Алфавитные нумерации. «Псаммит»

Мы видели, что непозиционные нумерации малоудобны: запись чисел в них очень длинна, арифметические операции производить трудно. По мере развития торговли и ремесла эти не­удобства становились все чувствительнее, и вот в Малой Азии, где были древнегреческие коло­нии, которые вели оживленную торговлю, в середине V в. до н. э. появилась система счис­ления нового типа, так называемая алфавитная нумерация. Ее обычно называют ионий­ской. В этой системе числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять — числа 10, 20, 30, ..., 90 и следующие девять — числа 100, 200, ..., 900. Таким образом можно было обозначать лю­бое число до 999.

Для обозначения чисел 1000, 2000, ..., 9000 греки употребляли те же буквы, что и для чисел 1, 2, ..., 9, но только при их записи ставили косую черточку слева внизу. Как это делалось, видно из прилагаемого рисунка на стр. 274. Далее, для числа 10 000 употреблялся знак М — это число называлось мириадой; две мириады,

т. е. 20 000, обозначались так: М. Этим спо­собом можно было обозначить все числа до мириады мириад, т. е. до 108. Более высокие десятичные разряды уже не могли быть запи­саны в ионийской нумерации и не имели назва­ния в древнегреческом языке.

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий прием наименования сколь угодно больших чисел. Издавна у греков, как, впрочем, и у других народов, наглядным образом для представления об очень большом и даже неисчислимом коли­честве служило число песчинок. В народных сказках, например, встречается «неразрешимая» задача: сосчитать звезды на небе, капли в море или песчинки на земле. Архимед показал, что такие задачи можно решить. Свое сочинение он так и назвал «Исчисление песка» («Псам­мит»). В нем он построил систему счета, в кото­рой имелись числа, не только превосходящие количество песчинок в его родной Сицилии, но и такие, которые больше числа песчинок во Вселенной, если даже считать, что Вселенная сплошь заполнена песком. Но что же понимали греки времен Архимеда под всей Вселенной? В своем сочинении Архимед, следуя за грече­ским астрономом Аристархом Самосским, по­лагал, что в центре Вселенной находится Солнце, а Земля и другие планеты вращаются вокруг не­го. Вселенная имеет форму сферы, на поверх­ности которой расположены неподвижные звез­ды. Это была первая гелиоцентрическая систе­ма мира.

Греческое алфавитное изображение чисел.

Для подсчета количества песчинок Архимед должен был, хотя бы приблизительно, опреде­лить размеры диаметров Вселенной и песчинки, а затем найти отношение их объемов. Архимед сделал это, опираясь на данные астрономии своего времени и на собственные исследования в этой области. Число песчинок, которое должно было у него при этом получиться, в нашей ну­мерации записывается так: 1063. Это очень боль­шое число, и до Архимеда не было средств ни для записи, ни для наименования чисел такого порядка.

Чтобы решить поставленную задачу, Ар­химед поступает следующим образом: все числа, меньшие мириады мириад, т. е. все числа от 1 до 108-1, он объединяет в первую октаду (т. е. восьмерицу) и называет их «первыми чис­лами». Число 108 служит единицей второй октады, в которую входят все числа от 108 до 102•8-1. Это — «вторые числа». Аналогично этому число 102•8 является едини­цей третьей октады, а числа от 102•8до 103•8-1 являются «третьими». Продолжая это построе­ние, можно дойти до мириадо-мириадной ок­тады, которая содержит числа от 10(108-1)•8 до 108•108-1. Все эти октады Архимед объеди­няет в первый период. Число 108•108 служит единицей первой октады второго периода и т. д. Этим способом можно дойти до последнего чис­ла последней октады мириадо-мириадного пе­риода. Здесь Архимед останавливается, но ясно, что с помощью его способа можно дви­гаться и дальше, объединив все периоды в ка­кой-нибудь новый разряд.

Но и тех чисел, которые построил Архимед, вполне достаточно для подсчета числа песчинок во Вселенной. Необходимое число содержится уже в восьмой октаде первого периода. Архимед продолжил свое построение дальше для того, чтобы разъяснить метод наименования сколь угодно больших чисел.

Способ- Архимеда близок к позиционному, но понадобилось еще около тысячи лет, прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления.

Так записывались числа в древнеславянской нумерации.

Алфавитные системы были, кроме ионий­цев, у древних евреев, финикийцев, армян, грузин и других народов. Алфавитная нуме­рация была принята и в древней Руси. Над буквами, обозначавшими числа, ставился спе­циальный знак — титло. Это делалось для того, чтобы отличать их от обычных слов.

Удобны ли алфавитные системы?

Запишем в славянской нумерации число

444:

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей. Это объясняется тем, что в алфавитных нумерациях имелось 27 цифр, тогда как в еги­петской, например, для обозначения всех чисел до 1000 было всего лишь три цифры.

Но алфавитные нумерации имели и круп­ный недостаток: с их помощью нельзя обозна­чать сколь угодно большие числа. Они были очень удобны только для записи чисел до 1000.

Правда, славяне, как и греки, умели запи­сывать и большие числа, но для этого к алфа­витной системе добавляли новые обозначения. Числа 1000, 2000 и т. д. они записывали теми же буквами, что 1, 2 и т. д., только слева внизу

ставился специальный знак

, например, 1000

обозначали

Аналогично:

Число 10 000 опять обозначалось той же бук­вой, что и 1, только без титла, но его уже обводили кружком:

Называлось это число «тьмой». Отсюда, между прочим, про­изошло выражение «тьма народу».

Итак, для обозначения тем первые 9 цифр обводились кружками:

10 тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». Для обозна­чения легионов вокруг первых 9 цифр ставился кружок из точек:

и т. д.

10 легионов составляли новую единицу, которая называлась «леодр». Для обозначения леодров соответствующие числа заключали в кружок из черточек:

Эти обозначения можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в ней

для обозначения единиц разных разрядов при­менялись одни и те же символы, к которым до­бавлялись знаки для определения разряда. Такая система называлась «малым числом». В ней обозначения не шли дальше миллионов. Но наряду с этим имелось и «большое», или «великое», число, в котором словом «тьма» обозначался уже миллион. Тьма тем (т. е. 1012) называлась легионом, легион легионов (т. е. 1024) — леодром, леодр леодров (т. е. 1048) — вороном и, наконец, число 1048 называлось колодой. В рукописи XVII в, говорится: «И более сего несть человеческому уму разумевати», т. е. для больших чисел уже нет названий. Для обозначения воронов бук-

вы ставили в кружок из крестиков:

а колоду обозначали так:

Алфавитные нумерации, как мы говорили, были мало пригодны для оперирования с боль­шими числами, встречавшимися уже в древ­ности (например, при астрономических рас­четах). В ходе развития человеческого обще­ства эти системы уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в нашем обиходе и по сей день. Так, мы часто нумеруем пункты при помощи букв алфавита. Правда, буквы служат только для обозначе­ния последовательного порядка, а не коли­чества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.

Позиционные системы

Первой известной нам позиционной си­стемой счисления была шестидесятеричная си­стема вавилонян, возникшая примерно за 2500— 2000 лет до н. э. Основанием ее служило число 60. Следовательно, в ней должно было быть 60 цифр. А таблица умножения должна была состоять из 60•60/2=1800 строк.

Как же вавилоняне записывали свои цифры и как запоминали такую чудовищную таблицу умножения?

Вавилоняне поступали так: записывали все числа от 1 до 59 по десятичной системе, при­меняя принцип сложения. При этом они поль­зовались всегда двумя знаками: прямым клином

для обозначения 1 и лежачим клином

для 10. Число 32, например, писали так:

Эти знаки и служили цифрами в их системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком,

что и 1, т. е.

Так же обозначались и числа 3600, 603 и все другие степени 60. Например, число 92 записывали так:

Таким образом, «цифры», т. е. все числа от 1 до 59, вавилоняне записывали по десятич­ной непозиционной системе, а число в целом — по позиционной системе с основанием 60. По­этому-то мы и называем их систему шестидесятеричной (а не шестидесятичной, как нужно называть, учитывая только одно основание 60).

Клинописная за­пись чисел древ­них вавилонян.

Но нумерация вавилонян имела и еще одну важную особенность: в ней не было знака для

нуля. И если был изображен прямой клин

то без дополнительных пояснений нельзя было определить, какое число записано: 1, 60, 3600 или какая-нибудь другая степень 60. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3600+32=3632.

Она могла также означать 132/60 или 132/3600 и т.д.

Таким образом, запись в вавилонской нуме­рации не носила абсолютного характера — для определения абсолютного значения числа нуж­ны были еще дополнительные сведения. Впо­следствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда. Например, число 3632 нужно

было бы записать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали — это было почти невозможно. Они пользовались при своих вычислениях готовыми таблицами умножения, так же как мы теперь пользуемся, например, таблицами логарифмов.

Цифры индейцев племени майя.

Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Цент­ральной Америке, пользовались другой пози­ционной системой — с основанием 20. Свои цифры индейцы майя, как и вавилоняне, запи­сывали, пользуясь принципом сложения. Еди­ницу они обозначали точкой, а пять — гори­зонтальной чертой (см. рис.), но в этой системе уже был знак для нуля. Он напоминал по своей форме полузакрытый глаз. И, например, число 20 индейцы майя записывали при помощи знака для единицы и внизу знака для нуля (числа писали не в строчку, а столбцами).

Десятичная позиционная система впервые сложилась в Индии не позднее VI в. н. э. Здесь же был введен наш символ для нуля.

Итак, позиционные системы счисления воз­никли независимо одна от другой в древнем Дву­речье, у племени майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позицион­ного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его соз­дания? Что привело людей к этому замечатель­ному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории. В древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существо­вали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются сим­волом X, а сотни — С. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так:

ЗС2X3.

В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч при­меняются одни и те же символы, но после каж­дого символа пишется название соответствую-

щего разряда. На аналогичном принципе осно­ваны наши счеты: одно и то же количество кос­точек означает число десятков, сотен, тысяч и т. д., в зависимости от того, в каком ряду рас­положены эти косточки.

Но именно такой способ счета применялся при счете «числами-совокупностями». Так, йорубы1, считая раковины-каури (игравшие у них роль денег), раскладывали их в кучки по 20 раковин в каждой, затем 20 таких кучек они объединяли в одну большую кучу и т. д. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами можно поступать так же, как и с отдельными раковинами. Н. Н. Миклухо-Маклай рассказывал о способе счета у папуасов, который уже очень близок к построению чисел по принципу умножения. Чтобы сосчитать число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы поступали следую­щим образом: «Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «каре-каре» (один), другой повторял слово «каре» и загибал при этом палец прежде на од­ной, затем на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, он опустил оба кулака на колени, повторив «две руки», причем третий папуас загнул один палец руки. Со вто­рым десятком было сделано то же, причем тре­тий папуас загнул второй палец: то же самое было сделано для третьего десятка».

Рассказывают, что так же считали стада в Южной Африке: один из африканцев считал каждую голову, второй — число десятков, сосчи­танных первым, а третий — число десятков, сосчитанных вторым, т. е. число сотен. Если бы мы теперь обозначили палец первого через I, палец второго через X и палец третьего через С, то результат по мультипликативной системе записали бы, например, так: 3C2X3I. В Китае и Индии с древнейших времен суще­ствовал именно такой способ записи чисел. Кроме того, индийцы издавна проявляли глу­бокий интерес к большим числам и способам их записи. В одной из индийских книг — «Лалитавистара» — говорится о состязании между женихами прекрасной Гопы. Предметом состя­зания были письменность, арифметика, борьба и искусство стрельбы из лука. Почти половина книги посвящена описанию состязаний по ариф­метике. Победитель Гаутама придумал шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, последним членом которой было 107+9•46.

Следующей ступенью- к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме (подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек»). Но при записи больших чисел по системе с ос­нованием 10 очень часто бывал необходим сим­вол для обозначения нуля.