а если я переложу один жетон из левой руки в правую, я буду иметь их в правой вдвое больше, чем в левой. Я спрашиваю вас: какое число жетонов у меня в каждой руке?

Дело не в том, чтобы угадать это число, делая предполо­жения,— его нужно найти, рассуждая, идя от известного к неизвестному путем ряда суждений.

Здесь даны два условия, или, как говорят математики, имеются два данных: первое — если я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь одинако­вое число жетонов в каждой руке; второе — если я перело­жу один жетон из левой в правую, я буду иметь двойное число жетонов в правой. Ведь вы видите, что если возможно найти число, которое я вам предлагаю найти, то это можно сделать, лишь рассматривая отношения, в которых эти два данных находятся друг к другу. Вы поймете, что эти отношения будут более или менее явными в зависимости от того, насколько просто будут выражены данные.

Если бы вы сказали: «Число, которое вы имеете в правой руке, когда из него вычли один жетон, равно числу, которое вы имеете в левой руке, когда к нему прибавили один жетон», вы выразили бы первое данное при помощи большего количества слов. Скажите же короче: «Число в вашей правой руке, уменьшенное на единицу,

равно числу в вашей левой руке, увеличенному на едини­цу», или: «Число в вашей правой минус единица равно чис­лу в левой плюс единица». Или, наконец, еще короче: «Правая минус один равна левой плюс один».

Таким образом, от перевода к переводу мы достигнем самого простого выражения первого данного. Ведь чем больше вы будете сокращать свою речь, тем больше будут сближаться ваши идеи; и чем больше они сблизятся, тем легче вам будет понять их во всех отношениях. Значит, нам остается рассмотреть второе данное так же, как и первое; его нужно перевести в наипростейшее выражение.

По второму условию задачи, если я переложу один жетон из левой руки в правую, в правой у меня будет двойное число жетонов. Значит, число в моей левой руке, уменьшенное на единицу, есть половина числа в моей правой, увеличенного на единицу. Следовательно, вы выра­зите второе данное, говоря: «Число в вашей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой, уменьшенному на единицу».

Вы переведете это выражение в другое, более простое, если скажете: «Правая, увеличенная на единицу, равна двум левым, уменьшенным каждая на единицу», и вы придете к самому простому выражению: «Правая плюс один равна двум левым минус два». Итак, мы перевели данные в следующие выражения:

 

Этот способ представляется сам собой: ибо если правая минус один равна левой плюс один, значит, правая будет равна левой плюс два; и если правая плюс один равна двум левым минус два, значит, правая будет равна двум левым минус три . Таким образом, вы замените два первых уравнения двумя следующими:

Правая   равна левой плюс два. Правая   равна двум левым минус три.

Первый член этих двух уравнении — то же самое количество, правая; и вы видите, что узнаете значение второго члена одного или другого уравнения. Но второй член первого уравнения равен второму члену второго, поскольку они оба равны одному и тому же количеству, выраженному правой. Следовательно, вы сможете соста­вить это третье уравнение:

Левая плюс два равна двум левым минус три.

Тогда останется только одно неизвестное, левая; и вы узнаете его значение, когда выделите его, т. е. когда вы перенесете все известные в одну сторону. Таким обра-

Два плюс три равно двум левым минус одна левая. Два плюс три равно одной левой. Пять равно одной левой.

 

Правая    минус    один    равна    левой    плюс    один. Правая плюс один  равна двум левым  минус два.

Выражения этого вида называются в математике урав­нениями. Они составлены из двух равных членов: «Правая минус один» — первый член первого уравнения; «Левая плюс один» — второй член.

Неизвестные количества смешаны в каждом из этих членов с известными количествами. Известные — это «минус один», «плюс один», «минус два»; неизвестные — «правая» и «левая», при помощи которых вы выражаете два числа, которые вы ищете.

Пока известные и неизвестные смешаны так в каждом члене уравнений, невозможно решить задачу. Но не нужно большого усилия мысли, чтобы заметить, что если есть способ перенести количество из одного члена в другой, не изменяя равенства между ними, то мы можем, оставляя в одном члене лишь одно из двух неизвестных, выделить там известные, с которыми оно смешано.

Задача решена. Вы открыли, что число жетонов у меня в левой руке — пять. В уравнениях «правая равна левой плюс два», «правая равна двум левым минус три» вы найдете, что семь есть число, которое было у меня в правой руке. Ведь эти два числа, пять и семь, удовлетво­ряют условиям задачи.

Решение этой задачи

с помощью алгебраических знаков

На этом примере вы ясно видите, как простота выражений облегчает рассуждение; и вы понимаете, что если анализ нуждается в подобном языке, когда задача так же легка, как и та задача, которую мы только что решили, то он нуждается в нем еще больше, когда задачи усложняются. Поэтому преимущество анализа в математике вытекает исключительно из того, что анализ говорит здесь на самом простом языке. Чтобы объяснить это, достаточно даже поверхностного представления об алгебре.

Этот язык  не    нуждается в словаре. Здесь выражают

плюс знаком +, минус — знаком — и «равно» — знаком =, а количество обозначают буквами и цифрами. Например, х будет числом жетонов, которые я имею в правой руке, а у — числом жетонов в левой руке. Значит, х — 1 = у + 1 означает, что число жетонов у меня в правой руке, умень­шенное на единицу, равно числу жетонов в левой руке, увеличенному на единицу; и х + 1 = 2 у — 2 означает, что число в моей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой руке, уменьшенному на единицу. Значит, данные нашей задачи заключены в этих двух уравнениях:

х — 1 = у+ 1; х + 1 = 2 у - 2,

которые при выделении неизвестного первого члена при­нимают вид:

* = у + 2; х = 2у-3.

Из двух последних членов этих уравнений мы образуем уравнение

х + 2 = 2 у — 3,

которое последовательно принимает вид:

2 = 2 у — у — З;

2 + 3=2у — у; 2 + 3 = у;

5 = у.

Очевидность рассуждения состоит

исключительно

в тождестве, которое

обнаруживается

при переходе

от одного суждения

к другому

Наконец, из х = у + 2 мы выводим также х = 10 — 3 = 7. Этот алгебраический язык ясно пока­зывает, как в рассуждении суждения связаны друг с другом. Понятно, что последнее суждение заключено в предпоследнем, предпоследнее — в том, которое ему предшествует; та­ким образом восходят от одного суж­дения к другому лишь потому, что по­следнее тождественно предпоследнему, предпоследнее — тому, которое ему предшествует, и т. д.; признано, что это тождество и создает всю очевидность рассуждения. Когда рассуждение развертывается при помощи слов, очевидность также состоит в тождестве, которое замечается между двумя суждениями. В самом деле, ряд суждений

остается тем же самым, изменяется лишь их выражение 23. Нужно только отметить, что тождество легче замечается, когда его выражают при помощи алгебраических знаков. Но, замечается ли тождество более или менее легко, достаточно ему себя проявить, чтобы мы были уверены, что рассуждение является строгим доказательством; и не нуж­но представлять себе, что науки точны и в них проводится строгое доказательство, лишь когда в них говорят при помощи х, а и b. Если некоторые из них кажутся не допускающими доказательства, то потому, что о них говорят, прежде чем построить для них язык, даже не подозревая, что его необходимо создать; так что все науки имели бы одинаковую точность, если бы в каждой из них говорили на хорошо построенных языках. В первой части этого сочинения мы рассматривали метафизику. Там, например, мы объяснили происхождение способно­стей души лишь потому, что увидели, что все они тождест­венны способности ощущать, и наши рассуждения, выра­женные словами, так же строго доказаны, как могли бы быть доказаны рассуждения, выраженные при помощи букв.

Науки мало точные —

это науки, язык которых плохо построен

Таким образом, если есть науки мало точные, то не потому, что в них не применяют алгебраических выраже­ний, а потому, что их языки плохо построены и об этом не догадываются, или если и догадываются, то переделывают их в еще худшие. Нужно ли удивляться тому, что люди не умеют рассуждать, когда язык наук — лишь жаргон, составлен­ный из слишком большого количества слов, из которых одни — обиходные, не имеющие определенного смысла, а другие — иностранные, или варварские, слова, которые плохо понимают? Все науки были бы точными, если бы люди умели говорить на языке каждой из них.

Следовательно, все подтверждает то, что мы уже доказа­ли,— что языки также являются аналитическими мето­дами, что рассуждение совершенствуется лишь постольку, поскольку совершенствуются сами языки, и что искусство рассуждать, сведенное к наибольшей простоте, может быть лишь хорошо построенным языком.

Алгебра

представляет собой по существу лишь язык

Я не буду говорить вместе с мате­матиками, что алгебра есть нечто вро­де языка. Я говорю, что она есть язык и не может быть ничем другим. Вы видите на при мере задачи, только что решенной нами, что алгебра есть язык, на который мы перевели рас­суждение, ранее выраженное нами при помощи слов. Ведь если буквы и слова выражают одно и то же рассуждение, то очевидно, что поскольку при помощи слов лишь го­ворят на языке, то при помощи букв также лишь говорят на языке.

То же мы могли бы наблюдать относительно самых сложных задач, ибо все алгебраические решения предлага­ют тот же самый язык, т. е. рассуждения, или последова­тельно тождественные суждения, выраженные при помощи букв. Но так как алгебра представляет собой самый мето­дичный из языков и раскрывает рассуждения, которые нельзя было бы перевести ни на какой другой язык, то люди вообразили, что она не является, в сущности говоря, языком, что она язык лишь в некоторых отношени­ях и должна быть еще чем-то другим.

В самом деле, алгебра — это аналитический метод, но от этого она не становится в меньшей мере языком, раз все языки представляют собой аналитические методы. Ведь это то, чем они являются на самом деле. Но алгебра служит весьма ярким доказательством того, что развитие наук зависит исключительно от развития языков и что только хорошо построенные языки могли бы придать анализу ту степень простоты и точности, которую он допускает в зависимости от рода наших исследований.

Они могли бы, говорю я, ибо в искусстве рассуждать, как и в искусстве исчислять, все сводится к составлению и расчленению; и не следует думать, что это два разных искусства.