Что такое геометрия

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Прежде чем завести разговор о геометриче­ских преобразованиях, остановимся на вопросе о самом содержании предмета геометрии; впо­следствии мы увидим, что к понятию геометри­ческого преобразования этот вопрос имеет са­мое непосредственное отношение.

Геометрия изучает свойства плоских фигур и пространственных тел. Однако в геометрии рассматриваются вовсе не все свойства фигур или тел. Ясно, например, что цвет или вес тела для геометра безразличен — геометрические свой­ства куба останутся одними и теми же незави­симо от того, идет ли речь о металлическом кубе или о кубе, сделанном из фанеры и окрашен­ном в красный цвет. (Заметим, что физиче­ские свойства этих двух кубов во многом будут различны.) Также и расстояние от вер-

шины изображенного на доске треугольника до края доски не интересует геометра. Один из двух равных между собой треугольников (рис. 1) расположен заметно ближе к краю MQ доски, чем второй; однако все геометрические свойства этих треугольников — их соответствен­ные стороны, углы, высоты, медианы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей, расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан и т. д.— будут оди­наковыми. Как же охарактеризовать тот круг свойств фигур и тел, который интересует геометра?

Все свойства тел, которые рассматриваются в геометрии, полностью определяются формой и размерами тела и никак не зависят от его рас­положения. Другими словами, это означает, что каждые две равные фигуры или два равных тела обладают в точности теми же самыми гео­метрическими свойствами; поэтому геометр не может иметь никаких оснований для того, что­бы как-либо различать эти фигуры или тела. Это обстоятельство подразумевается и самим названием «равные тела». Ведь «равные числа» в арифметике — это не что иное, как одно и то же число; так, 1/2 и 3/6 это одно и

то же число, только записанное по-разному. Точно так же в геометрии слова «равные фигу­ры» иногда заменяют выражением «одна и та же фигура». Так, например, говорят, что зада­ча построения треугольника АBС по двум сто­ронам ВС=а и АС=b и углу АСВ=g имеет единственное решение (рис. 2). На самом деле существует, конечно, очень много (даже бесконечно много!) треугольников, имею­щих две стороны длин а и b и заключенный меж­ду ними угол величины у (рис. 3). Однако все эти треугольники равны между собой; поэтому мы их принимаем за один тре­угольник.

Вспомним теперь, какие фигуры или тела считаются в геометрии равными. Две фигуры F и F' (рис. 4) называются равными, если при наложении одной из них на другую они совпадают всеми своими точками, другими словами — если существует движение, при по­мощи которого можно совместить фигуру F с фигурой F'. Таким образом, само определение равенства фигур (или тел) связано с понятием движения. Учитывая определение равенства фигур, мы можем сказать, что фигуры, получаю­щиеся одна из другой движением, считаются в геометрии одинаковыми, не различаются между собой; все геометрические свойства од­ной из этих фигур совпадают с геометрическими свойствами другой фигуры. Последнее обстоя­тельство можно принять за определение геометрических свойств, т. е. тех свойств фигур и тел, которые изучаются геометрией: геометрия изучает те (и только те!) свойства фигур и тел, которые сохраняются при движениях.

Движения

Приведем несколько примеров движений плоских фигур.

Параллельным переносом на­зывается движение, при котором фигуру как целое перемещают в определенном направле­нии, не поворачивая ее.

Параллельный перенос характеризуется на­правлением, которое задается указанием неко­торой прямой l с поставленной на этой прямой стрелкой и расстоянием а, на которое перено­сятся фигуры. Каждую точку А параллельный перенос переводит в такую точку А', что АА' || l (причем направление от точки А к точке

А' совпадает с тем, которое указано стрелкой на прямой l) и АА'=а (рис. 5).

Поворот (вращение) вокруг точки О на угол а характеризуется тем, что каждая точка А переходит в такую точку А', что ОА=OА' и ÐАОА'=a. (рис.6); при этом должно быть ука­зано также и направление поворота, которое может совпадать с направлением вращения ча­совой стрелки или быть противоположно ему.

Рис, 6. Поворот вокруг точки О на угол a.

Поворот вокруг точки О на угол 180° называет­ся также симметрией относитель­но точки О; здесь каждая точка А перехо­дит в такую точку А', что О есть середина от­резка АА' (рис. 7).

Еще один важный пример движения пред­ставляет собой симметрия относи­тельно прямой l; это движение можно реализовать, перегнув лист бумаги по прямой l. Симметрия относительно прямой l переводит каждую точку А в такую точку А', что отрезок АА' перпендикулярен прямой l и делится этой прямой пополам (рис. 8). Каждый легко мо­жет получить симметричные фигуры, сделав кляксу на листе бумаги и затем перегнув лист (рис. 9).

Эти примеры доста­точно хорошо характе­ризуют содержание по­нятия «движение». Каж­дое движение задает­ся указанием опреде­ленного закона или пра­вила, указывающего, как найти точку А', в ко­торую это движение

Рис. 7. Симметрия относительно точки O.

переводит произвольную точку А. На рис. 10 пе­речислены правила, от­носящиеся к указанным выше движениям. Во­обще, задание правила, позволяющего перейти от произвольной точки А к новой точке А' (ко­торая может и совпа­дать с исходной точ­кой А, определяет геометрическое преобразование.

Под фигурой в геометрии понимают сово­купность, или множество, точек; так, окружность с центром О и радиусом r есть совокупность таких точек М, что ОМ=r (рис. 11); отрезок с концами A и В есть совокуп­ность таких точек М, что АМ+МВ=АВ (рис. 12); прямую можно охарактеризовать как сово­купность таких точек М, что АМ=ВМ, где точки А и В заданы (рис. 13).

Геометрическое преобразование переводит каждую точку А, входящую в состав фигуры F, в новую точку А'. При этом совокупность точек фигуры F переходит в некоторую новую сово­купность точек, образующую фигуру F'. Про фигуру F' говорят, что она получается рассматриваемым преобразованием из фигуры F (рис. 14).

Движения представляют собой простейшие гео­метрические преобразования — такие, которые пе­реводят каждую фигуру F в равную ей фигуру F', т. е. сохраняют форму и размеры фигур.

Преобразования подобия

Преобразования, сохраняющие форму фигур, но, возможно, изменяющие их размеры, называ­ются преобразованиями подобия. Каж­дую фигуру F преобразование подобия переводит в подобную ей фигуру F', представляющую собой увеличенную или уменьшенную копию пер­воначальной фигуры; все размеры фигуры F' равны соответствующим размерам фигуры F, умножен­ным на одно и то же число k (рис. 15). Это число называется коэффициентом подо­бия двух фигур. Подобные фигуры можно по­лучить, например, поместив под лампой вырезан­ную из куска картона фигуру F, плоскость ко­торой параллельна поверхности стола; в таком случае тень F', отбрасываемая этой фигурой на стол, будет подобна F (рис. 16). Более «математический» пример преобразования подо­бия представляет собой гомотетия с центром О и коэффициентом k, переводящая каждую точку А в такую точку А' луча ОА, что

OA'/OA=k (рис. 17).

Некоторые свойства фигуры F', подобной фигуре F, будут отличаться от свойств фигуры F; так, например, гомотетия с коэффициентом 2 переводит фигуру ABCD в фигуру

A'B'C'D', площадь которой в 4 раза больше площади фигуры ABCD (рис. 17). Но большин­ство свойств фигуры F' будет совпадать со свойст­вами фигуры F: так, все имеющиеся на фигуре F' углы будут равны соответствующим им углам, име­ющимся на фигуре F; отношение расстояний между какими-либо точками фигуры F' будет равно отно­шению расстояний между соответственными точка­ми фигуры F (см. рис. 15, где, скажем, AB/CD=A'B'/C'D')

и т. д. Таким образом, преобразования подобия меняют свойства геометрических фигур очень

Три геометрические головоломки мало: окружность они переводят снова в окружность, квадрат — в квадрат, равнобедрен­ный треугольник с углом при вершине в 40° — снова в равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40° и т. д.

Эти свойства преобразований подобия ино­гда могут быть использованы для решения со­держательных геометрических задач. Поста­вим, например, такую задачу: определить, что представляет собой множество середин всех

отрезков AM, где точка А фиксирована, а точ­ка М пробегает, скажем, равностороннюю ги­перболу G (график обратной пропорциональной зависимости). Очевидно, что искомое множе­ство точек образует фигуру G', гомотетичную гиперболе G с центром гомотетии А и коэффициен­том гомотетии 1/2. Отсюда следует, что это будет точно такая же гипербола, только в 2 раза «меньшая» (такая, что расстояние между двумя точками гиперболы G' в 2 раза меньше рас­стояния между соответствующими точками ги­перболы G; рис. 18).

Линейные преобразования

Рассмотрим тень, отбрасываемую на солн­це вырезанной из картона фигурой F на плоскость a, не обязательно параллель­ную этой фигуре (рис. 19). Геометрически пе­реход от фигуры F к ее тени F' описывают как параллельное проектирование, переводящее каждую точку А фигуры F в такую точку А ' плоскости a, что АА'║ а, где а — заданная прямая, характеризующая на­правление проектирования (ибо лучи солнца можно считать параллельными).

Фигура F' может значительно отличаться от первоначальной фигуры F; так, каждый знает, насколько сильно искажены на тени истинная форма и размеры предметов, если солнце стоит достаточно низко (рис. 20). Одна- 360° /n). Определите, к какому из этих трех видов симметрии относится каждая фигура, найдите ось или центр симметрии, а для фигур с симметрией порядка т найдите это число.

Кривые линии, которые получаются при пере­сечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину, называются кривыми второго порядка или коническими сечениями. Конические сечения могут быть трех типов:

1) Секущая плоскость пересекает все обра­зующие конуса в точках одной ее полости, линия пересечения есть замкнутая овальная

линия — эллипс; окружность как частный слу­чай эллипса получается, когда секущая пло­скость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении по­лучается незамкнутая уходящая в бесконеч­ность кривая — парабола, целиком лежащая в одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола, состо­ит из двух одинаковых незамкнутых прости­рающихся в бесконечность частей (ветвей ги­перболы), лежащих на обеих полостях конуса.

На рисунках внизу изображены линии, кото­рые описывает точка круга, когда он катится по прямой линии. При этом точка окружности описывает линию с остриями — циклоиду. Вся­кая точка внутри круга описывает линию без остриев — укороченную циклоиду. А если точ­ка закреплена вне круга на продолжении его радиуса, то она описывает линию с петлями — удлиненную циклоиду.

ко некоторое сходство между фигурой F и ее тенью F' и тут сохранится. Так, например, каждая, прямая, проведенная в плоскости фи­гуры F, перейдет снова в прямую линию (рис. 21); параллельные прямые перейдут в параллельные прямые; отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой (но не раз­ным прямым!), при параллельном проектировании сохранится (см. рис. 21, где AB/BC=A'B'/B'C').

Квадрат ABCD параллельное проектирование уже не переведет в квадрат; однако оно переве­дет его в параллелограмм, который отличается от квадрата не так уж резко.

Геометрические преобразования, обладаю­щие такими свойствами, называются линей­ными преобразованиями. К чис­лу линейных преобразований относится, напри­мер, так называемое сжатие к прямой l, которое описывается так: точку А плоскости сжатие к прямой l переводит в такую точку А', что точки А и А' лежат на одном перпендикуляре к прямой l и PA'/PA=k: где Р — основание перпендикуляра (рис. 22). Постоянноечисло k называется коэффициентом сжатия к прямой (при k>l было бы правильнее говорить о «растяжении» от прямой l). Не­трудно убедиться, что сжатие к прямой также переводит прямую линию снова в прямую, па­раллельные прямые переводит в параллельные, сохраняет отношения длин отрезков, принад­лежащих одной прямой.

Знание свойств, сохраняющихся при линей­ных преобразованиях, позволяет использовать эти преобразования для доказательства неко­торых геометрических теорем. Разумеется, квадрат ABCD и получающийся из него параллельным проектированием параллелограмм A'B'C'D' имеют много разных свойств; однако те свойства, которые сохраняются при линейных преобразованиях, совпадают у квад­рата и у параллелограмма. Выберем произ­вольную точку Е на диагонали АС квадрата ABCD и проведем через нее отрезки MN ║ АВ и PQ║ВС (рис. 23, а). Нетрудно видеть, что прямая А С явится осью симметрии по­лученного чертежа; поэтому прямые MQ и PN (симметричные относительно прямой АС!) пересекутся на прямой АС. А отсюда вытекает, что и отрезки M'N'║А'В' и P'Q'║В'С', пересекающиеся на диагонали А'С' паралле­лограмма A'B'C'D', отсекают от паралле­лограмма меньшие параллелограммы M'D'Q'E' и N'B'P'E', диагонали M'Q' и N'P' кото­рых пересекаются на прямой А'С' (рис. 23, б). Доказать это, не пользуясь линейными пре­образованиями, было бы затруднительно!

Рассмотрим еще и такой пример. Ясно, что каждый треугольник АВС можно параллельным проектированием перевести в равносто­ронний треугольник АБС' (рис. 24; тре­угольники АBС' и ABC расположены в раз­ных плоскостях; СС ' — направление проекти­рования). При этом медианы треугольника АBС переходят в медианы треугольника АBС' (это следует из свойств параллельного проекти­рования). Но медианы равностороннего тре­угольника являются одновременно и бис­сектрисами; поэтому они пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в тре­угольник АBС'. А отсюда следует, что также и медианы исходного треугольника АBС пере­секаются в одной точке. Это доказательство теоремы о точке пересечения медиан треуголь­ника является, вероятно, простейшим!

Сколько разверток у куба?

Чтобы изготовить модель многогранника из куска картона, надо прежде всего начертить раз­вертку требуемого многогранника. На рисунке изо­бражена правильная пирамида, все грани которой — равносто­ронние треугольники, и две развертки такой пирамиды. Сгибая каждую развертку по пунктирным линиям, можно по­строить модель пирамиды. Ка­кие-либо другие формы развер­ток пирамиды, все грани кото­рой равносторонние треуголь­ники, невозможны. Куб в этом смысле богаче: у него более де­сятка разверток различных форм. А сколько же все-таки точно? Начертите все развертки куба.

Эллипс

Вот еще пример на использование свойств линейных преобразований. Линейное преоб­разование уже не переводит окружность снова в окружность — оно переводит ее в другую линию, называемую эллипсом (рис. 25). Эллипс можно определить как линию, получаю­щуюся при сечении кругового цилиндра про­извольной плоскостью (рис. 26); это означает, что эллипс образуется из окружности в резуль­тате параллельного проектирования.

Заметим, что центр О окружности S яв­ляется ее центром симметрии, т. е. что все проходящие через О хорды окружности S делятся этой точкой пополам (рис. 27, а). Линейные преобразования не сохраняют отно­шения длин отрезков, принадлежащих разным прямым; поэтому проходящие через точку О радиусы окружности S переходят в «радиусы» эллипса S', пересекающиеся в одной точке О', но уже не равные между собой (рис. 27, б). Но отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, при линейном преобразовании сохраняется, и поэтому все проходящие через точку О' хорды эллипса S' делятся в этой точке пополам. Таким образом, мы убеждаемся, что каждый эллипс S' обладает центром сим­метрии О'; эту точку О' часто называют про­сто центром эллипса.

Число примеров подобного рода можно увели­чить. Проведем из точки М к окружности S каса­тельные МА и MB (рис. 28. а). Мы знаем, что МА=MB; что ОМ^АВ, где О — центр окружности S', что АК=КВ, где К — точка пересечения ОМ и АВ (все эти факты следуют из того, что прямая ОМ есть ось симметрии; см. рис. 28, а). Равен­ство отрезков МА и МB не может быть перене­сено на эллипс (отношение длин отрезков, при­надлежащих разным прямым, не сохра­няется при параллельном проектировании); перпендикулярность прямых ОМ и АВ также характерна именно для окружности (углы не сохраняются при линейных преобра­зованиях). А вот то обстоятельство, что отрез­ки АК и КB, принадлежащие одной прямой, равны между собой, имеет место и в случае эллипса: если из внешней точки М' провести к эллипсу S' с центром О' касательные М'А' и М'В', то прямая О'М' разделит хорду А'В' пополам (рис. 28, б).

Докажем еще, что середины всех параллель­ных между собой хорд эллипса принадлежат одной прямой, проходящей через центр эллипса (диаметр у эллипса). В самом деле, пусть наш эллипс S' получился линейным преобразованием (скажем, центральным проектированием) из окружности S. Середины всех параллельных между собой хорд окружности принадлежат одной прямой, проходящей через центр О окружности и перпендикулярной проведенным хордам (рис. 29, а). При линейном преобразо­вании параллельные между собой хорды окруж­ности S переходят в параллельные хорды эллипса S', а диаметр d окружности, делящий ее хорды пополам,— в диаметр d' эллипса, делящий попо­лам параллельные хорды эллипса (рис. 29, b).

Проективные преобразования

Рассмотрим теперь тень, отбрасываемую вы­резанной из картона фигурой, помещенной под электрической лампочкой, на поверхность стола, не обязательно параллельную плоскости фигуры (рис. 30). Эта тень может очень сильно отличаться от исходной фигуры — однако начер­ченная на фигуре прямая линия перейдет при этом снова в прямую.

Здесь мы имеем дело с центральным проектированием фигуры из точки на плоскость стола, переводящим каждую точку фигуры в точку пересечения прямой с плоскостью стола.

Цент­ральное проектирование доставляет нам пример проективного преобразования. Проективные преобразования гораздо сильнее меняют свойства фигур, чем линейные; так, квадрат ABCD они могут перевести в произ­вольный четырехугольник A'B'C'D' (рис. 31). Однако и здесь можно указать ряд свойств гео­метрических фигур, сохраняющихся при цен­тральных проектированиях, и воспользоваться

этим для вывода интересных свойств произволь­ных четырехугольников из свойств квадрата. Проективные преобразования переводят окружность в так называемые конические сечения. Это название связано с тем, что если центральное проектирование с центром О переводит окружность S в фигуру S', то S' представляет собой плоское сечение кругового конуса с вершиной О (рис. 32). Можно дока­зать, что к числу конических сечений принад­лежат как рассмотренный выше эллипс, так и изучаемые в средней школе гипербола (график обрат­ной пропорциональ­ной зависимости) и парабола (гра­фик функции y=х2). Используя это об­стоятельство , а также общие свойства про­ективных преобразо­ваний, можно дока­зать, что гипербола и парабола обладают рядом интересных свойств, родственных свойствам окруж­ности и эллипса.

Немецкий математик Ф. Клейн в конце прошлого столетия предложил положить гео­метрические преобразования в основу класси­фикации всех свойств геометрических фигур и тел. Он предложил различать геометриче­ские свойства по тем преобразованиям, при которых эти свойства сохраняются. К одной группе при этом будут относиться те свойства, которые сохраняются лишь при движениях фигур; сюда относятся все свойства, свя­занные с расстояниями между точками, и все теоремы, в которых фигурируют длины или площади (например, теорема: площадь тре­угольника равна половине произведения длины основания на длину опущенной на основание высоты). В другую группу попадут свойства, сохраняющиеся при преобразовани­ях подобия, например все свойства, связанные с величинами углов; к этой группе свойств относится, скажем, известное свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° (ведь отношение длины гипотенузы к длине меньшего катета также сохраняется при пре­образованиях подобия!). Еще одну группу со­ставят свойства геометрических фигур, сохра­няющиеся при линейных преобразованиях. Далее можно будет рассмот­реть свойства фигур, сохраняющиеся при проективных преобразованиях,

и т. д. Так как линейные преобразования изме­няют свойства фигур сильнее, чем движения, то свойства, сохраняющиеся при этих преоб­разованиях, следует считать более глубокими; с этой точки зрения свойство треугольника, выражаемое теоремой: «медианы треугольника пересекаются в одной точке», оказывается бо­лее глубоким, чем, скажем, аналогичное свой­ство высот треугольника. Еще более глубокими следует считать те свойства фигур, которые сохраняются при проективных преобразовани­ях, очень сильно изменяющих фигуру.

Такая классификация геометрических тео­рем (Клейн даже говорил об отдельных «геомет­риях», охватывающих изучение свойств фигур, сохраняющихся при тех или иных преобразо­ваниях) поясняет сказанное выше об использо­вании геометрических преобразований для до­казательства теорем. Все свойства, сохраняю­щиеся при линейных преобразованиях, будут одинаковы для окружности и для эллипса; поэтому при рассмотрении их мы всегда можем ограничиться изучением окружности, являющейся частным случаем эллипса (окружность — это сечение кругового цилиндра плоскостью, параллельной основанию цилиндра). Точно так же при изучении соответствующих свойств треу­гольника мы можем считать его равносторонним,

Феликс Клейн.

при изучении свойств параллелограмма — при­нять его за квадрат и т. д. При изучении проек­тивных свойств произвольного четырехугольни­ка можно считать его квадратом, а при изучении проективных свойств конического сечения — принять это коническое сечение за окружность и т. д. Таким образом, точка зрения Клейна, выделяющая ряд отдельных ветвей геометрии, может существенно помочь при доказательстве геометрических теорем.

Как разрезать куб

Чтобы разрезать куб на 27 равных ку­биков, надо сделать 6 разрезов. Можно ли уменьшить число разрезов, если поз­волить после каждо­го разрезания пере­кладывать части?

Ответ на стр. 321.