ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Одним из самых важных понятий в мате­матике и ее приложениях является понятие функции. Всюду, где есть величины, связан­ные так, что с изменением одних (аргументов) меняются другие (функции), мы имеем дело с функциональной зависимостью. Эта зависимость может задаваться по-разному — форму­лами, графиками, таблицами. Бывают случаи, когда зависимость нельзя выразить формулой. Например, температура воздуха меняется с те­чением времени, однако формулы, выражающей температуру воздуха в данный момент вре­мени, нет (как легко жилось бы метеорологам, если бы такая формула была!). В некоторых случаях приходится довольствоваться графи­ком функции (например, самопишущий прибор термограф дает график температуры воздуха как функции времени) или только таблицей значений функции для некоторых значений аргумента.

Чаще всего, однако, для описания функций пользуются формулами. В школе изучают слу­чаи, когда эти формулы сравнительно просты. Например, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой S=pr2, тока от

сопротивления — формулой I= V0/R и т. д. Возни­кает вопрос: встречаются ли на практике зави­симости, выражаемые с помощью более слож­ных функций, например многочленов высо­ких степеней, показательной, логарифми­ческой и тригонометрических функций? Мы расскажем здесь о некоторых случаях, когда такие функции встречаются в задачах физики и техники.

Жесткость балки

Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий. Балки должны выдержи­вать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, пере­крытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки на­грузку. Этими расчетами занимается специаль­ная наука — сопротивление материалов.

Прогиб балки зависит от очень многих при­чин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длин­ная — сильнее, чем короткая, тонкая — силь­нее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной Е, называемой модулем Юнга.

Модуль Юнга измеряется в кГ/см2. Если из вещества с модулем Юнга Е кГ/см2 сделать стержень длиной 1 м и сечением 1 см2 и подвесить к этому стержню гирю в 1 кГ, то он вытянется на 1/E м. Для стали модуль Юнга равен

2 150 000 кГ/см2 а для дуба — 105 000 кГ/см2, т. е. в 20 раз меньше.

Чем больше модуль Юнга, тем меньше про­гиб балки. Поэтому стальные балки прогиба­ются меньше, чем деревянные.

Исследование зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана, — это скорее дело физики, чем математики. Матема­тиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сече­ния. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную школьную линейку легко согнуть, если поло­жить ее плашмя, и трудно, если поставить на

Рис. 1. Линейку легко согнуть, если положить ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро.

ребро (рис. 1). Этот опыт показывает еще, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказы­вается, дело не в площади сечения, а в его мо­менте инерции. Момент инерции / подсчи­тывают так. Сечение балки мысленно разре­зают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сече­ния балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен pR4/4, а для квадратного сечения со стороной а равен a4/12.

Произведение EI модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на

большом расстоянии от среднего слоя, напри­мер придать сечению форму, изображенную на рис. 2, слева (двутавровые балки), или заменить сплошную балку трубой (рис. 2, спра­ва). Поэтому, например, в велосипедах делают корпус не из сплошных стержней, а из труб.

Прогиб балки

Прогиб балки зависит не только от ее жест­кости, но и от длины балки, распределения на­грузки, от того, заделаны ли в стену оба конца балки или только один, и т. д. Чтобы найти наибольший прогиб балки, надо знать форму, которую она принимает после изгиба.

Возьмем балку длины l, заделаем оба ее конца в стены и положим на нее равномерно распределенную нагрузку Q. Тогда прогиб у в точке, находящейся на расстоянии х от ле­вого конца балки, выражается формулой:

y=(Q/24EIl)(x4-2lx3 +l2x2),

т. е. многочленом четвертой степени. График этого многочлена изображен на рис. За. Ясно,

что самый большой прогиб балки будет в сере­дине, т. е. при х=l/2. Он равен ymax= Ql3/384EI.

Балки, на которые опираются балконы, за­делываются в стену лишь одним концом, вто­рой же конец оставляют свободным. Такие балки называются консольными. Фор­ма равномерно нагруженной консольной балки выражается уравнением:

y=(Q/24EIl)(x4-4lx3+6l2x2)

343

(рис. 3 б). Здесь уже наибольший прогиб будет на свободном конце балки, при х=l. Он равен

ymax=Ql3/8EI,

т. е. в 48 раз больше, чем для такой же балки, оба конца которой заделаны,

Сосредоточенная нагрузка

Прогиб балки зависит и от того, как распре­делена нагрузка. Возьмем балку, оба конца которой свободно лежат на опорах, а нагрузку Q соберем в одну точку — середину балки (рис. 4). Тогда форма изогнутой балки будет

задаваться не одним, а двумя уравнениями. Для левой половины балки прогиб равен;

yлев. =(Q/ 48EI)[3l2x-4x3],

а для правой:

yправ.=(Q/48EI)[3l2(l-x)-4(l-x)3].

Наибольший прогиб равен: ymax= Ql3/48EI.

Замечательно, что в этом случае одна и та же функция — прогиб балки в точке, находящейся

на расстоянии х =l/2 от левого конца, — выражается не одной, а двумя различными фор­мулами.

Число е. Натуральные логарифмы

Перейдем теперь к случаям, когда зависи­мость выражается показательной функцией. При записи законов физики, связанных с пока­зательной функцией, удобно пользоваться осо­бым числом, которое называется числом е. Это число можно определить следующим обра­зом. Начертим графики функций y=ax при раз­ных значениях основания а. Чем больше это основание, тем круче поднимаются вверх гра­фики (рис. 5). Эти графики в точке А (0; 1)

под разными углами пересекают ось Оу. Напри­мер, угол между осью Оу и кривой y=2x ра­вен приблизительно 55°15', а для кривой y=3x этот угол равен примерно 42°20'. Поэто­му найдется такое число е, лежащее между 2 и 3, что кривая у=ех пересечет ось Оу под уг­лом 45°.

Более точные подсчеты показывают, что число е равно 2,71828... Логарифмы по основа­нию е называются натуральными. Они обозначаются lnx. Если мы знаем десятичный логарифм числа, то его натуральный логарифм

можно найти по формуле lnx=lgx/M, где М=0,43429... — так называемый модуль перехода.

Один человек может удержать корабль

Когда корабль подходит к берегу, с него бросают на пристань канат. Здесь канат обматы­вают несколько раз вокруг столба и таким образом удерживают им корабль. Как же удается одному человеку удержать корабль? Оказывается, ему помогает сила трения. Если обмотать канат один раз вокруг столба, то из-за трения каната о столб можно уравнове­сить силой F0 силу F, большую, чем F0, в а

раз. Отношение F/F0=а зависит от материала,

из которого сделаны канат и столб. Например, если канат пеньковый, а столб железный, то a=3,5. Иными словами, силой в 100 кГ можно уравновесить (используя «помощь» силы тре­ния) силу в 350 кГ. Каждый новый оборот ка­ната вокруг столба увеличивает отношение сил еще в а раз. Таким образом, если обернуть ка­нат два раза, то отношение удерживаемой и

удерживающей сил будет равно а2, а если три

раза, то F/F0=a3. Вообще если число оборотов

равно х (х может и не быть целым числом),

то F/F0=аx. Если обмотать пеньковый канат

вокруг железного столба два раза, то силой в

100 кГ можно уравновесить силу примерно в 1,2 Г, а при трехкратном обматывании — си­лу в 4,2 Т.

Радиоактивный распад вещества

Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального ко­личества вещества. Этот промежуток времени t0 называется периодом полураспада вещества. Если пройдет еще t0 лет, то из оставшейся половины распадется еще половина вещества и останется только четверть первона­чального количества. Вообще через t лет масса т вещества будет равна:

m=m0 (1/2)t/t0 ,

где m0 — первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Например, у урана-238 период полураспада равен 4,5 млрд. лет. Зна­чит, за все время существования Земли не рас­палось еще и половины первоначального запаса урана. А вот у радия период полураспада равен всего 1590 годам. Если бы миллион лет назад вся Земля состояла из радия, то сейчас на ней не осталось бы и одного атома радия. Сущест­вует же он лишь потому, что при распаде урана все время появляются новые атомы радия.

Включение и выключение постоянного тока

Если повернуть выключатель, в то же мгно­вение загорается электрическая лампочка. Мы настолько привыкли к этому, что не задумы­ваемся над тем, сразу ли сила тока принимает свое максимальное значение. Соберем электри­ческую схему, показанную на рис. 6, и включим

ток. Тогда из-за наличия катушки ток будет на­растать медленно, так как в цепи возникнет ток самоиндукции, направленный в противо­положную сторону. Расчеты показывают, что ток I зависит от времени по следующей формуле:

Здесь R — сопротивление цепи, L — самоин­дукция катушки, V0 — напряжение тока. По­смотрим, что будет происходить с током с течением времени. Функцию е-Rt/L можно записать в виде (1/e)Rt/L. Но — меньше единицы, известно, что показательная функция стре­мится к нулю с возрастанием показателя, если ее основание меньше единицы. Поэтому вычитаемое е-Rt/L в формуле для силы тока будет уменьшаться, приближаясь к нулю, и через некоторое время ток почти точно будет равен V0/R. Это и есть значение, которое известно из зако­на Ома. Разница между силой тока и значением V0/R

станет такой маленькой, что никакие приборы ее не покажут.

Остывание чайника

Вы, наверное, замечали, что если снять ки­пящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температу­рой чайника и температурой окружающего воздуха. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала

Чем больше чайник, тем значение k меньше и тем медленнее он остывает.

температура чайника равнялась Т0, а темпера­тура воздуха Т1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:

Т=(Т0-Т1)е-kt+Т1,

где k — число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количе­ства воды, которое в нем находится.

Почему парашютист падает равномерно

При падении тел в безвоздушном простран­стве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти опреде­ленной величины.

Рассмотрим задачу о падений парашюти­ста. Если считать, что сила сопротивления воз­духа пропорциональна скорости падения пара­шютиста, т.е. что F=kv, то через t секунд ско­рость падения будет равна:

(т — масса парашютиста). Обратите внимание на сходство этой формулы с формулой для силы тока.

Через некоторый промежуток времени e-kt/m

станет очень маленьким числом и скорость падения будет почти в точности равна mg/k, т. е.

падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от разме­ров парашюта.

Написанная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пу­шинки и т. д. Из нее видно, что чем меньше от­ношение mg/k, тем медленнее падает тело. Этим

и объясняется, почему пушинка падает медлен­нее камня: у нее маленькая масса, а площадь поверхности довольно большая, и воздух ока­зывает значительное сопротивление ее падению.

Парашютист опускается на землю равномерно.

Как измеряют высоту при помощи барометра

Чем выше поднимаются в гору альпинисты, тем меньше становится давление воздуха. Этим можно воспользоваться для того, чтобы с по­мощью барометра определять высоту подъема. Как показывают расчеты, при постоянной тем­пературе воздуха разность высот двух точек выражается такой формулой:

Здесь р1 и р2 — давление воздуха на высотах h1 и h2, р0 — давление воздуха на уровне моря, W0 — вес 1 м3 воздуха при темпера­туре 0° и давлении р0, t0 — температура воздуха.

Эта формула верна для не слишком больших высот.

Исследования, проведенные в Советском Союзе по программе Международного гео­физического года при помощи ракет, пока­зали, что на больших высотах имеют место дру­гие законы изменения давления с высотой.

Вообще любая физическая формула имеет ограниченную область применения — она вер­на при одних условиях и перестает быть вер­ной при других. Дело в том, что при выводе любой физической формулы делаются некото­рые допущения, верные лишь приблизительно. Когда же эти допущения перестают быть вер­ными, формула теряет силу.

Сколько топлива должна взять ракета

Много трудных математических задач при­ходится решать в теории межпланетных путе­шествий. Одной из них является задача об опре­делении количества топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Это количество М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с кото­рой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Если пренебречь сопротивлением воздуха и притяжением Земли, то количество топлива определится формулой:

M=m(ev/v0- l)

(формула К. Э. Циолковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8 км/сек, надо при скорости исте­чения газов 2 км/сек взять примерно 80 т топлива.

Если бы удалось увеличить скорость истече­ния газов до 4 км/сек, то понадобилось бы всего 10 т топлива. Вообще чем с большей скоростью v0 вытекают газы из ракеты, тем меньше будет

V

ev/v0 и тем меньше понадобится топлива. Другой

способ уменьшения количества топлива заклю­чается в замене одноступенчатых ракет мно­гоступенчатыми (подробнее о ракетах см. в статьях т. 3 и 5 ДЭ).

Гармонические колебания

Мы рассмотрели несколько при­меров из физики и техники, в кото­рых так или иначе встречается пока­зательная функция. Сейчас перейдем к рассмотрению примеров, связан­ных с тригонометрическими функ­циями.

Начнем с гармонических колеба­ний. Возьмем, например, гирю, под­вешенную на пружине, и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают рас­четы, отклонение гири от положе­ния равновесия выражается фор­мулой

s=(v0/w)sinwt.

Здесь v0 — скорость, с которой мы толкнули

гирю, а w=Ö(k/m}, где m — масса гири и к —

жесткость пружины (сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Колебания, происходящие по закону

s=Asinwt, (1)

называют синусоидальными или гармоническими, а график функ­ции (1) — синусоидой. Мы можем получить представление о таких колебаниях, следя за движением равномерно вращающейся точки и наблюдая это движение одним глазом сбоку (так, что глаз наблюдателя находится в плос­кости вращения). Нам будет казаться, что точ­ка не вращается, а движется то в одну сторону, то в другую. Такую картину наблюдают астро­номы, следя за движением спутников Юпите­ра, когда Земля находится в плоскости орбиты этих спутников.

Число А, называемое амплитудой си­нусоидального колебания, показывает размах этого колебания, а число w, называемое час­тотой колебания, показывает, сколько коле­баний происходит за 2p секунд (т. е. примерно

за 44/7 секунды). Через каждые 2p/w секунды гиря

будет возвращаться в исходное положение. Поэтому период ее колебания равен 2p/w.

Если мы сначала оттянем гирю на s0 см, а потом толкнем ее со скоростью v0, то она будет совершать колебания по более сложному закону:

s=Asin(wt+a). (2)

Расчеты показывают, что амплитуда А этого колебания равна Ö(s20+v20/w2), а число a таково, что tga=s0w/v0, Из-за слагаемого а это колебание отличается от колебания s=Asinwt. На рисунках 7 и 8 изображены графики обоих колебаний. График колебания (2) получается из графика колебания (1) сдвигом влево на

a/w. Число a называют начальной фазой.

со

Рис. 7. График гармонического колебания.

Рис. 8. График колебательного движения с начальной фазой.

Колебания маятника

Колебания маятника тоже приближенно происходят по синусоидальному закону. Если эти колебания малы, то угол отклонения маят­ника приближенно выражается формулой:

где l — длина маятника, а j0 — наибольший угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается. Измеряя период коле­бания маятника известной длины, можно вы­числять ускорение земного тяготения g в раз­личных точках земной поверхности.

Разряд конденсатора

Не только многие механические колеба­ния происходят по си­нусоидальному закону. И в электрических це­пях возникают синусо­идальные колебания. Замкнем, например, цепь, изображенную на рис. 9. Ток в этой це­пи будет изменяться по синусоидальному закону:

I=I0sin(wt+a). Частота w колебаний тока равна 1/ÖLC, где С— емкость конденсатора, a L — самоиндукция цепи. Этот закон очень похож на закон коле­баний гири, только вместо жесткости пружины надо взять величину, обратную емкости кон­денсатора, а вместо массы гири — самоиндук­цию катушки.

Как соединить две трубы

Приведенные примеры могут создать впе­чатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при со­единении двух цилиндрических труб под углом друг к другу. Чтобы соединить две трубы та­ким образом, надо срезать их наискосок. Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бума­гой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.

Изгиб колонны

Синусоида встречается при рассмотрении изгиба колонны под действием вертикальной нагрузки. Если нагрузка слишком мала, колонна не изгибается совсем. Но если нагрузка до­стигнет некоторого значения, называемого кри­тическим, то колонна начнет изгибаться, причем ее ось примет форму синусоиды. В этом можно убедиться на опыте, сгибая вместо ко­лонны металлическую линейку. Критическая сила равна:

F=p2EI/l2,

где l — высота колонны, а числа Е и I зависят от материала колонны и размеров ее сечения. Из формулы видно, что чем длиннее колонна, тем меньшая сила нужна, чтобы ее согнуть. Это также можно проверить, изгибая линейку.

Формула критической силы была открыта Л. Эйлером.

Затухающие колебания

До сих пор, говоря о колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, и т. д., мы пре­небрегали сопротивлением воздуха. На самом деле из-за сопротивления воздуха амплитуда колебаний становится все меньше и меньше, колебания затухают. Отклонение точки, со­вершающей затухающие колебания, выражается такой формулой:

s=Ае-kt sin(wt+a).

Так как множитель е-kt уменьшается с течени­ем времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше. После каждого полного

колебания амплитуда уменьшается в е раз.

Число 2p/w называют логарифмическим декрементом затухающего ко­лебания. Чем больше логарифмический декре­мент, тем быстрее затухают колебания. Через некоторое время они станут такими маленьки­ми, что приборы покажут полную остановку тела. График затухающего колебания изобра­жен на рис. 10.

Если сопротивление среды очень большое (скажем, если маятник качается не в воздухе, а в масле), то колебаний не будет совсем — вы­веденный из положения равновесия маятник медленно будет опускаться, приближаясь к по­ложению равновесия. В этом случае закон его движения задается формулой вида:

s=А1е-k1t+A2e-k2t,

где числа А1 и А2 зависят от начального поло­жения и начальной скорости маятника.

При электрических колебаниях также про­исходят затухающие колебания из-за наличия сопротивления цепи.

Вынужденные колебания

Рассмотрим снова гирю, качающуюся на пружине. Если не мешать ей качаться, то она будет совершать колебания с определенной частотой w. Эта частота называется собст­венной частотой колебания гири. Сов­сем по-другому будут выглядеть колебания ги­ри, если мы будем раскачивать ее. Пусть рас­качивающая сила сама изменяется по синусо­идальному закону, т. е. тащит гирю то вверх, то вниз. Тогда гиря будет совершать колеба­ния, получающиеся при сложении двух коле­баний. Одно из них происходит с собственной частотой колебания гири, а второе — с часто­той раскачивающей силы. Пусть в начале коле­бания гиря находится в состоянии покоя и рас­качивающая сила изменяется по закону: F=Asinbt. Тогда закон движения гири выразится формулой:

где w — собственная частота колебаний гири. График пути гири имеет уже довольно сложный вид. Дело в том, что функции sinbt и sinwt меняются с разной частотой. Поэтому иногда два колебания, в которых участвует гиря, направлены в разные стороны (так будет, на­пример, в начале колебания) и гасят друг дру­га. Иногда же они направлены в одну сторону, и тогда они усиливают друг друга.

Наибольшая амплитуда колебания равна

примерно │A/(w(w-b))│. Отсюда видно, что если [3 мало отличается от w (т. е. если частота раска­чивающей силы мало отличается от собствен­ной частоты колебаний гири), то амплитуда ко­лебаний может стать очень большой (у дроби

│A/(w(w-b))│ знаменатель будет маленьким). Если

w=b (т. е. если мы раскачиваем гирю в такт ее собственным колебаниям), то формула (3) уже неприменима. В этом случае закон движе­ния гири имеет вид:

s=(A/2w2)[sinwt-wtcoswt].

Размах колебаний с течением времени увели­чивается, и гиря может разорвать пружину. Это явление называют резонансом.

Сложение колебаний

Иногда одно и то же тело участвует не в од­ном колебательном движении, а в нескольких. Подвесим, например, гирю А на пружине, а к ней также на пружине подвесим другую гирю В (рис. 11). Если растянуть обе пружины и от­пустить их, то колебания гирь А и В будут весьма сложными. Напри­мер, колебания гири В вызывают­ся, во-первых, тем, что гиря А то поднимается, то опускается, и, во-вторых, тем, что пружина АВ то растягивается, то сокращается. Мы говорим в этом случае, что колеба­ние гири В является суммой двух колебаний — движения гири А и ко­лебания гири В относительно гири А. Можно привести и другие при­меры сложения колебаний. Когда играет оркестр, то каждый музы­кальный инструмент вызывает свои колебания воздуха. Эти колебания складываются друг с другом и до­носятся к нам в виде единого ак­корда.

Чаще всего складываются гар­монические колебания. Если эти колебания имеют одну и ту же час­тоту, то и сумма их будет гармо­ническим колебанием той же час­тоты. Для сложения колебаний можно пользо­ваться простым геометрическим правилом. Здесь нам приходят на помощь векторы. (Подробнее о векторах см. в статье «Алгебра векторов».) Оказывается, что не только силу, ско­рость и ускорение, но и гармонические колебания можно изображать векторами.

Гармони­ческое колебание с амплитудой А и начальной фазой а изображают вектором длины A, наклоненным к оси Ох под углом а (рис. 12). При сложении колебаний изображающие их векто­ры складываются по правилу параллелограмма. На рис. 13 показано сложение колебаний:

s1=10 sinwt и s2=6sin(wt+p/3).

Измеряя диагональ ОB параллелограмма ОАВС, находим, что амплитуда суммы этих колебаний равна примерно 14. Начальная же фаза этого колебания равна углу АОВ, т. е. примерно 22°, или 0,37 радиана. Поэтому:

s=10sinwt+6sin(wt+p/3)»14sin(wt+0,37).

Особенно просто складывать колебания с одинаковой начальной фазой — в этом случае оба вектора направлены в одну сторону и в, сумме получится колебание с той же фазой, ампли­туда которого равна сумме амплитуд слагаемых. А если углы a1 и a2 отличаются друг от друга на p радиан (т. е. на 180°), то в результате сло­жения получится колебание, амплитуда кото­рого равна разности амплитуд слагаемых. Мо­жет получиться даже, что колебания погасят друг друга (одно будет тянуть в одну сторону, а другое — в другую, совсем как Лебедь, Рак. и Щука из басни Крылова). Такое явление на­зывают в физике интерференцией ко­лебаний. Из-за интерференции может получить­ся так, что точка, освещенная двумя источни­ками света, окажется неосвещенной — два све­та дадут в сумме темноту.

Биения

Довольно сложная картина возникает, ког­да складываются колебания различной часто­ты. При этом уже получаются несинусоидаль­ные колебания. Если частоты w1 и w2 складывае­мых колебаний близки друг к другу, то; получающееся колебание имеет вид как бы синусоидального колебания с частотой (w1+w2)/2,

амплитуда которого медленно меняется с часто-

той │(w1-w2)/2│. Это явление называют биениями. Может случиться, что мы не вос­принимаем слагаемых колебаний из-за того, что их частота слишком велика, но можем вос­принять медленное изменение амплитуды сум­мы колебаний. Например, если электрическая лампочка присоединена к динамо-машине, даю­щей переменный ток с периодом Т = 1/50 сек., то изменения в яркости лампочки будут не­заметными. Если же присоединить эту лам­почку к двум динамо-машинам, периоды кото­рых мало отличаются друг от друга, то возник­нут биения и лампочка начнет мигать.

Возникают биения и на двухвинтовом ко­рабле, если винты имеют близкие, но различ­ные периоды вращения. Приходится учитывать биения и композиторам. Колебания с периоди­чески меняющейся амплитудой применяют в радиотехнике. Радиостанции посылают в про­странство электромагнитные колебания с очень большой частотой (от 150 тыс. до 15 млн. колебаний в секунду). Амплитуда же этих колебаний меняется примерно со звуковой частотой (несколько сотен или тысяч колеба­ний в секунду). Такого изменения амплитуды можно добиться, вызвав биения. Этот прием называют частотной модуляцией.

Приливы и отливы

Очень интересный пример биений дают оке­анские приливы и отливы. Из-за притяжения Луны и Солнца уровень воды в океане все вре­мя меняется. Примерно каждые 12 час. уровень воды достигает наивысшего значения, а через 6 час. после этого — наинизшего. Однако из-за вращения Луны вокруг Земли период колеба­ний уровня воды, вызываемых притяжением Солнца, не совпадает с периодом колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Лу­ны. Первый период равен 12 час., а второй — 12 час. 25 мин. В результате сложений этих колебаний, имеющих близкие периоды, получа­ются биения. Самая большая и самая малая высота приливов будет в том случае, если Солн­це, Земля и Луна расположены так, как по­казано на цветной вклейке на стр. 352—353. Самая большая высота приливов превосходит примерно в 21/3 раза самую малую.

Спектральный анализ

Как мы узнали, из гармонических колеба­ний составляются более сложные колебания. При этом могут получаться колебания весьма сложного вида.

Оказалось, что любое самое сложное перио­дическое колебание можно изобразить как сум­му синусоидальных колебаний (т. е. таких, что их графики имеют форму синусоиды). Часто­ты этих синусоидальных колебаний называют спектром сложного колебания, а само разло­жение — спектральным анализом колебания.

Это название не случайно. Разложение луча света в спектроскопе связано с разложением сложного электромагнитного колебания на простые синусоидальные составляющие.

Спектральный анализ применяют также к звукам и другим колебаниям. С помощью спект­рального анализа удается установить особен­ности тембра голоса певца и т. д.

В технике пользуются спектральным ана­лизом колебаний для того, чтобы правильно рассчитывать различные конструкции. Напри­мер, может случиться, что частота одной из си­нусоидальных составляющих колебаний само­лета, вызванных работой моторов, совпадет с собственной частотой колебаний какой-нибудь детали самолета. Тогда из-за резонанса при ра­боте моторов возникнут сильные колебания этой детали, что может привести к аварии.

Как машина открыла теорему

Для разложения периодических колебаний на синусоидальные составляющие применяют различные машины. Есть машины, которые решают и обратную задачу — позволяют из синусоидальных составляющих складывать все колебание. Однажды для проверки работы такой машины ей дали разложить на синусои­дальные составляющие колебание, изобра­женное на рис. 14, а потом сложить эти состав­ляющие. Машина после суммирования начер­тила график не такой, как на рис. 14, а такой, как на рис. 15, т. е. с добавочными хвостиками на вертикальных отрезках. Сначала появление этих хвостиков приписывали несовершенству машины и думали, как ее исправить. Но потом американский физик Дж. Гиббс доказал, что эти хвостики должны появляться всегда, когда у графика колебания есть разрыв. Теорему на­звали его именем, хотя «открыла» ее машина.

Почему не работал трансатлантический кабель

Когда проложили телеграфный кабель че­рез Атлантический океан, то оказалось, что по нему нельзя передавать телеграммы. Вместо точек и тире на другом конце кабеля принима­лись совершенно непонятные сигналы. Исследо­ванием работы кабеля занялся известный анг­лийский физик и математик Кельвин. Для этого он сначала разложил сигналы на синусоидальные составляющие и изучил, как передаются по кабелю эти составляющие. Оказалось, что колебания различной частоты передаются по-разному. Одни из них идут быстрее, другие медленнее, одни сильно ослабевают, а другие меньше. Поэтому, когда эти составляющие при­ходят на другой конец кабеля, то их сумма ста­новится совсем непохожей на передававшиеся сигналы. Кельвин нашел, от чего зависит изменение скорости и силы синусоидальных колеба­ний, и указал, как сделать кабель, чтобы коле­бания любой частоты шли по нему с одинако­вой скоростью и одинаково ослабевали. Когда по его указаниям переделали кабель, сигналы стали передаваться без искажений и трансат­лантическая связь наладилась.

Радиоприемник и камертон

Иногда вместо разложения колебания на синусоидальные составляющие стараются выде­лить из всего колебания одну составляющую определенной частоты. Именно это делают, когда настраивают радиоприемник на определенную частоту; из сложного электромагнитного коле­бания, вызванного работой всех радиостанций, ловят колебание, вызванное работой нужной станции. Точно так же камертон отзывается только на ту ноту, на которую он настроен.