Неразрешимые задачи на построение

Сталкиваясь впервые с задачами на построе­ние, которые не могут быть решены цирку­лем и линейкой, всякий испытывает сначала неудовлетворенность, — как это нельзя решить? Между тем в этом нет ничего странного, просто циркуль и линейка — недостаточно сильные (мо­жет быть, лучше сказать — недостаточно тонкие) инструменты для решения некоторых задач. Таковы, например, задачи о делении произ­вольного угла на три равные части (трисекция угла) и об удвоении куба («Построить ребро куба двойного объема по сравнению с данным кубом»). Некоторые из таких задач становятся разрешимыми, если к линейке и циркулю при­соединить, например, прибор, вычерчивающий параболу, или эллипсограф.

Чтобы разобраться, какие же задачи разрешимы с помощью циркуля и линейки,

будем рассуждать так. Линейка дает воз­можность строить прямую, проходящую через две уже построенные точки, находить точки пересечения прямых. Присоединяя к линейке циркуль, мы можем строить окружности любых данных радиусов с заданным центром, нахо­дить точки пересечения двух окружностей и окружности с прямой. Подойдем к вопросу аналитически. Прежде всего заметим, что одна линейка дает возможность решать лишь задачи первой степени: например, пересечение двух прямых соответствует в декартовых коор­динатах решению системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Присое­динив циркуль, мы, оказывается, можем уже решать все задачи второй степени, т. е. такие, которые аналитически сводятся к решению ряда квадратных уравнений с одним неизвест­ным. Ведь пересечение прямой с окружностью означает совместное решение уравнения окруж­ности и уравнения прямой; после исключения одной координаты получается квадратное урав­нение с одной неизвестной координатой. Пере­сечение двух окружностей можно заменить пересечением одной из них с хордой, проходя­щей через обе точки пересечения. Аналитически это вполне ясно. Напишем уравнения этих окружностей:

х2+у2+Dx+Еу+F=0, х2+у2+D'x+Е'у+F'=0.

Вычтя одно из другого, получим уравнение первой степени (это и есть уравнение упомяну­той хорды). Значит, опять получается пересе­чение прямой с одной из окружностей, что (как уже было сказано) сводится к квадратному уравнению с одним неизвестным. Таким обра­зом, циркуль и линейка способны решать лишь задачи, которые сводятся к последовательному решению ряда квадратных уравнений с одним неизвестным. Поэтому всякое уравнение, кото­рое нельзя свести к решению ряда квадратных уравнений (например, х3=2), не может быть решено графически циркулем и линейкой. Как раз задача об удвоении куба и есть задача о ре­шении уравнения x3=2: приняв за 1 ребро дан­ного куба, для ребра х искомого получаем имен­но это уравнение. Задача о трисекции угла (кроме некоторых частных случаев, например угол в 90°) тоже оказывается задачей третьей степени, отсюда — невозможность решения ее при помощи циркуля и линейки.

Если же воспользоваться прибором для чер­чения парабол, то, вычертив две параболы х2=у и 2х=у2, в пересечении получим точку, абсцисса которой как раз удовлетворяет урав­нению х3=2.

Полярные координаты

При решении многих задач удобнее пользо­ваться так называемыми полярными координа­тами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР

(полярная ось). Положение точки М в этом слу­чае определяется двумя числами: ее расстоя­нием r от полюса и углом j=ÐРОМ (рис. 16). Числа r (полярный радиус) и j (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое распо­ложение, когда полюсом служит начало декар­товой системы, а полярной осью — ось абсцисс;

Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные.

Пример. Выяснить форму кривой

(x2+y2)2=а2(х2-у2)

(она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к поляр­ным координатам. Заменив х и у по фор­мулам (11), получим: r4= a2r2(cos2j-sin2j).

тогда рисунок подсказывает связь между по­лярными и декартовыми координатами точки:

Или, сократив на r2 (при этом могла бы поте­ряться лишь одна точка кривой r=0), получим:

r2=a2cos2j, или r=+aÖ(cos2j) . По этому

простому уравнению легко построить нашу кри­вую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем j различные значения, например j=0,

±15°, ±30°, ±45°, ±135°.. Вычисляем соответствующие r=а, а 4Ö(3/4), аÖ(1/2), 0, 0.

338

При значениях j между 45 и 135°, а также меж­ду 225 и 315° косинус отрицателен и поэтому r мнимо: у кривой нет точек с такими значени­ями полярного угла.

Точки, у которых полярный радиус имеет постоянное значение r=С, образуют окруж­ность радиуса С, с центром в полюсе. При постоянном значении угла j, j=j0, получает­ся луч, выходящий из полюса и наклонен­ный под углом j0 к полярной оси. Полученные таким образом (т. е. при постоянном значении одной координаты) линии называются коорди­натными (рис. 18). В декартовой системе коор­динатные линии— прямые, параллельные осям.

Спираль Архимеда. Это кривая задается в полярных координатах уравнением r=Сj, где С — постоянная (рис. 19).

При помощи этой кривой лю­бой угол можно делить на произ­вольное число (например, на три — трисекция угла) равных час­тей. Вот как это делается (рис. 20). Пусть на листе бумаги начер­чена спираль Архимеда, выходя­щая из полюса О полярной сис­темы координат, полярная ось ОР служит для спирали касательной. Перенесем на этот чертеж задан­ный нам для разделения на n равных частей угол так, чтобы его вершина совпадала с полюсом, одна сторона — с полярной осью ОР, а другая его сторона легла в сторону возрастания поляр­ного угла j (против часовой стрелки). Обозначим первую (считая от О) точку пересечения этой дру­гой стороны с нашей спиралью буквой А; за­тем разделим отрезок ОА на n равных частей (что, как вы знаете, легко делается циркулем и линейкой) и проведем через точки А1, А2, ... деления отрезка ОА дуги окружно­стей с общим центром О до пересечения со спиралью; наконец, полученные точки B1, В2, ... пересечения соединим с полюсом — и данный угол POQ разделен на n равных ча­стей!

Координаты на сфере

Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них N назовем условно се­верным полюсом, другую S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридиа­ном; проходящую через центр О сферы и пер­пендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем против часовой стрелки, если смот­реть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,—угол j между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходя­щей через М и ось SN (угол должен отсчиты­ваться в направлении, соответствующем вы­бранному на экваторе). Широтой точки М бу­дем называть угол 6 между радиусом ОМ и плоскостью экватора (6 считается положитель­ным для точек северного полушария и отри­цательным для южного). Будем писать: М < j; q>, ставя на первое место долготу, на второе — широту.

Пример. Проверьте правильность коор­динатного обозначения точек на рис. 21.

Все точки с одинаковой долготой j0 запол­няют меридиан, уравнение которого поэтому j=j0. Все точки с одинаковой широтой q0 заполняют параллель q=q0. Уравнение, связывающее текущие координаты j и q, опреде­ляет, как и в плоской геометрии, кривую; не­равенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, не­равенство 6< 0 определяет южную полусферу, q>0—северную; q=0 есть уравнение экватора. Если сферу отнести к декартовым коорди­натам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось z, ось х направив через точку <0; 0>, ось у — через<90°; 0>, то декарто­вы координаты х, y, z любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М1 на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему коор­динат. Из рис. 21 видно, что для М1(х; у; 0) полярный радиус r=Rcosq, а полярный угол j совпадает с долготой точки М. Кроме того, z=Rsinq. Приняв во внимание формулы (11), получим:

По этим формулам вычисляют декартовы коор­динаты точки М (х; у; z), если известны ее координаты j и q на сфере.

На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать со и 6 пе­ременными, придавая им всевозможные значе­ния в естественных пределах 0£j<360°, -90°£q£+90°; тогда точка М<j; q> будет пе­ремещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы коор­динаты х, y, z выражены через один перемен­ный параметр t. Разница лишь в том, что те­перь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное обра­зование), а поверхность (образование дву­мерное). Подобные уравнения называют пара­метрическими уравнениями поверхности; пере­менные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и ж v. Итак, уравнения сферы запи­шем в виде:

Если из этих уравнений исключить параметры и, v (для этого проще всего возвести (13) в квадрат и сложить; к сожалению, исключе­ние переменных не всегда так просто), полу­чим обычное ее уравнение x2 + y2+z2=.R2.

Криволинейные координаты. Общая идея координат

На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю по­верхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за неболь­шим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Те­перь надо лишь снабдить линии каждого се­мейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по чис­ловой пометке находить нужную линию семей­ства (рис. 22).

Координатами точки М поверх­ности служат числа u, v, где u — числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v — пометка линий второго семейст­ва. По-прежнему будем писать: М (u; v), чи­сла и, v называются криволинейными коорди­натами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое се­мейство); каждому из них соответствует чис­ловая пометка, а именно значение долготы u (или j). Все параллели образуют второе се­мейство; каждой из них отвечает числовая по­метка — широта v (или 6). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.

В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого ци­линдра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За пер­вое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой об­разующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между началь­ной образующей и данной (дугу будем отсчиты­вать, например, против часовой стрелки). За

второе семейство примем систему горизонталь­ных сечений поверхности; числовой помет­кой v будем считать высоту, на которой прове­дено сечение над основанием. При надлежа­щем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей по­верхности:

х=acos(u/a), у=asin(u/a), z=v, (14) 0£u<2pa, 0£v£H.

(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения мож­но рассматривать как параметрические урав­нения поверхности цилиндра.

Задача 9. По какой кривой надо выре­зать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усе­ченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?

Решение. Воспользуемся параметри­ческими уравнениями поверхности цилиндра:

х=acos(u/a), у=asin(u/a) ,

z=v.

Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравне­ние v = a sin — линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки по­верхности на плоскость криволинейные коор­динаты и и v превратятся в декартовы коорди­наты.

Итак, кусок жести должен быть сверху

очерчен по синусоиде v=asin(u/a). Здесь

u и v уже декартовы координаты на плос­кости (рис. 24).

Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действи­тельно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у; z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записыва­ют так: ж=j (u; v), y=y(u; v), z=w (u; v), j, y, w— функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у, z, а значит, положение точ­ки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u=u0, получим выра­жение х, у, z через один параметр v, т. е. пара­метрическое уравнение кривой. Это — коор­динатная линия одного семейства, ее уравне­ние u=u0. Точно так же линия v=v0 — коор­динатная линия другого семейства.