Заключение

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Поистине безгранична область применений показательной и тригонометрической функций в природе и технике! Вероятно, можно было бы заполнить весь этот том, рассказывая о та­ких примерах. Возника­ют естественные вопро­сы: Что общего между такими вещами, как тре­ние каната о столб, ра­диоактивный распад, остывание чайника? По­чему электромагнитные колебания так похо­жи на механические ко­лебания? Почему столь часто встречаются в раз­личных вопросах науки и техники именно эти функции?

Сейчас мы не можем ответить на эти вопро­сы. Но в конце следую­щей статьи, посвящен­ной одному из разде­лов высшей математики, поговорим и об этом.

На одном конце кабеля пе­редавали сигналы.

На другом конце кабеля получали сигналы, которые нельзя было понять.

Как сожмется пружина, если под колесо автомобиля попадет камень? Ответ на этот вопрос может дать физи­ческая модель, состоящая также из пружины, грузов а т. д., или математическая модель, которая представ­ляет собой электрическую цепь из катушек самоиндукции, конденсаторов, реостатов и т. д.

Индийский математик Сриниваза Раманужан

В декабре 1887 г., на юге Индии, в бедной семье родился мальчик — Сриниваза Раманужан. В школу он пошел вместе со своими сверстни­ками, но постепенно всех их обогнал в успешном изучении математики, проявляя при этом поразительную самобытность и оригинальность мыш­ления. К концу седьмого года обуче­ния в школе он уже приобрел хорошие знания по алгебре и тригонометрии и приступил к изучению высшей мате­матики. В том селении, где учился Раманужан, нашлась единственная книга по высшей математике, содер­жащая 6165 теорем и формул, боль­шая часть которых дана в книге без доказательств и выводов. Раманужану приходилось самому изобретать мето­ды доказательств и способы решения задач, изложенных в книге и возни­кавших в его голове. Тетради, в кото­рые юноша Раманужан заносил свои мысли, выводы и вычисления, были впоследствии даже изданы.

В 16 лет Раманужан окончил школу и был зачислен в колледж при Мадрасском университете, но про­учился там только год.

Поддерживая свое существование малоинтересной случайной работой, Раманужан все свободное время отда­вал математическому творчеству, за­полняя тетрадку за тетрадкой своими виртуозными вычислениями и изы­сканиями.

Так прошло 10 лет. Однажды по совету друзей Раманужан послал несколько кратких сообщений о своих результатах известному английскому математику Г. Харди. Ученый высоко оценил незаурядное дарование Раманужана, добился его зачисления в

Кембриджский университет (1914) и сам руководил его занятиями.

Весной 1917 г. Раманужан забо­лел, и болезнь перешла в открытую форму туберкулеза, но он не переста­вал работать даже в больницах и сана­ториях.

В ноябре 1918 г. Раманужан был избран членом Лондонского королев­ского общества и профессором Кем­бриджского университета.

В январе 1919 г. Раманужан вы­ехал на родину, но приехал в Индию в плохом состоянии и 26 апреля 1920 г. умер, на 33-м году жизни.

Взгляните — вот одно из многих тождеств, открытых школьником Раманужаном:

где n — любое целое положительное число. Три точки между знаками «+» означают, что промежуточные слагае­мые подразумеваются как очевидные. Если принять, например, n=5, то первое слагаемое левой суммы

будет 1/(n+1)=1/6 , предпоследнее сла­гаемое 1/2n=1/10, последнее сла­гаемое -n/(2n+1) =-5/11. первое слагаемое правой суммы 1/(23-2), а последнее 1/(103-10) и тогда

1/6+1/7+1/8+1/9+1/10-5/11=1/(23-2)+1/(43-4)+1/(63-6)+1/(83-8)+1/(103-10).

Произведите вычисления — и вы убедитесь в правильности тождества Раманужана для n=5. Но доказать, что это равенство правильно для любого целого положительного чис­ла — далеко не легкая задача. Попы­тайтесь, кто хочет.

Курьезные равенства

Проверьте справедливость курь­езных равенств:

1=1•1/1;

12=22•22/(1+2+1);

12321= 333•333/(1+2+3+2+1);

1234321=4444•4444/(1+2+3+4+3+2+1).

Исследуйте самостоятельно, как да­леко распространяется эта легко на­блюдаемая закономерность.

Любопытные прямо­угольные треугольники

Интересно, что существуют толь­ко два прямоугольных треугольника с целочисленными сторонами, пло­щадь каждого из которых численно равна периметру. Вот один: а=6, b=8, с=10. А второй найдите!

Ответ на стр. 373.

Интересное свойство числа 121

Запись: 121 имеет смысл числа не только в десятичной системе, но и в любой другой, основание которой B>2. Это число интересно тем, что является полным квадратом как при

основании 10 (121 = 112), так и при любом другом основании B>2.

Докажите! Решение на стр. 373.

Восстановление числа

Напишите какое хотите дробное или целое число, кроме 0 и 1. Отни­мите его от 1. Напишите число, об­ратное получившейся разности, и по­вторите с новым результатом весь цикл указанных действий. После третьего раза непременно получится то число, с которого начинали.

— Неужели так будет с любым числом?

— Да, и это легко доказать (см. стр. 373).