Неразрешимые задачи на построение

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Сталкиваясь впервые с задачами на построе­ние, которые не могут быть решены цирку­лем и линейкой, всякий испытывает сначала неудовлетворенность, — как это нельзя решить? Между тем в этом нет ничего странного, просто циркуль и линейка — недостаточно сильные (мо­жет быть, лучше сказать — недостаточно тонкие) инструменты для решения некоторых задач. Таковы, например, задачи о делении произ­вольного угла на три равные части (трисекция угла) и об удвоении куба («Построить ребро куба двойного объема по сравнению с данным кубом»). Некоторые из таких задач становятся разрешимыми, если к линейке и циркулю при­соединить, например, прибор, вычерчивающий параболу, или эллипсограф.

Чтобы разобраться, какие же задачи разрешимы с помощью циркуля и линейки,

будем рассуждать так. Линейка дает воз­можность строить прямую, проходящую через две уже построенные точки, находить точки пересечения прямых. Присоединяя к линейке циркуль, мы можем строить окружности любых данных радиусов с заданным центром, нахо­дить точки пересечения двух окружностей и окружности с прямой. Подойдем к вопросу аналитически. Прежде всего заметим, что одна линейка дает возможность решать лишь задачи первой степени: например, пересечение двух прямых соответствует в декартовых коор­динатах решению системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Присое­динив циркуль, мы, оказывается, можем уже решать все задачи второй степени, т. е. такие, которые аналитически сводятся к решению ряда квадратных уравнений с одним неизвест­ным. Ведь пересечение прямой с окружностью означает совместное решение уравнения окруж­ности и уравнения прямой; после исключения одной координаты получается квадратное урав­нение с одной неизвестной координатой. Пере­сечение двух окружностей можно заменить пересечением одной из них с хордой, проходя­щей через обе точки пересечения. Аналитически это вполне ясно. Напишем уравнения этих окружностей:

х2+у2+Dx+Еу+F=0, х2+у2+D'x+Е'у+F'=0.

Вычтя одно из другого, получим уравнение первой степени (это и есть уравнение упомяну­той хорды). Значит, опять получается пересе­чение прямой с одной из окружностей, что (как уже было сказано) сводится к квадратному уравнению с одним неизвестным. Таким обра­зом, циркуль и линейка способны решать лишь задачи, которые сводятся к последовательному решению ряда квадратных уравнений с одним неизвестным. Поэтому всякое уравнение, кото­рое нельзя свести к решению ряда квадратных уравнений (например, х3=2), не может быть решено графически циркулем и линейкой. Как раз задача об удвоении куба и есть задача о ре­шении уравнения x3=2: приняв за 1 ребро дан­ного куба, для ребра х искомого получаем имен­но это уравнение. Задача о трисекции угла (кроме некоторых частных случаев, например угол в 90°) тоже оказывается задачей третьей степени, отсюда — невозможность решения ее при помощи циркуля и линейки.

Если же воспользоваться прибором для чер­чения парабол, то, вычертив две параболы х2=у и 2х=у2, в пересечении получим точку, абсцисса которой как раз удовлетворяет урав­нению х3=2.

Полярные координаты

При решении многих задач удобнее пользо­ваться так называемыми полярными координа­тами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР

(полярная ось). Положение точки М в этом слу­чае определяется двумя числами: ее расстоя­нием r от полюса и углом j=ÐРОМ (рис. 16). Числа r (полярный радиус) и j (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое распо­ложение, когда полюсом служит начало декар­товой системы, а полярной осью — ось абсцисс;

Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные.

Пример. Выяснить форму кривой

(x2+y2)2=а2(х2-у2)

(она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к поляр­ным координатам. Заменив х и у по фор­мулам (11), получим: r4= a2r2(cos2j-sin2j).

тогда рисунок подсказывает связь между по­лярными и декартовыми координатами точки:

Или, сократив на r2 (при этом могла бы поте­ряться лишь одна точка кривой r=0), получим:

r2=a2cos2j, или r=+aÖ(cos2j) . По этому

простому уравнению легко построить нашу кри­вую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем j различные значения, например j=0,

±15°, ±30°, ±45°, ±135°.. Вычисляем соответствующие r=а, а 4Ö(3/4), аÖ(1/2), 0, 0.

338

При значениях j между 45 и 135°, а также меж­ду 225 и 315° косинус отрицателен и поэтому r мнимо: у кривой нет точек с такими значени­ями полярного угла.

Точки, у которых полярный радиус имеет постоянное значение r=С, образуют окруж­ность радиуса С, с центром в полюсе. При постоянном значении угла j, j=j0, получает­ся луч, выходящий из полюса и наклонен­ный под углом j0 к полярной оси. Полученные таким образом (т. е. при постоянном значении одной координаты) линии называются коорди­натными (рис. 18). В декартовой системе коор­динатные линии— прямые, параллельные осям.

Спираль Архимеда. Это кривая задается в полярных координатах уравнением r=Сj, где С — постоянная (рис. 19).

При помощи этой кривой лю­бой угол можно делить на произ­вольное число (например, на три — трисекция угла) равных час­тей. Вот как это делается (рис. 20). Пусть на листе бумаги начер­чена спираль Архимеда, выходя­щая из полюса О полярной сис­темы координат, полярная ось ОР служит для спирали касательной. Перенесем на этот чертеж задан­ный нам для разделения на n равных частей угол так, чтобы его вершина совпадала с полюсом, одна сторона — с полярной осью ОР, а другая его сторона легла в сторону возрастания поляр­ного угла j (против часовой стрелки). Обозначим первую (считая от О) точку пересечения этой дру­гой стороны с нашей спиралью буквой А; за­тем разделим отрезок ОА на n равных частей (что, как вы знаете, легко делается циркулем и линейкой) и проведем через точки А1, А2, ... деления отрезка ОА дуги окружно­стей с общим центром О до пересечения со спиралью; наконец, полученные точки B1, В2, ... пересечения соединим с полюсом — и данный угол POQ разделен на n равных ча­стей!

Координаты на сфере

Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них N назовем условно се­верным полюсом, другую S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридиа­ном; проходящую через центр О сферы и пер­пендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем против часовой стрелки, если смот­реть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,—угол j между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходя­щей через М и ось SN (угол должен отсчиты­ваться в направлении, соответствующем вы­бранному на экваторе). Широтой точки М бу­дем называть угол 6 между радиусом ОМ и плоскостью экватора (6 считается положитель­ным для точек северного полушария и отри­цательным для южного). Будем писать: М < j; q>, ставя на первое место долготу, на второе — широту.

Пример. Проверьте правильность коор­динатного обозначения точек на рис. 21.

Все точки с одинаковой долготой j0 запол­няют меридиан, уравнение которого поэтому j=j0. Все точки с одинаковой широтой q0 заполняют параллель q=q0. Уравнение, связывающее текущие координаты j и q, опреде­ляет, как и в плоской геометрии, кривую; не­равенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, не­равенство 6< 0 определяет южную полусферу, q>0—северную; q=0 есть уравнение экватора. Если сферу отнести к декартовым коорди­натам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось z, ось х направив через точку <0; 0>, ось у — через<90°; 0>, то декарто­вы координаты х, y, z любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М1 на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему коор­динат. Из рис. 21 видно, что для М1(х; у; 0) полярный радиус r=Rcosq, а полярный угол j совпадает с долготой точки М. Кроме того, z=Rsinq. Приняв во внимание формулы (11), получим:

По этим формулам вычисляют декартовы коор­динаты точки М (х; у; z), если известны ее координаты j и q на сфере.

На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать со и 6 пе­ременными, придавая им всевозможные значе­ния в естественных пределах 0£j<360°, -90°£q£+90°; тогда точка М<j; q> будет пе­ремещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы коор­динаты х, y, z выражены через один перемен­ный параметр t. Разница лишь в том, что те­перь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное обра­зование), а поверхность (образование дву­мерное). Подобные уравнения называют пара­метрическими уравнениями поверхности; пере­менные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и ж v. Итак, уравнения сферы запи­шем в виде:

Если из этих уравнений исключить параметры и, v (для этого проще всего возвести (13) в квадрат и сложить; к сожалению, исключе­ние переменных не всегда так просто), полу­чим обычное ее уравнение x2 + y2+z2=.R2.

Криволинейные координаты. Общая идея координат

На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю по­верхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за неболь­шим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Те­перь надо лишь снабдить линии каждого се­мейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по чис­ловой пометке находить нужную линию семей­ства (рис. 22).

Координатами точки М поверх­ности служат числа u, v, где u — числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v — пометка линий второго семейст­ва. По-прежнему будем писать: М (u; v), чи­сла и, v называются криволинейными коорди­натами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое се­мейство); каждому из них соответствует чис­ловая пометка, а именно значение долготы u (или j). Все параллели образуют второе се­мейство; каждой из них отвечает числовая по­метка — широта v (или 6). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.

В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого ци­линдра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За пер­вое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой об­разующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между началь­ной образующей и данной (дугу будем отсчиты­вать, например, против часовой стрелки). За

второе семейство примем систему горизонталь­ных сечений поверхности; числовой помет­кой v будем считать высоту, на которой прове­дено сечение над основанием. При надлежа­щем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей по­верхности:

х=acos(u/a), у=asin(u/a), z=v, (14) 0£u<2pa, 0£v£H.

(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения мож­но рассматривать как параметрические урав­нения поверхности цилиндра.

Задача 9. По какой кривой надо выре­зать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усе­ченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?

Решение. Воспользуемся параметри­ческими уравнениями поверхности цилиндра:

х=acos(u/a), у=asin(u/a) ,

z=v.

Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравне­ние v = a sin — линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки по­верхности на плоскость криволинейные коор­динаты и и v превратятся в декартовы коорди­наты.

Итак, кусок жести должен быть сверху

очерчен по синусоиде v=asin(u/a). Здесь

u и v уже декартовы координаты на плос­кости (рис. 24).

Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действи­тельно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у; z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записыва­ют так: ж=j (u; v), y=y(u; v), z=w (u; v), j, y, w— функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у, z, а значит, положение точ­ки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u0, получим выра­жение х, у, z через один параметр v, т. е. пара­метрическое уравнение кривой. Это — коор­динатная линия одного семейства, ее уравне­ние u=u0. Точно так же линия v=v0 — коор­динатная линия другого семейства.