Экономика интересует?

Изготовление и печать наклеек любых форм в Москве. Срочно. С доставкой
invakor.ru
Изготовление и печать наклеек любых форм в Москве. Срочно. С доставкой
invakor.ru
ahmerov.com
загрузка...

Декартовы координаты точки

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Положение точки на плоскости можно за­дать при помощи двух чисел х и у, если предва­рительно: 1) выбрать на этой плоскости две какие-нибудь взаимно перпендикулярные пря­мые (обычно одну горизонтальную, другую вер­тикальную: например, на листе бумаги — ниж­ний и левый его края), 2) снабдить эти прямые направлениями (например, направо и вверх) и 3) условиться о единице для измерения длин (например, сантиметр). Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направ­ленные прямые — осями координат: первую из них — осью Ох или осью аб­сцисс, вторую — осью Оу или осью ор­динат. Теперь для задания положения точ­ки нужно лишь указать: 1) на каком расстоя­нии от оси Оу она находится: это расстояние, взятое со знаком «+» или «-», обозначается буквой х и называется абсциссой точ­ки; 2) на каком расстоянии она лежит от оси Ох; это расстояние, со знаком «+» или «-», обозначается у и называется ее ординатой. Если точка лежит по ту сторону от оси Оу, куда направлена ось Ох, то для абсциссы берут знак «+», в противном случае — знак «-». Подобным же образом выбирается знак «+» или «-» для ординаты. У точек самой оси Ох ординаты равны нулю (у=0), у точек оси Оу абсциссы равны нулю (x=0). Если у точки А абсцисса равна х, а ордината равна у, то пи­шут: А (х; у) (рис. 2). Числа х, у называют декартовыми координатами точки (х; у).

В обо­значении (х; у) на первом месте всегда стоит абсцисса, на втором — ордината. На рис. 3 указаны знаки координат для точек различных координатных углов (четвертей, или квадран­тов): на первом месте — знак абсциссы, на вто­ром — знак ординаты. Обе координаты начала О равны нулю, что записывают так: 0(0; 0).

Задача 1. Проверьте правильность обо­значения точек на рис. 4.

Нужно привыкнуть безошибочно решать при заданном расположении и направлении осей и заданной единице длины две перво­начальные задачи: 1) найти координаты каж­дой указанной на рисунке точки, 2) по за­данным координатам х, у построить точку

(х;у).

Вот пример более сложной задачи: Задача 2. Построить пятиугольник ABCDE, если А (-3; 1), В (2; -2), С (0; 31/2), D(-2;-2), E(3;1).

Задача 3. Какую фигуру образуют все точки, у которых: 1) абсцисса равна нулю (х=0); 2) ордината больше двух (y>2); 3) аб­сцисса равна ординате (х=у); 4) х=-у; 5) |х|=|y| (где |х| — обозначение для абсолют­ной величины числа х: если х отрицательно, то |х| =-х, в противном случае |х|=x); 6) x=0 и y>2.

Простейшие задачи

При решении геометрических задач коорди­натным методом постоянно приходится опирать­ся на несколько совсем простых стандартных задач: определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка и др. При этом нужно иметь в виду, что выражение «дана точ­ка» означает, что дано ее координатное обозна­чение (х; у), т. е. заданы два числа х, у. «Найти точку» — означает найти ее координатное обозна­чение (х; у).

1) Расстояние между двумя точками.

Задача. Даны две точки А1 (х1; y1) и А2(х2; у2). Найти расстояние между ними (рис. 5).

Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что искомое расстояние

d служит гипотенузой треугольника с катета­ми |х2-x1| и |y2-y1|, поэтому

d=+Ö((х2-x1)2+(у2-y1)2) (1)

(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что, конечно, не меняет результата).

Важно заметить, что формула (1) верна при любом расположении точек A1 и А2. Проверьте, что, например, для А1 (-1; -2), A2 (3; -5) ка­теты будут действительно равны |3-(-1)| и |(-5)-(-2)| и формула (1) дает:

d=+Ö(42+(-3)2)=5.

Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое значение. Бла­годаря этой общности при решении задач ана­литически не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек; можно ре­шать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается, то обычно лишь прибли­зительный, который служит только схемой, местом, куда записываются данные (коорди­натные обозначения точек и пр.), а затем зано­сятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные результаты.

2) Середина отрезка.

Задача. Даны концы отрезка А1 (х1;у1), А2 (x2; у2) Найти его середину М. Обозна­чим координаты искомой середины М через x, у: М (х; у). Теперь, из рис. 6, видно, что

ордината у служит средней линией трапеции, поэтому

y=(y1+y2)/2. . (2)

точно так же

x=(x1+x2)/2. (2)

Если знаки у1 и y2 противоположны, то это доказательство неубедительно, однако форму­лы (2) остаются справедливыми во всех слу­чаях. Проверьте это.

Задача 4, Дан треугольник АBС: 4(12; 6), В (-2; 4), С (6; -2). Найти длины его сторон и медиан.

Задача 5. На оси Ох найти точку М, которая находилась бы от точки А (3; -1) на расстоянии, равном 5.

Решение. Обозначим координаты иско­мой точки М через (х; у). Она лежит на оси х, следовательно, y=0. Остается определить х. Записав аналитически (см. формулу (1) условие задачи: АМ=5, получим уравнение для опре­деления х

Задача 6. Найти точку М (х; у), находя­щуюся на равных расстояниях от осей коорди­нат и удаленную на 5 единиц от точки А (-1; 6). Для определения х, у нужно лишь решить систему |x|=|y|, (x+l)2+(y-6)2 =52. Всего четыре ответа.

Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек

Для задания фигуры Ф в этом случае ста­раются подыскать такое условие, которому: 1) удовлетворяют координаты х, у всех точек из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка (т.е. не принадлежащая Ф). То, что здесь сказа­но, станет понятнее на следующих примерах:

1. Подыщем условие для фигуры, состоящей из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению y=0, и, конечно, ни одна чужая точка ему не удовлетворяет, так как она лежит либо выше оси Ох (тогда у >0), либо ниже (тогда y<0). Уравнение y=0 и слу­жит искомым условием.

2. Все точки биссектрисы координатного угла хОу удовлетворяют уравнению х=у, и ни одна чужая точка. (Биссектриса считается про­долженной бесконечно в обе стороны.)

3. Все точки внутренней части координат­ного угла хОу удовлетворяют системе нера­венств x>0, y>0. Эта система служит усло-

331

вием, задающим фигуру Ф — внутренность уг­ла хОу.

4. Все точки М (х; у) окружности радиуса 5 с центром в начале координат удовлетворяют уравнению x2 + y2=25, так как для любой ее точки расстояние от начала равно 5: ОМ = 5, или, на основании теоремы Пифагора, Ö(x2+y2) = 5, что равносильно написанному выше уравне­нию. Для всех лежащих внутри окружности точек OM<5, т. е. х2+y2<25; для всех лежа­щих вне окружности OM>5, или x2+y2>25. Итак, для всех точек нашей окружности, и только для них, справедливо уравнение

x2+y2-25=0.

Такое уравнение, которому удовлетворяют все точки некоторой линии и не удовлетворяет ни одна посторонняя точка, называется урав­нением этой линии; х, у в уравнении линии называют текущими координатами.

Отметьте на чертеже точки с целочисленны­ми координатами, для которых левая часть x2+y2-25>0, знаком «+»; те, для которых она отрицательна, — знаком «-»; точки, где она равна нулю, заключите в совсем маленький кружочек. Можно ограничиться, например, лишь теми целочисленными точками, для кото­рых |x|+|y|³8. Проделав это, вы отчетливо поймете, что на координатной плоскости соот­ветствует уравнению, что — неравенству (рис. 7).

5. Уравнение x+y=5 представляет собой уравнение прямой. Попробуйте доказать это сами! (Ниже будет показано, что всякое уравне­ние первой степени между х и у дает уравнение некоторой прямой.) Построить эту прямую (как и всякую) очень просто: достаточно подобрать две точки, удовлетворяющие этому уравнению,

например (0; 5) и (1; 4), и затем, построив их, соединить линейкой. Снова заметим: прямая делит плоскость на две части, для одной из них (верхней) x+y>5, для другой x+y<5.

6. Попробуйте выяснить геометрический смысл неравенства |x| + |y|<5. Для этого сна­чала следует построить линию |x|+|y|=5. (Мы говорим: «линия |x|+|y|=5»; это значит — ли­ния, определенная уравнением |x|+|y|=5.) Она состоит из четырех частей. Построение следует вести отдельно в каждой из коорди­натных четвертей: 1) при x³0, y³0, 2) при x<0, y³0, 3) при x<0, y<0 и 4) при x³0, y<0.

7. Уравнение х3+ху2-4x=0 определяет фигуру, составленную из окружности и вертикаль­ной прямой, проходящей через ее центр. Дей­ствительно, данное уравнение можно перепи­сать так: x(x2+y2-4)=0, но произведение мо­жет быть равно нулю тогда, и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю, т. е. х=0, или х2+у2-4=0; первое есть урав­нение оси Оу, второе — окружности (рис. 8).

8. у=х2 служит уравнением параболы. По­строим ее по уравнению. Для этого напишем сначала таблицу, помещая в первой ее графе произвольные значения х, например x=-3, -21/2 , -1, 0,1, 2, 3, 4, ..., а во второй — соответ­ствующие значения y=9, 61/4,1, 0, 1, 4, 9, 16,.... Если бы мы были в состоянии составить табли­цу для всего бесконечного множества действи­тельных чисел х и соответствующих y, а затем построили бы все такие точки (x; y), то эти точки сами заполнили бы собой всю искомую кривую (рис. 9). Фактически же мы вычислили координаты лишь точек: (-3; 9), (-21/2; 61/4), (-1; 1), (0; 0); (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16). Соединив их от руки плавной кривой (этим мы заполняем пробелы, соответствующие промежуточным значениям x, не включенным в таб­лицу), получим кусок параболы между точка­ми (-3; 9) и (4; 16). Конечно, это приблизи­тельное построение; оно будет тем точнее, чем больше построим промежуточных точек.

Заметим, что неравенство y>x2 определяет часть плоскости над параболой, а неравенство y<x2 — часть плоскости под ней.

9. Уравнение ху=12 (рис. 10) определяет на плоскости хорошо известную вам кривую — гиперболу (вспомните геометрическое изобра­жение закона Бойля—Мариотта). Для ее построе­ния решим уравнение относительно у:

у=12/x

и далее строим по точкам, как это делалось в предыдущей задаче.

Прямая

Прямая — это простейшая из линий; урав­нение первой степени — простейшее из уравне­ний. И вот оказывается, что: 1) всякая прямая задается некоторым уравнением первой сте­пени и 2) все точки, удовлетворяющие заданно­му уравнению первой степени относительно х и у, заполняют некоторую прямую, т. е. такое уравнение и служит уравнением прямой.

Докажем, что:

1. Уравнение всякой прямой есть уравне­ние первой степени.

Прежде всего это ясно для прямой, парал­лельной оси Оу (в частности, и для самой оси Оу), так как у всех точек такой прямой абсцисса одна и та же, т. е. равна некоторому постоянному а; x=а — это и есть уравнение рассматриваемой прямой, но оно первой степени.

Рассмотрим теперь любую прямую и, не­параллельную Оу. Она пересекает Оу в некото­рой точке В (0; b) (абсцисса точки В равна нулю, а ордината имеет некоторое значение b). Пере­двинем прямую n параллельно себе так, чтобы она прошла через начало О (0; 0). Составим прежде всего уравнение этой вспомогательной прямой. На ней найдется точка Е с абсциссой, равной 1 (это точка ее пересечения с прямой х=1); пусть ордината этой точки равна числу k: E (1; k). Тогда для любой точки нашей пря­мой y:x = k:1. Действительно, треугольники ОМ1М и ОЕ1Е подобны, поэтому их катеты |y|, |x|, |k|, 1 пропорциональны |y|:|х|= |k|:1 (рис. 11). Остается проверить лишь знаки: чертеж показывает, что если k положительно, то для любой точки прямой ОЕ непременно х и у будут или оба положительны, или оба от­рицательны. Значит, равны и знаки отноше­ний у.х, k:1. Если k отрицательно, то знаки х и у противоположны (рис. 12) и равенство y:x=k:1, или y=kx, остается в силе. При k=0 точка Е лежит на оси х, прямая ОЕ совпадает с осью Ох, а уравнение у=kx превращается в y=0. Итак, при любом k уравнением вспомога­тельной прямой ОЕ служит равенство y=kx. Вернемся теперь к первоначальной прямой и; ее можно получить из вспомогательной прямой ОЕ сдвигом в направлении оси у на отрезок b. Это значит, что каждая ее точка перемещается в направлении оси Оу на b (если b>0— вверх, если b<0 — вниз).

Ордината каждой точки при этом изменится на одно и то же число b, а абсцисса останется прежней; вместо урав­нения y=kx вспомогательной прямой мы те­перь получим:

у = kx+b.

Это и будет уравнением прямой п. (Напомним, что ни одна чужая точка этому уравнению не удов­летворяет: для точек, лежащих выше нашей прямой, y>kx+b, для точек, лежащих ниже, y<kx+b; k называется угловым коэффициентом прямой, b — начальной ординатой.) Из треугольника ОЕЕ1 легко выяснить геометриче­ский смысл углового коэффициента прямой: это тангенс угла, который наша прямая обра­зует с положительным направлением оси Ох. Если угол тупой, то k отрицательно. 2. Всякое уравнение первой степени

Ах + By + С = О (3)

есть уравнение некоторой прямой. Действи­тельно, А и В сразу оба не могут быть равны нулю (так как тогда наше уравнение не было бы первой степени). Пусть, например, B¹0, тогда уравнение можно разрешить относительно у; оно примет вид: у =-(A/B)x-C/B. Если теперь построить прямую с угловым коэффициентом k,  равным -A/B, и начальной ординатой b, равной  -C/B, то, как мы уже видели, ее уравнение будет: у=kx+b, или y=-(A/B)x+ (-C/B), т. е. равносильно заданному. (Случай В=0;A¹0 приведет к уравнению х =-C/A, т. е. х постоянно. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу; при C=0 — сама ось Оу.)

Основные задачи на прямую

Как мы видели, прямая однозначно опре­деляется ее уравнением. Поэтому уравнение прямой может служить как бы ее «именем»; постоянно говорят: «прямая Ах+Ву+С=0»; это значит, что прямая задана уравнением Ах+Ву+С=0.

1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, проводим через них прямую.

Пример. Построить прямую 2х-Зy+8=0. Этому уравнению удовлетворяют точки (-4; 0), (-1; 2), (5; 6),... . Строим какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через них прямой по линейке не будет достаточно точным), на­пример (-4; 0) и (5; 6), и соединяем линейкой.

2) Даны две различные точки A1 (х1; у1) и А2 (x2; y2). Найти прямую А1A2. (Это значит найти ее уравнение.)

роверим, что искомое уравнение можно за­писать так:

(х-х1)•(y2-у1)-(у- y1)•(x2-х1)=0. (4)

Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, — значит, оно есть уравнение прямой. Подставив вме­сто текущих координат x и y сначала x1 и y1, а затем x2 и y2, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, — значит, эта прямая проходит и через точку (x1;y1), и через точку (x2; y2).

Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:

(x- х1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). (4')

Однако последняя перестает служить, если х1=х2 или у1=у2.

3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=0 и А'х+B'y+C'=0. Найти точку их пересечения. Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).

4) Как следует из сказанного ранее, угло­вой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффи­циентов двух прямых означает их параллель­ность. Так как k=-A/B, то условие параллель­ности (k=k') прямых Ах+Ву+С=0 и A'x+B'y+C'=0 может быть записано и так:

А:В=А':В'. (5)

5) Условие перпендикулярности. Если пря­мые перпендикулярны, то углы a и a', образуе­мые ими с осью Ох, разнятся на 90°:a' =a+90°, поэтому их угловые коэффициенты k и k' удов­летворяют равенству kk' =-1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник ОЕЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекция­ми катетов на гипотенузу, поэтому их произве­дение равно квадрату высоты: k•(-k') =OE12 =1. Иначе условие перпендикулярности

пишут в виде: k' =-1/k или, в силу равенств

k=-A/B, k'А=-A/B,в виде:

АА'+ВВ'=0. (6)

Задача 7. Через точку (2;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4х-3y+2=0.

Решение. Для изменения направле­ния на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6) обменять местами коэффициенты А, В и у одного из них изменить знак: А =4, В= — 3; теперь возьмем A'=+3, B'=4. Урав­нение искомой прямой уже можно написать: Зх+4y+C'=0. Неизвестный пока член С' оп­ределится из требования, чтобы данная точка (2;-3) лежала на этой прямой: 3•2+4•(-3)+С'=0, или C'=6.

Ответ: 3x+4y+6=0.

6) Расстояние между точкой и прямой. Ре­шим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Aх+By+С=0. Решение удобно вести по та­кой схеме:

1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах+Ву+С=0 (см. задачу 7).

Ответ: Вх-Ау=0.

2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:

Ах+Ву+С=0 и Вх-Ау=0.

Ответ: x=-w/(A2+В2) y=-CB/(A2+B2)

3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О':

Общий случай: «найти расстояние d от точки Р0(х0; у0) до прямой Ах+Ву+С=0 — может быть решен тем же путем. В результате получим, что искомое расстояние т. е. расстояние от точки (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0, равно частному от деления аб­солютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки (х0;у0) на «нормирующий» корень Ö(A2+B2).

Окружность

Как известно, окружностью называется мно­жество точек плоскости, находящихся от за­данной точки Г (центра) на заданном расстоя­нии R (радиус). Запишем это определение ана­литически относительно декартовой системы координат. Пусть С (а; b). Тогда для любой точки Р (х; у) окружности PC=R, т. е.

Ö((x-а)2+(у-b)2)=R,

или

(х-а)2 +(у-b)2= R2 (8)

Это и есть (общее) уравнение окружности. Рас­крыв в нем скобки

x2+y2-2ах-2by+a2+b2-R2=0, убеждаемся, что это есть частный случай общего уравнения второй степени относитель­но х и у:

Ах2+Вху+Су2+Dx+Ey+F=0. (9) В нашем случае A=C=1, B=0. Оказывается, что всякое уравнение второй степени относи­тельно декартовых координат х, у, в котором коэффициенты при х2 и y2 равны (и по абсолют­ной величине и по знаку: А=С), а коэффициент при ху равен нулю (B=0), либо является уравне­нием некоторой окружности (быть может, нуле­вого радиуса), либо ни одна (действительная) точка плоскости ему не удовлетворяет.

Задача 8. Построить окружность 2х2 +2y2+Зy=0. Пишем уравнение так:

x2+y2+(3/2)y+9/16=9/16,

или x2+(y+3/4)2=(3/4)2. Сравнивая с общим

Координатная система в поэзии Н. А. Некрасова

... идите по лесу

Против столба тринадцатого

Прямехонько версту:

Придете на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны ... (Кому на Руси жить хорошо).

«Тринадцатого» и «версту» — координаты поляночки с двумя старыми соснами.

уравнением окружности, видим, что а=0, b=-3/4,

R=3/4. Теперь легко выполнить построение.

Если в общем уравнении второй степени А¹С или В¹0, то такое уравнение уже не будет задавать окружности. Оказывается, возможны здесь только такие линии: парабола, эллипс (см. пример 2 на стр. 336, 337), гипербола или (если левая часть уравнения разлагается на мно­жители первой степени) пара прямых. Все они называются линиями второго порядка. Впрочем, бывает и так, что ни одна точка плоскости урав­нению не удовлетворяет, например: 2x2+3y2+1=0 (мнимый эллипс).

Аналитическое решение геометрических задач

При решении геометрической задачи анали­тическим методом прежде всего выбирают си­стему координат (от удачного выбора ее зави­сит простота вычислений). Затем находят в этой системе координаты заданных точек и урав­нения заданных прямых, окружностей и т.д. Этим задача переводится на аналитический язык и превращается в задачу аналитической геометрии.

Пример 1. Доказать, что три высоты треугольника АBС всегда пересекаются в од­ной точке.

Примем одну из высот ОС за ось Оу, а соот­ветствующее основание А В — за ось Ох. Коор­динатное обозначение вершин: А (-р; 0), B(q; 0), С (0; h) (h — высота, р, q — проекции сторон СА и СВ на основание). По формуле (4) составляем уравнения боковых сторон:

hx-ру+ph=0 (СА), hx+qy+ph=0 (CB).

(Сделайте проверку: (-р; 0) лежит на СА, (0; h) — тоже.) Составляем уравнения боко­вых высот: px+hy=pq, qx-hy=-pq (см. задачу 7). Точка пересечения (0; pq/h), найденная совместным решением их уравнений, оче­видно, лежит на третьей высоте, так как ее абс­цисса равна нулю, и т. д.

Пример 2. Эллипс. Выяснить, ка­кую кривую опишет точка тонкой прямоли­нейной палочки, скользящей своими концами по неподвижным взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу.

Примем эти прямые за оси координат. Рас­стояния точки от концов палочки обозначим через а и b (постоянные числа, так как точка по палочке не двигается).

Обозначим через t (переменный) угол, обра­зованный палочкой с отрицательным направ­лением оси Ох. На рис. 14 видно, что

x=acost, y=bsint.

Эти два уравнения можно рассматривать как особый вид уравнений кривой. Здесь связь между х и у задана при помощи вспомогатель­ного переменного (параметра) t. Такие урав­нения кривой называются параметрическими.

По ним построение кривой делают так: дают произвольные значения параметру t, каждый раз вычисляя соответствующие значения x и y, что определяет точку кривой. Так, точка за точ­кой можно построить сколько угодно точек кривой. Если вы хотите получить обычное ее уравнение, следует исключить из параметри­ческих уравнений параметр t (не всегда это легко сделать!), т. е, составить их следствие, не содержащее t. В данном случае, деля эти уравнения: первое — на а, второе — на b, возводя в квадрат и складывая, получим:

(x/a)2+(y/b)2= sin2t+cos2t=1, или

x2/a2+y2/b2=1 (10)

Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс — кривая, получаемая из круга равномерным рас­тяжением или сжатием в одном направлении (см. статью «Геометрические преобразования»). Как известно, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (первый закон Кеплера), искус­ственные спутники вокруг Земли.

Эллипсограф. Из рассмотренной только что задачи вытекает конструкция при­бора для черчения эллипсов (эллиптический

циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно лишь к подвижной палочке прикрепить ка­рандаш, который можно было бы закреплять винтом в различных положениях на палочке. Этот карандаш при описанном выше движении палочки вычертит эллипс, полуоси которого а, b зависят от того, в какой точке палочки закреплен карандаш. Из уравнения (10) сле­дует, что середина палочки описывает окруж­ность, ведь для середины а=b! На рис. 15 показан эллипсограф несколько иной конструк­ции.