ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Пифагоровы треугольники

Футбольное поле — это прямоугольная площадка длиной примерно 90 м и шириной 60 м. Как разметить такую площадку? Прямо­угольник на листе бумаги строят при помощи линейки и циркуля или линейки и угольника. Эти приборы слишком малы для работы на местности. Они не обеспечат нужной точности в построении прямых углов такой площадки, как футбольное поле. Если же сделать циркуль и угольник достаточно больших размеров, то ими будет невозможно пользоваться.

С давних времен известен очень простой способ построения на местности прямых углов. Выполним такое построение. Возьмем шнур и три колышка. На шнуре отметим 12 равных долей. Затем узлами выделим три части шнура MB, BC, CN так, чтобы первая часть состояла из пяти, вторая из четырех и последняя из трех

Для построения прямоугольной площадки следо­вало бы взять угольник и цир­куль таких раз­меров.

Построение прямого угла на местности.

таких долей. Узлы М и N свяжем вместе и обо­значим вновь полученный узел через А.

С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С совпала с точкой, через которую должен быть проведен перпендикуляр к данной прямой. Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы уча­стки АВ и АС стали прямолинейными, и вобьем в точке, где будет находиться узел А, колышек. Задача построения на местности прямого угла решена, так как угол АСВ прямой.

Чтобы убедиться в этом, докажем, что пря­моугольным будет всякий треугольник, стороны которого, измеренные какой-нибудь единицей измерения, выражаются числами 3, 4 и 5. Для доказательства возьмем прямоугольный тре­угольник с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдем его гипотенузу х. По теореме Пифагора x2=32+42. Поэтому х=5. Таким образом, три стороны дан­ного треугольника соответственно равны трем сторонам прямоугольного треугольника. А от­сюда следует, что и данный треугольник — пря­моугольный.

Доказанное свойство треугольника со сто­ронами 3,'4 и 5 было, по-видимому, известно еще древнеегипетским землемерам. Поэтому такой треугольник называют египетским. Вся-

кий целочисленный треугольник1, подобный египетскому, также является прямоугольным.

Существуют ли другие целочисленные пря­моугольные треугольники.

Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника обозначить буквами х, у и z, то по теореме Пифагора получим:

z2+y2 = z2. (1)

Оказывается, что верно и обратное, т. е. если х, у и z — натуральные числа, удовлет­воряющие уравнению (1), то треугольник со сторонами х, у и z — прямоугольный.

Целочисленный прямоугольный треуголь­ник для краткости иногда называют пифаго­ровым.

Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения (1) в натураль­ных числах.

Рассмотрим несколько других задач.

Взвешивание груза на чашечных весах

Можно ли 28 Г некоторого вещества отвесить на чашечных весах, имея гири весом только в 3 и 5 Г?

Оказывается, это можно сделать, даже не­сколькими способами.

Попытаемся найти все способы взвешивания. Для этого поместим груз в 28 Г на правую чашу весов и уравновесим его гирями весом в 3 и 5 Г. Возможны такие случаи: а) все гири находятся на левой чаше весов; б) гири по 3 Г находятся на левой чаше весов, а гири по 5 Г вместе с грузом находятся на правой чаше весов; в) гири по 5 Г находятся на левой чаше весов, а гири по 3 Г вместе с грузом находятся на правой чаше весов.

Если через х обозначить число использован­ных гирь весом в 3 Г, а через у — число исполь­зованных гирь весом в 5 Г, то в соответствии с отмеченными выше случаями получим:

а) Зх+5у=28, (2)

б) Зх=28+5у, или 3x-5y=28,

в) 5у=28+3x, или 5y-3x=28.

Чтобы найти все способы взвешивания, нуж­но решить каждое из полученных уравнений в неотрицательных целых числах. Можно ре­шить одно уравнение (2) в целых числах, но при этом нужно иметь в виду, что значения неизвест­ных х и y указывают не только на число исполь­зованных гирь, но и на их место на чашах ве­сов. Так, если значение неизвестного х положительно, то число гирь весом в 3 Г равно х и все они находятся на левой чаше весов; если зна­чение неизвестного х отрицательно, то число гирь весом в 3 Г равно |х| и все они находятся на правой чаше весов.

Сколько нужно взять гирь?

Раскрой фанеры

В деревообделочный цех одного завода по­ступил заказ вырезать из фанеры заготовки двух видов для 1000 изделий. Известно, что на одно изделие идет две заготовки первого вида и три второго. На складе имеется 800 ли­стов фанеры одного образца. Были предложены три способа раскроя этих листов. При первом способе из листа фанеры получается пять заготовок первого вида и две второго, при втором — одна заготовка первого вида и пять второго и, наконец, при третьем — три заготовки первого вида и четыре второго.

Достаточно ли для выполнения заказа ли­стов фанеры, имеющихся на складе? Сколько листов фанеры нужно кроить по первому, сколь­ко по второму и по третьему способам, чтобы вы­полнить этот заказ?

Обозначим буквами х1, х2, х3 соответственно число листов фанеры, раскроенных по первому, второму и третьему способам. Тогда 5x1+x2+3х3 — количество полученных заготовок пер­вого вида и 2х1+5х2+4x3 — количество по­лученных заготовок второго вида. Так как для выполнения заказа требуется не менее чем 2000

заготовок первого и 3000 заготовок второго вида, то должны выполняться неравенства:

5х1+х2+3х3 ³ 2000,

2х1+5х2+4x3³3000.

Чтобы заменить неравенства строгими ра­венствами, обозначим через x4 количество за­готовок первого вида, которые придется изго­товить сверх 2000, а через х5 — количество «лишних» заготовок второго вида. Тогда, учи­тывая, что х1+x2+x3=800, получим следую­щую систему уравнений:

Конечно, x4 и x5, так же как и x1, x2, х3, должны быть целыми неотрицательными чис­лами.

Каждому варианту (х1, х2, х3) распределе­ния 800 листов фанеры по способам раскроя соответствует решение (х1, x2, x3, x4, х5) систе­мы уравнений (3) в целых неотрицательных чис­лах. Наоборот, каждому решению (х1, х2, х3, x4, x5) системы (3) в целых неотрицательных числах соответствует определенный вариант распределения 800 листов фанеры по способам раскроя. Поэтому задача о раскрое фанеры при­водит к отысканию решений системы (3) в це­лых неотрицательных числах.

Неопределенные уравнения

Каждая из рассмотренных задач сводится, как мы убедились, к решению в целых числах некоторых уравнений или систем уравнений. При этом число неизвестных всякий раз превосходи­ло число уравнений. Такие уравнения и систе­мы называют неопределенными. При решении неопределенных уравнений или систем уравнений обычно ищут значения неизвестных, удовлетворяющие тем или иным арифметиче­ским условиям. Например, их решают в целых или рациональных числах.

Еще александрийский математик Диофант (III в. н.э.) занимался решением алгебраических уравнений в рациональных (вообще говоря, дроб­ных) числах. Решением неопределенных урав-

Задача о раскрое фанеры — одна из задач бурно развивающейся в настоящее время математиче­ской теории, которая называется линейным про­граммированием.

Если во всем искать математику, то можно построить интересную полез­ную математическую теорию, рассматривая, например, затейливые узоры на древнегреческой вазе или прихотливо повторяющиеся рисунки мозаик и паркета в старинных дворцах. Простейшая математическая теория ряда мозаик получится, если на плоскости рассматривать .мозаики, состо­ящие из правильных многоугольников. Чтобы особо подчеркнуть важ­ность того, что мозаики получаются повторением рисунка, введем сле­дующее определение. Назовем преобразованием рисунка всякое его перемещение, которое надо совершить, чтобы совместить его с другим таким же рисунком. Оказывается, что для таких преобразований суще­ствует очень простая и красивая алгебра и такие преобразования обра­зуют группу (более подробно о такой алгебре и теории групп см. в статье «Чем занимается алгебра?»).

Эти преобразования можем подразделить на несколько видов: парал­лельный перенос рисунка, поворот его на какой-то угол и зеркальное отражение. При этом оказывается, что на плоскости для любых мозаик из правильных многоугольников может быть только 17 различных групп таких преобразований. Этот замечательный факт установил в 1891 г. зна­менитый русский кристаллограф Б. С. Федоров.

Изучение мозаик дает богатую пищу не только для математических исследований, но и для воображения художника. На прилагаемом ри­сунке можно видеть как «портреты» некоторых абстрактных групп, так и мозаики другого типа. Эти остроумные рисунки сделал датский худож­ник Мориц К. Ешер. Первое впечатление, что утки летят, а всадники скачут только слева направо. Но тут же глаз замечает, что такая же процессия с занимательной точностью движется в противоположном на­правлении. Художник предлагает каждому попробовать свои силы в составлении таких мозаик. Однако он предупреждает, что такая работа требует усидчивости! Интересно отметить, что для таких произвольных мозаик теория групп уже не является таким же удобным и плодотвор­ным математически» аппаратом, как для правильных мозаик. Но здесь начинается применение другой любопытной математической теории, именно теории о покрытии плоскости без пропусков и наложений фигу­рами сложных очертаний. И эта математическая теория даёт много инте­ресных и полезных сведений всякому, кто познакомится с ней поближе.

нении в целых числах впервые начали зани­маться ученые Индии. Они предложили об­щий метод для решения в целых числах неоп­ределенных уравнений первой степени с целыми коэффициентами, а также нашли решение в це­лых числах некоторых неопределенных урав­нений второй степени с двумя неизвестными.

Рациональные и целые решения неопре­деленных уравнений первой степени.

Метод рассеивания

Решить неопределенные уравнения первой степени с целыми или дробными коэффициен­тами в рациональных числах нетрудно. Возьмем, например, уравнение

29х-13y=17. (4)

Чтобы найти все решения этого уравнения, узнаем, при каких рациональных значениях одного неизвестного соответствующее значение второго неизвестного рационально. Каждому значению неизвестного х соответствует един­ственное значение неизвестного у, определяе­мое из формулы:

29х -17/13. (5)

Если значение неизвестного х рационально, то и значение неизвестного у, получаемое из формулы (5), рационально.

В формуле (5) роли неизвестных х и у раз­личны. Неизвестному х мы даем произвольное значение, а значение неизвестного у находится в зависимости от выбранного значения неизвест­ного х. В соответствии с этим называют неиз­вестное х свободным, а неизвестное у зависимым. Уравнение (4) можно разре­шить не только относительно неизвестного у, но и относительно неизвестного х. В таком слу­чае неизвестное у станет свободным, а неизвест­ное х зависимым.

Для отыскания целых решений уравнения (4) мы не можем непосредственно воспользо­ваться формулой (5), так как при целых зна­чениях одного неизвестного второе неизвестное не обязательно принимает целые значения. Чтобы найти все целые решения уравнения (4), найдем такие целые значения неизвестного x, для которых соответствующее значение неизвест­ного у является целым числом.

Это незначительное на первый взгляд из­менение постановки задачи открывает путь для ее решения.

Замечая, что

29/13 =2+3/13, а 17/13=1+4/13,

и пользуясь формулой (5), получим:

у =2х-1+(3x-4)/13. (6)

Мы должны узнать, при каких целых зна­чениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значения. Так как при целом х число 2х-1 является целым, то из формулы (6) сле­дует, что неизвестное у при целом х только в том случае принимает целое значение, если выражение (3x-4)/13 есть целое число.

Наша задача еще не решена, но мы приблизились к цели.

В самом деле, полагая (3x-4)/13= у1, замеча­ем, что вопрос, при каких целых значениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значения, равносилен вопросу о целых реше­ниях уравнения

Зx-13y1=4. (7)

Таким образом, решение в целых числах уравнения (4) удалось свести к решению в це­лых числах уравнения (7). Чем же второе уравнение предпочтительнее первого?

Самым простым из неопределенных урав­нений первой степени естественно считать такое, у которого хотя бы один из коэффициентов при неизвестных равен 1 или -1. В этом случае неизвестное с таким коэффициентом при любых целых значениях остальных неизвестных при-

281

Будем решать задачу методом рассеивания.

нимает целые значения. Поэтому чем меньше наименьшая из абсолютных величин коэф­фициентов при неизвестных, тем уравнение предпочтительнее. В уравнении (4) наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при не­известных равна 13, а в уравнении (7) равна 3. Как удалось достичь этого? Коэффициент при неизвестном х и свободный член уравнения бы­ли заменены остатками от деления этих чисел на 13. Но остаток от деления целого числа на на­туральное число всегда меньше этого натураль­ного числа. Понятно, почему с самого начала неизвестное у было выражено через неизвестное х: мы выбрали неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом. Теперь ясно, как поступать с уравнением (7).

При каких целых значениях неизвестного y1 неизвестное х принимает целые значения?

Из равенства:

x=(4+13y1)/3=1+4y1+(1+y1)/3 (8)

находим, что неизвестное х при целых значениях неизвестного у1 только в том случае принимает

целые значения, если (1+y1)/3 есть целое число.

Обозначая через х1 это выражение, получим 1+y1=3x1, или

3x1-y1=1. (9)

Таким образом, задача сведена к решению в целых числах уравнения (9). Но решить в целых числах уравнение (9) — значит узнать, при каких целых значениях неизвестного x1 неизвестное y1 принимает целые значения. Но y1 = 3x1-1, поэтому у1 принимает целые зна­чения при любых целых значениях неизвест­ного X]. Из равенств (8) и (6) последовательно найдем выражения для неизвестных x и y.

х=1+4(3x1-1)+ х1 =13х1-3, у=2(13x1-3)-1+3х1-1=29x1-8.

Из приведенных рассуждений следует, что формулы:

при x1=0,±:1,±2,±3,... дают все целые реше­ния уравнения (4).

Аналогично решается уравнение с тремя и более неизвестными. Показанный на примере метод решения неопределенных уравнений в целых числах несущественно отличается от ме­тода, предложенного индийцами. В связи с тем что при решении неопределенного уравнения по этому методу оно сводится к цепи уравнений с уменьшающимися коэффициентами, индийские математики назвали этот метод методом рассеивания.

Решение задачи о взвешивании

Итак, нам нужно решить в целых числах уравнение (2). Определяем неизвестное х:

x=(28-5y)/3=9-y +(1-2y)/3 Верно и такое равенство:

х=9-2у+(1+y)/3.

Им-то мы и воспользуемся. Ведь наша цель — уменьшить коэффициент при неизвестном. Вве­дем обозначение: x1=(1+y)/3. Задача сведена к ре­шению в целых числах уравнения 3x1-y=1. Решая это уравнение, получим y=3х1-1, где х1 — любое целое число. А тогда

х=9-2•(3x1-1)+x1= 11-5х1. Таким образом, общее решение уравнения (2) можно записать так:

282

Найдем несколько решений этого уравнения:

Уравнение (2) имеет бесконечное множество решений, но мы сможем воспользоваться толь­ко некоторыми. Это зависит от числа гирь в нашем распоряжении, да и размеров чаш.

Мы рассмотрели два уравнения первой сте­пени. Каждое из них, как удалось установить, имеет целочисленные решения. Однако на-

Задача о взвешивании решена!

ряду с ними можно указать уравнения, которые решений в целых числах не имеют. Таково, например, уравнение

Зх-6у=5. (11)

В самом деле, допустив, что при некоторых целых х и у равенство (11) верно, мы получим, что 5 делится на 3.

Какие неопределенные уравнения разреши­мы в целых числах?

Можно ли для всякого разрешимого в це­лых числах неопределенного уравнения первой степени найти его решение методом рассеивания?

На первый вопрос отвечает теорема:

Уравнение с целыми коэффициентами а1,

а2, ...,аn, b:

а1х1 + а2x2+...+аnxn=b (12)

разрешимо в целых числах только в том случае, если свободный член b делится на наибольший общий делитель чисел а1, а2, ..., аn.

Ответим на другой вопрос: всегда ли пред­ложенный метод решения в целых числах неопределенных уравнений первой степени приво­дит к цели?

Если а1— наименьший по абсолютной вели­чине коэффициент при неизвестном в уравнении (12), то мы заменяем это уравнение другим, в котором все коэффициенты, кроме коэффициента a1, заменены остатками от деления этих чи­сел на а1. Если хотя бы один из коэффициен­тов а2, а3, ..., аn не делится на а1, то полу­чим уравнение, коэффициенты которого по аб­солютной величине меньше, чем у данного. С этим уравнением поступаем так же, как сдан­ным. Если все числа а2, а3, ..., аn делятся на a1 а b не делится, то данное уравнение нераз­решимо. Если все числа a2, а3, ..., аn и b делят­ся на а1, то, деля обе части уравнения на а1, получим уравнение, целые решения которого находятся без труда.

Из этого рассуждения следует, что описан­ный метод позволяет найти целые решения вся­кого разрешимого в целых числах неопределен­ного уравнения с целыми коэффициентами.

Неопределенные системы уравнений первой степени

При решении в рациональных числах нео­пределенных систем уравнений первой степени с рациональными коэффициентами обычно поль­зуются методом последовательного исключения неизвестных. Решим, например, в рациональ­ных числах такую систему уравнений:

Из первого уравнения находим:

Подставляя значение неизвестного х во второе уравнение, получим:

Давая в уравнении (14) неизвестному z ка­кое-нибудь рациональное значение, т. е. при­нимая неизвестное z за свободное неизвестное, а за зависимые неизвестные х и у, мы, пользуясь равенствами (14) и (13), смо­жем найти все решения в рациональных числах данной системы уравнений.

В целых числах такую систему можно решить сходным способом. Сначала рассматривают одно из уравнений системы и решают его в целых числах. Найденные выражения для неизвестных этого уравнения через некоторые вспомогатель­ные целочисленные неизвестные подставляют во второе уравнение. Решив в целых числах полу­ченное уравнение с новыми неизвестными, мож­но найти все решения в целых числах и данной системы уравнений.

Решение задачи о раскрое фанеры

Теперь приступим к решению системы урав­нений (3). Мы имеем три уравнения с пятью неизвестными. Поэтому два неизвестных будут свободными, а остальные три — зависимыми. Конечно, в качестве зависимых неизвестных нужно брать те, у которых абсолютная величи­на коэффициентов минимальна.

Поэтому выберем в качестве свободных не­известных х1 и х2 и выразим x3, х4, х5 через x1 и x2. Для этого значение х3=800-х1-x2 подставим в первые два уравнения, получим:

x3 =800-х1-х2, х4=400+2х1-2х2, х5=200-2x1+х2.

Теперь, давая x1 и x2 целые значения, по­лучим всевозможные решения системы (3) в целых числах.

Исследуйте самостоятельно, какие целые неотрицательные значения следует давать х1 и х2, чтобы х3, х4 и х5 также были неотрицатель­ными.

Ниже приведена таблица некоторых решений системы (3).

Из таблицы видно, что листов фанеры до­статочно и что самый выгодный способ раскроя будет при x1=0, x2=100, х3=700. В этом случае

образуются «лишние» заготовки еще для 100 изделий. В других случаях «лишние» заготовки будут некомплектными. Но нужно ли раскраи­вать все 800 листов? Ведь нужны заготовки для 1000 изделий, а не для 1100.

Поэтому практический интерес представляет следующий дополнительный вопрос к этой зада­че: какое наименьшее число / листов фанеры следует взять со склада и какими из указанных способов следует кроить взятые листы, чтобы выполнить заказ? Для ответа на этот вопрос из всех решений в целых неотрицательных чис­лах системы уравнений

для которого f=x1+x2+x3 принимает наимень­шее значение, или, как мы будем говорить даль­ше, удовлетворяет условию минимальности.

Чтобы облегчить поиски, откажемся вре­менно от требования, чтобы значения неизвест­ных были целыми. Попытаемся решить нашу задачу удачным выбором свободных неизвест­ных. Удобнее всего такими выбрать x4, х5 и какое-нибудь из неизвестных x1, x2, x3. По­этому, исключая из уравнений (15) сначала, например, x1, а затем x2 и опуская промежуточ­ные выкладки, будем иметь:

При данном значении х3 наименьшее значение f мы получим, если неизвестным x4 и х5 дадим нулевое значение (это и понятно, ведь x4 и x5 — количество «лишних» заготовок!). Пусть x4=x5=0. Легко видеть, что при воз­растании значений неизвестного х3 значение f будет убывать. Но рост х3 сдерживается требо­ванием, чтобы значения неизвестных х1 и x2

были неотрицательными. Так как 7000/11<11000/44 ,

то из равенств [см. (16) при x4=x5=0]:

видно, что при возрастании х3 отрицательные значения прежде всего будет принимать неиз-

284

вестное x1. Поэтому естественно неизвестное x1 сделать свободным, а неизвестное х3— зави­симым.

Исключая из уравнений (15) неизвестные x2 и x3, найдем:

x2=(1/11)(1000+14x1- 4x4 +3x5),

x3=(1/11)(7000-23x1+5x4- x5), f=(1/11)(8000+2x1+x4+2x5).

Легко видеть, что наименьшее значение f получим, если свободным неизвестным х1, x4 и x5 дадим нулевые значения. При этом для зави­симых неизвестных получим положительные значения:

х2=1000/11,x3=7000/11.

Следовательно, решение

х1=0; x2=1000/11=90,9...;

х3 =7000/11=636,3 ...; x4=0; х5=0

системы (15) удовлетворяет условию минималь­ности. Но нам требуется найти целочисленное решение в неотрицательных числах, удовлет­воряющее условию минимальности. Из приведен­ных рассуждений следует, что для такого ре­шения f³8000/11=727,2... или даже f³728,

так как число должно быть целым. Можно ожидать, что искомое решение мы получим, если немного изменим значение неизвестных. Поло­жим, например, х1=0, х2=91, х3=637. Тогда:

f=x1+x2+x3 =728,

5•0+91+3•637=2002>2000,

2•0+5•91+4 •637=3003>3000.

А это убеждает нас, что целочисленное реше­ние с условием минимальности найдено. Итак, со склада достаточно взять лишь 728 листов фанеры и 91 из них кроить по второму, а осталь­ные по третьему способу.

Решенная нами задача о раскрое фанеры относится к числу задач, составляющих пред­мет теории линейного програм­мирования. В этой теории рассматривают задачи следующего типа: из всех решений в не­отрицательных числах некоторой системы уравнений первой степени найти решение, удовлет­воряющее условию минимальности. Иногда, как в задаче о раскрое фанеры, выдвигают дополнительное требование, чтобы значения неизвестных были целыми числами.

Жозеф Луи Лагранж.

Весьма многие проблемы экономики страны, в частности вопросы планирования производ­ства и перевозок, приводят к этим задачам.

Целые решения неопределенных уравнений степени выше первой

Решение в целых числах неопределенных уравнений степени выше первой с целыми коэф­фициентами — во многих случаях задача более сложная, чем решение в целых числах неопре­деленных уравнений первой степени.

Индийские математики (V—XII вв.) нашли решение в целых числах некоторых уравнений второй степени с двумя неизвестными. Полно­стью задачу нахождения в целых числах неопреде­ленных уравнений второй степени с двумя неиз­вестными решил в 1766 г. французский матема­тик Ж. Лагранж.

Уравнения третьей степени с двумя неизвест­ными до сих пор до конца не исследованы. С некоторыми типами таких уравнений удалось справиться советскому математику Б. Н. Дело­не. Нужно сказать, что даже установить число решений таких уравнений третьей и более вы­соких степеней исключительно трудно.

В начале нашего столетия норвежскому ма­тематику А. Туэ удалось доказать интересную теорему:

Неопределенное уравнение с целыми коэффициентами:

а0хn+а1хn-1у+а2хn-2у2 ...аnуn=b,

где n — целое число, большее двух, имеет только конечное множество решений (в частности, мо­жет не иметь решений) в целых числах, за исклю­чением случаев, когда левая часть этого урав­нения есть степень однородного двучлена первой степени или трехчлена второй степени.

Еще более трудным является вопрос о реше­нии в целых числах неопределенных уравнений выше первой степени с тремя и более неизвестны­ми. До сих пор неизвестен общий метод решения таких уравнений. Уравнение (1) является про­стейшим из них. Древние греки и даже вавило­няне знали тождество:

(2mn)2+(m2-n2)2 =(m2+n2)2.

Пользуясь таким тождеством, нетрудно находить натуральные решения уравнения (1). Для этой цели нужно в формулах

переменным m и n давать натуральные значения с условием, что m>n. При помощи простых сооб­ражений доказывается, что из формул (17) можно получить все решения уравнения (1) в нату­ральных и взаимно простых числах, если па­раметрам m и n давать натуральные, взаимно простые и разной четности значения с услови­ем m>n.

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик П. Ферма высказал в середине XVII в. предположение, что для любого натурального числа n, боль­шего 2, уравнение

хn+уn=zn

не имеет решений в натуральных числах. До­казательство этого утверждения для n=3 и n=4 было найдено Л, Эйлером.

В дальнейшем предпринимались многочислен­ные попытки доказать это утверждение (так

называемую великую теорему Ферма) полностью, но они не имели успеха1. Однако такие попытки не были безрезультатными — они содействовали возникновению и развитию нового отдела ма­тематики — алгебраической теории чисел.

В 1770 г. шотландский математик Э. Варинг высказал предположение, что для всякого натурального k, не равного 1, существует такое натуральное число r, что при любом натураль­ном /V, уравнение

хk1+хk2...+ xkr=N (18)

разрешимо в целых числах. Доказательство част­ного случая этого утверждения принадлежит Ж. Лагранжу. Он установил, что всякое число можно представить в виде суммы четырех квад­ратов целых неотрицательных чисел, например:

23= 32+32+22+12, 26=42+32+12+02.

Полностью эту теорему удалось доказать в 1909 г. немецкому математику Д. Гильберту. Но ему не удалось дать оценку минимального чис­ла r, для которого уравнение (18) разрешимо в целых неотрицательных числах. Значительный успех в определении g(k) (так обозначают наи­меньшее r, для которого при любом натураль­ном N уравнение (18) разрешимо в целых неот­рицательных числах) стал возможен только после создания советским математиком И. М. Ви­ноградовым особого метода для решения этой и сходных с ней задач.

Сравнительно недавно стали изучаться по­казательные неопределенные уравнения. К этой области принадлежит интересная теорема со­ветского математика А. О. Гельфонда:

Уравнение ах+bу=cz, где а, b и с — целые, каждое из которых не равно ни нулю, ни степени двойки, может иметь не более чем конечное число решений в целых числах х, у и z.

Наиболее трудными являются неопределен­ные уравнения, связанные каким-либо способом с простыми числами. Но и в этой области за по­следние годы наметился успех. Мы не будем останавливаться здесь на этой сложной и увле­кательной проблеме.