Декартовы координаты точки
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
Положение точки на плоскости можно задать при помощи двух чисел х и у, если предварительно: 1) выбрать на этой плоскости две какие-нибудь взаимно перпендикулярные прямые (обычно одну горизонтальную, другую вертикальную: например, на листе бумаги — нижний и левый его края), 2) снабдить эти прямые направлениями (например, направо и вверх) и 3) условиться о единице для измерения длин (например, сантиметр). Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые — осями координат: первую из них — осью Ох или осью абсцисс, вторую — осью Оу или осью ординат. Теперь для задания положения точки нужно лишь указать: 1) на каком расстоянии от оси Оу она находится: это расстояние, взятое со знаком «+» или «-», обозначается буквой х и называется абсциссой точки; 2) на каком расстоянии она лежит от оси Ох; это расстояние, со знаком «+» или «-», обозначается у и называется ее ординатой. Если точка лежит по ту сторону от оси Оу, куда направлена ось Ох, то для абсциссы берут знак «+», в противном случае — знак «-». Подобным же образом выбирается знак «+» или «-» для ординаты. У точек самой оси Ох ординаты равны нулю (у=0), у точек оси Оу абсциссы равны нулю (x=0). Если у точки А абсцисса равна х, а ордината равна у, то пишут: А (х; у) (рис. 2). Числа х, у называют декартовыми координатами точки (х; у).
В обозначении (х; у) на первом месте всегда стоит абсцисса, на втором — ордината. На рис. 3 указаны знаки координат для точек различных координатных углов (четвертей, или квадрантов): на первом месте — знак абсциссы, на втором — знак ординаты. Обе координаты начала О равны нулю, что записывают так: 0(0; 0).
Задача 1. Проверьте правильность обозначения точек на рис. 4.
Нужно привыкнуть безошибочно решать при заданном расположении и направлении осей и заданной единице длины две первоначальные задачи: 1) найти координаты каждой указанной на рисунке точки, 2) по заданным координатам х, у построить точку
(х;у).
Вот пример более сложной задачи: Задача 2. Построить пятиугольник ABCDE, если А (-3; 1), В (2; -2), С (0; 31/2), D(-2;-2), E(3;1).
Задача 3. Какую фигуру образуют все точки, у которых: 1) абсцисса равна нулю (х=0); 2) ордината больше двух (y>2); 3) абсцисса равна ординате (х=у); 4) х=-у; 5) |х|=|y| (где |х| — обозначение для абсолютной величины числа х: если х отрицательно, то |х| =-х, в противном случае |х|=x); 6) x=0 и y>2.
Простейшие задачи
При решении геометрических задач координатным методом постоянно приходится опираться на несколько совсем простых стандартных задач: определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка и др. При этом нужно иметь в виду, что выражение «дана точка» означает, что дано ее координатное обозначение (х; у), т. е. заданы два числа х, у. «Найти точку» — означает найти ее координатное обозначение (х; у).
1) Расстояние между двумя точками.
Задача. Даны две точки А1 (х1; y1) и А2(х2; у2). Найти расстояние между ними (рис. 5).
Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что искомое расстояние
d служит гипотенузой треугольника с катетами |х2-x1| и |y2-y1|, поэтому
d=+Ö((х2-x1)2+(у2-y1)2) (1)
(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что, конечно, не меняет результата).
Важно заметить, что формула (1) верна при любом расположении точек A1 и А2. Проверьте, что, например, для А1 (-1; -2), A2 (3; -5) катеты будут действительно равны |3-(-1)| и |(-5)-(-2)| и формула (1) дает:
d=+Ö(42+(-3)2)=5.
Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое значение. Благодаря этой общности при решении задач аналитически не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек; можно решать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается, то обычно лишь приблизительный, который служит только схемой, местом, куда записываются данные (координатные обозначения точек и пр.), а затем заносятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные результаты.
2) Середина отрезка.
Задача. Даны концы отрезка А1 (х1;у1), А2 (x2; у2) Найти его середину М. Обозначим координаты искомой середины М через x, у: М (х; у). Теперь, из рис. 6, видно, что
ордината у служит средней линией трапеции, поэтому
y=(y1+y2)/2. . (2)
точно так же
x=(x1+x2)/2. (2)
Если знаки у1 и y2 противоположны, то это доказательство неубедительно, однако формулы (2) остаются справедливыми во всех случаях. Проверьте это.
Задача 4, Дан треугольник АBС: 4(12; 6), В (-2; 4), С (6; -2). Найти длины его сторон и медиан.
Задача 5. На оси Ох найти точку М, которая находилась бы от точки А (3; -1) на расстоянии, равном 5.
Решение. Обозначим координаты искомой точки М через (х; у). Она лежит на оси х, следовательно, y=0. Остается определить х. Записав аналитически (см. формулу (1) условие задачи: АМ=5, получим уравнение для определения х
Задача 6. Найти точку М (х; у), находящуюся на равных расстояниях от осей координат и удаленную на 5 единиц от точки А (-1; 6). Для определения х, у нужно лишь решить систему |x|=|y|, (x+l)2+(y-6)2 =52. Всего четыре ответа.
Задание фигуры, состоящей из бесчисленного множества точек
Для задания фигуры Ф в этом случае стараются подыскать такое условие, которому: 1) удовлетворяют координаты х, у всех точек из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка (т.е. не принадлежащая Ф). То, что здесь сказано, станет понятнее на следующих примерах:
1. Подыщем условие для фигуры, состоящей из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению y=0, и, конечно, ни одна чужая точка ему не удовлетворяет, так как она лежит либо выше оси Ох (тогда у >0), либо ниже (тогда y<0). Уравнение y=0 и служит искомым условием.
2. Все точки биссектрисы координатного угла хОу удовлетворяют уравнению х=у, и ни одна чужая точка. (Биссектриса считается продолженной бесконечно в обе стороны.)
3. Все точки внутренней части координатного угла хОу удовлетворяют системе неравенств x>0, y>0. Эта система служит усло-
331
вием, задающим фигуру Ф — внутренность угла хОу.
4. Все точки М (х; у) окружности радиуса 5 с центром в начале координат удовлетворяют уравнению x2 + y2=25, так как для любой ее точки расстояние от начала равно 5: ОМ = 5, или, на основании теоремы Пифагора, Ö(x2+y2) = 5, что равносильно написанному выше уравнению. Для всех лежащих внутри окружности точек OM<5, т. е. х2+y2<25; для всех лежащих вне окружности OM>5, или x2+y2>25. Итак, для всех точек нашей окружности, и только для них, справедливо уравнение
x2+y2-25=0.
Такое уравнение, которому удовлетворяют все точки некоторой линии и не удовлетворяет ни одна посторонняя точка, называется уравнением этой линии; х, у в уравнении линии называют текущими координатами.
Отметьте на чертеже точки с целочисленными координатами, для которых левая часть x2+y2-25>0, знаком «+»; те, для которых она отрицательна, — знаком «-»; точки, где она равна нулю, заключите в совсем маленький кружочек. Можно ограничиться, например, лишь теми целочисленными точками, для которых |x|+|y|³8. Проделав это, вы отчетливо поймете, что на координатной плоскости соответствует уравнению, что — неравенству (рис. 7).
5. Уравнение x+y=5 представляет собой уравнение прямой. Попробуйте доказать это сами! (Ниже будет показано, что всякое уравнение первой степени между х и у дает уравнение некоторой прямой.) Построить эту прямую (как и всякую) очень просто: достаточно подобрать две точки, удовлетворяющие этому уравнению,
например (0; 5) и (1; 4), и затем, построив их, соединить линейкой. Снова заметим: прямая делит плоскость на две части, для одной из них (верхней) x+y>5, для другой x+y<5.
6. Попробуйте выяснить геометрический смысл неравенства |x| + |y|<5. Для этого сначала следует построить линию |x|+|y|=5. (Мы говорим: «линия |x|+|y|=5»; это значит — линия, определенная уравнением |x|+|y|=5.) Она состоит из четырех частей. Построение следует вести отдельно в каждой из координатных четвертей: 1) при x³0, y³0, 2) при x<0, y³0, 3) при x<0, y<0 и 4) при x³0, y<0.
7. Уравнение х3+ху2-4x=0 определяет фигуру, составленную из окружности и вертикальной прямой, проходящей через ее центр. Действительно, данное уравнение можно переписать так: x(x2+y2-4)=0, но произведение может быть равно нулю тогда, и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю, т. е. х=0, или х2+у2-4=0; первое есть уравнение оси Оу, второе — окружности (рис. 8).
8. у=х2 служит уравнением параболы. Построим ее по уравнению. Для этого напишем сначала таблицу, помещая в первой ее графе произвольные значения х, например x=-3, -21/2 , -1, 0,1, 2, 3, 4, ..., а во второй — соответствующие значения y=9, 61/4,1, 0, 1, 4, 9, 16,.... Если бы мы были в состоянии составить таблицу для всего бесконечного множества действительных чисел х и соответствующих y, а затем построили бы все такие точки (x; y), то эти точки сами заполнили бы собой всю искомую кривую (рис. 9). Фактически же мы вычислили координаты лишь точек: (-3; 9), (-21/2; 61/4), (-1; 1), (0; 0); (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16). Соединив их от руки плавной кривой (этим мы заполняем пробелы, соответствующие промежуточным значениям x, не включенным в таблицу), получим кусок параболы между точками (-3; 9) и (4; 16). Конечно, это приблизительное построение; оно будет тем точнее, чем больше построим промежуточных точек.
Заметим, что неравенство y>x2 определяет часть плоскости над параболой, а неравенство y<x2 — часть плоскости под ней.
9. Уравнение ху=12 (рис. 10) определяет на плоскости хорошо известную вам кривую — гиперболу (вспомните геометрическое изображение закона Бойля—Мариотта). Для ее построения решим уравнение относительно у:
у=12/x
и далее строим по точкам, как это делалось в предыдущей задаче.
Прямая
Прямая — это простейшая из линий; уравнение первой степени — простейшее из уравнений. И вот оказывается, что: 1) всякая прямая задается некоторым уравнением первой степени и 2) все точки, удовлетворяющие заданному уравнению первой степени относительно х и у, заполняют некоторую прямую, т. е. такое уравнение и служит уравнением прямой.
Докажем, что:
1. Уравнение всякой прямой есть уравнение первой степени.
Прежде всего это ясно для прямой, параллельной оси Оу (в частности, и для самой оси Оу), так как у всех точек такой прямой абсцисса одна и та же, т. е. равна некоторому постоянному а; x=а — это и есть уравнение рассматриваемой прямой, но оно первой степени.
Рассмотрим теперь любую прямую и, непараллельную Оу. Она пересекает Оу в некоторой точке В (0; b) (абсцисса точки В равна нулю, а ордината имеет некоторое значение b). Передвинем прямую n параллельно себе так, чтобы она прошла через начало О (0; 0). Составим прежде всего уравнение этой вспомогательной прямой. На ней найдется точка Е с абсциссой, равной 1 (это точка ее пересечения с прямой х=1); пусть ордината этой точки равна числу k: E (1; k). Тогда для любой точки нашей прямой y:x = k:1. Действительно, треугольники ОМ1М и ОЕ1Е подобны, поэтому их катеты |y|, |x|, |k|, 1 пропорциональны |y|:|х|= |k|:1 (рис. 11). Остается проверить лишь знаки: чертеж показывает, что если k положительно, то для любой точки прямой ОЕ непременно х и у будут или оба положительны, или оба отрицательны. Значит, равны и знаки отношений у.х, k:1. Если k отрицательно, то знаки х и у противоположны (рис. 12) и равенство y:x=k:1, или y=kx, остается в силе. При k=0 точка Е лежит на оси х, прямая ОЕ совпадает с осью Ох, а уравнение у=kx превращается в y=0. Итак, при любом k уравнением вспомогательной прямой ОЕ служит равенство y=kx. Вернемся теперь к первоначальной прямой и; ее можно получить из вспомогательной прямой ОЕ сдвигом в направлении оси у на отрезок b. Это значит, что каждая ее точка перемещается в направлении оси Оу на b (если b>0— вверх, если b<0 — вниз).
Ордината каждой точки при этом изменится на одно и то же число b, а абсцисса останется прежней; вместо уравнения y=kx вспомогательной прямой мы теперь получим:
у = kx+b.
Это и будет уравнением прямой п. (Напомним, что ни одна чужая точка этому уравнению не удовлетворяет: для точек, лежащих выше нашей прямой, y>kx+b, для точек, лежащих ниже, y<kx+b; k называется угловым коэффициентом прямой, b — начальной ординатой.) Из треугольника ОЕЕ1 легко выяснить геометрический смысл углового коэффициента прямой: это тангенс угла, который наша прямая образует с положительным направлением оси Ох. Если угол тупой, то k отрицательно. 2. Всякое уравнение первой степени
Ах + By + С = О (3)
есть уравнение некоторой прямой. Действительно, А и В сразу оба не могут быть равны нулю (так как тогда наше уравнение не было бы первой степени). Пусть, например, B¹0, тогда уравнение можно разрешить относительно у; оно примет вид: у =-(A/B)x-C/B. Если теперь построить прямую с угловым коэффициентом k, равным -A/B, и начальной ординатой b, равной -C/B, то, как мы уже видели, ее уравнение будет: у=kx+b, или y=-(A/B)x+ (-C/B), т. е. равносильно заданному. (Случай В=0;A¹0 приведет к уравнению х =-C/A, т. е. х постоянно. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу; при C=0 — сама ось Оу.)
Основные задачи на прямую
Как мы видели, прямая однозначно определяется ее уравнением. Поэтому уравнение прямой может служить как бы ее «именем»; постоянно говорят: «прямая Ах+Ву+С=0»; это значит, что прямая задана уравнением Ах+Ву+С=0.
1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, проводим через них прямую.
Пример. Построить прямую 2х-Зy+8=0. Этому уравнению удовлетворяют точки (-4; 0), (-1; 2), (5; 6),... . Строим какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через них прямой по линейке не будет достаточно точным), например (-4; 0) и (5; 6), и соединяем линейкой.
2) Даны две различные точки A1 (х1; у1) и А2 (x2; y2). Найти прямую А1A2. (Это значит найти ее уравнение.)
роверим, что искомое уравнение можно записать так:
(х-х1)•(y2-у1)-(у- y1)•(x2-х1)=0. (4)
Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, — значит, оно есть уравнение прямой. Подставив вместо текущих координат x и y сначала x1 и y1, а затем x2 и y2, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, — значит, эта прямая проходит и через точку (x1;y1), и через точку (x2; y2).
Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:
(x- х1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). (4')
Однако последняя перестает служить, если х1=х2 или у1=у2.
3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=0 и А'х+B'y+C'=0. Найти точку их пересечения. Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).
4) Как следует из сказанного ранее, угловой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффициентов двух прямых означает их параллельность. Так как k=-A/B, то условие параллельности (k=k') прямых Ах+Ву+С=0 и A'x+B'y+C'=0 может быть записано и так:
А:В=А':В'. (5)
5) Условие перпендикулярности. Если прямые перпендикулярны, то углы a и a', образуемые ими с осью Ох, разнятся на 90°:a' =a+90°, поэтому их угловые коэффициенты k и k' удовлетворяют равенству kk' =-1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник ОЕЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекциями катетов на гипотенузу, поэтому их произведение равно квадрату высоты: k•(-k') =OE12 =1. Иначе условие перпендикулярности
пишут в виде: k' =-1/k или, в силу равенств
k=-A/B, k'А=-A/B,в виде:
АА'+ВВ'=0. (6)
Задача 7. Через точку (2;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4х-3y+2=0.
Решение. Для изменения направления на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6) обменять местами коэффициенты А, В и у одного из них изменить знак: А =4, В= — 3; теперь возьмем A'=+3, B'=4. Уравнение искомой прямой уже можно написать: Зх+4y+C'=0. Неизвестный пока член С' определится из требования, чтобы данная точка (2;-3) лежала на этой прямой: 3•2+4•(-3)+С'=0, или C'=6.
Ответ: 3x+4y+6=0.
6) Расстояние между точкой и прямой. Решим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Aх+By+С=0. Решение удобно вести по такой схеме:
1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах+Ву+С=0 (см. задачу 7).
Ответ: Вх-Ау=0.
2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:
Ах+Ву+С=0 и Вх-Ау=0.
Ответ: x=-w/(A2+В2) y=-CB/(A2+B2)
3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О':
Общий случай: «найти расстояние d от точки Р0(х0; у0) до прямой Ах+Ву+С=0 — может быть решен тем же путем. В результате получим, что искомое расстояние т. е. расстояние от точки (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0, равно частному от деления абсолютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки (х0;у0) на «нормирующий» корень Ö(A2+B2).
Окружность
Как известно, окружностью называется множество точек плоскости, находящихся от заданной точки Г (центра) на заданном расстоянии R (радиус). Запишем это определение аналитически относительно декартовой системы координат. Пусть С (а; b). Тогда для любой точки Р (х; у) окружности PC=R, т. е.
Ö((x-а)2+(у-b)2)=R,
или
(х-а)2 +(у-b)2= R2 (8)
Это и есть (общее) уравнение окружности. Раскрыв в нем скобки
x2+y2-2ах-2by+a2+b2-R2=0, убеждаемся, что это есть частный случай общего уравнения второй степени относительно х и у:
Ах2+Вху+Су2+Dx+Ey+F=0. (9) В нашем случае A=C=1, B=0. Оказывается, что всякое уравнение второй степени относительно декартовых координат х, у, в котором коэффициенты при х2 и y2 равны (и по абсолютной величине и по знаку: А=С), а коэффициент при ху равен нулю (B=0), либо является уравнением некоторой окружности (быть может, нулевого радиуса), либо ни одна (действительная) точка плоскости ему не удовлетворяет.
Задача 8. Построить окружность 2х2 +2y2+Зy=0. Пишем уравнение так:
x2+y2+(3/2)y+9/16=9/16,
или x2+(y+3/4)2=(3/4)2. Сравнивая с общим
Координатная система в поэзии Н. А. Некрасова
... идите по лесу
Против столба тринадцатого
Прямехонько версту:
Придете на поляночку,
Стоят на той поляночке
Две старые сосны ... (Кому на Руси жить хорошо).
«Тринадцатого» и «версту» — координаты поляночки с двумя старыми соснами.
уравнением окружности, видим, что а=0, b=-3/4,
R=3/4. Теперь легко выполнить построение.
Если в общем уравнении второй степени А¹С или В¹0, то такое уравнение уже не будет задавать окружности. Оказывается, возможны здесь только такие линии: парабола, эллипс (см. пример 2 на стр. 336, 337), гипербола или (если левая часть уравнения разлагается на множители первой степени) пара прямых. Все они называются линиями второго порядка. Впрочем, бывает и так, что ни одна точка плоскости уравнению не удовлетворяет, например: 2x2+3y2+1=0 (мнимый эллипс).
Аналитическое решение геометрических задач
При решении геометрической задачи аналитическим методом прежде всего выбирают систему координат (от удачного выбора ее зависит простота вычислений). Затем находят в этой системе координаты заданных точек и уравнения заданных прямых, окружностей и т.д. Этим задача переводится на аналитический язык и превращается в задачу аналитической геометрии.
Пример 1. Доказать, что три высоты треугольника АBС всегда пересекаются в одной точке.
Примем одну из высот ОС за ось Оу, а соответствующее основание А В — за ось Ох. Координатное обозначение вершин: А (-р; 0), B(q; 0), С (0; h) (h — высота, р, q — проекции сторон СА и СВ на основание). По формуле (4) составляем уравнения боковых сторон:
hx-ру+ph=0 (СА), hx+qy+ph=0 (CB).
(Сделайте проверку: (-р; 0) лежит на СА, (0; h) — тоже.) Составляем уравнения боковых высот: px+hy=pq, qx-hy=-pq (см. задачу 7). Точка пересечения (0; pq/h), найденная совместным решением их уравнений, очевидно, лежит на третьей высоте, так как ее абсцисса равна нулю, и т. д.
Пример 2. Эллипс. Выяснить, какую кривую опишет точка тонкой прямолинейной палочки, скользящей своими концами по неподвижным взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу.
Примем эти прямые за оси координат. Расстояния точки от концов палочки обозначим через а и b (постоянные числа, так как точка по палочке не двигается).
Обозначим через t (переменный) угол, образованный палочкой с отрицательным направлением оси Ох. На рис. 14 видно, что
x=acost, y=bsint.
Эти два уравнения можно рассматривать как особый вид уравнений кривой. Здесь связь между х и у задана при помощи вспомогательного переменного (параметра) t. Такие уравнения кривой называются параметрическими.
По ним построение кривой делают так: дают произвольные значения параметру t, каждый раз вычисляя соответствующие значения x и y, что определяет точку кривой. Так, точка за точкой можно построить сколько угодно точек кривой. Если вы хотите получить обычное ее уравнение, следует исключить из параметрических уравнений параметр t (не всегда это легко сделать!), т. е, составить их следствие, не содержащее t. В данном случае, деля эти уравнения: первое — на а, второе — на b, возводя в квадрат и складывая, получим:
(x/a)2+(y/b)2= sin2t+cos2t=1, или
x2/a2+y2/b2=1 (10)
Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс — кривая, получаемая из круга равномерным растяжением или сжатием в одном направлении (см. статью «Геометрические преобразования»). Как известно, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (первый закон Кеплера), искусственные спутники вокруг Земли.
Эллипсограф. Из рассмотренной только что задачи вытекает конструкция прибора для черчения эллипсов (эллиптический
циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно лишь к подвижной палочке прикрепить карандаш, который можно было бы закреплять винтом в различных положениях на палочке. Этот карандаш при описанном выше движении палочки вычертит эллипс, полуоси которого а, b зависят от того, в какой точке палочки закреплен карандаш. Из уравнения (10) следует, что середина палочки описывает окружность, ведь для середины а=b! На рис. 15 показан эллипсограф несколько иной конструкции.