О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Всем хорошо известно, что выводы эле­ментарной (школьной) геометрии находят ши­рокое применение при решении самых раз­нообразных практических задач. Знания гео­метрии необходимы слесарю, инженеру, учено­му — всем, кому приходится исследовать свойства различных фигур и тел. Как же гео­метрия изучает наш реальный мир? Каждому, по-видимому, приходилось слышать выраже­ния «с математической точностью», «как дваж­ды два — четыре». Этими словами обычно принято характеризовать абсолютно точное и неоспоримое. Ниже мы попытаемся выяснить, с какой точностью геометрические теоремы от­ражают действительное положение вещей в на­шем мире. Действительно ли эта точность бес­предельна?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится внимательно проанализи­ровать, как строится наука геометрия и как эта наука изучает реальный мир.

С чего начинается изучение геометрии

В учебнике геометрии постоянно изучаются геометрические объекты различной сложности: треугольники, трапеции, параллелограммы, призмы, пирамиды, сферы и т. п., которые дол­жны быть точно охарактеризованы. Это делает­ся в так называемых определениях. Для того чтобы полностью разобрать то или иное произвольно взятое определение, надо знать определения, изложенные в учебнике ра­нее. Например, чтобы понять определение тра­пеции, надо заранее знать определение па­раллельности прямых, определение четырех­угольника, а для этого надо знать определение отрезка. Последнее требует знания того, что такое прямая и точка.

Всякое другое определение точно так же в конце концов приводит нас к первой страни­це учебника геометрии, где мы надеемся найти определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости.

Но, увы, нас ожидает разочарование. Ока­зывается, что и здесь нет точных математиче­ских определений точки, прямой и плоскости. В то же время все дальнейшие определения, которые опираются на эти основные геометри­ческие понятия, сформулированы с полной математической строгостью. Такое положение на первый взгляд может показаться весьма странным.

Правда, в начале учебника даются некото­рые пояснения того, что же мы понимаем под точкой, прямой и плоскостью. Пояснения эти, однако, ни в какой мере не могут служить точ­ными математическими определениями. Кроме того, эти пояснения нигде далее в геометрии не используются. Они совершенно не нужны для доказательства теорем. Важным является лишь указание на то, что в дальнейшем будут изу­чаться именно точки, прямые и плоскости.

Что же такое точка, прямая и плоскость?

Отметим сразу же, что нигде в природе не встречаются точки, прямые и плоскости.

Представим себе шарик малого диаметра, скажем в 1 мм. Уменьшим его диаметр вдвое, втрое, ..., в тысячу раз и т. д. Наступит ли мо­мент, когда уже весьма малый шарик можно будет назвать точкой? Нет!

Учитель ставит на доске весьма «жирную» точку. Ученики рисуют в тетради тоже весьма крупные точки. На самом же деле каждый раз изображаются маленькие кружочки. Но точки ли это? Звезды на небе тоже нам представля­ются «точками», хотя некоторые из них во много раз больше Солнца. А если представить себе шарик столь малым, что его нельзя увидеть ни в один современный микроскоп,— будет ли это точка? Опять нет.

Дело в том, что точка — это не какой-то конкретный предмет. Точка — это абстракт­ное понятие, которое образовано на­шим сознанием в результате длительного изуче­ния весьма малых (или кажущихся малыми при определенных условиях) реальных объек­тов — шариков, кружочков и т. п. Это абстрактное понятие точки наделяется нами целым рядом свойств, общих для тех конкрет­ных предметов, в результате наблюдения над которыми и возникло понятие точки.

Обратимся теперь к понятию прямой. На бумаге изображена линия. Прямая ли она? Как в этом убедиться? Надо приложить линейку, сравнить линию с краем линейки. Но при этом возникает вопрос: прямая ли наша линейка? Каждому, вероятно, приходилось видеть сто­ляра, который для проверки прямизны выст­роганной планки рассматривает ее так, как показано на рис. 1. Если линейка не прямая, на ней есть изъяны, это будет видно на свет. Таким образом, проверяя прямизну сделан­ной линейки, ее сравнивают с лучом света. Точ­но так же обстоит дело и с туго натянутой ни­тью, которую практически считают прямой. Чтобы убедиться, что нить хорошо натянута и не провисает, надо опять-таки взглянуть вдоль нити, т. е. (как и планку) сравнить ее с лучом света.

Значит, можно сказать, что луч света являет­ся эталоном прямой. На первый взгляд все хорошо. Но на самом деле нигде в природе не встречается то, что мы мыслим себе «одним лучом света».

Допустим, что свет небольшого источника А (рис. 2) пропускают сквозь малое отверстие. Получится узкий пучок света. Представим себе, что отверстие все время уменьшается и источник света тоже уменьшается. Тогда пучок, исходящий из отверстия, будет становиться все уже и уже. Конечно, этот пучок никогда не станет лучом, если бы даже и можно было его сделать сколь угодно узким1. Вот если бы источник света А был точкой и отверстие В то­же было точкой, тогда пучок стал бы лучом. Но ведь мы говорили о том, что в реальном мире точек не бывает. Значит, не бывает и лучей. Таким образом, и луч (т. е. прямая) является абстрактным понятием, хотя и имеет весьма реальную природу и физическое происхожде­ние. Точно так же, как и в случае точки, рисуя на бумаге прямую, мы только создаем реаль­ный образ — рисунок, стремясь в той или иной (нужной нам) мере сделать его похожим на те физические объекты, из которых произошло, выкристаллизовалось абстрактное понятие пря­мой. И здесь, как и в случае точки, абстрактное понятие прямой наделяется нами всеми свой­ствами, общими для тех конкретных предме­тов, в результате наблюдения над которыми возникло само понятие прямой.

Точно так же обстоит дело и с плоскостью. Представим себе, что свет источника А пропу­скают сквозь прямую щель (рис. 3). Прямизна щели может быть, например, в нужной нам мере проверена при помощи эталона — луча света так, как указано выше. Получится изо­браженный на рисунке пучок света. Если бы уменьшить размер источника до «идеальной» точки и сузить щель до «идеальной» прямой, тогда пучок света стал бы «идеальной» плоско­стью. Здесь применимы все рассуждения, при­веденные в случае прямой, и мы не будем на них останавливаться.

В музее ... часов

Да, есть и такой музей. Часов там много всяких: старинных и со­временных, механических и электри­ческих, огромных и крошечных, с боем и без боя, с циферблатом и без циферб­лата.

Первые механические часы были изобретены около середины X в. Очень долго часы имели лишь одну стрелку — часовую. Только с 1700 г. появилась и минутная стрелка, а еще через 60 лет — секундная.

400 лет часы приводятся в дей­ствие пружиной. Но эра пружины на исходе. Современные наручные электронно-механические часы совеем и заводить не надо.

В числе тикающих и безмолвст­вующих обитателей музея была пара действующих часов с боем, одинако­вым по тембру. Однажды они ударили подряд, как я насчитал, 19 раз. Это произошло потому, что начало боя на первых часах опаздывало по отно­шению ко вторым часам на две секун­ды. Кроме того, первые часы, оказы­вается, ударяли через каждые 3 секун­ды, а вторые — через 4 секунды. Который был час?

Как применяется геометрическая теория

Итак, в геометрии изучаются свойства абст­рактных понятий — точки, прямой, плоскости. Эти свойства формулируются и доказываются в так называемых теоремах. Доказательство же всех теорем основано в конечном счете на некоторых аксиомах, которые в геометрии никак не доказываются. Подробнее о том, как выбираются аксиомы, каким требованиям дол­жен удовлетворять этот выбор, рассказано в статье «Как возникла геометрия».

Наиболее ранняя из дошедших до нас систем аксиом была построена Евклидом (III в. до н. э.). Аксиоматика (система аксиом), данная Евк­лидом, была, правда, далеко не безупречной. Строгое современное изложение евклидовой гео­метрии было дано лишь в конце XIX в. и ба­зируется на двух десятках аксиом, которые мы здесь перечислять не будем. Все теоремы гео­метрии лишь с той точностью описывают

реальный мир, с какой аксиомы правильно отражают действительное положение вещей.

Существо дела заключается в следующем. Пусть, например, мы рассматриваем распрост­ранение света в природе — так сказать, «све­товые лучи». Они ведут себя в соответствии с действующими физическими законами. И вот геометры-математики выбирают некоторые об­наруженные в опытах особенности распростра­нения света и объявляют их аксиомами, при­сущими абстрактным понятиям точки, прямой, плоскости. На базе выбранных аксиом и строят математическую науку — геометрию. Эта гео­метрия является как бы мысленным слепком с действительного мира. Изучение этого слепка позволяет обнаруживать закономерности реаль­ного мира уже не путем непосредственных изме­рений, а мысленно, геометрически (т. е. на слепке).

Чтобы подробнее пояснить это, рассмотрим, например, задачу об определении расстояния между пунктами А и В, разделенными рекой (рис. 4). Понятно, что прямое измерение рас­стояния АВ практически неосуществимо. (Еще труднее найти расстояние между звездами.) Для решения подобных задач необходима гео­метрия. Как же найти расстояние АВ с помощью геометрии? Укажем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Выберем на мест­ности еще один пункт С так, чтобы расстояние А С можно было непосредственно измерить. Найдя АС, измерим с помощью какого-либо угломерного инструмента (скажем, теодолита) поочередно углы a и g (положим для определен­ности, что они оказались острыми).

Теперь, уже мысленно, рассмотрим абстракт­ный треугольник АBС, у которого задана сто­рона А С и углы a и g. Мы можем для наглядно­сти нарисовать этот треугольник (рис. 5), хотя никакой необходимости в этом нет, все дальней­шие рассуждения можно проводить мысленно, не обращаясь к рисунку. Поэтому и рисунок, если уж его желательно сделать, может быть выполнен приблизительно, без соблюдения ка­ких-либо чертежных правил.

Опуская из вершины В перпендикуляр на сторону А С, получим точку D. Обозначим BD = h, AD=x. Тогда DC=AC-x. Очевидно,

h/x=tga; h/(AC-x)=tgg. Отсюда

xtga=(AC-x)tgg. Следовательно:

AC tgg/(tga+tgg).

После этого по теореме Пифагора легко найдем:

АВ=Ö(x2+h2)=Ö(x2+(xtga))2=хÖ(1+tg2a)=(ACtggÖ(1+tg2a))/(tga+tgg). . Зная АС, a, g, можно по полученной формуле легко найти искомое расстояние АВ1.

Второй способ. Постараемся на бу­маге по возможности точно начертить план местности (план треугольника АBС). Разу­меется, невозможно начертить его в натураль­ную величину. Поэтому выберем определен­ный масштаб и уменьшим измеренную величи­ну АС в n раз. Построим на чертеже отрезок

А'С'=(1/n)АС (рис. 6). Далее, на концах этого отрезка с помощью транспортира построим углы а и у, равные найденным при измерении на местности. Продолжив стороны этих углов, по­лучим точку В' — третью вершину треугольника.

Так как два угла а и у треугольника А'В'С' равны соответствующим углам треугольника АBС, то эти треугольники подобны. А так как подобие треугольников означает пропорциональ­ность их соответствующих сторон, то прихо­дим к выводу, что сторона А'В' должна быть меньше стороны АВ также в n раз. Поэто­му, измерив на чертеже А'В', можно найти, что АВ = nА'В'.

В первом случае мы нашли АВ простым вычислением, во втором — пришлось допол­нительно измерить на чертеже А'В' и выпол­нить достаточно точный чертеж. В обоих слу­чаях для определения АВ нам пришлось вос­пользоваться многими теоремами геометрии: теоремой Пифагора, теоремой о свойстве подоб­ных треугольников и т. п. Отметим, что второй способ (наряду с первым) часто используется в инженерной практике, где поэтому весьма важным является точное выполнение чертежей. Можно ли гарантировать, что описанные методы дают величину АВ, которая с необходи­мой точностью совпадает с расстоянием между пунктами А и В, если бы его действительно удалось измерить? Ответ на этот вопрос зависит от того, насколько точно аксиомы геометрии (а следовательно, теоремы) отображают реаль­ную действительность, насколько хорош наш геометрический слепок с реального мира.

Разумеется, может оказаться, что этот сле­пок недостаточно хорош. Тогда надо попытаться сделать лучший. Для этого надо тщательнее проанализировать опыты, на основании которых выбраны те или иные аксиомы, точнее, выбрать аксиомы. С помощью новых аксиом, более точно отображающих действительность, надо построить новую геометрию, новый, более точ­ный слепок с реального мира.

В течение двух тысячелетий считалось, что евклидова геометрия описывает мир с беспре­дельной точностью, что евклидов слепок с ре­ального мира идеален. Эта точка зрения была впервые поколеблена лишь в 1826 г. русским математиком Н. И. Лобачевским. Чтобы разъ­яснить его идеи, остановимся подробно на ана­лизе одной из самых интересных аксиом евк­лидовой геометрии.

Аксиома о параллельных

Выбрав систему аксиом, начинают доказы­вать теоремы все более и более сложные.

Весьма просто, например, с помощью тео­ремы о внешнем угле треугольника доказы­вается такая теорема:

Две прямые, перпендикулярные третьей пря­мой, не пересекаются.

Дадим теперь следующее определение:

Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными.

Пусть теперь на плоскости даны прямая а и точка А (рис. 7). Ясно, что через точку А можно провести прямую b, параллельную а. Для этого достаточно опустить из точки А перпендикуляр А В на прямую я, а затем из

точки А провести прямую b, перпендикулярную АВ. Это и будет искомая параллельная. Итак, параллельные прямые существуют!

Теперь возникает вопрос: нельзя ли через точку А провести еще одну прямую b', также параллельную прямой а? (Напомним, что все происходит на одной плоскости, т. е. мы за­нимаемся только планиметрией.) Тому, кто не думал над этим раньше, не изучал этого вопро­са, хочется немедленно и категорически отве­тить: нет, нельзя! — прямая b' пересечет пря­мую а, возможно, очень далеко, но непременно пересечет!

Воздержимся пока от столь категорического ответа и постараемся вдуматься в поставленный вопрос глубже.

Возьмем на прямой а точку С и соединим ее с точкой А прямой с. Теперь будем передвигать точку С вправо по прямой а. При этом прямая с будет поворачиваться около точки А. Ясно, что прямая с никогда не сольется с прямой b, ибо b с а не пересекается. Но прямая с, повора­чиваясь в одном и том же направлении, будет неограниченно приближаться к какому-то оп­ределенному предельному положению, когда точка С неограниченно удаляется вправо. Те­перь спросим себя: будет ли прямая b той пре­дельной прямой, к которой неограниченно при­ближается прямая с? Или, может быть, прямая с будет неограниченно приближаться к пре­дельной прямой b', отличной от b, так что пря­мая с, поворачиваясь, не сможет войти внутрь угла а. Опять хочется отвергнуть это предпо­ложение.

Однако подумаем еще. Проведем из точки А луч а под углом j<90° к прямой АВ. Если этот угол j мал, прямые а и d пересекутся на чертеже. Надо только продлить луч d. Если же теперь увеличить угол j (см. рис. 7), прямые а и d пересекутся уже не на чертеже, а где-то за полем книги. Еще немного увеличим угол j. Тогда при продолжении прямые a и d будут пересекаться дальше, скажем, на расстоянии нескольких сот метров. Ясно, что практически убедиться в этом весьма трудно, почти невоз­можно, но принципиально мыслимо.

Теперь еще увеличим угол j. Пусть он от­личается от 90°, допустим, на одну миллион­ную долю градуса. Что же теперь можно ска­зать о пересечении прямых а и d? Хочется опять их мысленно продолжить. Но так ли хорошо мыслим мы это продолжение? Не теряет ли смысл этот мысленный эксперимент? Ведь если угол j достаточно близок к 90°, то продолжать прямые придется туда, куда не удалось заглядывать даже при помощи самых мощных теле­скопов.

Напомним, что аксиомы изучаемой сейчас геометрии должны отражать свойства свето­вых лучей и подвергаться многократной про­верке на опытах со световыми лучами.

Наше предположение о том, что лучи а и d пересекутся, основано действительно на большом практическом опыте. Говоря, что лу­чи a и d пересекутся даже очень далеко (на­пример, на расстоянии 100 млн. км), мы ба­зируемся на большом опыте астрономических наблюдений.

Предположение же о том, что лучи света a и d пересекутся за пределами видимости самых мощных телескопов, уже основано на чистой фантазии. Ведь неизвестно, как там по­ведут себя лучи света. Здесь уже нет никаких оснований ссылаться на эксперимент.

Мы договорились, что эталон прямизны — это луч света. Чтобы сделать какое-либо за­ключение о поведении прямых a и d, надо знать физические свойства световых лучей.

Итак, вопрос о том, можно ли через точку А провести две прямые b и b', параллельные а, зависит от свойств световых лучей. Ясно, что, если угол j очень близок к 90°, эксперименталь­ная проверка того, пересекутся ли лучи а и d, невозможна.

Следует хорошо уяснить, что вопрос о том, можно ли из точки А провести только одну прямую, не пересекающую прямую а, решается не так уж просто. Ничего категорически здесь сразу сказать нельзя.

Разумеется, неочевидность какого-либо ут­верждения ни в какой мере не означает его несправедливости. Ведь теорема Пифагора, на­пример, тоже не так уж очевидна: совсем не сразу можно поверить в то, что площадь квад­рата, построенного на гипотенузе любого пря­моугольного треугольника, равна сумме пло­щадей квадратов, построенных на его катетах. Чтобы убедиться в справедливости теоремы Пифагора для любого прямоугольного треу­гольника, ее доказывают. Доказательство это опять-таки основывается на тех же аксиомах.

Возможно, в нашем вопросе положение ана­логично. Иными словами, можно ли доказать, исходя из принятых аксиом, такое предло­жение :

(А) Через точку вне прямой нельзя, провести более одной прямой, параллельной данной.

Возможно, что еще Евклид задавался этим вопросом, однако ответа на него у Евклида нет. Но так как этим предложением (или эквивалентным ему) приходилось пользоваться при доказательстве других теорем, пришлось при­нять предложение (А) за аксиому1. В стабиль­ном учебнике предложение (А) названо аксио­мой о параллельных. Итак, принимают новую аксиому, хотя, как объяснялось выше, есть все основания усомниться в ее справедливости в мире световых лучей.

Равна ли сумма углов треугольника 180°

Оставим пока в стороне вопрос о том, вклю­чать ли аксиому (А) в число аксиом геометрии, предназначенной для описания мира световых лучей. Укажем лишь, что именно с помощью аксиомы (А) в школьном учебнике доказывается теорема:

(В) Сумма внутренних углов любого треу­гольника равна 180° (в радианной мере p).

Несколько сложнее доказывается обратная теорема:

Если сумма внутренних углов хотя бы одного треугольника в точности равна 180°, то спра­ведлива аксиома о параллельных, т. е. через точку А невозможно провести в плоскости две различные прямые, не пересекающие данную прямую а, которая лежит в той же плоскости.

Таким образом, из аксиомы о параллель­ных следует, что сумма внутренних углов лю­бого треугольника равна 180°; наоборот, из того, что сумма углов некоторого треугольника равна 180°, следует аксиома (А).

Значит, в списке аксиом евклидовой геомет­рии можно вычеркнуть аксиому о параллель­ных, но вместо нее внести предложение (В). При этом все остальные теоремы евклидовой геометрии остались бы неизменными.

Мы выше пояснили трудность (даже практи­ческую невозможность) проверки аксиомы о параллельных в мире световых лучей. Если бы даже можно было выделить сколь угодно тонкий пучок световых лучей и если бы не было никакого их поглощения, то и тогда совер­шенно непонятным оставалось бы их поведе­ние за пределами видимости современных телескопов. Всегда неясным оставался бы вопрос о том, пересекутся ли лучи а и b', если угол j близок к 90 (см. рис. 7). Сказать, что лучи будут и дальше идти по прямой,— значит вообще ничего не сказать, ибо свойства прямой, которые кладутся в основу рассматриваемой сейчас нами геометрии, выводятся на основа­нии изучения свойств реального мира свето­вых лучей, а не наоборот.

Приняв аксиому (А), мы получим геомет­рию, в которой сумма углов любого треуголь­ника равна 180°. Приняв предложение, проти­воположное аксиоме (А), мы получим геомет­рию, в которой сумма углов всякого треуголь­ника отлична от 180°. Как же здесь быть? При­нимать или не принимать аксиому (А)?

Ввиду чрезвычайных трудностей, связан­ных с экспериментальной проверкой аксиомы (А) в опытах со световыми лучами, возникает вопрос о том, не проще ли на таких опытах проверять предложение (В).

Поясним подробнее возникающее здесь по­ложение.

Представим себе, что на местности (рис. 4) ведутся геодезические работы. Пусть в пункте В на штативе укреплен шарик, который геодезист наблюдает в обычный теодолит, установлен­ный в пункте А.

Какой же величины надо взять шарик в пункте В для этих наблюдений? Шарик надо выбрать так, чтобы его изображение получи­лось с возможной точностью в центре окуляра теодолита. Если шарик таков, что его изобра­жение будет большим кружком, его надо умень­шить для более точной наводки. Значит, шарик не должен быть слишком большим. Уменьшать шарик, однако, имеет смысл лишь до тех пор. пока это уменьшение сказывается на точности наводки теодолита. Если чувствительность при­бора не даст возможности улучшить наводку путем дальнейшего уменьшения шарика, такое уменьшение просто бесполезно. Выбрав шарик надлежащего размера, геодезист считает, что он имеет дело с «точками» А и В, соединенными отрезком АВ. При этом, как и выше, шарик В может на самом деле быть довольно большим (это зависит, разумеется, от расстояния АВ).

Теперь представим себе, что в пункте С также установлен на штативе шарик надлежа­щих размеров. Поочередно наводя теодолит на шарики В и С, геодезист находит величину •а, равную разности отсчетов на лимбе теодо­лита.

Как указывалось выше, геометрия опери­рует абстрактными понятиями точки, прямой, треугольника и т. д. Поэтому наш геодезист, выполнив вполне конкретный физический экс­перимент с шариками и снопиками световых лучей, рассматривает абстрактный треуголь­ник АBС и считает, что величина угла в вер-

шине А равна a — разности отсчетов на лим­бе теодолита.

Понятно, что величина a зависит от того, насколько хорошим и совершенным был при­мененный теодолит. Поэтому, применяя различ­ные измерительные приборы, геодезист должен был бы каждый раз изучать другой абстракт­ный треугольник АBС.

Представим себе для определенности, что конструкция теодолита не дает возможности фиксировать показания на лимбе более мелкие, нежели 10'. В таком случае, выполнив отсчет на лимбе после наведения на шарик B, говорят, что отсчет сделан с точностью до 10'. То же самое относится и к наводке теодолита на ша­рик С.

Найдя разность отсчетов a, геодезист счи­тает, что, применив другой, более точный тео­долит, он мог бы получить другую разность, однако ее отличие от a не превысит 20'.

Таким образом, рассматривая абстрактный треугольник АBС с углом A, равным a, геоде­зист вправе считать, что, применяя более точ­ные приборы, он мог бы получить для угла a другую величину, лежащую в пределах от a-20' до a+20'.

Аналогично можно для углов В и С полу­чить величины b и g и найти сумму s=a+b+g.

Возникает вопрос: равна ли эта сумма 180°? Понятно, что такое совпадение маловероятно. Вспомним прежде всего, что каждая наводка теодолита выполнялась с точностью до 10'. Для определения а теодолит пришлось наводить 6 раз. Поэтому применение более точного при­бора могло бы привести к получению другой суммы, находящейся в промежутке от s-1° до s+1°.

Итак, определение суммы углов рассматривае­мого абстрактного треугольника зависит от точ­ности проведенных измерений (в данном случае от точности примененного теодолита). В нашем случае геодезист вправе рассмотреть абстракт­ный треугольник, сумма углов которого отличает­ся от найденной при измерении величины о, но не более чем на 1°.

Здесь возникает другой вопрос. Насколько измеренная сумма углов о отличается от 180°? Превосходит ли это отличие 1°? Находится ли разность между 180° и а в пределах точности примененных инструментов? Иными словами, может ли геодезист в данном случае рассмат­ривать абстрактный треугольник с суммой углов 180°?

Проанализируем возможные результаты из­мерения. Здесь имеются две возможности.

1. В результате измерения получилась сум­ма s=a+b+g, отличие которой от 180° превосходит точность проведенных измерений (в данном случае 1°). В этом случае геодезист должен рассуждать примерно так. Если при­нять аксиому (А), в нашей геометрии сумма углов всякого треугольника будет равна 180°. Проведенный же опыт показывает, что приня­тая точность измерений не согласуется с таким выводом. Это означает, что такая геометрия для нашего геодезиста недостаточно хороша. Выводы ее он не смог бы применять в своей практике.

Зная длину АС, углы a и g, он не смог бы с необходимой точностью, как это описано вы­ше, определить длину АВ, ибо теорема Пифа­гора и признаки подобия треугольников спра­ведливы лишь там, где сумма углов треуголь­ника равна 180°. Ему пришлось бы для практи­ческих потребностей строить геометрию, где аксиома (А) не справедлива и, следовательно, сумма углов треугольника не равна 180°.

2. Сумма углов s=a+b+g, полученная в результате измерения, отличается от 180° на величину, не превосходящую точность изме­рений (в данном случае 1°). В этом случае гео­дезисту для практических нужд вполне пригод­на геометрия, в которой сумма углов треуголь­ника равна 180°. У него нет никаких оснований отвергать аксиому (А), а равно и предложение (В). Обычная евклидова «школьная» геометрия здесь оказывается весьма полезной, ее выводы приобретают большое практическое значение с точностью, принятой в измерениях нашего геодезиста.

Однако необходимо заметить, что геодезист и в данном случае не должен слишком прене­брежительно относиться к геометрии, где невер­на аксиома (А) и где сумма углов треугольника отлична от 180°. Не исключена возможность, что и такая геометрия в будущем окажет­ся ему полезной. Если все измерения гео­дезиста пока хорошо согласовывались с той геометрией, где сумма углов треугольника рав­на 180°, то, может быть, в дальнейшем, увели­чив точность приборов или измеряя углы зна­чительно больших космических треугольни­ков, он столкнется с тем, что при новых изме­рениях обычная геометрия уже не будет опи­сывать мир с достаточной точностью. И тогда понадобится совсем другая геометрия.

Итак, вопрос заключается лишь в том, какая геометрия с большей точностью описывает мир световых лучей, какой мысленный слепок с ре­ального мира является более точным.

Вполне владея изложенными идеями, Н. И. Лобачевский уже в первой половине XIX в. имевшимися в то время астрономиче­скими средствами измерил сумму углов весьма большого космического треугольника. За вер­шины были взяты две самые удаленные точки на эллиптической орбите Земли и одна из да­леких звезд. В результате измерения получи­лась величина, как и следовало ожидать, от­личная от 180°, однако это отличие не выходило за пределы точности примененных инструмен­тов. Таким образом, вопрос о том, какая гео­метрия точнее описывает мир световых лучей, остался открытым. Было неясно, понадобится ли вообще когда-нибудь геометрия, в которой не имеет места аксиома (А). Не является ли та­кая геометрия бесполезным плодом фантазии?

Нужны ли другие геометрии

Выше пояснялась естественность построе­ния геометрии, в которой сумма внутренних углов треугольника не равна 180° и, следова­тельно, не имеет места утверждение (А).

Впервые такую геометрию построил и раз­вил Н. И. Лобачевский в 1826 г. Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что и евклидова, за исключением аксиомы о па­раллельных, которая заменяется противопо­ложным утверждением — аксиомой Лобачев­ского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая гео­метрия — Евклида или Лобачевского — точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

Впоследствии было построено много других геометрий — других мысленных слепков с ре­ального мира. Вопрос же о том, действительно ли понадобится какая-либо из этих геометрий при изучении реального мира световых лучей, оставался по существу открытым вплоть до 1916 г., когда крупнейший физик А. Эйнштейн создал так называемую общую теорию относи­тельности.

Широко известен анекдот о том, что Ньютон открыл закон тяготения, наблюдая за паде­нием яблока. Насколько же точно ньютоновский закон отображает реальное положение вещей? Нельзя ли с помощью очень точных инструментов обнаружить, что притяжение тел может отклоняться (пусть очень мало) от закона Ньютона? Здесь можно поставить те же вопро­сы, какими мы занимались при разборе евкли­довой аксиомы о параллельных.

Дело в том, что ньютоновские законы также представляют собой некоторый абстрактный, мысленный слепок с реального мира. Это как бы физический слепок, в то время как евкли­дова аксиоматика является геометрическим слепком.

Подобно этому и законы электрического взаимодействия (например, закон Кулона) так­же являются определенным физическим слеп­ком с реального мира.

Вплоть до создания общей теории относи­тельности считалось твердо установленным, что реальный мир представляет собой нечто по­добное бесконечной пустой «евклидовой ком­нате», в которой, словно мебель, расположены реальные тела, предметы, взаимодействующие друг с другом. Казалось совершенно несомнен­ным, что свойства этой «евклидовой комнаты» никак не связаны с перемещением и взаимодей­ствием находящейся в ней мебели.

Законы же перемещения и взаимодействия материи в этой пустоте описывались в физиче­ских теориях-слепках. Однако считалось, что эти теории могут делаться независимо от того, как сделан геометрический слепок. Кроме того, ньютонов слепок считался столь же бесконечно совершенным и точным, как и евклидов геомет­рический слепок.

Опыты, однако, показали, что известные физические теории столь же несовершенны, как и евклидова геометрия.

Чтобы несколько разъяснить это, расска­жем об одном эксперименте, который уже неод­нократно повторялся астрономами и показал хо­рошее ' совпадение с заранее полученными вы­водами теории относительности.

Представим себе на Земле наблюдателя, который, находясь в определенный момент в точке О1 (рис. 8), видит звезду А и вблизи от нее Солнце S1. Наблюдение проводится в не­большой промежуток времени, так что звезду и Солнце можно считать неподвижными, а тра­екторию Земли — прямолинейной: Если Земля движется по своей орбите с известной скоро-

стью в направлении от О1 к O2, то, пользуясь теоремами евклидовой геометрии, нетрудно определить, в какой момент времени Солнце заслонит от наблюдателя звезду А. Это должно произойти тогда, когда Земля переместится в точку O2 (рис. 8).

Эксперимент, однако, показывает, что в дей­ствительности звезда А закрывается Солнцем с некоторым опозданием, величина которого хорошо согласуется с предсказаниями теории относительности.

Как же объясняется это явление? Оказы­вается, сильное поле тяготения, создаваемое Солнцем, заставляет лучи света, проходящие вблизи Солнца, вести себя не так, как того требует евклидова геометрия. А именно, лучи как бы искривляются, и получается карти­на, схематически изображенная на рис. 9. Находясь в точке О2 , наблюдатель видит звезду. Лишь когда наблюдатель переме­стится в точку O3 , Солнце закроет от него звезду А.

Можно попытаться объяснить обнаруженное отклонение, оставаясь в рамках евклидовой геометрии и ньютоновской теории тяготения. Именно, зная массу Солнца и массу движуще­гося фотона (кванта света), можно на основании ньютоновского закона тяготения вычислить от­клонение фотона от евклидовой прямой. Опыт, однако, показывает, что действительное откло­нение оказывается примерно вдвое большим того отклонения, которое вычислено указан­ным путем.

В таком случае приходится предположить, что евклидова геометрия или ньютоновская теория тяготения (или обе они) являются недо­статочно точными слепками действительного мира, ибо не позволяют объяснить наблюдае­мые явления. Общая теория относительности как раз и дала новый, более точный слепок. В соответствии с этой теорией поведение свето­вых лучей вовсе не обязано следовать зако­нам евклидовой геометрии. Геометрия, при­годная для описания поведения световых лучей, должна целиком и полностью определяться распределением и состоянием материи в мире. Каждое перемещение массы и изменение энер­гии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следова­тельно, и необходимость выбора более подходящего, неевклидова геометрического слепка.

Нельзя считать, что световые лучи в окрест­ности Солнца (рис. 9) перестали быть прямыми, что они искривлены. Они, так же как и лучи, проходящие вдали от Солнца, являются иде­альными прямыми, однако поведение этих пря­мых должно описываться не евклидовой систе­мой аксиом, не евклидовой геометрией, а неко­торой другой геометрией.

Так как распределение и состояние материи в реальном пространстве изменяется во вре­мени, то и геометрия, описывающая наше ре­альное пространство с достаточной точностью, тоже не остается неизменной, а изменяется со временем. Значит, в формулировке аксиом геометрии должно участвовать время. Поня­тия пространства и времени оказываются неот­делимыми, неразрывными.

Теория относительности Эйнштейна объеди­нила в одно целое изучение физических и гео­метрических свойств реального мира. Она как бы дала единый физико-геометрический слепок нашего мира.

Оказалось, что мир нельзя рассматривать как пустое евклидово пространство, заполнен­ное материей. Каждое изменение поля тяготе­ния, всякое перемещение массы и изменение энергии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следователь­но, и необходимость выбора более подходящего геометрического слепка.

В соответствии с теорией Эйнштейна выбор подходящей геометрии целиком и полностью определяется распределением и состоянием ма­терии в реальном мире.

Чем отличаются различные геометрии

Для того чтобы иметь возможность подби­рать в каждом случае подходящую геометрию, целесообразно заранее иметь целый набор, как бы библиотеку таких мыслимых слепков. В на­стоящее время математиками разработаны ме­тоды построения бесконечного числа таких геометрий.

Различные геометрические пространства, т. е. различные мыслимые геометрические слеп­ки, различают по тому, насколько они отли­чаются от евклидова. Само это отличие назы­вают кривизной. Кривизна геометрического пространства определяется некоторыми числами, которые характеризуют величину отличия той или иной геометрии от евклидовой. Каждая «кривая» геометрия основывается, по существу, на некоторых аксиомах. Совокупность аксиом такой геометрии отличается от евклидовой си­стемы аксиом. Имеется один интересный и про­стой признак, которым можно характеризо­вать отличие геометрии от евклидовой, не перечисляя всех аксиом. Этим признаком является как раз теорема о сумме углов треугольника. В евклидовой геометрии она всегда равна 180°. В других геометриях это не так. Там сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180°, в зависимости от размеров и рас­положения треугольника в пространстве.

Если обозначить сумму углов треугольника через а, то можно считать, что величина кри­визны характеризуется отношением величи­ны s-180° к площади треугольника. Величина а — 180° в различных геометриях может иметь знак плюс или минус. В соответствии с этим говорят, что пространство имеет положитель­ную или отрицательную кривизну.

В евклидовой геометрии s-180°=0; поэто­му говорят, что евклидово геометрическое про­странство имеет нулевую кривизну.

Выше было показано, что, развивая технику измерений, совершенствуя свои знания реаль­ного мира, мы неизбежно приходим к необхо­димости построения геометрии, отличной от ев­клидовой. Однако евклидова геометрия во мно­гих вопросах является отличным орудием прак­тики, инженерной техники и т. п. Смешон был бы, например, инженер, который стал бы учи­тывать, что две вертикальные линии отвеса не параллельны, а пересекаются в центре Земли. Еще меньше оснований у инженера предпола­гать, что в построенном треугольнике сумма углов отлична от двух прямых.

Евклидова геометрия в таких вопросах с большой точностью описывает реальный мир световых лучей, и не случайно изучение свойств пространства люди начали именно с евклидовой геометрии.

Все это, разумеется, ни в какой мере не ума­ляет важности неевклидовых геометрий. Они находят себе применение в важнейших теоре­тических и практических вопросах современ­ной физики и математики.

Первая неевклидова геометрия была по­строена Лобачевским. Многовековая привычка к понятиям евклидовой геометрии не дала возможности даже крупным математикам, со­временникам Лобачевского, понять его идеи. Триумф этих идей наступил позднее. Теперь

они прочно вошли в науку о природе и хорошо известны каждому физику и математику.

Геометрические понятия тесно связаны с фи­зическими явлениями, происходящими в ре­альном мире. При этом следует иметь в виду, что геометрия применима не только к изучению явлений, связанных с распространением света. Можно рассмотреть и какие-нибудь другие реальные объекты, не имеющие никакого отно­шения к распространению света. Некоторые из них можно принять за эталон прямизны, подобно тому как это делалось с узкими снопи­ками световых лучей. Изучая эти объекты, мож­но подобрать аксиомы и построить соответст­вующую геометрию. Можно, например, в ка­честве эталона прямизны принять траектории твердых тел достаточно малого размера, дви­жущихся по инерции, т. е. при отсутствии воздействия на них внешних сил. Полученная при этом геометрия (как и геометрия, построен­ная для изучения световых лучей) будет лишь в первом приближении совпадать с евклидовой.

Треугольники равновелики, так как каждый составлен из пары треу­гольников (3, 4, 5).

Решение к стр. 312. Построим ряд параллельных отрезков, проме­жутки между которыми будем считать изображением секунд. Точками изобра­зим удары боя первых (А) и вторых (В) часов соответственно условию задачи (см. рис.).

Схема показывает, что под но­мерами 5, 11, 17 удары происходят

Наименьшая возможная площадь у трех равновеликих прямоугольных треугольников 840. Стороны: (40, 42, 58), (24, 70, 74), (15, 112, 113).

одновременно и на слух сливаются каждый раз в один удар. Максимальное число ударов для каждых часов в отдельности равно 12, но если бы это было так, то мы насчи­тали бы 21 удар. На схе­ме изображены 19 уда­ров, что соответствует одиннадцати раздельным ударам часов А и В. Зна­чит, часы показывали 11.

Ответ к стр. 307. Куб имеет 11 разверток различных форм. Из них в шести формах четыре грани куба развертываются в одну полоску; в четырех формах не более трех гра­ней в полоске; в одной — не более двух граней в полоске.

Ответ к стр. 309. Невозможно. Каждый кубик имеет 6 граней. Для получения кубика, расположенного в центре данного куба, должны быть выпилены полностью все шесть гра­ней (у остальных кубиков имеются уже готовые грани). Как ни перекла­дывай части данного куба, а одним плоским разрезом не получишь более одной грани кубика.