Неразрешимые задачи на построение
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
Сталкиваясь впервые с задачами на построение, которые не могут быть решены циркулем и линейкой, всякий испытывает сначала неудовлетворенность, — как это нельзя решить? Между тем в этом нет ничего странного, просто циркуль и линейка — недостаточно сильные (может быть, лучше сказать — недостаточно тонкие) инструменты для решения некоторых задач. Таковы, например, задачи о делении произвольного угла на три равные части (трисекция угла) и об удвоении куба («Построить ребро куба двойного объема по сравнению с данным кубом»). Некоторые из таких задач становятся разрешимыми, если к линейке и циркулю присоединить, например, прибор, вычерчивающий параболу, или эллипсограф.
Чтобы разобраться, какие же задачи разрешимы с помощью циркуля и линейки,
будем рассуждать так. Линейка дает возможность строить прямую, проходящую через две уже построенные точки, находить точки пересечения прямых. Присоединяя к линейке циркуль, мы можем строить окружности любых данных радиусов с заданным центром, находить точки пересечения двух окружностей и окружности с прямой. Подойдем к вопросу аналитически. Прежде всего заметим, что одна линейка дает возможность решать лишь задачи первой степени: например, пересечение двух прямых соответствует в декартовых координатах решению системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Присоединив циркуль, мы, оказывается, можем уже решать все задачи второй степени, т. е. такие, которые аналитически сводятся к решению ряда квадратных уравнений с одним неизвестным. Ведь пересечение прямой с окружностью означает совместное решение уравнения окружности и уравнения прямой; после исключения одной координаты получается квадратное уравнение с одной неизвестной координатой. Пересечение двух окружностей можно заменить пересечением одной из них с хордой, проходящей через обе точки пересечения. Аналитически это вполне ясно. Напишем уравнения этих окружностей:
х2+у2+Dx+Еу+F=0, х2+у2+D'x+Е'у+F'=0.
Вычтя одно из другого, получим уравнение первой степени (это и есть уравнение упомянутой хорды). Значит, опять получается пересечение прямой с одной из окружностей, что (как уже было сказано) сводится к квадратному уравнению с одним неизвестным. Таким образом, циркуль и линейка способны решать лишь задачи, которые сводятся к последовательному решению ряда квадратных уравнений с одним неизвестным. Поэтому всякое уравнение, которое нельзя свести к решению ряда квадратных уравнений (например, х3=2), не может быть решено графически циркулем и линейкой. Как раз задача об удвоении куба и есть задача о решении уравнения x3=2: приняв за 1 ребро данного куба, для ребра х искомого получаем именно это уравнение. Задача о трисекции угла (кроме некоторых частных случаев, например угол в 90°) тоже оказывается задачей третьей степени, отсюда — невозможность решения ее при помощи циркуля и линейки.
Если же воспользоваться прибором для черчения парабол, то, вычертив две параболы х2=у и 2х=у2, в пересечении получим точку, абсцисса которой как раз удовлетворяет уравнению х3=2.
Полярные координаты
При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР
(полярная ось). Положение точки М в этом случае определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом j=ÐРОМ (рис. 16). Числа r (полярный радиус) и j (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой системы, а полярной осью — ось абсцисс;
Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные.
Пример. Выяснить форму кривой
(x2+y2)2=а2(х2-у2)
(она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к полярным координатам. Заменив х и у по формулам (11), получим: r4= a2r2(cos2j-sin2j).
тогда рисунок подсказывает связь между полярными и декартовыми координатами точки:
Или, сократив на r2 (при этом могла бы потеряться лишь одна точка кривой r=0), получим:
r2=a2cos2j, или r=+aÖ(cos2j) . По этому
простому уравнению легко построить нашу кривую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем j различные значения, например j=0,
±15°, ±30°, ±45°, ±135°.. Вычисляем соответствующие r=а, а 4Ö(3/4), аÖ(1/2), 0, 0.
338
При значениях j между 45 и 135°, а также между 225 и 315° косинус отрицателен и поэтому r мнимо: у кривой нет точек с такими значениями полярного угла.
Точки, у которых полярный радиус имеет постоянное значение r=С, образуют окружность радиуса С, с центром в полюсе. При постоянном значении угла j, j=j0, получается луч, выходящий из полюса и наклоненный под углом j0 к полярной оси. Полученные таким образом (т. е. при постоянном значении одной координаты) линии называются координатными (рис. 18). В декартовой системе координатные линии— прямые, параллельные осям.
Спираль Архимеда. Это кривая задается в полярных координатах уравнением r=Сj, где С — постоянная (рис. 19).
При помощи этой кривой любой угол можно делить на произвольное число (например, на три — трисекция угла) равных частей. Вот как это делается (рис. 20). Пусть на листе бумаги начерчена спираль Архимеда, выходящая из полюса О полярной системы координат, полярная ось ОР служит для спирали касательной. Перенесем на этот чертеж заданный нам для разделения на n равных частей угол так, чтобы его вершина совпадала с полюсом, одна сторона — с полярной осью ОР, а другая его сторона легла в сторону возрастания полярного угла j (против часовой стрелки). Обозначим первую (считая от О) точку пересечения этой другой стороны с нашей спиралью буквой А; затем разделим отрезок ОА на n равных частей (что, как вы знаете, легко делается циркулем и линейкой) и проведем через точки А1, А2, ... деления отрезка ОА дуги окружностей с общим центром О до пересечения со спиралью; наконец, полученные точки B1, В2, ... пересечения соединим с полюсом — и данный угол POQ разделен на n равных частей!
Координаты на сфере
Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них N назовем условно северным полюсом, другую S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридианом; проходящую через центр О сферы и перпендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем против часовой стрелки, если смотреть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,—угол j между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходящей через М и ось SN (угол должен отсчитываться в направлении, соответствующем выбранному на экваторе). Широтой точки М будем называть угол 6 между радиусом ОМ и плоскостью экватора (6 считается положительным для точек северного полушария и отрицательным для южного). Будем писать: М < j; q>, ставя на первое место долготу, на второе — широту.
Пример. Проверьте правильность координатного обозначения точек на рис. 21.
Все точки с одинаковой долготой j0 заполняют меридиан, уравнение которого поэтому j=j0. Все точки с одинаковой широтой q0 заполняют параллель q=q0. Уравнение, связывающее текущие координаты j и q, определяет, как и в плоской геометрии, кривую; неравенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, неравенство 6< 0 определяет южную полусферу, q>0—северную; q=0 есть уравнение экватора. Если сферу отнести к декартовым координатам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось z, ось х направив через точку <0; 0>, ось у — через<90°; 0>, то декартовы координаты х, y, z любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М1 на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему координат. Из рис. 21 видно, что для М1(х; у; 0) полярный радиус r=Rcosq, а полярный угол j совпадает с долготой точки М. Кроме того, z=Rsinq. Приняв во внимание формулы (11), получим:
По этим формулам вычисляют декартовы координаты точки М (х; у; z), если известны ее координаты j и q на сфере.
На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать со и 6 переменными, придавая им всевозможные значения в естественных пределах 0£j<360°, -90°£q£+90°; тогда точка М<j; q> будет перемещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы координаты х, y, z выражены через один переменный параметр t. Разница лишь в том, что теперь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное образование), а поверхность (образование двумерное). Подобные уравнения называют параметрическими уравнениями поверхности; переменные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и ж v. Итак, уравнения сферы запишем в виде:
Если из этих уравнений исключить параметры и, v (для этого проще всего возвести (13) в квадрат и сложить; к сожалению, исключение переменных не всегда так просто), получим обычное ее уравнение x2 + y2+z2=.R2.
Криволинейные координаты. Общая идея координат
На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю поверхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за небольшим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Теперь надо лишь снабдить линии каждого семейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по числовой пометке находить нужную линию семейства (рис. 22).
Координатами точки М поверхности служат числа u, v, где u — числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v — пометка линий второго семейства. По-прежнему будем писать: М (u; v), числа и, v называются криволинейными координатами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое семейство); каждому из них соответствует числовая пометка, а именно значение долготы u (или j). Все параллели образуют второе семейство; каждой из них отвечает числовая пометка — широта v (или 6). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.
В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого цилиндра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За первое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой образующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между начальной образующей и данной (дугу будем отсчитывать, например, против часовой стрелки). За
второе семейство примем систему горизонтальных сечений поверхности; числовой пометкой v будем считать высоту, на которой проведено сечение над основанием. При надлежащем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей поверхности:
х=acos(u/a), у=asin(u/a), z=v, (14) 0£u<2pa, 0£v£H.
(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения поверхности цилиндра.
Задача 9. По какой кривой надо вырезать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усеченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?
Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями поверхности цилиндра:
х=acos(u/a), у=asin(u/a) ,
z=v.
Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравнение v = a sin — линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки поверхности на плоскость криволинейные координаты и и v превратятся в декартовы координаты.
Итак, кусок жести должен быть сверху
очерчен по синусоиде v=asin(u/a). Здесь
u и v уже декартовы координаты на плоскости (рис. 24).
Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действительно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у; z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записывают так: ж=j (u; v), y=y(u; v), z=w (u; v), j, y, w— функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у, z, а значит, положение точки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u0, получим выражение х, у, z через один параметр v, т. е. параметрическое уравнение кривой. Это — координатная линия одного семейства, ее уравнение u=u0. Точно так же линия v=v0 — координатная линия другого семейства.