ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Когда приходится иметь дело с большим числом (а тем более с бесконечным множест­вом) предметов, для различения их друг от дру­га удобно называть их не случайными именами (Ваня, Маша, Лондон, Амазонка...), а так, что­бы по каждому «имени» легко было отыскать соответствующий ему предмет и, наоборот, для каждого предмета легко узнать его имя в данной системе наименований. Адрес: «Такой-то переулок, дом 7, квартира 6» много удобнее, чем то, как писали еще в начале нашего века: «Дом Жукова, квартира Еремеева». На билете написано: «Ряд 5, место 4», или, короче, «5,4»; эта надпись заменяет «имя» театрального кресла (рис. 1), а сами числа 5, 4 называются его координатами (заметьте, что «4, 5» — это сов­сем другое кресло: важен порядок). Почти так же просто дать «имя» каждой точке, на­пример, того листа книги, который вы сейчас читаете: расстояние этой точки от левого края листа обозначим через х, расстояние от ниж­него края — через у, и будем считать пару чисел (х, у) названием этой точки. Измеряя расстояния сантиметрами, верхнему правому углу страницы дадим «имя» (20, 26), ниж­нему правому — (20, 0), центру листа — (10, 13). Все точки листа (а их бесконечно мно­го!) получат свои «имена». Подобным же обра­зом каждая точка вашей комнаты получит свое «имя» (х, у, z), здесь х — расстояние (в мет­рах) от северной стены, у — расстояние от за­падной стены, z — расстояние точки от пола; вы легко найдете, например, точку (3, 2, 1). Координата х для точки, находящейся за се­верной стеной, считается отрицательной, так же как у — для точки за западной стеной и z — для точки нижних этажей. Те плоскости, от которых отсчитываются расстояния х, y, z, называются координатными плоскостями (на каждой из них одна координата равна нулю), а линии их пересечения — осями координат; например, прямая, вдоль которой у и z равны нулю, называется осью х.

Читатель, вероятно, хорошо знает, что та­кое долгота и широта места на поверхности Земли. Это географические координаты. Так, долгота Москвы +37°,5 (значит, к востоку от гринвичского начального меридиана), а ши­рота +55°,8 (значит, к северу от экватора), поэтому координатное обозначение Москвы за­писывается так: 37°,5; 55°,8.

Координаты в геометрии. Чи­сла играют важную роль в геометрии. При их помощи мы оцениваем размеры предметов. Дли­ны, площади, объемы после выбора единицы измерения выражаются числами. Можно ли при помощи чисел описать форму предме­тов, форму самых причудливых фигур? Мы зна­ем, что углы треугольника определяют его фор­му («два треугольника с равными углами по­добны», т. е. имеют одинаковую форму), зна­чит, в некоторых случаях числа могут охарак­теризовать форму — в данном случае два числа — два угла. Но можно ли форму любой фигуры описать при помощи чисел? Положительный ответ дает координатный метод, введенный в математику в середине XVII в. французскими учеными П. Ферма и Р. Декартом1. Это способ изучения фигур аналитически, т. е. при помощи вычислений. Ветвь геометрии, изучающая фи­гуры этим способом, называется аналити­ческой геометрией.

Чтобы изучать фигуры, нужно прежде все­го уметь точно описывать их. Описание должно быть полным: прочтя такое описание, мы долж­ны суметь по нему восстановить фигуру, т. е. построить фигуру точно такую, как та, с кото­рой было составлено описание. Говорят, что таким описанием фигура задана (однозначно), а само описание называют заданием фигуры. Каждую геометрическую фигуру будем пред­ставлять себе состоящей из точек: фигура — это множество точек (конечное или бесконечное).

Если фигура Ф состоит из конечного числа то­чек (или конечным числом точек однозначно определяется: например, многоугольник — сво­ими вершинами), то для ее полного описания достаточно задать каждую из этих точек. В слу­чае бесконечного множества точек дело обстоит сложнее (см. стр. 331), но все же сперва нужно уметь задавать положение отдельных точек, Рассмотрим точки и фигуры на плоскости.

Пять зашифрованных действий

Расшифруйте эти пять равенств, заменяя звез­дочки цифрами так, чтобы в каждом равенстве поя­вились все 10 цифр от 0 до 9.

Числа, образующие первые четыре действия, не должны совпадать.