Декартовы координаты точки

Положение точки на плоскости можно за­дать при помощи двух чисел х и у, если предва­рительно: 1) выбрать на этой плоскости две какие-нибудь взаимно перпендикулярные пря­мые (обычно одну горизонтальную, другую вер­тикальную: например, на листе бумаги — ниж­ний и левый его края), 2) снабдить эти прямые направлениями (например, направо и вверх) и 3) условиться о единице для измерения длин (например, сантиметр). Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направ­ленные прямые — осями координат: первую из них — осью Ох или осью аб­сцисс, вторую — осью Оу или осью ор­динат. Теперь для задания положения точ­ки нужно лишь указать: 1) на каком расстоя­нии от оси Оу она находится: это расстояние, взятое со знаком «+» или «-», обозначается буквой х и называется абсциссой точ­ки; 2) на каком расстоянии она лежит от оси Ох; это расстояние, со знаком «+» или «-», обозначается у и называется ее ординатой. Если точка лежит по ту сторону от оси Оу, куда направлена ось Ох, то для абсциссы берут знак «+», в противном случае — знак «-». Подобным же образом выбирается знак «+» или «-» для ординаты. У точек самой оси Ох ординаты равны нулю (у=0), у точек оси Оу абсциссы равны нулю (x=0). Если у точки А абсцисса равна х, а ордината равна у, то пи­шут: А (х; у) (рис. 2). Числа х, у называют декартовыми координатами точки (х; у).

В обо­значении (х; у) на первом месте всегда стоит абсцисса, на втором — ордината. На рис. 3 указаны знаки координат для точек различных координатных углов (четвертей, или квадран­тов): на первом месте — знак абсциссы, на вто­ром — знак ординаты. Обе координаты начала О равны нулю, что записывают так: 0(0; 0).

Задача 1. Проверьте правильность обо­значения точек на рис. 4.

Нужно привыкнуть безошибочно решать при заданном расположении и направлении осей и заданной единице длины две перво­начальные задачи: 1) найти координаты каж­дой указанной на рисунке точки, 2) по за­данным координатам х, у построить точку

(х;у).

Вот пример более сложной задачи: Задача 2. Построить пятиугольник ABCDE, если А (-3; 1), В (2; -2), С (0; 31/2), D(-2;-2), E(3;1).

Задача 3. Какую фигуру образуют все точки, у которых: 1) абсцисса равна нулю (х=0); 2) ордината больше двух (y>2); 3) аб­сцисса равна ординате (х=у); 4) х=-у; 5) |х|=|y| (где |х| — обозначение для абсолют­ной величины числа х: если х отрицательно, то |х| =-х, в противном случае |х|=x); 6) x=0 и y>2.

Простейшие задачи

При решении геометрических задач коорди­натным методом постоянно приходится опирать­ся на несколько совсем простых стандартных задач: определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка и др. При этом нужно иметь в виду, что выражение «дана точ­ка» означает, что дано ее координатное обозна­чение (х; у), т. е. заданы два числа х, у. «Найти точку» — означает найти ее координатное обозна­чение (х; у).

1) Расстояние между двумя точками.

Задача. Даны две точки А1 (х1; y1) и А2(х2; у2). Найти расстояние между ними (рис. 5).

Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что искомое расстояние

d служит гипотенузой треугольника с катета­ми |х2-x1| и |y2-y1|, поэтому

d=+Ö((х2-x1)2+(у2-y1)2) (1)

(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что, конечно, не меняет результата).

Важно заметить, что формула (1) верна при любом расположении точек A1 и А2. Проверьте, что, например, для А1 (-1; -2), A2 (3; -5) ка­теты будут действительно равны |3-(-1)| и |(-5)-(-2)| и формула (1) дает:

d=+Ö(42+(-3)2)=5.

Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое значение. Бла­годаря этой общности при решении задач ана­литически не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек; можно ре­шать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается, то обычно лишь прибли­зительный, который служит только схемой, местом, куда записываются данные (коорди­натные обозначения точек и пр.), а затем зано­сятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные результаты.

2) Середина отрезка.

Задача. Даны концы отрезка А1 (х1;у1), А2 (x2; у2) Найти его середину М. Обозна­чим координаты искомой середины М через x, у: М (х; у). Теперь, из рис. 6, видно, что

ордината у служит средней линией трапеции, поэтому

y=(y1+y2)/2. . (2)

точно так же

x=(x1+x2)/2. (2)

Если знаки у1 и y2 противоположны, то это доказательство неубедительно, однако форму­лы (2) остаются справедливыми во всех слу­чаях. Проверьте это.

Задача 4, Дан треугольник АBС: 4(12; 6), В (-2; 4), С (6; -2). Найти длины его сторон и медиан.

Задача 5. На оси Ох найти точку М, которая находилась бы от точки А (3; -1) на расстоянии, равном 5.

Решение. Обозначим координаты иско­мой точки М через (х; у). Она лежит на оси х, следовательно, y=0. Остается определить х. Записав аналитически (см. формулу (1) условие задачи: АМ=5, получим уравнение для опре­деления х

Задача 6. Найти точку М (х; у), находя­щуюся на равных расстояниях от осей коорди­нат и удаленную на 5 единиц от точки А (-1; 6). Для определения х, у нужно лишь решить систему |x|=|y|, (x+l)2+(y-6)2 =52. Всего четыре ответа.

Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек

Для задания фигуры Ф в этом случае ста­раются подыскать такое условие, которому: 1) удовлетворяют координаты х, у всех точек из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка (т.е. не принадлежащая Ф). То, что здесь сказа­но, станет понятнее на следующих примерах:

1. Подыщем условие для фигуры, состоящей из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению y=0, и, конечно, ни одна чужая точка ему не удовлетворяет, так как она лежит либо выше оси Ох (тогда у >0), либо ниже (тогда y<0). Уравнение y=0 и слу­жит искомым условием.

2. Все точки биссектрисы координатного угла хОу удовлетворяют уравнению х=у, и ни одна чужая точка. (Биссектриса считается про­долженной бесконечно в обе стороны.)

3. Все точки внутренней части координат­ного угла хОу удовлетворяют системе нера­венств x>0, y>0. Эта система служит усло-

331

вием, задающим фигуру Ф — внутренность уг­ла хОу.

4. Все точки М (х; у) окружности радиуса 5 с центром в начале координат удовлетворяют уравнению x2 + y2=25, так как для любой ее точки расстояние от начала равно 5: ОМ = 5, или, на основании теоремы Пифагора, Ö(x2+y2) = 5, что равносильно написанному выше уравне­нию. Для всех лежащих внутри окружности точек OM<5, т. е. х2+y2<25; для всех лежа­щих вне окружности OM>5, или x2+y2>25. Итак, для всех точек нашей окружности, и только для них, справедливо уравнение

x2+y2-25=0.

Такое уравнение, которому удовлетворяют все точки некоторой линии и не удовлетворяет ни одна посторонняя точка, называется урав­нением этой линии; х, у в уравнении линии называют текущими координатами.

Отметьте на чертеже точки с целочисленны­ми координатами, для которых левая часть x2+y2-25>0, знаком «+»; те, для которых она отрицательна, — знаком «-»; точки, где она равна нулю, заключите в совсем маленький кружочек. Можно ограничиться, например, лишь теми целочисленными точками, для кото­рых |x|+|y|³8. Проделав это, вы отчетливо поймете, что на координатной плоскости соот­ветствует уравнению, что — неравенству (рис. 7).

5. Уравнение x+y=5 представляет собой уравнение прямой. Попробуйте доказать это сами! (Ниже будет показано, что всякое уравне­ние первой степени между х и у дает уравнение некоторой прямой.) Построить эту прямую (как и всякую) очень просто: достаточно подобрать две точки, удовлетворяющие этому уравнению,

например (0; 5) и (1; 4), и затем, построив их, соединить линейкой. Снова заметим: прямая делит плоскость на две части, для одной из них (верхней) x+y>5, для другой x+y<5.

6. Попробуйте выяснить геометрический смысл неравенства |x| + |y|<5. Для этого сна­чала следует построить линию |x|+|y|=5. (Мы говорим: «линия |x|+|y|=5»; это значит — ли­ния, определенная уравнением |x|+|y|=5.) Она состоит из четырех частей. Построение следует вести отдельно в каждой из коорди­натных четвертей: 1) при x³0, y³0, 2) при x<0, y³0, 3) при x<0, y<0 и 4) при x³0, y<0.

7. Уравнение х3+ху2-4x=0 определяет фигуру, составленную из окружности и вертикаль­ной прямой, проходящей через ее центр. Дей­ствительно, данное уравнение можно перепи­сать так: x(x2+y2-4)=0, но произведение мо­жет быть равно нулю тогда, и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю, т. е. х=0, или х2+у2-4=0; первое есть урав­нение оси Оу, второе — окружности (рис. 8).

8. у=х2 служит уравнением параболы. По­строим ее по уравнению. Для этого напишем сначала таблицу, помещая в первой ее графе произвольные значения х, например x=-3, -21/2 , -1, 0,1, 2, 3, 4, ..., а во второй — соответ­ствующие значения y=9, 61/4,1, 0, 1, 4, 9, 16,.... Если бы мы были в состоянии составить табли­цу для всего бесконечного множества действи­тельных чисел х и соответствующих y, а затем построили бы все такие точки (x; y), то эти точки сами заполнили бы собой всю искомую кривую (рис. 9). Фактически же мы вычислили координаты лишь точек: (-3; 9), (-21/2; 61/4), (-1; 1), (0; 0); (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16). Соединив их от руки плавной кривой (этим мы заполняем пробелы, соответствующие промежуточным значениям x, не включенным в таб­лицу), получим кусок параболы между точка­ми (-3; 9) и (4; 16). Конечно, это приблизи­тельное построение; оно будет тем точнее, чем больше построим промежуточных точек.

Заметим, что неравенство y>x2 определяет часть плоскости над параболой, а неравенство y<x2 — часть плоскости под ней.

9. Уравнение ху=12 (рис. 10) определяет на плоскости хорошо известную вам кривую — гиперболу (вспомните геометрическое изобра­жение закона Бойля—Мариотта). Для ее построе­ния решим уравнение относительно у:

у=12/x

и далее строим по точкам, как это делалось в предыдущей задаче.

Прямая

Прямая — это простейшая из линий; урав­нение первой степени — простейшее из уравне­ний. И вот оказывается, что: 1) всякая прямая задается некоторым уравнением первой сте­пени и 2) все точки, удовлетворяющие заданно­му уравнению первой степени относительно х и у, заполняют некоторую прямую, т. е. такое уравнение и служит уравнением прямой.

Докажем, что:

1. Уравнение всякой прямой есть уравне­ние первой степени.

Прежде всего это ясно для прямой, парал­лельной оси Оу (в частности, и для самой оси Оу), так как у всех точек такой прямой абсцисса одна и та же, т. е. равна некоторому постоянному а; x=а — это и есть уравнение рассматриваемой прямой, но оно первой степени.

Рассмотрим теперь любую прямую и, не­параллельную Оу. Она пересекает Оу в некото­рой точке В (0; b) (абсцисса точки В равна нулю, а ордината имеет некоторое значение b). Пере­двинем прямую n параллельно себе так, чтобы она прошла через начало О (0; 0). Составим прежде всего уравнение этой вспомогательной прямой. На ней найдется точка Е с абсциссой, равной 1 (это точка ее пересечения с прямой х=1); пусть ордината этой точки равна числу k: E (1; k). Тогда для любой точки нашей пря­мой y:x = k:1. Действительно, треугольники ОМ1М и ОЕ1Е подобны, поэтому их катеты |y|, |x|, |k|, 1 пропорциональны |y|:|х|= |k|:1 (рис. 11). Остается проверить лишь знаки: чертеж показывает, что если k положительно, то для любой точки прямой ОЕ непременно х и у будут или оба положительны, или оба от­рицательны. Значит, равны и знаки отноше­ний у.х, k:1. Если k отрицательно, то знаки х и у противоположны (рис. 12) и равенство y:x=k:1, или y=kx, остается в силе. При k=0 точка Е лежит на оси х, прямая ОЕ совпадает с осью Ох, а уравнение у=kx превращается в y=0. Итак, при любом k уравнением вспомога­тельной прямой ОЕ служит равенство y=kx. Вернемся теперь к первоначальной прямой и; ее можно получить из вспомогательной прямой ОЕ сдвигом в направлении оси у на отрезок b. Это значит, что каждая ее точка перемещается в направлении оси Оу на b (если b>0— вверх, если b<0 — вниз).

Ордината каждой точки при этом изменится на одно и то же число b, а абсцисса останется прежней; вместо урав­нения y=kx вспомогательной прямой мы те­перь получим:

у = kx+b.

Это и будет уравнением прямой п. (Напомним, что ни одна чужая точка этому уравнению не удов­летворяет: для точек, лежащих выше нашей прямой, y>kx+b, для точек, лежащих ниже, y<kx+b; k называется угловым коэффициентом прямой, b — начальной ординатой.) Из треугольника ОЕЕ1 легко выяснить геометриче­ский смысл углового коэффициента прямой: это тангенс угла, который наша прямая обра­зует с положительным направлением оси Ох. Если угол тупой, то k отрицательно. 2. Всякое уравнение первой степени

Ах + By + С = О (3)

есть уравнение некоторой прямой. Действи­тельно, А и В сразу оба не могут быть равны нулю (так как тогда наше уравнение не было бы первой степени). Пусть, например, B¹0, тогда уравнение можно разрешить относительно у; оно примет вид: у =-(A/B)x-C/B. Если теперь построить прямую с угловым коэффициентом k,  равным -A/B, и начальной ординатой b, равной  -C/B, то, как мы уже видели, ее уравнение будет: у=kx+b, или y=-(A/B)x+ (-C/B), т. е. равносильно заданному. (Случай В=0;A¹0 приведет к уравнению х =-C/A, т. е. х постоянно. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу; при C=0 — сама ось Оу.)

Основные задачи на прямую

Как мы видели, прямая однозначно опре­деляется ее уравнением. Поэтому уравнение прямой может служить как бы ее «именем»; постоянно говорят: «прямая Ах+Ву+С=0»; это значит, что прямая задана уравнением Ах+Ву+С=0.

1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, проводим через них прямую.

Пример. Построить прямую 2х-Зy+8=0. Этому уравнению удовлетворяют точки (-4; 0), (-1; 2), (5; 6),... . Строим какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через них прямой по линейке не будет достаточно точным), на­пример (-4; 0) и (5; 6), и соединяем линейкой.

2) Даны две различные точки A1 (х1; у1) и А2 (x2; y2). Найти прямую А1A2. (Это значит найти ее уравнение.)

роверим, что искомое уравнение можно за­писать так:

(х-х1)•(y2-у1)-(у- y1)•(x2-х1)=0. (4)

Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, — значит, оно есть уравнение прямой. Подставив вме­сто текущих координат x и y сначала x1 и y1, а затем x2 и y2, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, — значит, эта прямая проходит и через точку (x1;y1), и через точку (x2; y2).

Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:

(x- х1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). (4')

Однако последняя перестает служить, если х1=х2 или у1=у2.

3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=0 и А'х+B'y+C'=0. Найти точку их пересечения. Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).

4) Как следует из сказанного ранее, угло­вой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффи­циентов двух прямых означает их параллель­ность. Так как k=-A/B, то условие параллель­ности (k=k') прямых Ах+Ву+С=0 и A'x+B'y+C'=0 может быть записано и так:

А:В=А':В'. (5)

5) Условие перпендикулярности. Если пря­мые перпендикулярны, то углы a и a', образуе­мые ими с осью Ох, разнятся на 90°:a' =a+90°, поэтому их угловые коэффициенты k и k' удов­летворяют равенству kk' =-1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник ОЕЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекция­ми катетов на гипотенузу, поэтому их произве­дение равно квадрату высоты: k•(-k') =OE12 =1. Иначе условие перпендикулярности

пишут в виде: k' =-1/k или, в силу равенств

k=-A/B, k'А=-A/B,в виде:

АА'+ВВ'=0. (6)

Задача 7. Через точку (2;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4х-3y+2=0.

Решение. Для изменения направле­ния на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6) обменять местами коэффициенты А, В и у одного из них изменить знак: А =4, В= — 3; теперь возьмем A'=+3, B'=4. Урав­нение искомой прямой уже можно написать: Зх+4y+C'=0. Неизвестный пока член С' оп­ределится из требования, чтобы данная точка (2;-3) лежала на этой прямой: 3•2+4•(-3)+С'=0, или C'=6.

Ответ: 3x+4y+6=0.

6) Расстояние между точкой и прямой. Ре­шим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Aх+By+С=0. Решение удобно вести по та­кой схеме:

1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах+Ву+С=0 (см. задачу 7).

Ответ: Вх-Ау=0.

2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:

Ах+Ву+С=0 и Вх-Ау=0.

Ответ: x=-w/(A2+В2) y=-CB/(A2+B2)

3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О':

Общий случай: «найти расстояние d от точки Р0(х0; у0) до прямой Ах+Ву+С=0 — может быть решен тем же путем. В результате получим, что искомое расстояние т. е. расстояние от точки (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0, равно частному от деления аб­солютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки (х0;у0) на «нормирующий» корень Ö(A2+B2).

Окружность

Как известно, окружностью называется мно­жество точек плоскости, находящихся от за­данной точки Г (центра) на заданном расстоя­нии R (радиус). Запишем это определение ана­литически относительно декартовой системы координат. Пусть С (а; b). Тогда для любой точки Р (х; у) окружности PC=R, т. е.

Ö((x-а)2+(у-b)2)=R,

или

(х-а)2 +(у-b)2= R2 (8)

Это и есть (общее) уравнение окружности. Рас­крыв в нем скобки

x2+y2-2ах-2by+a2+b2-R2=0, убеждаемся, что это есть частный случай общего уравнения второй степени относитель­но х и у:

Ах2+Вху+Су2+Dx+Ey+F=0. (9) В нашем случае A=C=1, B=0. Оказывается, что всякое уравнение второй степени относи­тельно декартовых координат х, у, в котором коэффициенты при х2 и y2 равны (и по абсолют­ной величине и по знаку: А=С), а коэффициент при ху равен нулю (B=0), либо является уравне­нием некоторой окружности (быть может, нуле­вого радиуса), либо ни одна (действительная) точка плоскости ему не удовлетворяет.

Задача 8. Построить окружность 2х2 +2y2+Зy=0. Пишем уравнение так:

x2+y2+(3/2)y+9/16=9/16,

или x2+(y+3/4)2=(3/4)2. Сравнивая с общим

Координатная система в поэзии Н. А. Некрасова

... идите по лесу

Против столба тринадцатого

Прямехонько версту:

Придете на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны ... (Кому на Руси жить хорошо).

«Тринадцатого» и «версту» — координаты поляночки с двумя старыми соснами.

уравнением окружности, видим, что а=0, b=-3/4,

R=3/4. Теперь легко выполнить построение.

Если в общем уравнении второй степени А¹С или В¹0, то такое уравнение уже не будет задавать окружности. Оказывается, возможны здесь только такие линии: парабола, эллипс (см. пример 2 на стр. 336, 337), гипербола или (если левая часть уравнения разлагается на мно­жители первой степени) пара прямых. Все они называются линиями второго порядка. Впрочем, бывает и так, что ни одна точка плоскости урав­нению не удовлетворяет, например: 2x2+3y2+1=0 (мнимый эллипс).

Аналитическое решение геометрических задач

При решении геометрической задачи анали­тическим методом прежде всего выбирают си­стему координат (от удачного выбора ее зави­сит простота вычислений). Затем находят в этой системе координаты заданных точек и урав­нения заданных прямых, окружностей и т.д. Этим задача переводится на аналитический язык и превращается в задачу аналитической геометрии.

Пример 1. Доказать, что три высоты треугольника АBС всегда пересекаются в од­ной точке.

Примем одну из высот ОС за ось Оу, а соот­ветствующее основание А В — за ось Ох. Коор­динатное обозначение вершин: А (-р; 0), B(q; 0), С (0; h) (h — высота, р, q — проекции сторон СА и СВ на основание). По формуле (4) составляем уравнения боковых сторон:

hx-ру+ph=0 (СА), hx+qy+ph=0 (CB).

(Сделайте проверку: (-р; 0) лежит на СА, (0; h) — тоже.) Составляем уравнения боко­вых высот: px+hy=pq, qx-hy=-pq (см. задачу 7). Точка пересечения (0; pq/h), найденная совместным решением их уравнений, оче­видно, лежит на третьей высоте, так как ее абс­цисса равна нулю, и т. д.

Пример 2. Эллипс. Выяснить, ка­кую кривую опишет точка тонкой прямоли­нейной палочки, скользящей своими концами по неподвижным взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу.

Примем эти прямые за оси координат. Рас­стояния точки от концов палочки обозначим через а и b (постоянные числа, так как точка по палочке не двигается).

Обозначим через t (переменный) угол, обра­зованный палочкой с отрицательным направ­лением оси Ох. На рис. 14 видно, что

x=acost, y=bsint.

Эти два уравнения можно рассматривать как особый вид уравнений кривой. Здесь связь между х и у задана при помощи вспомогатель­ного переменного (параметра) t. Такие урав­нения кривой называются параметрическими.

По ним построение кривой делают так: дают произвольные значения параметру t, каждый раз вычисляя соответствующие значения x и y, что определяет точку кривой. Так, точка за точ­кой можно построить сколько угодно точек кривой. Если вы хотите получить обычное ее уравнение, следует исключить из параметри­ческих уравнений параметр t (не всегда это легко сделать!), т. е, составить их следствие, не содержащее t. В данном случае, деля эти уравнения: первое — на а, второе — на b, возводя в квадрат и складывая, получим:

(x/a)2+(y/b)2= sin2t+cos2t=1, или

x2/a2+y2/b2=1 (10)

Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс — кривая, получаемая из круга равномерным рас­тяжением или сжатием в одном направлении (см. статью «Геометрические преобразования»). Как известно, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (первый закон Кеплера), искус­ственные спутники вокруг Земли.

Эллипсограф. Из рассмотренной только что задачи вытекает конструкция при­бора для черчения эллипсов (эллиптический

циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно лишь к подвижной палочке прикрепить ка­рандаш, который можно было бы закреплять винтом в различных положениях на палочке. Этот карандаш при описанном выше движении палочки вычертит эллипс, полуоси которого а, b зависят от того, в какой точке палочки закреплен карандаш. Из уравнения (10) сле­дует, что середина палочки описывает окруж­ность, ведь для середины а=b! На рис. 15 показан эллипсограф несколько иной конструк­ции.