ГЕОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Кое-кто, возможно, считает, что различ­ные замысловатые линии и поверхности мож­но встретить только в книгах ученых-матема­тиков.

Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные гео­метрические фигуры. Оказывается, их очень иного. Просто мы их раньше не замечали,

Вот комната. Все ее стены, пол и потолок

являются плоскостями (не будем об­ращать внимания на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллеле­пипеда.

Посмотрим на паркетный пол. Планки пар­кета — прямоугольники или квад­раты. Пройдем в ванную комнату. Плитки пола там часто бывают правильными шести­угольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены неболь­шие квадратики.

Но вернемся в комнату и посмотрим на ме­бель. Шкаф в своей основе — параллелепипед. Письменный стол не что иное, как очень пло­ский параллелепипед, лежащий на двух дру­гих параллелепипедах — тумбочках, в которых размещаются ящики. На столике — лампа с аба­журом. Этот абажур — конус.

Ведро представляет собой усеченный конус, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндри­ческой формы. Вообще цилиндров и конусов в доме очень много. Все прямые трубы (водопро­вод, паровое отопление, газопровод) — цилиндры. А там, где трубы изогнуты, обра­зуются так называемые каналовые или трубчатые поверхности.

В буфете стоит посуда. Вот граненый стакан с боковой поверхностью правильной многогран­ной усеченной пирамиды. Чайное блюдечко — тоже усеченный конус. Воронка состоит из двух усеченных конусов, которые переходят один в другой.

Нальем в стакан воду. Края ее поверхности имеют форму круга. Наклоним стакан так, чтобы вода не выливалась; тогда край водной поверхности станет эллипсом.

Выйдем на улицу. Перед нами — дома. Если не обращать внимания на различные осо­бенности их архитектурной отделки, можно ска­зать, что стены домов являются плоскостями. Две стены, встречаясь под углом, пересе­каются по прямой линии. Дом в целом, с этой точки зрения, есть тело, ограниченное пересе­кающимися друг с другом плоскостями, т. е. многогранник. На вклейке изображен такой дом-многогранник. Он состоит из нескольких параллелепипедов и призм, переходя­щих друг в друга.

Многие жилые дома, дворцы, общественные здания украшены ко­лоннами. Колонны в большинстве случаев — цилиндры, но могут иметь и более сложную форму.

Кто был в Москве, знает, как красив Мо­сковский Кремль. Пре­красны его башни! Сколько интересных гео­метрических фигур по­ложено в их основу! Вот, например, Набат­ная башня (см. рис. меж­ду стр. 288—289). На вы­соком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырех­угольная усеченная пирамида. На ней располо­жены четыре арки, увенчанные восьмиуголь­ной пирамидой.

По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения — круги. Мы настолько привыкли к этому, что даже не ду­маем об окружности как о кривой, которая по­могла людям во много раз облегчить труд. А ведь было время, ког­да люди еще не знали колеса.

Посмотрим на авто­мобильные фары. Их внутренняя поверх­ность зеркальная. Конструкторы автомобилей знают, что свет должен выходить из фар пуч­ком параллельных лучей: тогда сила света бу­дет слабее всего уменьшаться с увеличени­ем расстояния. А чтобы зеркало фар отража­ло лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида враще­ния, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находится лампочка. Параболоид вращения — это поверхность, которая образует­ся при вращении параболы вокруг ее оси.

У некоторых марок автомобилей фары на­ходятся внутри капота и снаружи виднеется только стекло. У других же весь корпус фары выступает наружу и ясно видно, что она пара­болической формы.

Параболоид вращения служит отражающим зеркалом и у прожекторов, которые посылают в небо мощные лучи. Форму параболоида вра­щения имеет купол Московского планетария (см. рис. на вклейке).

Перед нами мост. Арки мостов бывают раз­ной формы: одни из них эллиптические, другие— параболические. На парапете моста часто укрепляют спасательные круги. Они по форме очень близки к тору. Тор — это поверх­ность, образующаяся при вращении окруж­ности вокруг оси, когда ось не пересекается с окружностью, но лежит с ней в одной плоско­сти (см. рис. на вклейке).

Мы подходим к радиостанции. Здесь возвы­шаются радиомачты с излучателями электро­магнитных колебаний на верхушках. Но какой странной формы эти мачты! Они состоят из отдельных частей (секций), поставленных друг на друга. А каждая секция похожа на круглую сетку, образованную прямолинейными стерж­нями.

Рассмотрим любую из секций (они отлича­ются только размерами). Представим себе, что стержни расположены вплотную друг к другу. В таком случае они будут образовывать заме­чательную кривую поверхность, которая назы­вается одно полостным гипербо­лоидом. Те прямолинейные стержни, кото­рые мы видим, не что иное, как прямоли­нейные образующие этой поверх­ности. Посмотрите на однополостный гипербо­лоид (рис. на стр. 292—293). Трудно поверить, что он состоит из прямых линий. Однако это именно так. Эта конструкция очень легка и отличается исключительной прочностью.

Иногда строят односекционные вышки из прямолинейных металлических стержней высо­той в многоэтажный дом. Так построена во­донапорная башня около Сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева в Москве. Та­кие башни были впервые сконструированы советским инженером В. Г. Шуховым и называ­ются шуховскими.

Своим названием однополостный гипербо­лоид обязан гиперболе. Эта поверхность обра­зована вращением гиперболы вокруг той из ее осей, которая ее не пересекает. В таком случае при вращении образуется единая поверхность (одна полость).

А теперь сядем в поезд. Город остался далеко позади. Бегут телеграфные столбы. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода. Вот проходит линия высоковольтной передачи. Провода от собствен­ной тяжести слегка провисают. Какая же ли­ния образуется при этом? Такой вопрос имеет большое практическое значение. Когда требуется определить длину провода, необходимого для передачи электроэнергии на большие расстоя­ния, приходится учитывать, что его длина (бла­годаря провисанию) будет большей, чем расстоя-

Поищем числа-,,самородки"

Возьмем какое-нибудь целое поло­жительное число, например 13. Приба­вим сумму его цифр, тогда образуется число 17. К этому результату тоже прибавим сумму его цифр, образуется число 25. Продолжая так действовать, получим последовательность чисел: 13, 17, 25, 32, 37, 47, ...

Прежде всего давайте выясним, можно ли полученную последователь­ность продолжить влево, т. е. сущест­вует ли число, которое в сумме с его же цифрами дало бы 13? Пробуем 12:

12+3=15 — плохо. Пробуем 11:

11+2=13 — хорошо. Значит, перед числом 13 в нашей по­следовательности должно быть чи­сло 11. А перед ним? Попробуем 10:

10 + 1 = 11 — хорошо. А перед числом 10? Здесь и без пробы ясно, что числу 10 будет

предшествовать 5. В самом деле:

5 + 5= 10.

Но уже для числа 5 нет предшест­венника среди целых положительных чисел. Таким образом, в последова­тельности:

5, 10, 11, 13, 17, 25, ... все числа, кроме пятерки, «сформи­рованы» по единому правилу, а число 5 оказалось как бы «самородком» .

Отправимся в поиски других «са­мородков», аналогичных числу 5.

Однозначные «самородки» об­наруживаются сразу. Это, очевидно, 1, 3, 5, 7 и 9.

Из двузначных наименьшим «са­мородком» будет число 20. (Легко убедиться, что ни одно из чисел от 1 до 19 в сумме с его же цифрами не образует 20.) Следующий двузначный «самородок» — число 31. (Убедитесь!)

А сколько же всего двузначных

«самородков» ? Выясните самостоя­тельно. (Ответ на стр. 321.)

Есть «самородки» и среди много­значных чисел, например: 132, 143, 233, 929, 1952, 874 531 и т. д.

Не так-то легко было выявить их!

Наш поезд идет по прямолинейному железно­дорожному пути и время от времени плавно проходит закругления рельсов. Плавное движе­ние поезда на изгибах железнодорожного полот­на обусловлено тем, что железнодорожный путь на закруглениях искривлен не просто по окруж­ности, а также по некоторым довольно замыс­ловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых поворотах, мы ощущаем, что нас слегка оттал­кивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что на закруглениях на вагоны действует сила, кото­рую называют центробежной. Она стремится опро­кинуть вагоны и отклоняет все тела, находящие­ся в поезде, к внешней стороне закругления.

Чтобы вагоны не опрокинулись, внешний рельс железнодорожного полотна на повороте слегка поднимают по сравнению с внутренним, и этот подъем тем больше, чем круче поворот. Но если заставить поезд сразу переходить с прямолинейного участка пути на круговой, то надо сразу и круто приподнять один из рельсов и вагоны будут испытывать при переходе рез­кие и сильные толчки. Чтобы этого избежать, переход на закругление делают постепенным. После прямолинейного участка пути рельсы сначала укладывают по так называемой пе­реходной кривой (вдоль которой искрив­ленность возрастает постепенно) и лишь потом эту кривую переводят в дугу окружности. Так поступают и в конце поворота. В качестве переходных используются разные линии (в зави­симости от кривизны поворота, скорости поезда на повороте и т. д.). Обычно применяют либо дугу кубической параболы, либо дугу лемнискаты, либо дугу спи­рали Корню (рис. на стр. 292—293).

До сих пор мы говорили только о тех про­стейших линиях и поверхностях, которые вид­ны с первого взгляда. А если присмотреться внимательнее, то обнаружим все новые и новые линии и поверхности.

Заглянем на завод. Заводские трубы — при­мер усеченного конуса: широкие снизу, они постепенно суживаются кверху. На заводе работают станки. Какое множество самых разнооб­разных линий описывают различные движущиеся части станков! На любом винте имеются винто­вые нарезки. Мы увидим станки с эллиптиче­скими колесами, зубчатые колеса с самыми раз­нообразными формами зубцов, выточенных по дуге циклоиды, эллипса, эволь­венты круга. Свойства этих кривых, имею­щих важное применение в технике, изучаются средствами высшей математики.

Кажется, мы не упомянули еще о шаро­вой поверхности. А ведь она встречает­ся часто. Вспомним хотя бы шариковые под­шипники. Более того, форму шара придают иног­да и газгольдерам, т. е. резервуарам для хране­ния газа (см. рис. на стр. 292—293). Это объяс­няется одним замечательным свойством шаровой поверхности: на изготовление шара расходует­ся значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того же объема.

А сколько еще встречается различных по­верхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий!

Вот паровой котел, напоминающий цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть неза­метно для глаза) изгибаются, образуя поверх­ность очень сложной и неправильной формы, ко­торую, однако, инженеры обязаны хорошо знать, чтобы суметь рассчитать котел на проч­ность. Сложную форму имеет и корпус подвод­ной лодки. Он должен быть хорошо обтекае­мым, прочным и вместительным. От формы кора-

Из шести спичек

С помощью кусочков пластилина я соорудил пирамиду и заметил, что в этой конструкции со­держится четыре равных равносторонних треуголь­ника.

ч<А не могу ли я теперь образовать в одной плоскости четыре равных равносторонних треуголь­ника из шести одинаковых отрезков?»

Прикинул на спичках — получилось! И плас­тилин не потребовался.

Если вам не удастся самостоятельно воспроиз­вести эту новую конструкцию, взгляните на стра­ницу 321.

Высокие скорости движения заставили инже­неров обратить серьезное внимание на форму современных поездов, самолетов, автомобилей. Именно от нее зависит встречное сопротивление воздуха, которое быстро возрастает с увеличе­нием скорости. А если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха можно зна­чительно уменьшить. Например гоночный ав­томобиль; его кузову придают такую форму, чтобы встречные потоки воздуха плавно обте­кали машину и плотнее прижимали ее к земле (см. рис. на стр. 288—289).

Мотор автомобиля заключен в обтекаемый капот, ветровое стекло отклонено назад, крыша кузова плавно переходит в наклонную заднюю стенку, И капот, и крыша, и задняя стенка не плоские. Они представляют собой сложные по­верхности, с которыми школьная математика не имеет дела. Но ими очень интересуются ин­женеры, которые тщательно их рассчитывают в своих конструкторских бюро.

Мы живем в эпоху завоевания космоса. Наши ракеты запускают космические корабли, спутники Земли. Космическая лаборатория сфотографировала обратную сторону Луны.

Какие геометрические формы мы здесь ис­пользуем? В основе корпус ракеты состоит из цилиндра, заключающего внутри себя двига­тели и горючее. В конической головной части помещается кабина с приборами или с космо­навтом (см. рис. на стр. 288—289).

Итак, мы познакомились со множеством различных линий, поверхностей и тел, которые нас окружают. Теперь вы и сами, несомненно, заметите множество геометрических форм, о которых мы здесь не упоминали.

Впрочем, об одной из них, о линии, которую никто не видит, но которая всегда находится около нас, мы расскажем, ибо заметить ее само­му, ничего не зная о ней заранее, невозможно.

Пол и потолок в нашей комнате поддержи­ваются балками, концы которых вмурованы в стены. Балки под влиянием большой нагрузки слегка прогибаются (этот прогиб незаметен для глаза), и, чтобы рассчитать допустимую на­грузку на балки, архитектор должен знать линию ее прогиба. Оказывается, балка, поддер­живающая пол или потолок, прогибается по кривой, которая называется параболой 4-й степени. Не будет преувеличением сказать, что эта линия всегда находится у нас под ногами и всегда висит над нашей головой.

Мы видим, сколько самых разнообразных

геометрических линии и поверхностей исполь­зует человек в своей деятельности — при строи­тельстве жилищ, фабрик, заводов, мостов, ма­шин, в транспорте. Пользуется же он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометри­ческих линий и поверхностей позволяют с наи­большей простотой решать разнообразные тех­нические задачи.

Но чтобы применять эти свойства в технике, надо их знать. Следовательно, надо изучать все эти линии и поверхности. И не только их, но и многие другие, так как техника развивает­ся и с каждым годом использует для своих нужд все новые и новые геометрические формы. Изучая свойства разных линий и поверхностей, мы ставим себе целью выразить эти свойства в виде формул, чтобы уметь по ним производить расчеты машин, зданий и других сооружений.

До сих пор мы в основном упоминали о гео­метрических формах, созданных руками чело­века. Однако и в самой природе очень много замечательных геометрических форм.

Так, мы живем на своеобразной поверхно­сти, которая хотя и именуется земным шаром, но на самом деле является, как говорят астро­номы, геоидом и по форме очень близка к эллипсоиду вращения (рис. на стр.288— 289). Этот эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало отличается от шара (полуоси эллипса, враще­нием которого образован эллипсоид, относятся

друг к другу как 299/300). Но все-таки это различие приходится принимать во внимание при составлении географических карт.

Взглянем на кристаллы (рис. на стр. 424— 425). Мы обнаружим в них сочетание призм, пирамид и других многогранников.

Листья на деревьях ограничены самыми при­чудливыми линиями.

Ничего не может быть проще и однообразнее для глаза, чем безграничная плоская поверх­ность моря в безветренную погоду. Но сколько хлопот причиняет людям морская поверхность, едва подует ветер! Вначале образуются неболь-

Форму разнообразных геометрических фигур имеют все архитектурные и строительные конструкции.

1. Радиомачта, каждая секция которой представля­ет собой однополостный гиперболоид.

2. Мост с параболической (слева) и эллиптической арками.

3. Газгольдеры шарообразной формы.

4. Заводские трубы — усеченные конусы.

5. Поезд делает поворот по переходной кривой:

а) схема переходной кривой,

б) переходная кривая — спираль Корню,

в) переходная кривая — лемниската Бернулли,

г) переходная кривая — кубическая парабола.

Полуправильные выпуклые многогранники. Их гра­ни — правильные многоугольники разных наимено­ваний, а все многогранные углы равны между собой.

Всего существует тринадцать вполне определенных полуправильных многогранников (они были извест­ны Архимеду, поэтому их также называют телами Архимеда) и еще две бесконечные серии так на­зываемых призм и антипризм Архимеда.

На рисунке изображены все тринадцать типов полуправильных многогранников: 1) усеченный тетраэдр (грани — правильные треугольники и шес­тиугольники), 2) кубооктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 3) усеченный октаэдр (грани — квадраты и правильные шестиугольники), 4) усеченный куб (грани — правильные треуголь­ники и восьмиугольники), 5) икосододекаэдр (гра­ни — правильные треугольники и пятиугольники),  6) усеченный икосаэдр (грани — правильные пяти­угольники и шестиугольники) 7) ромбокубоэктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 8) плосконосый куб (грани — правильные тре­угольники и квадраты), 9) усеченный додекаэдр (гра­ни — правильные треугольники и десятиугольники), 10) ромбоикосододекаэдр (грани — правильные тре­угольники, пятиугольники и квадраты), 11) усечен­ный кубооктаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и восьмиугольники), 12) плоско­носый додекаэдр (грани — правильные треуголь­ники и пятиугольники), 13) усеченный икосододекаэдр (грани — квадраты, правильные шестиуголь­ники и десятиугольники).

На всех чертежах показаны также правильные многогранники, из которых усечением получаются полуправильные.

Подсчитайте, сколько каких граней имеет каждое из тел Архимеда, сколько вершин, сколько ребер. Правильность этого подсчета можно проверить по формуле Эйлера, верной для всякого выпуклого многогранника

Г+В-P=2,

где Г — количество граней, В — количество вершин, Р — количество ребер.

шие волны, потом они принимают самую при­чудливую геометрическую форму, сталкиваясь между собой, обгоняя друг друга, попадая в узкие проливы или на отмели, ударяясь о стенки молов и причалов. Формы поверхности этих волн приходится изучать в физике и меха­нике, так как на основе этого изучения проек­тируются корпуса кораблей, наименее подвер­женные качке, а также наиболее прочные стен­ки волнорезов и набережных, успешно сопро­тивляющиеся ударам волн.

Во многих случаях наблюдения над явления­ми природы помогают человеку в решении его технических задач. Достаточно сказать, что на заре развития авиации наш знаменитый ученый Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чап­лыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.

Из всего сказанного видно, какую важную роль в нашей жизни играет геометрия.

Наша школьная, элементарная геометрия изучает лишь простейшие из геометрических фигур. Но существуют и другие геометрические науки, изучающие более сложные линии и по­верхности.