КАК ЛЮДИ УЧИЛИСЬ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Сохранились два замечательных письмен­ных памятника математики египетского наро­да, каждому из которых около 4 тыс. лет. Пер­вый из них находится в Москве, в Музее изобра­зительных искусств имени А. С. Пушкина, и называется Московским папирусом. Он состав­лен около 1900 лет до н. э. Другой памятник, больший по объему, составленный лет на 200 позднее Московского, хранится в Лондоне и

имеет заглавие: «Наставление, как достигнуть знания всех темных [трудных] вещей... всех тайн, которые скрывают в себе вещи... Писец [чиновник] Ахмес написал это... со старых руко­писей...» Это сборник 85 задач с решениями. Его называют папирусом Ахмеса (иногда папиру­сом Райнда по имени английского коллекционера, который приобрел этот документ около ста лет назад).

В папирусе Ахмеса наряду с различными другими содержится ряд задач, которые мы решаем при помощи уравнений первой степени.

Египетский автор решает их способом, который затем в течение нескольких тысячелетий упот­реблялся разными народами для решения по­добных задач и называется методом ложного положения.

Это есть тот же метод предположений, кото­рый на уроках арифметики применяется и в наше время.

Египтяне за 2000 лет до н. э. имели для обо­значения неизвестного числа особый символ и название (последнее произносится «хау» или «аха» и условно переводится словом «куча»).

Вот одна из задач папируса Ахмеса: «Куча. Ее седьмая часть, ее целое. Что составляет 19». Это значит: требуется найти число, кото­рое, будучи сложенным с его седьмой частью, даст в сумме 19. Иными словами, требуется ре­шить уравнение

x+x/7=19.

На рис. 1 представлено в виде таблицы еги­петское решение задачи. Смысл этого решения таков. Предположим, что «куча» есть 7; тогда

1/7 будет 1 (см. первый столбец). Звездочки озна­чают, что эти числа использованы при решении. При сделанном предположении правая часть решаемого уравнения равнялась бы восьми (7+1), поэтому во втором столбце стоит число 8. Оно меньше требуемого задачей числа 19. Автор в уме удваивает его и получает 16. Дальнейшее удваивание дало бы 32, но это пре­вышает требуемое задачей число 19, и в решении отмечается поэтому звездочкой число 16 как долженствующее войти в искомое решение. Не хватает еще 19-16 = 3. Автор пробует взять

1/2 от 8, т. е. 4. Эта доля предположенного чи­сла не может войти в искомое решение, так как надо добавить лишь 3. Тогда решающий бе­рет 1/4 и 1/8 от 8, т. е. 2 и 1, отмечает их как составляющее вместе с 16 число 19.

Таким образом, автор установил (второй столбец решения), что первоначально предпо­ложенное значение для «кучи» надо взять

2+1/4+1/8 раз, чтобы удовлетворить условию

11

задачи. Остается 7 умножить на 2+1/4+1/8 (егип­тяне, как и многие другие народы, знак «плюс» при сложении не ставили; мы также в смешанных числах пишем 31/4 вместо 3+1/4). Автор ре-

шения вместо умножения 7 на 21/4 1/8 умножает

21/41/8 на 7. Для этого в третьем столбце он записывает число 21/41/8, затем удвоенное (..) и

учетверенное (....) значения его. Эти три числа

складываются, и получается для «кучи» значение

161/2 1/8, К нему прибавляется 1/7 «кучи», т. е.

21/4 1/8, и это дает в результате 19. Последняя

часть решения представляет проверку его и во многих задачах отмечается словами: «будет хорошо».

Метод двух ложных положений

В дальнейшем у разных народов был соз­дан метод двух ложных положений, приме­нявшийся еще в XVIII в. Мы находим приме­нение его и в напечатанной в 1703 г. «Арифмети­ке» Л. Ф. Магницкого, которая является первым на русском языке учебником всех раз­делов школьной математики (арифметики, ал­гебры, отчасти геометрии и тригонометрии). Вот пример решения Магницким задачи по способу двух ложных положений.

Решение задачи методом двух ложных положений.

Задача. Отец ученика спросил учителя, сколько у того учится ребят. Учитель ответил, что если бы у него было учеников еще столько, сколько сейчас есть, и полстолька, и четверть столька, и сын спрашивающего, то их было бы ровно 100 человек.

В нашей записи задача сводится к решению уравнения:

x+x+x/2+x/4+1=100.

Решение по Магницкому. Де­лаем первое предположение: учеников было 24. Тогда согласно условию имели бы: 24+24+12+6+1 = 67 , т. е. на 100-67=33 меньше тре­буемого (первое отклонение).

Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда 32+32+16+8+1=89, т. е. на 100-89=11 меньше требуемого (второе откло­нение). На основании веками выработанного правила Магницкий указывает готовый способ нахождения х:

(32•33-24•11)/(33-11)=36.

Способ этот заключается в правиле: «Мно­жить первое предположение на второе откло­нение и второе предположение на первое откло­нение, из большего произведения вычесть меньшее и разность разделить на разность отклонений».

Так же надо поступить в том случае, если при обоих предположениях получилось больше, чем требуется в задаче.

Если при одном предположении получится больше, а при другом — меньше, чем требует условие задачи, то в формуле, по которой вы­числяется х, вместо знака «-» надо поставить знак «+». Например, пусть первое предполо­жение 60; тогда: 60+60+30+15+1 = 166, 166-100 = 66 (избыток). Пусть второе пред­положение 20; тогда 20+20+10+5+1=56, 100-56 = 44 (недостаток). В таком случае1

x=(60•44 + 20•66)/(66+44)=36

Введение понятия неизвестного числа

Важным этапом в развитии учения об урав­нениях является введение понятия неизвест­ного числа и символа для его обозначения. Это — «куча» с особым символом для ее обозна­чения у египтян и соответственно другие назва­ния и обозначения у вавилонян, древних греков, индийцев, народов Средней Азии. У евро­пейских народов систематическое обозначение неизвестного числа разными знаками возни­кает в средние века. Употребление для этого букв х, у, z окончательно устанавливается в XVII в. в работах Р. Декарта.

Способ решения уравнений первой степени, основывающийся на свойствах арифметических действий, развивался у разных народов в те­чение ряда веков. Основными приемами при этом были: перенос членов уравнения из одной части равенства в другую с противоположным знаком и приведение (соединение) подобных членов. Первый из этих приемов мог привести к понятию отрицательного числа, которое воз­никло значительно позже той эпохи, когда чело­век стал решать задачи, приводящиеся к урав­нению первой степени. Вследствие этого урав­нению придавали такой вид, чтобы все его чле­ны были положительными, и давали специальные правила для разных видов уравнений с поло­жительными членами. Среднеазиатский мате­матик ал-Хорезми в IX в. ясно понимал, что решение уравнения первой степени сводится к указанным двум операциям: к переносу отдельных членов его из одной части равенства в другую (аль-джебр) и приведению подобных членов (аль-мукабала). Слово «аль-джебр» означало «восстановление»: при перено­се вычитаемого числа (отрицательного члена) из одной части уравнения в другую оно превра­щается в положительное, т. е. восстанавливает­ся, число. Название «аль-джебр» (aljebr) превратилось в слово «алгебра», употребляемое всеми народами.

Некий математик старого времени выразил правила аль-джебр и аль-мукабала стихами, которые в русском переводе звучат так:

Аль-джебр

При решеньи уравненья,

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный;

Мы к обеим частям

Равный член придадим,

Только с знаком другим,

И найдем результат положительный.

Аль-мукабала

Дальше смотри, в уравненье

Можно ль сделать приведенье;

Если члены есть подобны,

Соединить их удобно.

Ал-Хорезми широко применял уравнения для решения практических задач «различного рода и сорта» (общим приемом), что привело к установлению у европейских ученых взгляда на начальную алгебру как на общую, или уни­версальную, арифметику (И. Ньютон — в XVII в., Л. Эйлер — в XVIII в.). Для начальной алгебры, изучаемой в школе, этот взгляд остается в силе и в наше время.

Из древнегреческих математиков способами решения уравнений первой степени, сходными с нашими правилами, по-видимому, владел Диофант (III в. н. э.), но часть его книги о ре­шении уравнений первой степени до нас не дошла. Способы записи уравнений и обозначе­ния, для нас кажущиеся естественными и про­стыми, окончательно выработались лишь в XVII в. (Ф. Виет, Т. Гарриот, Р. Декарт) и вошли во всеобщее употребление только в XVIII в. под влиянием многочисленных работ Л. Эйлера.

Способы решения систем уравнений первой степени появляются сначала в Индии, Китае, у народов Средней Азии и Ближнего Востока ив Европе с XIII в. (Леонардо Пизанский — XIII в., Лука Пачоли — XV в., Михаил Шти-

Совершенные числа

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, причем 6 = 1+2+3.

Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем, аналогично, 28 = 1 + 2 + +4 + 7 + 14.

Легко заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обла­дают этим свойством, математиками древней Греции были названы со­вершенными.

Каждое такое число обозначим символом Vn, где n—номер, совершен­ного числа.

Тогда первое, самое меньшее совершенное число V1=6.

Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почет­ным на пирах у древних римлян.

Второе по старшинству совершен­ное число V2=28. В некоторых уче­ных обществах и академиях полага­лось иметь 28 членов. Почти до на­ших дней дожила эта традиция, идущая из далеких эпох. В Риме в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение од­ной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов — как раз по числу членов академии.

Лев Николаевич Толстой не раз бывало шутливо «хвастался» тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) — тоже инте­ресное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые циф­ры, то получится

V4= 8128 — четвертое совершенное число.

Третье совершенное число

V3=496,

причем 496 = 1+2 + 4+ 8 + +16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Первые четыре совершенных чи­сла:

6,28, 496, 8128

были обнаружены очень давно, 2000 лет назад.

Пятое совершенное число

V5 = 33550336

было выявлено лишь 500 лет назад (в 1400 г.).

В настоящее время зарегистри­ровано пока 20 совершенных чисел, причем последние восемь были обнару­жены с помощью электронных вычис­лительных машин. Например, восем­надцатое совершенное число состоит из 1937 цифр. V18=23216(23217-1). (О свойствах совершенных чисел см. на стр. 382.)

325

фель — XVI в.). Сначала появился способ сло­жения и вычитания, а затем и другие (подстанов­ки, сравнения). У Ньютона в его лекциях, изданных в 1707 г., применяются уже все эти способы.

Есть ли еще такие числа?

Десятизначное число 4938271605 с неповторяющимися цифрами при делении на 9 дает симметричное част­ное. Действительно,

4 938271605:9=548696845. Полученный результат одинаково чи­тается как слева направо, так и спра­ва налево.

Пока удалось обнаружить еще только два аналогичных десятизнач­ных числа с неповторяющимися циф­рами, каждое из которых при делении на 9 дает симметричное частное. По­пробуйте открыть эти или аналогич­ные им числа самостоятельно. Ответ на стр. 373.

Квадратные уравнения

Уравнения второй степени умели решать вавилоняне во втором тысячелетии до н. э., но их знания в этом вопросе не оказали влияния на развитие европейской науки, так же как и достижения других восточных народов, долго остававшиеся в Европе неизвестными. Древне­греческие математики периода до начала нашего летосчисления решали квадратные уравнения геометрическими построениями. Таково, на­пример, приводимое в наших учебниках деле­ние отрезка в крайнем и среднем отношении, данное Евклидом (III в. до н. э.). В более позд­нее время Герон и Диофант указали приемы, по существу совпадающие с нашими спосо­бами. В рукописях индийских и китайских ма­тематиков, написанных в первых веках новой эры, встречаются отрицательные корни квад­ратных уравнений. Однако индийский матема­тик Бхаскара (XII в.) отмечал: «Люди отрица­тельных корней не одобряют».

Большие заслуги в развитии учения о квад­ратных уравнениях имеет уже упомянутый сред­неазиатский математик ал-Хорезми. Он дает вывод правила решения квадратного уравне­ния, который излагается доныне во многих учебниках.

Ал-Хорезми решает уравнение x2+10x=39 (задача 7 его сборника) следующим образом. Искомое х есть сторона квадрата, площадь ко­торого х2. Построим на каждой стороне квадра­та прямоугольники с шириной, равной четвер­ти коэффициента второго члена уравнения,

т. е.10/4=5/2. Площадь четырех прямоугольников

равна 4•(5/2)x=10x.

Площадь образовавшейся крестообразной фигуры, обведенной на чертеже сплошными ли­ниями, равна x2+10x, т. е. левой части данного уравнения (39). Дополним эту фигуру четырьмя квадратиками, площадь каждого из которых равна (5/2)2. Получаем квадрат, стороны которо­го равны х+2•(5/2)=х+5. Площадь образовав­шегося большого квадрата (х+5)2 Ее мы по­лучили, добавив в крестовидной фигуре с пло­щадью x2+10x=39 площади четырех квадратов

со стороной 5/2, т. е. 4•(5/2)2=25.

Ал-Хорезми получает: (x+5)2=39+25=64, x+5=8, x=8-5, x=3.

При буквенных обозначениях для коэффи­циентов уравнения x2+px=q и рассмотрении двух значений корня имеем:

Так рассуждал ал-Хорезми при решении квадратного уравнения.

В Европе формулами для решения квадрат­ных уравнений различных видов владел Лео­нардо Пизанский в начале XIII в.; владели ими, конечно, и позднейшие математики. Вы­вод формулы в общем случае имеется у Ф. Виета (XVI в.), но и он признавал только положи­тельные корни.

Итальянские математики XVI в. (Дж. Кардано, Н. Тарталья, Л. Феррари, Р. Бомбелли) присоединили к положительным корням не только отрицательные, но и мнимые. С этого времени способ решения квадратных уравнений достиг нынешнего вида.

Уравнения степеней выше второй

К уравнениям третьей степени пришли гре­ческие математики (Гиппократ, Архимед и др.) при решении геометрических задач: удвоение куба — нахождение ребра куба, имеющего двойной объем данного куба; трисекция угла — деление произвольного угла на три равные ча­сти и др. Геометрическое решение этих задач столкнулось с невозможностью построить цир­кулем и линейкой отрезок, выражаемый куби­ческим корнем. Эти задачи решались геометри­чески при помощи кривых — гиперболы, пара­болы и др. Все возможные случаи решения ку­бического уравнения геометрическими метода­ми рассмотрел среднеазиатский математик и знаменитый поэт Омар Хайям на рубеже XI и XII вв. Алгебраическое решение кубического уравнения, т. е. открытие формулы, которая позволяет выразить корни всякого уравнения третьей степени через его коэффициенты, на­шли в XVI в. итальянские математики С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Эта формула носит имя Кардано, хотя он не являлся основ­ным действующим лицом в данном открытии и сам признавал это. Существенно важным при решении кубического уравнения в общем слу­чае явилось выражение корней в тригонометри­ческой форме.

Алгебраическое решение уравнений четвер­той степени в общем случае нашел Л. Ферра­ри, ученик Кардано. Свой особый способ для этого дал Л. Эйлер в 1732 г.

Очень многие крупнейшие математики пред­принимали попытки решить алгебраические уравнения пятой степени в общем случае, т. е. пытались найти формулу, при помощи которой можно было бы вычислить корни любого урав­нения пятой степени по его коэффициентам. Эти усилия не дали результата. Многие математики (Г. Лейбниц, Л. Эйлер, К. Гаусс) вы­сказывали мысль, что для уравнений пятой и более высоких степеней в общем случае не су­ществует алгебраической формулы для выра­жения корней через коэффициенты. Доказал это положение в 1824 г. норвежский матема­тик Н. Абель.

Формула Кардано для решения уравнения x3+рх+q=0.

Однако многие частные виды таких уравне­ний могут быть решены алгебраически.

Французский математик Э. Галуа указал в 1830—1832 гг. метод, при помощи которого по виду уравнения можно установить, решает­ся оно алгебраически или нет.

Голландский математик А. Жирар (1629) высказал предположение, что уравнение n-й степени имеет n корней, если считать корнями отрицательные и мнимые выражения (сам Жи­рар не считал их корнями уравнения). Смелее эту мысль выразил в середине XVII в. Р. Де­карт, со всей же определенностью — И. Ньютон в конце XVII в.

Л. Эйлер в 1742 г. заявил, что всякое алгеб­раическое выражение может быть разложено на множители с действительными коэффици­ентами первой или второй степени. Эта мысль в иных словах означает, что всякое алгебраи­ческое уравнение имеет корень, который может быть числом действительным или мнимым, од­ним словом — комплексным.

Так в разное время обоз­начали неизвестное в урав­нениях.

Строго это доказал двадцатидвухлетний К. Гаусс в 1799 г.

Для вычисления приближенных значений корней уравнений высших степеней существует много приемов, которые часто применяются на практике и к уравнениям третьей и четвер­той степеней, так как абсолютная точность кор­ня на практике не всегда нужна, а применение формул сложно. Самаркандский математик ал-Каши (XV в.) дал удобную приближенную формулу для нахождения корней уравнений третьей степени, а И. Ньютон и другие — для уравнений любой степени. Очень важный метод для этого дал Н. И. Лобачевский.

Сомножители» производящие кучу пулей

Попытайтесь получить тысячу миллионов (1 000 000 000), перемно­жая два целых числа, в каждом из которых не было бы ни одного нуля.

Это не головоломка, для реше­ния которой потребовалось бы выпол­нить много испытаний. Опираясь лишь на самые начальные сведения из алгебры, можно найти метод подбора требуемых сомножителей.

А если метод будет найден, то вы с удовольствием и без больших усилий убедитесь в том, что и квинтиллион (1 000 000 000 000 000 000) легко раз­лагается на два сомножителя, в каж­дом из которых нет ни одного нуля. Ответ на стр. 373.