КАК ЛЮДИ СЧИТАЛИ В СТАРИНУ И КАК ПИСАЛИ ЦИФРЫ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Все числа мы привыкли записывать с помо­щью десяти знаков-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, число, состоящее из четырех сотен, четырех десятков и четырех единиц, мы записываем так: 444. При этом один и тот же знак «4» обозначает число единиц, если он стоит на последнем месте, число де­сятков — если на предпоследнем, и число

десятков десятков, т. е. сотен, если он сто­ит на третьем месте от конца. Такой принцип записи чисел называется позиционным или поместным, потому что каждая циф­ра получает числовое значение не только в за­висимости от своего начертания, но и от того, на каком месте она стоит при записи числа. Позиционный принцип позволяет с помощью десяти знаков-цифр записать любое сколь угод­но большое число. Действительно, пусть нам дано целое число N. Для того чтобы записать его в нашей системе, находим сначала остаток от деления N на 10, затем остаток от деления частного на 10 и т. д.— до тех пор, пока в ка­честве частного не получим числа, меньшего 10. Например:

N=523=10•52+3; 52=10•5+2; 5=10•0+5.

Полученные остатки и являются последователь­ными цифрами нашего числа, записанного в позиционной десятичной системе:

N=523, или, более подробно:

N=5•102+2•10+3.

Для тех, кто знаком с алгеброй, скажем, что каждое целое число М можно представить в таком же виде. Если

10n£М<10n+1, то

M = an10n+an_110n-1+...a110+а0,

где каждый из коэффициентов а0, a1,..., аn меньше 10 (это просто остатки от последователь­ного деления числа М на 10). Следовательно, каждый из коэффициентов выразится одной из десяти цифр. Следуя десятичному позицион­ному принципу, записываем число М так:

М = аnаn-1...а1a0,

где а0 означает число обычных единиц, или еди­ниц первого разряда, содержащихся в М, а1— число единиц второго разряда, т. е. десятков, а2 — число единиц третьего разряда, т. е. сотен, и т. д.

Число 10 называется основанием нашей системы.

Итак, для записи чисел мы пользуемся десятичной позиционной систе­мой счисления.

Счет двойками, тройками и дюжинами

Однако вовсе не обязательно считать де­сятками. Можно, например, вести счет двой­ками или тройками. Для этого за основание системы счисления примем число 2 или 3, а в остальном будем поступать точно так же, как это делали, когда основание равнялось десяти. Для записи по двоичной системе понадобят­ся всего две цифры: 0 и 1. Число «два» в этой

системе запишется как 10, так как 2=1•2+0.

Таблица сложения

А чтобы не спутать нашу запись с обычной, бу­дем справа внизу ставить маленькую цифру 2— это будет означать, что основанием систе­мы служит число «два». Итак, 102 будет записью числа 2. Число 3=1•2+1, поэтому его записью будет 112.

Число 4 = 1•22+0•2+0•1, поэтому оно запи­шется в виде 1002. Записью числа 5 будет 1012, а числа 7 будет 1112.

Чтобы найти запись любого числа N, нужно определить остатки от последовательного деле­ния этого числа на 2. Мы предоставляем чита­телям проверить, что записью числа 35 в двоич­ной системе будет 100 0112.

Если число N таково, что

2n£N<2n+1, то его можно представить в виде:

N=аn2n+аn-12n-1+...+а12+а0,

т. е. запись этого числа в двоичной системе бу­дет иметь вид:

N=anan_1...a1a0,

но здесь уже каждый из коэффициентов аi мо­жет принимать только два значения: 0 или 1.

Более подробно о двоичной системе, которая сейчас приобрела большое значение в связи с ее применением в быстродействующих вычис­лительных машинах, узнаете, если прочтете статью «Электронные вычислительные маши­ны», помещенную в этом томе.

Для записи числа в троичной системе нуж­ны три цифры, например 0, 1, 2. Число 3 здесь будет записываться как 103, а 4 — как 113. Записью числа 35 в той системе будет 10223.

Приведем таблицы сложения и умножения чисел, записанных по троичной системе:

Таблица умножения

Но можно считать и дюжинами, т. е. поль­зоваться системой счисления с основанием две­надцать. Еще не так давно в нашей стране и в Западной Европе некоторые предметы, напри­мер перья и карандаши, принято было считать дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплекты мебели — из 12 стульев или кресел. Сущест­вовало даже специальное название для дюжи­ны дюжин — гросс.

О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 ча­са, причем в повседневной жизни часы счита­ем только до 12, а затем начинаем счет сна­чала (час дня, два часа дня и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что тоже свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной си­стемы счисления.

Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе. Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти циф­рам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длин­нее. Число 12 запишется как 1012 (снова ставим значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 1112, число 35=2•12+11 — как 2Б12, а число 133 = 11•12+ +1 — как Б112, т. е. оно станет двузначным. Приведем таблицу умножения чисел, записан­ных в этой системе1:

Некоторые ученые считали, что такая систе­ма была бы удобнее, чем десятичная, так как число 12 имеет больше делителей, чем число 10. На самом же деле это обстоятельство не дает больших преимуществ.

Ниже мы расскажем о том, что когда-то суще­ствовали нумерации с основанием 20 и даже 60.

А теперь сделаем некоторые общие выводы: 1) всякое число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счис­ления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы.

Несмотря на то что принципиально все по­зиционные системы счисления равноправны, в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой.

Сейчас мы приведем несколько задач, для решения которых удобнее будет воспользовать­ся не десятичной системой счисления, а другими.

Задача на взвешивание

Вот одна из классических задач, решить которую можно сразу же, если выбрать систему счисления с подходящим основанием. Эта за­дача приведена в математической книге знамени­того математика XIII в. Леонардо Пизанского. Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер.

Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кГ при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов.

Какие же гири нужно выбрать?

Сумма веса всех гирь должна быть не меньше 30 кГ. Но, конечно, этого недостаточно. Если мы выберем, например, гири весом в 1, 2, 3, 10, и 15 кГ, то с их помощью нельзя будет взвесить грузы в 7, 8, 9, 22, 23 и 24 кГ.

Разберем математический смысл задачи. Что­бы взвесить некоторый груз, помещая гири толь­ко на одну чашу весов, надо представить его вес в виде суммы весов имеющихся гирь, при­чем так, чтобы каждая гиря бралась не более одного раза. Если выбранные нами гири имеют вес p1, р2, р3, р4, р5, то груз весом Q£30 кГ должен представляться так:

Q=a1p1+ а2p2+ а3р3 + а4p4 +a5p5,

где каждый коэффициент равен единице, если кладем соответствующую гирю на чашу ве­сов, и нулю, если не пользуемся ею при взве­шивании.

При такой постановке вопроса видно сход­ство с представлением числа Q в двоичной сис­теме счисления. Нужно только в качестве p1, p2. p3, p4, p5 взять гири весом: р1=1 кГ, р2=2 кГ, p3=4 кГ, р4=8 кГ, р5=16 кГ.

267

Сумма их веса 1 +2+4+8+16=31>30кГ. Кро­ме того, каждое число Q, не большее 31, можно представить в виде:

Q = b424 + b323+ b222 + b12 + b0,

где каждый из коэффициентов b0, b1 b2, b3, b4 бу­дет, как нам и нужно, либо нулем, либо еди­ницей.

Пусть, например, надо взвесить груз в 22 кГ. Запишем число 22 по двоичной системе:

22 = 101102.

Значит, нужно взять гири р2=2 кГ', р3= 4 кГ и р5=16 кГ.

Теперь несколько видоизменим задачу: пусть требуется выбрать 4 гири, с помощью которых можно было бы взвесить любой груз до 40 кГ, при условии, что гири можно класть и на ле­вую и на правую чашу весов.

Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи нужно воспользоваться троичной систе­мой счисления, т. е. выбрать следующие 4 ги­ри: р1 = 1 кГ, р2 = 3 кГ, р3 = 9 кГ, р4 = 27 кГ.

Пусть, например, надо взвесить груз в 19 кГ. Число 19 представим в виде:

19 = 3•6 + 1 = 3•(3•2)+1=2•9+1=0•27+2•9+0•3+1=2013.

Теперь груз в 19 кГ кладем на правую чашу весов. На левую кладем груз в 1 кГ. Затем надо было бы положить туда еще 2 гири по 9 кГ, но у нас имеется только одна такая гиря.

Но 18=2•9 можно представить еще и иначе: 18=2•9=(3-1)•9=27-9,

т. е. на левую чашу весов надо положить еще гирю в 27 кГ, на правую — в 9 кГ.

Так же будем поступать и в других случаях. Если груз Q £ 40 кГ, то его можно всегда пред­ставить в виде:

Q = b333+ b232+b13+b0,

где каждый из коэффициентов b0, b1, b2, b3 может равняться 0, 1 или 2. Если он равен О, то соответствующую гирю отставляем в сторо­ну; если 1, то кладем ее на левую чашу весов; если 2, то поступаем так, как только что делали, т. е. кладем гирю на правую чашу весов, а следующую по величине гирю — на левую. Следует помнить, что, хотя в различных си­стемах счисления числа записываются по-раз­ному, основные свойства их от этого не меняются: так, число 20 будет делиться на 2, в какой бы системе мы его ни записали, а 27 не будет де­литься на 2, но будет делиться на 3. Числа 3, 5, 7 останутся простыми в любых системах счисления. Однако признаки делимости, которые устанавливаются исходя из записи числа в определенной системе счисления, будут меняться вместе с основанием системы. Так, число де­лится на 5, если его запись по десятичной по­зиционной системе оканчивается нулем или пятеркой. Но число не всегда делится на 5, ес­ли на 0 оканчивается его запись в троичной сис­теме, например числа 103 (т. е. 3), 1003 (т. е. 9), 10003 (т. е. 27) не делятся на 5, а число 1203 (т. е. 15) будет делиться на 5.

И русский, и француз, и немец одно и то же число назовут по-разному (на своем языке), а запишут его одинаково.