КАК ВОЗНИКЛА ГЕОМЕТРИЯ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Истоки геометрии, как и других наук, лежат в практической деятельности людей. Само слово «геометрия» — греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходи­мостью измерять земельные участки. Уже за 3—4 тыс. лет до н. э. каждый клочок плодород­ной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата имел значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенного запаса гео­метрических и арифметических знаний.

Но вот урожай собран. Как в то время от­меривали зерно? Первоначально это делали так, как поступаем и мы при измерении воды или керосина, т. е. мерили его по объему. Вы­бирали в качестве единицы измерения сосуд определенной вместимости и считали, сколько содержится таких сосудов в куче зерна. Этот первый способ определения объема приводил к вопросу о соотношении между объемами раз­ных тел.

Постепенно люди начали измерять более сложные геометрические фигуры и изучать их свойства.

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять пло­щади треугольников, прямоугольников, тра­пеций, приближенно вычислять площадь кру­га. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измере­нии земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте, и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строитель­ство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов. В VI в. до н. э. в одном из древнегреческих государств на острове Самос был построен водопровод, по которому вода в город поступала из источника, лежащего за горой Кастро. Водопровод про­ходил через туннель длиной в 1 км. Замечатель­но, что туннель этот начали рыть с обеих сто­рон одновременно и оба участка его почти точно сошлись под землей! Это значит, что предвари­тельно было определено направление туннеля, т. е. решена задача вычислительной геометрии, которая и сейчас считается в инженерном деле отнюдь не простой. При этом строители древности должны были пользоваться какими-то чер­тежами, должны были знать учение о подобии. Еще до Пифагора были хорошо известны част­ные случаи теоремы, носящей его имя. А именно: было известно, что если длины сторон прямо­угольного треугольника могут быть выражены в целых числах, то квадрат длины гипотену­зы равен сумме квадратов длин катетов. Зна­ли уже и обратную теорему: если а, b и с такие целые числа, что c2=a2+b2 (например, а=3, 5=4, с=5), то треугольник со сторонами а, b, с будет прямоугольным. Именно в таком виде

«теорема Пифагора» и обратное ей предложе­ние были известны в Вавилоне.

И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания, геометрия как наука еще не существовала.

Дело в том, что в странах Древнего Востока, о которых шла речь, геометрические знания напоминали сборник мало связанных между собой полезных рецептов, их даже и излагали так, как в наши дни кулинарные рецепты или советы по домоводству. Для решения задачи приводился рецепт, в правильности которого можно было убедиться на конкретных примерах. Общие предложения не доказывались.

Возникновение геометрии как науки

Примерно такой же характер имели геомет­рические знания и в древней Греции в VII—VI вв. до н. э. Греческая культура была более молодой, и поэтому многие научные сведения греки заимствовали у египтян и вавилонян. Именно здесь, в Греции, в VI в. до н. э. и про­изошло коренное преобразование способа из­учения геометрии, здесь и возникла она как наука.

Это было время установления демократии в большинстве греческих городов-государств, вре­мя бурного развития общественно-политической жизни Греции и появления научно-фило­софских школ. В этих школах ученые впервые в истории человечества пытались понять и объ­яснить устройство мира с естественнонаучной и философской точек зрения. До этого в стра­нах Древнего Востока господствовали догматы религии, в которые надо было верить, обсуж­дать их было нельзя. В Греции же каждая из школ старалась доказать правильность своей теории и опровергнуть противников, показав, что их доводы логически противоречивы. Логиче­ские рассуждения получили в это время ши­рокое применение не только в естественных науках и философии, но и в судах, и в народных собраниях.

Особенно большую роль сыграли логические рассуждения в геометрии — они-то и сделали из собрания геометрических фактов стройную науку. Сами греки связывали рождение геомет­рии с деятельностью Пифагора и его школы. О Пифагоре у нас нет почти никаких достоверных сведений; уже в древности его имя было окру­жено самыми фантастическими легендами. Из-

Развлечение с числами

В последовательности натураль­ных чисел зачеркните простое число р и все кратные ему. Из оставшихся чисел образуйте такую последователь­ность:

единица, сумма первых двух чи­сел, сумма первых трех чисел и т. д.

В получившейся последователь­ности снова зачеркните числа, крат­ные p, и опять образуйте после­довательность сумм таким же спо­собом, как первый раз.

Если указанную операцию выпол­нить р раз, причем в последний раз уже не производить никаких вычерки­ваний, то образовавшиеся числа бу­дут p-ми степенями натуральных чисел.

Пример. Пусть р=3. Тогда из последовательности натуральных чисел надо вычеркнуть числа

3, 6, 9, 12,...; из оставшейся последовательности

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,... образуем новую последовательность, как указано:

1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48,..., вычеркивая числа, кратные 3, состав­ляем третью последовательность:

1, 8, 27, 64,...,

а это и есть последовательность кубов чисел натурального ряда: 13, 23, 33, 43, ..., как и было обещано!

Что же сделали пифагорейцы в геометрии? Прежде всего они начали строить геометрию как абстрактную науку, изучающую общие свойства неких идеальных фигур, которые «в чистом виде» в природе не встречаются. Так в геометрию были введены линии, имею­щие только длину, но не имеющие ширины; точки, не имеющие ни длины, ни ширины; фигу­ры, составленные из таких линий, и т. д. Эти новые геометрические объекты являются от­влечениями, абстракциями от формы реальных физических тел. Например, прямая линия могла возникнуть как абстракция от формы туго на­тянутой веревки, струны, луча света и т. п. Но ясно, что мы никогда не сможем построить от­резок идеальной прямой: как бы точно мы его ни вычертили тушью или мелом, стоит только посмотреть на рисунок в сильную лупу, чтобы убедиться, что это вовсе не отрезок прямой, а неровная палочка из туши или мела.

Создание отвлеченных геометрических поня­тий было вовсе не легким делом. Далеко не все мыслители древности понимали их пользу. Так, например, софист Протагор не признавал геометрических абстракций. Он говорил, что никто не видел линий без ширины, не видел, чтобы круг касался линейки только в одной точке — касание всегда будет происходить по маленькому отрезочку, поэтому таких вещей и не существует.

Однако новая точка зрения на геометрию позволила в очень короткий срок добиться та­ких удивительных результатов, что большин­ство ученых признали эти абстракции и нача­ли с ними оперировать. Как же они это делали? Как вообще можно изучать свойства тех идеаль­ных фигур, с которыми имеет дело геометрия?

Величайшим достижением древних греков было то, что они создали метод для изучения геометрических абстракций, введя в математи­ку логические доказательства.

Рассмотрим, например, как можно установить, что сумма углов треугольника точно равна 2d.

Непосредственным измерением это сделать нельзя, во-первых, потому, что на практике мы никогда не имеем дела с идеальными треуголь­никами, и, во-вторых, потому, что измерение углов на практике всегда производится с определенной степенью точности, например с точностью до 1' или 1".

Но если бы даже мы и могли измерять иде­альные треугольники (с помощью идеальных инструментов!), то и тогда мы не могли бы уста­новить теорему о сумме углов любого треугольника, потому что различных треугольников бесконеч­но много, невозможно перебрать их все!

Но все сказанное можно дословно повторить и о любой другой теореме: она относится не к одной определенной геометрической фигуре (на­пример, к треугольнику со сторонами 3, 4, 5), а к целому классу фигур (например, ко всем треугольникам, или ко всем прямоугольным треугольникам, или ко всем равнобедренным треугольникам), причем каждый такой класс состоит из бесконечного множества отдель­ных фигур.

Древнегреческие ученые понимали, что уста­новить правильность какого-нибудь свойства для всех фигур некоторого класса можно толь­ко с помощью логического доказательства. Но как построить такую систему геометрии, в ко­торой все правильные предложения можно бы­ло бы доказать? И можно ли построить такую систему?

Построение дедуктивной системы

Во-первых, ясно, что все правильные пред­ложения доказать нельзя. Действительно, вспом­ним, как доказываются геометрические пред­ложения. При этом обычно опираются на неко­торые другие предложения, которые были до­казаны раньше. Эти предложения в свою очередь доказываются ссылками на какие-то третьи теоремы и т. д. Эти ссылки мы могли бы про­должать до бесконечности, и процесс доказа­тельства при этом никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, о нем говорил, например, Ари­стотель (IV в. до. н. э.). И вот геометры при­шли к удивительно смелой мысли, что все гео­метрические свойства тел нашего пространства можно вывести из небольшого числа основных предложений — аксиом. Эти предложения принимались без доказательств, их справедливость подкреплялась многовековым опытом. Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необхо­димые для построения геометрии. Система, в которой каждое предложение выводится на основании логических правил из конечного числа предложений, принятых без доказатель­ства, и получила название дедуктивной.

Первую такую систему геометрии — «Нача­ла» — пытался построить еще в V в. до н. э. Гиппокарт Хиосский. Было еще несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них знаменитые «Начала» Евклида, которые были написаны около 300 г. до н. э. и слу­жили в течение более 2 тыс. лет образцом математической строгости.

Евклид разделил предложения, принятые без доказательства, на аксиомы и постулаты. В качестве постулатов он выбрал предложения, в которых утверждалась возможность выпол­нения некоторых простейших геометрических построений, например: 1) через две точки всег­да можно провести прямую линию, 2) из данной точки данным радиусом можно описать окруж­ность. Как нетрудно видеть, это именно те построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки. Всякое построение в гео­метрии Евклида осуществляется с помощью последовательного выполнения простейших по­строений: проведения прямых, окружностей и отыскания их точек пересечения, поэтому геометрия Евклида есть геометрия циркуля и линейки.

Среди постулатов Евклида особое место за­нимает так называемый V постулат о парал­лельности. В «Началах» он формулируется так: если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних

односторонних углов меньше 2d, то при про­должении прямые пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше 2d (рис. 1). Этот постулат сыграл огромную роль в дальнейшем развитии геометрии, о чем мы будем говорить дальше.

Кроме постулатов, Евклид принял также некоторые общие предложения — аксиомы: 1) две величины, порознь равные третьей, равны между собой; 2) если к равным величинам при­бавить равные, то и суммы будут равны; 3) це­лое больше части и др.

На основе своих постулатов и аксиом Евклид развил всю планиметрию, а с ее помощью по­строил элементы алгебры и учение о квадратных уравнениях. В его сочинении содержатся также общая теория отношений, которая применяется в учении о подобии, теория чисел, метод опреде­ления площадей и объемов и основы стереометрии. Венчает «Начала» учение о правильных вы­пуклых многогранниках, т. е. таких, все грани которых являются равными правильными много­угольниками и все многогранные углы при верши­нах тоже правильные и равные. Евклид доказал, что существует пять правильных многогран­ников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — и никаких других правильных мно­гогранников не существует (рис. 2).

Можно сказать, что в «Началах» Евклида были заложены основы не только геометрии, но и всей античной математики.

На новую, более высокую ступень исследо­вания основ геометрии ученые поднялись толь­ко в XIX в. Тогда было выяснено, что Евклид перечислил не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В дей­ствительности при доказательствах он ими пользовался, хотя и не формулировал их. Однако все это нисколько не умаляет роли Евклида, который первым показал, как можно и как нужно строить математическую теорию. Созданный им дедуктивный метод прочно вошел в математику. В этом смысле все последую­щие математики, вплоть до наших современни­ков, являются учениками Евклида.

При построении дедуктивной системы гео­метрии выяснилось, что доказательства служат не только для того, чтобы установить истин­ность некоторого предложения, но и для выяв­ления взаимосвязей между предложениями. Так, при анализе доказательства предложения о том, что сумма углов треугольника равна 2d, оказалось, что оно зависит от V постулата Ев­клида, тогда как, например, теорема о том, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного, от постулата параллельности не зависит.

Таким образом, доказательства помогают уяснить существо, смысл математических пред­ложений. В частности, можно в евклидовой геометрии выделить все те предложения, ко­торые доказываются без постулата параллель­ности,— они составляют так называемую абсолютную геометрию.

Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии

Математики все время испытывали неко­торую неудовлетворенность, связанную с по­стулатом о параллельности, который, как мы видели, формулировался довольно сложно. Ка­залось, что его можно доказать, вывести из других постулатов и аксиом. Начиная с глубо­кой древности и до конца XVIII в. многие геометры пытались доказать этот постулат как теорему.

Однако все доказательства V постулата, которые были придуманы, либо содержали пря­мую ошибку, либо опирались на новое пред­ложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном ана­лизе всегда оказывалось, что это новое пред­ложение равносильно постулату о параллель­ности, т. е. из него можно вывести этот постулат и, наоборот, из V постулата можно получить это новое предложение. К началу XIX в. воп­рос о V постулате казался безнадежно запутан­ным. Но как раз в 20-х годах прошлого века было получено совершенно неожиданное реше­ние этого многовекового вопроса. Это решение было связано с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому пришли независимо друг от друга три великих геометра: Н. И. Лоба­чевский, К. Ф. Гаусс и Я. Бояи.

Впервые в печати решение вопроса появи­лось в работе Н. И. Лобачевского в 1829 — 1830 гг. (эта работа была доложена Лобачев­ским в Казанском университете еще в 1826 г.), и несколько позже — в 1832 г.— было опубли­ковано исследование Бояи. Гаусс вообще не опубликовал те смелые выводы, к которым пришел.

Новая идея, которая легла в основу решения, состояла в следующем: геометрия Евклида не является единственной возможной геометрией, можно построить и другие системы геометрии, столь же стройные и непротиворечивые, как евкли­дова. При этом и Н. И. Лобачевский, и К. Ф. Гаусс были глубоко убеждены, что новая геометрия получит применение для описания и изучения геометрических свойств нашего пространства.

Такой взгляд противоречил двухтысячелетней традиции, благодаря которой сложилось убеждение, что геометрия Евклида столь же естественна, как смена дня и ночи, и что толь­ко она описывает пространственные соотно­шения между реальными телами.

Как же строить новые геометрические систе­мы? В XVIII в. геометры придумали новый способ доказательства V постулата. Они пред­полагали, что V постулат неверен, и старались прийти к противоречию, как это делается при доказательствах от противного. Действитель­но, если V постулат можно вывести из других постулатов и аксиом геометрии Евклида, т. е. он является теоремой, то предположение, что он неверен, должно было бы привести нас к противоречию. Однако как ни пытались гео­метры получить противоречие, им этого сделать не удавалось. Они получали все новые и новые следствия; некоторые из них выглядели пара­доксально, например: сумма углов треуголь­ника у различных треугольников различна, но всегда меньше 2d; линия, равноотстоящая от некоторой прямой (эквидистанта), сама не яв­ляется прямой; не существует подобных тре­угольников и вообще подобных фигур. Однако ни одно из следствий не противоречило другому следствию и остальным аксиомам евклидо­вой геометрии.

Лобачевский, Гаусс и Бояи пришли к убеж­дению, что противоречия и не получится, по­тому что V постулат не является теоремой в евклидовой геометрии. Что же в таком случае представляют полученные следствия? Оказы­вается — теоремы новой геометрии! Таким обра­зом, для построения новой геометрии нужно было заменить V постулат другим и вывести из новой системы постулатов и аксиом возможные следствия. Они-то и будут теоремами но­вой геометрии.

V постулату Евклида часто придают такую форму: через точку вне прямой в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, мож­но провести только одну прямую, не пересе­кающую данной.

Если этот постулат не имеет места, то это означает, что: 1) либо можно провести по край­ней мере две прямые, не пересекающие данной (рис. 3), 2) либо таких прямых не существует вовсе (т. е. вообще нет параллельных прямых).

Второе из этих предположений легко при­водится к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Первое же Н. И. Ло­бачевский выбрал в качестве нового постулата о параллельности. Он построил стройную систе­му геометрии, которая носит теперь его имя. При этом Н. И. Лобачевский показал, что гео­метрия Евклида может быть получена как пре­дельный случай новой геометрии.

Исследования Н. И. Лобачевского открыли новую эру в истории геометрии. Если до этого казалось, что в основном в геометрии все сде­лано уже самим Евклидом, то после создания неевклидовой геометрии открылись широкие возможности для новых геометрических изысканий.

В 60-х годах прошлого века немецкий математик Риман предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий, в которых можно мерить длины, площади, углы, объёмы (так называемых метрических геометрий). При этом он не ограничился случаем трехмерного пространства, а строил геометрии пространств любого числа измерений. Интересно отметить, что, в частности, он построил такую геометрию, в которой нет параллельных прямых. Конечно, для построения такой геометрии пришлось отказаться от некоторых других аксиом ев­клидовой геометрии.

Эта геометрия похожа на сферическую, ее называют эллиптической или геометрией Римана (в узком смысле слова, в отличие от общих римановых геометрий). В этой геомет­рии, так же как в геометрии Лобачевского, нет подобных фигур, но сумма углов треугольника в ней всегда больше 2d, а длины прямых линий ограничены.

Были предложены и другие методы построе­ния новых геометрий.

Но в связи с новыми геометриями встали и другие вопросы: геометрия Лобачевского отли­чается от евклидовой постулатом о параллель­ности. Что будет, если заменять и другие по­стулаты? Всегда ли при этом будут получаться новые системы геометрии? В каких случаях новые системы будут непротиворечивыми, т. е. в них нельзя доказать некоторую теорему и одновременно доказать, что эта теорема неверна?

Для ответа на эти вопросы ученые прежде всего вновь обратились к исследованию геомет­рии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы, нужные для ее построения, а затем уже изучить связи между этими аксиомами, посмотреть, что будет, если отбросить одну или несколько из них и заменить другими. Многие математи­ки конца прошлого века занимались этой проблемой, но впервые ее удалось решить немецкому математику Д. Гильберту в 1899 г. В его книге «Основания геометрии» была из­учена первая полная система аксиом геомет­рии Евклида и исследованы вопросы, о кото­рых мы говорили выше. Это направление иссле­дований привело к созданию современного аксиоматического метода, значение которого трудно переоценить.

Неевклидовы геометрии открыли новую эру не только в математике, но и в физике. Как и предвидели создатели этих геометрий, они сде­лались незаменимым математическим аппара­том многих важнейших частей современной физики, особенно теории относительности.

Более подробно о новых геометриях вы можете узнать из статьи «О различных гео­метриях».

Итак, мы видим, что возникновение геомет­рии как науки далеко не закончилось построе­нием системы евклидовой геометрии. Это было только начало, блестящее продолжение которого осуществилось в XIX в.

В настоящее время геометрия представляет большую, широко разветвленную науку, тесно связанную со всеми остальными разделами ма­тематики.