ГЛАВА II

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 

РАССУЖДЕНИЯ О МЕТОДЕ, ИЗЛОЖЕННОМ В ПРЕДЫДУЩЕЙ ГЛАВЕ

Каким образом тождество замечают в ряде предложений

Вы ясно видите, что вся сила доказа­тельства теоремы о площади тре­угольника заключается исключитель­но в тождестве. Обратите внимание, что мы начали с дефи­ниции слова измерять, что эта дефиниция содержится во всех следующих предложениях и что при переходе от одно­го предложения к другому изменяется лишь форма рас­суждения. А эта дефиниция высказывается лишь в других выражениях.

Невозможность непосредственно сравнить дефиницию слова измерять и дефиницию слова треугольник — вот что поставило Вас перед необходимостью предпринять в речи различные преобразования одной и той же идеи.

Но чтобы пройти таким образом через ряд следующих друг за другом предложений и открыть тождество первой дефиниции с заключением рассуждения, необходимо в совершенстве знать все вещи, которые Вам нужно сравни­вать. Вы не докажете теорему о площади треугольника, если не имеете точных и полных идей того, что такое измерять прямоугольник, площадь, сторона, диагональ. Составьте же полные идеи каждой фигуры, и среди них не окажется такой, какую Вы не смогли бы точно измерить. Метод, которому мы следовали, применим ко всем случаям, когда мы не испытываем недостатка в идеях; и Вы можете предвидеть, что все математические истины суть лишь различные выражения этой первоначальной дефиниции.

Измерять — значит последовательно прилагать ко всем частям измеряемой величины определенную величину. Таким образом, математика представляет собой необозри­мую по своему объему науку, которая заключается в идее, выражаемой одним словом .

Нельзя всегда, как в примере, который я Вам только что привел, проделать с первой дефиницией все необходимые преобразования; но есть методы, позволяющие преодолеть эту трудность; чего невозможно сделать с целой идеей, можно последовательно проделать со всеми ее частями.

Тождество явственно выступает в арифметике

Например, большое число может быть выражено только одним способом, и арифметика не предоставляет средст­ва варьировать его выражение. Но если, рассматривая непосредственно два больших числа, я не могу установить, в чем они тождественны, я могу открыть тождество, существующее между их частями, и благодаря этому способу я узнаю все их отношения. Имен­но на этом и основаны четыре действия арифметики, кото­рые можно даже свести к двум — сложению и вычитанию. Стало быть, когда я говорю шесть плюс два равно восьми, это то же, как если бы я сказал шесть плюс два равно шести плюс два; а когда я говорю шесть минус двй равно четырем, это опять-таки то же самое, как если бы я сказал шесть минус два равно шести минус два, и т. д.

Значит, арифметическая очевидность состоит в тожде­стве, и, если шести и двум я даю наименование восьми, а шести минус два — наименование четырех, я изменяю выражение лишь для того, чтобы облегчить сравнения и сделать тождество заметным.

Таким образом, доказательства всегда производятся лишь при помощи ряда тождественных предложений, производим ли мы действия с целыми идеями или последовательно с каждой их частью 7.

Этого довольно, чтобы показать Вам, что очевидность разума относится исключительно к тождеству идей.