Наш устный счет

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Теперь, естественно, возникает вопрос: поче­му мы все-таки пользуемся десятичной системой, а не системой с другим основанием? И еще: всегда ли люди записывали числа, пользуясь позиционным принципом?

На эти вопросы мы и постараемся дать ответ.

Чтобы лучше понять, как люди считали в старину, обратимся сначала к. нашей речи, к нашему устному счету. Прежде всего заметим, что наш устный счет очень отличается от письменного.

Как мы называем число 444? Мы говорим: «Четыреста сорок четыре», т. е. произносим три разных слова. В то же время это число записы­ваем тремя одинаковыми знаками. Если то же самое число нужно будет записать немцу или французу, то они напишут такие же три знака, а произнесет каждый из них различные слова: один — по-немецки, другой — по-французски.

Итак, наша письменная нумерация носит международный характер, тогда как названия числительных и способы их образования у раз­ных народов различны. Но дело не только в этом. Давайте рассмотрим более подробно, как мы называем числа.

Для нуля и первых девяти чисел мы упо­требляем специальные названия: «нуль», «один», «два»,..., «девять». Для следующего числа у нас есть новое слово — «десять»; мы не гово­рим «один, нуль», хотя и записываем его с по­мощью единицы и нуля: 10.

Все числа от 11 до 99, как правило, состав­ляются из названий первых чисел: «одиннад­цать» (т. е. один-на-десять), «тридцать один» (т. е. три-десять-один) и т. д. Для 100 мы упот­ребляем новое слово — «сто». Все наименования чисел от 101 до 999 опять составные, а для 1000 вводится новое слово — «тысяча». Далее тоже идут новые слова: «миллион», «миллиард», «трил­лион» и т. д. Как видим, по мере роста самих чисел возрастает и количество названий для них. Из этого явствует, что способ наименования чисел не является позиционным. Наш устный счет сохранил следы каких-то более старых нуме­раций, одной из которых мы и сейчас поль­зуемся при записи чисел по римской системе. В римской системе имеются специаль­ные знаки для единицы (I), пяти (V), де­сяти (X), пятидесяти (L), ста (С), пятисот (D) и тысячи (М). Остальные числа записываются при помощи этих символов с применением сло­жения и вычитания: III, например, есть запись числа три (I+I+I), IV — числа четыре (V-I),

VI — числа шесть (V+I) и т. д. Наше число 444 запишется в римской системе так: GDXLIV. Эта форма записи менее удобна, чем та, ко­торой мы теперь пользуемся. Здесь четыре еди­ницы записываются одними символами (IV), четыре десятка — другими (XL), четыре сотни —

Цифры в древнем Риме.

третьими (CD). Запись чисел получается намно­го длиннее. Но не только в этом дело: с числами, записанными в римской нумерации, очень труд­но производить арифметические действия. По­пробуйте, например, перемножить 444 на 36, если оба числа обозначены римскими цифрами, и вы сразу же убедитесь в трудности задачи. Сами римляне пользовались для производства арифметических операций специальной счет­ной доской — абаком.

В римской системе есть и еще один сущест­венный недостаток: она не дает способа для

Так написали бы 444 древние египтяне.

записи сколь угодно больших чисел. Например, чтобы написать по этой системе 1 000 000, надо либо 1000 раз повторить знак М, либо ввести новый символ. Таким образом, для записи чи­сел по мере их роста надо будет вводить все новые и новые знаки. Это происходит потому, что римская нумерация не является позицион­ной. Знак V, например, означает в ней только пять единиц и не может обозначать пяти десят­ков или пяти сотен. Римская нумерация не яв­ляется и строго десятичной. В ней сохранились следы другого основания — пяти. Действитель­но, здесь есть специальные знаки для пяти, пятидесяти и пятисот.

В нашем устном счете имеются некоторые черты, напоминающие эту систему. Так, мы тоже прибегаем к операции сложения, образуя числительные от 11 до 19: «одиннадцать» (один-на-десять) и т. д. Но начиная с 20 пользуемся для образования числительных еще и умноже­нием, чего нет в римской системе: «двадцать» означает два-десять, т. е. дваXдесять, «трид­цать» — триXдесять.

В нашем языке сохранились также следы нумерации с основанием 40, которой пользо­вались наши предки. Действительно, для этого числа употребляется новое, несоставное назва­ние — «сорок». Нам известны такие выражения:

«сорок сороков церквей», «сорок сороков чер­ных соболей». О том, что число 40 когда-то иг­рало особую роль при счете, говорят и некото­рые связанные с ним поверья. Так, сорок пер­вый медведь считался роковым для охотника. Аналогично этому широко распространен у европейских народов предрассудок, будто число 13 является несчастливым. Это связано с тем, что некогда была распространена двенадцатеричная система счисления.

Во французском языке сохранились следы нумерации с основанием 20; число 80 читается: quatre-vingts — «четыре-двадцать», число 90—

quatre-vingts-dix — «четыре-двадцать-десять»,

число 120 — «шесть-двадцать»; в старофранцуз­ском языке и другие названия чисел составля­лись аналогичным образом. Следы двадцатеричной системы сохранились также в английском и голландском языках, следы пятеричной — в скандинавских языках.

Итак, устная речь показывает, что наши пред­ки пользовались непозиционной нумерацией, причем в качестве оснований, кроме десяти, были и другие числа.

На основании каких же источников можно ответить на вопрос: как люди считали в старину?

Во-первых, на земном шаре сохранились на­роды, которые еще недавно стояли во многих отношениях на таком же низком уровне разви­тия, как и наши далекие предки. Многие путеше­ственники описали немало способов счета, при­менявшихся у таких народов. Это — один источник, с которым мы познакомимся.

Вторым источником являются письменные документы древних народов: египтян, вавило­нян, древних греков, индейцев племени майя и других. Наконец, русские рукописи XI—XII вв. помогут нам узнать, как считали раньше на Ру­си. Итак, начнем по порядку.

Счет у первобытных народов

Еще недавно существовали племена, в язы­ке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Но это не значит, конечно, что представители этих племен не могли сосчитать большее количество предметов.

У туземцев островов, расположенных в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии), единственными числительными являлись «урапун» (один) и «окоза» (два). Островитяне считали так: «окоза-урапун» (три), «окоза-окоза» (четыре), «окоза-окоза-урапун» (пять) и «окоза-окоза-окоза» (шесть). О числах начиная с семи туземцы говорили «много», «множество». Таким образом, люди здесь ос­воили только небольшое количество целых чисел. Кстати, многие русские пословицы говорят о том, что именно так дело обстояло и у наших предков. Мы говорим: «У семи нянек дитя без глаза», «Семь бед — один ответ», «Семеро од­ного не ждут», «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Здесь, очевидно, число «семь» употреб­ляется в смысле «много»: у большого числа ня­нек дитя без глаза, много бед — один ответ и т. д.

Но вернемся к нашему рассказу.

Очень рано у людей появилась необходимость сообщать друг другу о том, что такое-то число предметов должно быть доставлено через столь­ко-то дней или что каждое племя должно выста­вить такое-то число воинов. И даже те народы, у которых имелось только два числительных, умели в известном смысле «сосчитывать» доволь­но большое количество предметов. Вот как, по рассказу замечательного русского путешест­венника Н. Н. Миклухо-Маклая, поступали туземцы Новой Гвинеи: «Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает опреде­ленный звук, например «бе-бе-бе...». Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе-бе...», пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе-бе», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Итак, предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. При переговорах туземцу достаточно было сказать, например, что он дошел в своем счете до третьего пальца правой ноги. Чтобы отсчитать нужное количе­ство предметов, счет начинали сначала, от пер­вого пальца правой руки. При этом, отсчиты­вая каждый палец, одновременно отмечали и предметы. Островитяне Торресова пролива для такого пересчета употребляли не только пальцы, а и другие части тела (запястье, локоть, плечо), но всегда в определенном порядке. Так они могли пересчитывать до 33 предметов.

Суть этого способа заключается в том, что равночисленность некоторых совокупностей предметов устанавливалась при помощи сопо­ставления их с частями тела, а иногда и просто палочками. Разумеется, наиболее удобным «ин­струментом» пересчета являются пальцы, вслед­ствие чего предметы при пересчете чаще всего группировали по пяти, по десяти и по двадцати. Этим и объясняется то, что основанием большин­ства сложившихся систем счисления является 10 (по числу пальцев на обеих руках), а иногда 5 или 20.

Со временем хозяйство племен становилось все более сложным и обширным. Чаще прихо­дилось сосчитывать все большее количество раз­личных предметов, и простое установление равночисленности при помощи счета на пальцах перестало удовлетворять людей.

Люди постепенно привыкали при счете рас­полагать предметы устойчивыми группами по

два, по десяти или двенадцати. Появились спе­циальные слова для обозначения таких устой­чивых совокупностей предметов. Так, у тузем­цев Флориды слово «на-куа» означало 10 яиц, «на-банара» — 10 корзин. Но слово «на», ко­торое, казалось бы, соответствует числу 10, от­дельно не употреблялось. То же можно было наблюдать на островах Фиджи и Соломоно­вых, где имелись специальные названия для 100 челноков, 100 кокосовых орехов, 1000 ко­косовых орехов и в то же время отвлеченных чисел не было. Числа являлись по существу именованными, это еще «числа-совокупности» конкретных предметов.

Но с течением времени такими устойчивыми «числами-совокупностями» начали обозначать не только данные предметы, а и другие, похо­жие на них. Например, «числа-совокупности», обозначающие определенное количество оре­хов, могли впоследствии употребляться для счета любых круглых предметов. Это привело к тому, что во многих языках первобытных наро­дов образовалось несколько рядов числительных: одни употреблялись только для счета людей, другие — для подсчета круглых предметов, третьи — продолговатых и т. д. Например, у чишмиенов (Британская Колумбия) имелось семь видов числительных, каждый из них употреб­лялся для счета предметов определенного вида.

Однако у большинства народов числа, ко­торыми считали «деньги», постепенно вытесни­ли все остальные. По-видимому, это произошло тогда, когда в качестве денег в основном слу­жил скот: приходилось сосчитывать стада, об­менивать на них другие предметы. Естественно, что числа, служившие для подсчета скота, по­лучили наибольшее распространение: их все хорошо знали. Они-то и стали теми универ­сальными числами, которые позволили считать любые предметы.

Однако так образовались только те числа, которым соответствовали «числа-совокупности»: если счет велся десятками, то появились наз­вания для десяти, десяти десятков (т. е. ста), десяти сотен (т. е. тысячи). Кроме того, инди­видуальные названия получили, как правило, все числа, меньшие десяти. Что касается чисел 11, 12, ..., 19, 21 и т. д., то они составлялись из основных при помощи тех операций, которые первоначально фактически производились над пересчитываемыми предме­тами. Так, на языке кламатов (Северная Амери­ка), а также племен Британской Колумбии для обозначения составных чисел употреблялись специальные глаголы. Например, индеец говорил: «На дважды десять плодов я кладу свер­ху шесть»,— и это обозначало 26 плодов. Та­кая фраза полностью соответствует фактиче­скому пересчету: индейцы располагали 10 пред­метов в ряд, с 11-го начинался новый ряд и т. д. А постепенно эти двигательные операции пе­решли в арифметические.

Хорошей иллюстрацией к такому способу счета служат обозначения чисел, принятые в XI—XVI вв. индейцами племени ацтеков (Мек­сика): единицу они обозначали точкой, двойку — двумя точками (см. рисунок) и т. д. до пяти .

Так в Мексике обозначали числа индейцы племени ацтеков в XI—XVI вв.

В запись числа шесть входила вертикальная черта, которая отделяла пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пяти предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала.

Основной операцией для образования со­ставных чисел было сложение, но наряду с этим применялось и вычитание, а иногда даже умно­жение. Например, в русском языке, как мы уже говорили, для образования числительных упо­требляются и сложение, и умножение (двадцать семь: дваХдесять+семь). В угро-финских язы­ках применяется и вычитание: число 8 там про­износится как «два-десять» (т. е. десять без двух), 80 — как «два-сто», 800 — «два-десять-сто» («десять-сто», т. е. тысяча, — принцип умножения!). Так происходило освоение на­турального ряда чисел. Посмотрим теперь, ка­кими были первые записи чисел и как люди оперировали числами.

Первые нумерации

Одна из древнейших нумераций — египет­ская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изо­бражают птиц, зверей, людей, части человече­ского тела (глаза, ноги) и различные неодушев­ленные предметы. Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. По­добные письмена были у обитателей Централь­ной Америки — индейцев племени майя, в Пе­ру. Расшифровка их представляет огромные трудности, так как часто неизвестны ни язык древних народов, ни значение отдельных иерог­лифов. Казалось бы, задача является неразре­шимой. И все-таки многие надписи уже прочи­таны! Сначала были разгаданы письмена древ­них египтян, затем — вавилонская клинопись. В 30-х годах нашего века были прочитаны долго не поддававшиеся расшифровке хеттские надпи­си. И, наконец, совсем недавно найден ключ к разгадке письмен индейцев племени майя и надписей с острова Пасхи.

Сохранились два математических папируса, позволяющие судить о том, как считали древ­ние египтяне. Один из них хранится в Британ­ском музее в Лондоне, а другой — в Музее изо­бразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Для записи чисел древние египтяне употребляли иероглифы, означающие (последо­вательно): единицу, десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками), десять миллионов:

Полагают, что иероглиф для сотни изобра­жает измерительную веревку, для тысячи — цветок лотоса, для десяти тысяч — поднятый кверху палец, а... для десяти миллионов — всю Вселенную. Все остальные числа состав­лялись из основных с помощью только одной операции — сложения. При этом запись произ­водилась не слева направо, как у нас, а справа налево. Число 15, например, записывалось так:

А число 444 писали так:

Мы видим, что древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание. Знакомясь с рим­ской нумерацией, мы убедились, что умножать числа, записанные в непозиционной системе, очень неудобно. Как же считали древние егип­тяне? Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали чис­ло 37, причем в правом столбце записывали ре­зультаты удвоения, а в левом — соответству­ющие степени двойки:

Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из числа левого столбца можно составить множитель (в нашем примере: 19 = 1+2+16). Египтяне отмечали соответствую­щие строки вертикальными черточками и скла­дывали те числа, которые стоят в этих же стро­ках справа. В данном случае надо сложить 37 + +74 + 592 = 703. Так получали произведение.

Если теперь число 703 нужно было разде­лить на 19, то египтяне начинали последователь­но удваивать делитель и продолжали это до тех пор, дока числа правого столбца оставались меньше 703. Затем из чисел правого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма чисел в левом столбце давала делитель:

В данном случае 703 = 608+76+19, т. е. част­ное будет 1+4+32=37. Если бы делимое не

делилось без остатка на делитель, то его не уда­лось бы составить из чисел правого столбца. У нас получилось бы и частное и остаток.

Египетский способ умножения нетруден, но требует очень большого количества операций, да­же при умножении двузначных чисел. Если бы пришлось перемножать таким способом трехзнач­ные или четырехзначные числа, мы не могли бы обойтись без помощи машины. Заметим также, что для умножения и деления египтяне пользова­лись фактически представлением числа по дво­ичной системе.