Задача Кеплера
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
Если бы бочки умели говорить, то, несомненно, многие из них с удовольствием рассказали бы поучительную историю о великих заслугах бочек в создании ... высшей математики! История эта такова.
В ноябре 1613 г. королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрел несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражен тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно-единственное действие — измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища (рис. 1). Ведь такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача — по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашел формулы не только для объема бочек, но и для объема самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы.
В наши дни вычислять объемы различных тел (значительно более сложных, чем у Кеплера) необходимо при решении многих технических задач: при нахождении объема корпуса корабля, объема газгольдера, объема водохранилища и др. И решать такие задачи приходится почти каждому инженеру, каждому технику. Простые и общие методы решения подобных задач даются высшей математикой.
Чтобы получить представление об этих общих методах, попробуем найти объем поданного к столу лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (шар, цилиндр, конус и т. д.), лимон непохож. Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие ломтики. Ровно обрезав край каждого ломтика, можно превратить его в низенький цилиндр (рис. 2), объем которого легко высчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры, мы получим ступенчатое тело (рис. 3). Его объем равен сумме объемов цилиндров. Если ломтики очень тонки, то объем ступенчатого тела мало отличается от объема лимона, и чем тоньше будут ломтики, тем это отличие будет меньше.
Прием, примененный нами для вычисления объема лимона, пригоден для вычисления объема любого тела вращения. Пусть фигура ABCD (рис. 4) вращается вокруг стороны АВ. Разрежем получающееся тело вращения (рис. 5) на тонкие ломтики и каждый ломтик заменим цилиндром. Тогда легко сможем найти объем получающегося ступенчатого тела (рис. 6). Для этого надо знать, как меняется площадь сечения с высотой (рис. 7). Пусть площадь сечения, проведенного на высоте h, равна S(h). Предположим, кроме того, что тело разрезано на n ломтиков сечениями, проведенными на высотах h0, h1,..., hn над плоскостью нижнего основания (плоскость нижнего основания совпадает с сечением на высоте h0, а плоскость верхнего — с сечением на высоте hn, т. е. h0=0, hn=H (см. рис. 6). Площадь сечения на высоте hk равна S(hk). Поэтому объем цилиндра, которым мы заменяем k-й ломтик (рис. 8), будет равен S(hk)(hk-hk-1) (так как его высота равна hk-hk-1). Складывая объемы цилиндров, получим объем всего ступенчатого тела:
Vступ. тела = S(h1)(h1-h0)+S(h2) (h2-h1)+...+ S(hn)(hn-hn-1).
Чем тоньше будут ломтики, тем ближе объем ступенчатого тела к объему тела вращения.
Таким же образом можно найти объем любого тела, если известно, как меняется площадь тела с высотой сечения. Например, для того чтобы вычислить объем проектируемого корабля, достаточно иметь чертежи (выполненные в определенном масштабе) поперечных разрезов корабля. По этим чертежам надо найти площадь каждого разреза (как вычислять площади сложных фигур, мы расскажем ниже), после
чего указанная выше формула даст приблизительное значение объема корабля. Разумеется, таким же приемом можно находить объемы газгольдеров, водохранилищ и других тел.
При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в реке, т. е. количество воды, протекающей в данном месте за 1 сек. Ясно, что расход воды в реке равен произведению площади поперечного сечения реки на скорость течения. Скорость течения определить довольно просто, а вот площадь поперечного сечения найти гораздо сложнее. Однако и здесь на помощь нам приходит разрезание на «ломтики». Каждый «ломтик» можно приближенно заменить прямоугольником. Складывая затем площади этих прямоугольников, мы и найдем приближенное значение площади сечения. Чем тоньше будут «ломтики», тем более точное значение площади мы получим. Измерим глубину реки в точках, находящихся на расстоянии x0,x1, ...,хn от берега (х0=0; хn=Н — ширина реки). Пусть на расстоянии xk от берега глубина равна f(xk) (рис. 9). Тогда площадь поперечного сечения приблизительно равна
Sпопер. сеч. » f(x1)(x1-x0 )+f(x2) (x2-x1)+...+ f(xn)(xn-xn-1).
Вообще если геометрическая фигура имеет вид, изображенный на рис. 10 (такая фигура называется криволинейной трапецией), и если высота в точке с абсциссой х равна f(x), то для вычисления площади фигуры мы можем пользоваться той же формулой. Чем гуще расположены точки х0, x1,..., хп на отрезке АВ, тем более точное значение для площади фигуры получим по этой формуле.
Для измерения пути, пройденного автомобилем, на нем устанавливают специальный счетчик. Но даже если этот счетчик испорчен, можно подсчитать пройденный автомобилем путь по спидометру (прибору, показывающему скорость автомобиля). Для этого надо записать показания спидометра в моменты времени t0 = 0, t1, t2,..., tn=T. Если бы движение автомобиля от момента tk-1 до момента tk совершалось равномерно с той скоростью v(tk), которую он в действительности имел в конце этого промежутка, т. е. в момент tk, то за промежуток времени от tk-l до tk он проехал бы расстояние v(tk)(tk-tk-1). Поэтому путь, пройденный за все время движения от 0 до Т, был бы равен:
v(t1)(tl-t0)+ v(t2)(t2-t1)+...+ v(tn)(tn-tn-1).
Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета пути, пройденного автомобилем. Но автомобиль не всегда движется равномерно, и даже за маленький промежуток времени скорость его успевает несколько раз измениться. Однако чем чаще будем записывать показания спидометра, т. е. чем меньше будут промежутки времени между отдельными измерениями, тем точнее написанная формула будет давать пройденный автомобилем путь.
Мы разобрали ряд задач из различных областей физики, техники, геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, площади, пути и т. д.) мы получали сумму вида:
Здесь f(x) — некоторая функция, заданная на отрезке от а до b, а х0=а, х1..., хп-1, хп=b— точки на этом отрезке. Например, при вычислении пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только время мы раньше обозначали буквой t, а не х, что, конечно, несущественно), а было равно нулю, а b равнялось времени Т движения автомобиля.
Суммы такого вида встречаются в математике и ее приложениях очень часто. Их называют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой величины только приближенно. Но если мы будем брать точки х0, х1,..., хn все гуще и гуще на отрезке от а до b, то интегральные суммы будут приближаться к некоторому числу, а именно к точному значению искомой величины. Это число называется интегралом от функции f(x) на от-
резке от а до b и обозначается через
Таким образом,
где предел lim берется при условии, что число промежутков неограниченно увеличивается, а их длины стремятся к нулю.
В самом обозначении
сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из которой получается интеграл. В Италии букву 5 часто пишут в виде ∫. Поэтому сам знак интеграла есть просто первая буква латинского слова Summa (сумма). Вслед за знаком [ указывается, что суммировались выражения f(xk)(xk-xk-1). Только вместо разности xk-xk-1 пишут dx, где d — первая буква латинского слова differentia (разность). Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим понятием, можно записать многие полученные ранее формулы гораздо короче и не приближенно, а точно. Например, формула объема любого тела принимает вид:
где Н — высота этого тела, a S(h) — площадь сечения, проведенного параллельно основанию тела на высоте h от основания (см. рис. 7).
Формулу площади фигуры, изображенной на рис. 10, можно записать в виде:
где f(x) — высота кривой CD в точке с абсциссой х.
Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до Т, выражается через скорость v(t) по формуле:
Геометрическое вычисление интегралов
Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, на стр. 368, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)
Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула площади прямоугольника: S=hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота которой во всех точках одинакова
и равна h (рис. 11), так что его площадь может
быть записана в виде интеграла:
где h — постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:
(h — постоянная). В частности, при h=1 получаем:
Вспомним теперь формулу площади прямоугольного треугольника: S=1/2hb, где h и b —
катеты. Из рис. 12 видно, что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию,
высота у которой в точке с абсциссой х равна hx/b (это вытекает из подобия треугольников
ОАВ и OCD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла:
Таким образом, мы доказали, что
Если треугольник ОАВ равнобедренный, т. е. если h=b, то получаем формулу:
Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пирамиду с ребром в основании, равным b, и высотой, равной этому ребру (рис. 13). Поставим
357
пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость параллельно основанию пирамиды на расстоянии х от вершины. Тогда в сечении получится квадрат
со стороной, тоже равной х, а площадь его S(х) будет равна x2. Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:
Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:
или:
Найденные выше формулы (5), (6), (7), очевидно, можно объединить в одну общую формулу:
при n=0, 1, 2.
Эта формула, как доказывается в математике, справедлива не только при n= 0, 1, 2, но и при любых положительных значениях показателя n, например:
Теперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем предварительно два простых, но очень важных замечания.
Первое замечание. Пусть два тела М1 и М2 движутся в одном и том же направлении, причем так, что скорость тела М2 в каждый момент времени в k раз больше скорости тела М1. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M2, будет в k раз больше пути, пройденного за то же время телом M1. Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M1 в момент t через v(t), тогда скорость тела М2 в тот же момент равна kv(t). Пути s1 и s2, пройденные телами М1 и M2 за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:
Но так как путь, пройденный вторым телом, в k раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s2=ks1), то
Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла.
Второе замечание. Пусть тело М1 движется в некотором направлении, а по его поверхности движется в том же направлении тело М2. Например, баржа плывет по реке, а по ее па-
358
лубе идет человек. Обозначим скорость движения тела M1 через v1(t), а скорость перемещения тела М2 по поверхности тела М1 — через v2(t). Тогда путь, пройденный телом М1 за время от t=0 до t=T, равен
а путь, пройденный телом M2 по поверхности тела М1, равен
Общий же путь, пройденный в пространстве телом M2 (как за счет собственного движения, так и за счет движения тела М1, которое его везет), равен
Но ясно, что скорость перемещения тела М2 в пространстве равна v1(t)+v2(t), так что путь, пройденный этим телом, имеет значение:
Приравнивая оба найденных значения пути, получим:
т. е. интеграл от суммы двух (или нескольких) функций равен сумме интегралов от слагаемых.
Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл
Так как подынтегральное выражение есть сумма х2+(-3x)+5, то можно наш интеграл разбить на три:
Во втором и третьем интегралах можно вынести за знак интеграла числовой множитель, после чего легко получим ответ:
Иначе говоря, интегрировать многочлены можно почленно. Вообще, если
f(х)=а0хn+а1xn-1+...+ an-lx+ аn —
некоторый многочлен n-й степени, то его интеграл находится по формуле:
Мы научились вычислять интегралы от многочленов. Этого уже достаточно, чтобы иметь возможность решать многие математические и физические задачи.
Покажем для начала, как просто получаются с помощью интегралов некоторые формулы, изучаемые в школе.
Выведем формулу пути равноускоренного движения. Если начальная скорость тела в момент t=0 равна v0, а ускорение движения равно а, то в момент времени t скорость тела составит v(t)=v0+at. Поэтому по формуле (3) путь, пройденный телом с начала движения до момента Т, выражается формулой:
Выведем теперь некоторые геометрические формулы. Сначала найдем, чему равен объем шара радиуса R. Конечно, нам достаточно найти объем полушара, а потом его удвоить. Рассечем полушар плоскостью, параллельной его основанию и отстоящей на х от основания (рис. 14). В сечении получится круг радиуса АВ=Ö(R2-х2) (это получается, если применить теорему Пифагора к треугольнику ОАВ). Поэтому площадь получившегося сечения равна:
p((Ö(R2-x2)2)=pR2-px2.
Но тогда объем полушара (высота его равна R) выражается формулой:
Следовательно, объем всего шара равен
4/3pR3.
Но с помощью интегрального исчисления можно найти и такие площади и объемы, которые не изучаются в школе. Найдем, например, площадь параболического сегмента АОВА, у которого хорда АВ равна b, а стрелка ОС равна h (рис. 15). Уравнение параболы имеет
вид y=аx2. В точке с абсциссой х=b/2 ордината AD должна равняться длине стрелки h.
Поэтому h=ab2/4. Но это значит, что а 4h/b2.
Итак, наш параболический сегмент ограничен снизу параболой, у которой в точке с абсциссой х ордината у=4hx2/b2.
Мы легко можем теперь найти площадь криволинейного треугольника ОАD.
По формуле (2) она равна:
Площадь же прямоугольника ABED равна bh. Но площадь параболического сегмента получается, если из площади прямоугольника вычесть удвоенную площадь треугольника
OAD, т. е. она равна 2bh/3.
Круговой сегмент, имеющий небольшой центральный угол, можно приближенно заменить параболическим сегментом с той же хордой и той же стрелкой (рис. 16). Поэтому для площади кругового сегмента имеет место приближенная формула:
Sкруг. сегм.»2/3bh.
Например, если центральный угол равен 60°, то приближенная формула дает результат
0,0893... R2, а точная 0,0906...R2. Таким образом даже для такого сравнительно большого центрального угла, как 60°, приведенная формула дает точность до 1,5%.
Чудесная формула
Тот же прием, который мы применили для приближенного вычисления площади кругового сегмента, можно, конечно, применить и для случая произвольной криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой CD с уравнением y=f(x) (рис. 17). Обозначим через М
середину отрезка АВ и восставим в точках А, М и В ординаты AD, MN, ВС кривой CD. Длины этих ординат обозначим через у0, у1, у2. Проведем через точки С, N и D дугу параболы, имеющей вертикальную ось (такую дугу можно провести всегда, и притом только одну; иногда она превращается в отрезок прямой).
Довольно простые подсчеты, использующие формулы (5), (6), (7), показывают, что площадь, лежащая под этой дугой параболы, равна
((b-a)/6)(у0+4y1+y2),
где b и а — абсциссы точек В и А. Без большой ошибки можно принять, что этому же равна и площадь криволинейной трапеции ABCD, т. е. что:
Sabcd »((b-a)/6(y0+4y1+y2). Поскольку площадь криволинейной трапеции выражается интегралом
то
найденная формула дает приближенное значение этого интеграла. Иными словами,
где у0, у1, y2 — значения функции f(x) в точках с абсциссами а, (a+b)/2 и b.
О
Объем любого тела можно приближенно считать по такой же формуле:
где Н — высота тела, S0— площадь нижнего сечения, S1 — площадь среднего сечения, S2— площадь верхнего сечения. К этой формуле прибегают для приближенного вычисления объема дерева, стога, бочки и других фигур более или менее сложной формы. Замечательно, что для всех фигур, изучаемых в школе (призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, усеченной пирамиды, усеченного конуса, шара, шарового слоя, шарового сегмента), эта формула дает не приближенный, а совершенно точный результат. Проверьте это утверждение.
Как измерить скорость полета пули
Мы часто говорили о скорости движения (например, автомобиля). Мы имели формулу;
в которой v(t) означает скорость движения тела в момент времени t. Такую скорость в физике называют мгновенной скоростью. Каким же образом можно измерить мгновенную скорость движения? Если речь идет о скорости движения автомобиля, в кабине которого мы едем, то все обстоит очень просто — надо лишь посмотреть на стрелку спидометра, и мы будем знать скорость движения. Но как узнать скорость движения автомобиля, проезжающего мимо нас по улице, или скорость полета пули? Мы знаем, что существуют приборы для измерения расстояний (линейки, рулетки и др.). Приложим такой прибор к измеряемому расстоянию, и ответ сразу виден. Есть приборы и для измерения времени (часы, хронометры). Много есть и других полезных приборов. Но «скоростемеров» — приборов, которые можно было бы «приложить» к движущемуся мимо нас телу, чтобы непосредственно по его показанию узнать скорость движения тела, нет. Да и как «приложить» прибор к мчащемуся мимо автомобилю или летящей пуле?
До некоторой степени нам могут помочь приборы, измеряющие расстояние и время. Эти приборы позволяют измерить путь, который пролетела пуля, и время, которое она на это затратила. Разделив путь на время, мы и узнаем скорость полета пули. Однако таким образом мы получаем лишь среднюю скорость полета пули, которая мало о чем говорит: ведь сопротивление воздуха постепенно замедляло движение пули, и потому в конце пути она летела с меньшей скоростью, чем в его начале. Поэтому для определения скорости пули в некоторой точке ее пути поступают иначе. В этой точке ставят лист тонкого материала, соединенный с часами таким образом, что они отмечают момент времени t1, когда пуля пробивает этот лист. На небольшом расстоянии от него ставят второй лист, также соединенный с часами, так что они отмечают момент t2, когда пуля его пробивает. Пусть первый лист находится на расстоянии s1 от линии огня, а второй — на расстоянии s2 (рис. 18). Тогда расстояние s2-s1 пуля пролетает за время t2-t1. Значит, средняя скорость полета пули за это время равна:
vср=(s2-s1)/(t2-t1).
Но и это измерение не дает точного значения мгновенной скорости в момент t1. Ведь воздух
тормозил пулю, когда она летела между листами, и ко второму листу пуля подлетела с несколько меньшей скоростью, чем к первому. Чтобы уменьшить влияние сопротивления воздуха на скорость пули, надо ставить листы ближе друг к другу. И чем ближе будет второй лист к первому, тем точнее измерим мы мгновенную скорость полета пули в момент t1 (мы считаем, конечно, что у нас совершенно точные часы и безукоризненные линейки). При этом чем ближе друг к другу расположены листы, тем за меньший промежуток времени t2-t1 пролетает пуля расстояние между ними. Мы можем сказать, таким образом, что мгновенная скорость полета пули равна:
v(t1)=lim(s2-s1)/(t2-t1),
где предел берется при условии, что значение s2 приближается к значению s1 (или, что то же самое, при условии, что значение t2 приближается к значению t1).
Скорость радиоактивного распада
Различные радиоактивные вещества распадаются не одинаково быстро.
В каком же смысле можно говорить о том, что распад происходит быстро или медленно? Как можно измерить скорость распада куска радиоактивного вещества в данный момент времени? Легко измерить среднюю скорость распада за 1 год: надо измерить количество вещества, распавшегося за 1 год, и разделить его на число секунд в году. Это и даст среднюю скорость распада, выраженную в г/сек. Однако для нахождения мгновенной скорости распада этот расчет мало пригоден — ведь в течение года количество радиоактивного вещества постепенно уменьшалось, поэтому оно распадалось все медленнее и медленнее. Чтобы поточнее определить скорость распада в данный момент времени, надо измерить среднюю скорость распада не за год, а за месяц или еще лучше за сутки, час, минуту и т. д. Каждый раз надо брать количество вещества, распавшегося за это время, и делить на число секунд в выбранном промежутке времени. Так, уменьшая промежутки времени между двумя измерениями массы вещества, мы будем приближаться к какому-то числу. Это число и даст скорость распада в данный момент времени.
Формулами это можно записать следующим образом. Предположим, что в момент времени t1 масса еще не распавшегося радиоактивного вещества в пробирке была равна m1, а через некоторое время, в момент t2, масса его уменьшилась (так как часть вещества превратилась в продукт распада) и стала равной m2. Таким образом, за время t2-tl масса имевшегося в пробирке радиоактивного вещества изменилась на m2-m1 (это число отрицательное — ведь масса нераспавшегося радиоактивного вещества с течением времени уменьшается). Отношение
(m2-m1)/(t2-t1) представляет собой среднюю скорость изменения массы радиоактивного вещества в пробирке за рассматриваемый промежуток времени, т. е. среднюю скорость распада. Чем меньше промежуток времени t2-t1 тем точнее это отношение выражает мгновенную скорость распада. Мы можем сказать, таким образом, что мгновенная скорость распада u(t1) в момент t1 равна:
u(t1)=lim(m2-m1)/(t2-t1),
где предел берется при условии, что значение t2 приближается к t1.
Совершенно аналогично можно определить мгновенную скорость химической реакции.
Умеете ли вы проводить касательную ?
Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспомните построение касательной к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только ничего не сказано о проведении касательной к любой кривой, но даже не определяется, что это такое. Нельзя, разумеется, определять касательную как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только в одной точке (рис. 19), но вряд ли кому-нибудь придет в голову говорить, что эта ось касается параболы.
Что же такое касательная к кривой и как ее провести? Постараемся ответить на эти вопросы. Проведем через точку М, лежащую на кривой, секущую MN (рис. 20). Если теперь точку N приближать по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки
М, все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная к кривой в точке М. Для окружности это определение касательной совпадает с обычным (рис. 21): по мере приближения точки N к точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу.
Итак, касательная — это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается (по рассматриваемой кривой) к точке М.
Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой формулы. Для этого будем считать, что кривая АВ является графиком некоторой функции y=f(x). Обозначим ординаты точек M и N через y1 и y2, а их абсциссы — через х1 и х2. Рассматривая прямоугольный треугольник MNP с гипотенузой MN и катетами, параллельными осям координат (рис. 22), мы можем легко определить угол j, под которым секущая наклонена к оси х:
tgj=PN/MP.
Но из рис. 22 ясно, что PN = у2-у1, МР=х2-х1. Таким образом,
tgj=(y2-y1)/(x2-x1).
Если теперь точка N начнет по кривой АВ приближаться к точке М, то секущая MN будет, поворачиваясь, приближаться к положению касательной, так что в пределе мы получим тангенс угла, под которым касательная наклонена к оси х:
tga=lim(y2-y1)/(x2-x1).
Предел берется при условии, что точка N приближается к М, т. е. что значение х2 приближается к х1.
Производная
Мы рассмотрели несколько задач из физики и геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. В первых двух задачах (скорость движения, скорость распада) это общее заключалось в том, что мы в обоих случаях имели скорость изменения некоторой величины: скорость движения есть скорость изменения пути с течением времени, скорость распада есть скорость изменения массы радиоактивного вещества. Но и в третьем примере мы имели некоторую скорость изменения: тангенс угла наклона касательной есть скорость изменения ординаты, когда мы перемещаемся по оси х.
Действительно, отношение (y2-y1)/(x2-x1) представляет собой среднюю скорость возрастания ординаты при перемещении от точки х1 к точке х2, а предельное значение этого отношения (равное
tga) дает мгновенную скорость изменения ординаты.
Итак, во всех рассмотренных задачах мы имели мгновенную скорость изменения некоторой величины; этим и объясняется, что при определении этих на первый взгляд очень непохожих величин получились очень похожие формулы. Чисто математически скорость изменения можно определить следующим образом. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Обозначим те значения, которые эта функция принимает в двух точках х1 и х2, через y1 и y2. Тогда разность y2-y1 показывает, на сколько изменилось значение рассматриваемой функции при переходе от значения x1 к значению х2,
а отношение (y2-y1)/(x2-x1) представляет собой среднюю скорость изменения функции y=f(x) на промежутке от x1 до х2. Если теперь уменьшать этот промежуток, приближая значение x2 к x1, то мы получим в пределе мгновенную скорость изменения рассматриваемой функции в точке х1; она равна
lim(y2-y1)/(x2-x1),
где предел берется при условии, что значение x2 приближается к х1. Эта мгновенная скорость изменения называется производной от функции у=f(x) по аргументу х в точке х1; она обозначается через f'(x1).
В этих обозначениях явно указывается, в какой точке берется мгновенная скорость изменения (т. е. производная). Есть и другие обозначения для производной, но мы их не будем указывать. Конечно, производную можно находить в различных точках, так что производная f'(x) есть опять некоторая функция от х. Теперь ясно, что рассмотренные выше задачи из физики и геометрии могут быть сформулированы с помощью производной.
Скорость движения v(t) есть производная от пути s(t) по времени:
v(t)=s'(t). (9)
Скорость u(t) радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества m(t) по времени:
u(t)=m'(t). (10)
Наконец, тангенс наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке с абсциссой х, есть производная от функции f(x):
tga│в точке х=f'(x). (11)
Производные многочленов
Из сказанного выше ясно, что для решения ряда задач физики, геометрии и других наук весьма важно уметь находить производные различных функций (нахождение производных называется дифференцированием). Мы рассмотрим сейчас пример непосредственного вычисления производной.
Возьмем функцию у=х3. Отношение, которое нужно рассмотреть при вычислении этой производной, имеет такой вид:
Если теперь х2 будет приближаться к x1, то последнее выражение будет, очевидно, приближаться к значению х21+х21+х21=3x21. Таким образом, производная от функции у=х3 имеет в точке х=х1 значение Зх21, т. е.
(х3)' │при x=x1=3x21. Более кратко это записывают так: (х3)'=3x2.
Предоставляем читателю таким же образом найти производные от функций у=х2 и у=х. Результаты получаются такие:
(х2)' = 2х; (х)'=1.
Эти формулы вычисления производных объединяются, очевидно, одной общей формулой:
(хn)'=nхn-1. (12)
Для случая целого положительного значения n эту формулу можно проверить примерно таким же способом, как мы выше вычислили производную от x3. В математике доказывается, что формула (12) верна при любом п. Заметим, что производная единицы (или вообще любой постоянной величины) равна нулю. Это легко следует из формулы (12), а впрочем, ясно и без этого, так как скорость изменения постоянной, очевидно, равна нулю.
Заметим теперь, что производная обладает следующими простыми, но важными свойствами: постоянный множитель можно выносить за знак производной; кроме того, производная суммы двух (или нескольких) функций равна сумме производных от слагаемых:
[kf(x)]'=k•f'(x),
[f1(x)+f2(x)]'=f'1(x)+f'2(x).
Справедливость этих правил легко проиллюстрировать с помощью формулы (9), при-
мерно так же, как мы сделали выше для интегралов.
Теперь уже легко можно находить производные любых многочленов, например:
Вообще, если
многочлен n-й степени, то его производная вычисляется по формуле:
Пчелы-математики
Русский математик П. Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды. Так, рабочий-металлист старается из куска металла получить как можно больше деталей; раскройщик на обувной фабрике старается из куска кожи выкроить как можно больше заготовок; технолог старается так расставить станки на заводе, чтобы обработка деталей заняла как можно меньше времени, и т. д.
Да и не только человеку приходится решать такие задачи. Пчелы бессознательно решают одну из таких задач — они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объеме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу (рис. 23).
Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт. Человек же действует не по инстинкту, а по разуму. Маркс говорил, что «самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове».
И большую помощь в решении таких задач оказывает человеку математика, в особенности понятие производной. Чтобы понять, как же математики решают такие задачи, рассмотрим одну из них.
Как сделать самую большую коробку
Пусть перед нами квадратный кусок картона со стороной а. Из него надо сделать коробку без крышки. Вырежем по углам куска квадратики (рис. 24) и согнем по линиям, отмеченным пунктиром. У нас получилась коробка (рис. 25); но много ли в нее можно положить? Это зависит от того, какие квадратики мы вырезали из этой коробки. Если
они были очень маленькие, то коробка получится низкая (рис. 26, а) и в нее много не положишь. А если они будут слишком большие (рис. 26, б), то коробка получится слишком узкая и в нее тоже войдет довольно мало. Найдем, при какой стороне х вырезанного квадратика объем V(x) сделанной коробки будет наибольшим. Из рис. 25 видно, что V=х(а-2x)2=4x3-4аx2+а2х. График этой функции имеет вид, указанный на рис. 27. При этом х должен лежать между 0 и a/2, так как вырезать из куска картона со стороной а четыре квадрата со стороной, большей, чем a/2, нельзя. Из рис. 27 видно, что в той точке, где значение объема наибольшее, касательная идет горизонтально, т. е. образует с осью х угол, равный нулю. Но это значит, что в этой точке производная равна нулю. Таким образом, чтобы найти значение xmax, при котором объем коробки будет самым большим, надо найти все значения ж, при которых производная функции
V (х)=4x3-4аx2+а2х
обращается в нуль; среди них обязательно будет и искомое значение xшах. По формуле дифференцирования многочлена находим: V'(х)=12x2-8ах+а2. Приравниваем производную нулю и находим
два корня: х1=a/2, х2=a/6. Разумеется, корень x1=a/2 нас не устраивает: если мы вырежем
квадраты со стороной a/2, то от листа картона ничего не останется. Значит, наибольшее значение объема получится, если за xmax примем
оставшееся значение a/6, т. е. вырежем квадраты со стороной х=a/6. Объем коробки тогда будет
равен 2а3/27 . Сделать из данного куска картона коробку большего объема невозможно.
Балка наибольшей прочности
Основным элементом любой строительной конструкции является балка. Прочность балки зависит от того, какую форму имеет ее поперечное сечение. Инженерные расчеты показывают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты h. Иными словами, прочность такой балки (измеренная в некоторых единицах) равна kah2, где k — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из которого она сделана, и т. д.
Деревянные балки приходится обычно вытесывать из круглых бревен. В связи с этим возникает задача, как из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности. На рис. 28 изображено поперечное сечение бревна. Разумеется, прочность вырезанной балки будет функцией от ширины этой балки. Но если взять ширину слишком большой (почти равной диаметру бревна), то получится балка очень маленькой высоты и прочность ее будет мала (рис. 29, а). Мала будет прочность балки, если сделать ее слишком узкой (рис. 29, б). Чтобы найти, при каком соотношении длины и ширины прочность будет наибольшей, выразим прочность балки как функцию от ее ширины х. Из треугольника АBС, изображенного на рис. 28, видно, что высота балки, имеющей ширину х, равна Ö(4R2-х2). Поэтому прочность такой балки равна:
kx(4R2-x2)=4R2kx-kx3.
График функции у=4R2kx-kx3 имеет вид, указанный на рис. 30, а ее производная равна 4R2k-3kx2 и обращается в нуль при
x1,2±(2RÖ3)/3.
Поскольку ширина балки должна быть положительной, получаем, что самая прочная
балка будет, если ширина ее а=(2RÖ3)/3; высота
О
балки определится по формуле:
Отношение h/a равно Ö2»7/5. Именно такое
отношение высоты балки к ширине и предписано правилами производства строительных работ.
Формула Ньютона — Лейбница
Между дифференцированием и интегрированием имеется глубокая связь: формула (3) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а формула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференцирования и интегрирования связаны друг с другом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти операции взаимно обратны.
Например, пользуясь тем, что v(t)=s'(t), можно записать формулу (3) в виде:
Здесь s — путь, пройденный телом начиная с момента t=0.
Но может случиться и так, что пройденный путь отсчитывается не с момента t=0, a с какого-то более раннего момента (например, не с момента начала путешествия, а с момента выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s придется записать в виде разности s(T)-s(0) пути, пройденного к моменту t=T, и пути, пройденного к моменту t=0. Равенство (3) примет тогда такой вид:
Таким же образом для любых двух моментов времени t=a и t=b справедливо равенство:
Вообще, для любой функции F(x) имеет место равенство:
Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница — в честь знаменитых математиков И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно установивших ее в конце XVII в. (примерно через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»). Следует сказать, что в геометрической форме эту формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу в 1670 г. Он указал, что вычисление площадей — действие, обратное проведению касательных.
Значение формулы Ньютона — Лейбница состоит в следующем: если мы знаем какую-нибудь функцию F(x), производная которой равна f(x), т. е. F'(х) =f(х), то легко вычислить интеграл
— он равен разности
значений функций F(x) в точках b и а. Каждую функцию F(x), для которой F' (х)=f(х), называют первообразной для функции f(x). Значит, если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то f(x) — производная для функции F(x).
Таким образом, вычисление интегралов сводится в основном к нахождению первообразных. А нахождение первообразных есть задача, обратная дифференцированию. Поэтому, чем
большее число функций мы будем уметь дифференцировать, тем больше первообразных будем знать и тем больше интегралов сможем найти. Пока что мы умеем дифференцировать только многочлены. Этого уже достаточно, чтобы интегрировать любые многочлены (не прибегая к примененным выше геометрическим приемам).
Но во многих задачах встречаются функции, отличные от многочленов. Мы научимся сейчас дифференцировать показательную и тригонометрические функции.
Производные синуса и косинуса
Производные от тригонометрических функций проще всего вычислить, исходя из физических соображений. Рассмотрим точку А, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью wR. Будем считать, что при t=0 точка А находилась в положении А0 (рис. 31).
Через t сек. точка пройдет путь длиной wRt и окажется в положении А. Дуга А0А имеет длину wRt, т. е. содержит wt радиан, значит, и угол АОА0 равен wt радиан. Поэтому координаты точки А равны х=Rcoswt и y=Rsinwt (это легко выводится из треугольника АВО). Иными словами, проекция В точки А на ось Ох движется по закону x = Rcoswt, а проекция С этой же точки на ось Оу движется по закону у=Rsinwt. Найдем скорости этих колебаний.
Для этого разложим скорость движения точки А на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Вектор скорости точки А (имеющий длину сой) направлен по касательной к окружности, проведенной в точке А, и потому образует с осью Ох угол wt+p/2, а с осью Оу — угол
и
wt(рис. 32). Следовательно, его проекция на ось
Ох (т. е. скорость движения точки В) равна: vx=wRcos(wt+p/2)=-wRsinwt,
а его проекция на ось Оу (т. е. скорость движения точки С) равна:
vy=wRcoswt.
Мы доказали, что скорость колебания, происходящего по закону х=Rcoswt, равна: vx=-wRsinwt. Так как скорость является производной от пути по времени, это означает, что
(Rcoswt)'=-wRsinwt,
или при R=1
(coswt)'=-wsinwt. (13)
Точно так же доказывается (из рассмотрения движения точки С), что
(sinwt)'=wcoswt. (14)
В частности, при w=1 мы получаем, что (cost)'=-sint; (sint)'=cost.
Производная показательной функции
Теперь продифференцируем показательную функцию у=ех. Мы уже знаем (см. статью «Функции в природе и технике»), что касательная к кривой у=ех, проведенная в точке пересечения ее с осью ординат, наклонена к осям под углом в 45°. Вспоминая геометрический смысл производной (см. стр. 364), мы можем сказать, что производная функции у=ех в точке х=0 равна tg45°, т. е. 1.
Итак, (еx)'|при x=0 =1.
Чтобы сосчитать производную от функции у=ех в какой-либо точке х0, сдвинем график этой функции на отрезок х0. После сдвига в точке х ордината станет равной не ех, а ех-х0, т. е. сдвинутая кривая является графиком функции у=ех-х0 (рис. 33). При сдвиге графика касательная, проведенная к кривой у=ех в точке х=0, перейдет в касательную, проведенную к сдвинутой кривой (т.е. кривой у=ех-x0) в точке х=х0 (рис. 34).
Таким образом, касательная к кривой у=ех-х0 в точке х0 наклонена к оси х под углом 45°, т. е.
(еx-x0)' |при x=x0 =1.
Теперь легко найти производную функции у=ех в точке х=х0. В самом деле, так как постоянный множитель ех0 можно вынести за знак производной, получим:
(ex)'|при х=х0 =(eкex-x0)' | при х=х0 = еx0(еx-x0)' |при x=x0=еx0•1 =ex0.
369
Этим доказано, что производная от функции ех в точке х=х0 равна ех0. Так как х0 — произвольная точка, то мы можем просто написать:
(ех)'=ех.
Лишь немногим более сложные рассуждения показывают, что
(еCх)'= СеСх. (15)
Радиоактивный распад
Многие физические законы связывают между собой некоторую величину и скорость ее изменения. Рассмотрим, например, радиоактивный распад. Скорость распада тем больше, чем больше взято радиоактивного вещества. Это и понятно: если, скажем, в каждом грамме взятого радиоактивного вещества за 1 сек. распадается 0,0001 г, то в двух граммах этого вещества за 1 сек. распадается 0,0002 г, в семи граммах распадается за 1 сек. 0,0007 г и т. д. Иначе говоря, скорость распада (мы ее обозначали выше буквой и; см. формулу (10) прямо пропорциональна массе т имеющегося радиоактивного вещества:
и=-km. (16)
Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности, а знак «-» поставлен потому, что вещество распадается и его становится меньше, т. е. скорость распада отрицательная. (Этот закон, связывающий массу радиоактивного вещества и скорость распада, справедлив лишь в случае, если количество радиоактивного вещества не слишком велико и не происходит цепной реакции.)
На первый взгляд кажется, что из уравнения (16) ничего нельзя определить: ведь это одно уравнение с двумя неизвестными u и m (коэффициент пропорциональности k для каждого вида радиоактивного вещества определяется из опыта), а для нахождения двух неизвестных надо иметь два уравнения. Однако второе уравнение легко найти: ведь и — это скорость изменения массы т, а потому и u=m'. Поэтому мы можем переписать закон радиоактивного распада (т. е. формулу (16) в виде:
m' =-km. (17)
Мы получили одно уравнение для определения одного неизвестного т. Только это уравнение не такое, какие изучаются в школе: оно связывает величину т и ее скорость изменения (производную). Уравнения, связывающие величины и их производные, называются дифференциальными уравнениями. Легко проверить, что функция т = Се-kt, где С — любое число, является решением дифференциального уравнения (17) (т. е. если подставить в это уравнение вместо т эту функцию, то оно обратится в тождество). В самом деле:
m'=(Се-kt)' =-Cke-kt=-km.
Можно показать, что других функций (кроме m(t)=Ce-kt), удовлетворяющих уравнение (17), не существует, т. е. что всякое решение уравнения (17) имеет вид: m(t)=Ce-kt. Это и есть закон уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени.
У нас остался невыясненным один вопрос: чему равна постоянная C? На этот вопрос нетрудно ответить. Из формулы т(t)=Се-kt находим (полагая t=0), что масса радиоактивного вещества в начальный момент времени t=0 была равна Се0 = С. Таким образом, С — это масса радиоактивного вещества в начальный момент времени; ее принято обозначать через m0. Поэтому, заменяя С на m0, получаем окончательный вид закона радиоактивного распада:
т(t)=m0е-kt. (18)
Найдем теперь, через сколько лет количество радиоактивного вещества уменьшится вдвое. Для этого нужно определить число
Т0 из уравнения e-kT0 =1/2. После логарифмирования (по основанию е) находим, что Т0 =1/kln2»0,69/k (через lnx мы обозначаем
логарифм числа х по основанию е). Этот промежуток времени Т0 называют периодом полураспада данного радиоактивного вещества. Он не зависит от того, сколько было взято радиоактивного вещества, а зависит только от k, т. е. от того, какое взято вещество. Например, период полураспада радия равен 1590 годам, урана-238 — 4,5 млрд. лет, тория С всего 0,0000003 сек. С помощью числа Т0 закон радиоактивного распада можно записать так:
m(t)=m0(e-kT0)t/T0=m0(1/2)t/T0.
В этой форме его обычно и используют в физике.
Показательная функция в природе и технике
Существует огромное количество процессов в природе, которые описываются такими же дифференциальными уравнениями, как уравнение (17) для радиоактивного распада. Общим для всех этих процессов является то, что скорость изменения рассматриваемой величины у прямо пропорциональна значению этой величины в данный момент времени, т. е.
y'=су. (19)
Коэффициент пропорциональности с положителен или отрицателен в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются с течением времени значения величины у. Дифференциальное уравнение (19) имеет точно такой же вид, как и уравнение радиоактивного распада (только коэффициент пропорциональности здесь обозначается через с, а не через —k). Так как одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, то для всех таких процессов значения у0 в любой момент времени t выражаются формулой:
y(t)=y0ect,
где у0 — значение величины у при t = 0. Теперь становится понятным, почему в природе и технике встречается так много величин, изменяющихся по показательному закону (ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения; изменение давления с высотой подъема и т. д.; см. статью «Функции в природе и технике»). Все эти величины удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида (19).
Леверье и Адамс открывают новую планету
По второму закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение:
F=ma.
Но ускорение тела, движущегося прямолинейно, представляет собой скорость изменения скорости, т. е. является производной от скорости a=v'. Сама же скорость является производной от пройденного пути: v=s'. Таким образом, чтобы найти ускорение движущегося тела, надо два раза продифференцировать функцию s(t). Поэтому ускорение называют второй производной от пути по времени. Обозначают это так: a(t)=s"(t). Пользуясь этим обозначением, мы можем за-
писать второй закон Ньютона в следующем виде:
F=ms".
Сила F зависит от многих обстоятельств: от времени, от скорости движения, от того, в какой точке пространства находится движущееся тело. Например, на парашютиста, спускающегося с раскрытым парашютом, действуют сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорциональной скорости падения, т. е. равной -kv. Таким образом, общая сила, действующая на парашютиста, равна:
F=mg-kv=mg-ks'.
Следовательно, движение парашютиста описывается дифференциальным уравнением ms"=mg-ks'.
Иной вид имеет уравнение движения ракеты, вертикально поднимающейся по инерции после полного сгорания горючего. Сила притяжения ракеты к Земле обратно пропорциональна квадрату расстояния ракеты от центра Земли, т. е.
F=-k/s2
(мы считаем, что ракета вышла из земной атмосферы и потому на нее не действует сила сопротивления воздуха).
Таким образом, указанное движение ракеты описывается дифференциальным уравнением
ms''=-k/s2,
где m — масса ракеты. (Этим уравнением описывается также вертикальное падение метеорита на Землю до вхождения его в атмосферу.)
Вообще, второй закон Ньютона позволяет описывать самые разнообразные движения тел с помощью дифференциальных уравнений. Можно написать дифференциальные уравнения для движения поршня паровой машины, корабля в море, планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли.
Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, так как планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечных и лунных затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не усомнились в «правильности» математики. В середине XIX в.
Уравнение гармонических колебаний
Во многих случаях тела совершают колебания около положения равновесия под действием силы, величина которой пропорциональна отклонению тела от положения равновесия и которая стремится возвратить это тело в положение равновесия. Например, это имеет место для груза, подвешенного на пружине. Иначе говоря, сила, действующая на тело, выражается формулой:
F=-ks,
где s — отклонение тела от положения равновесия, а k — жесткость пружины. Поэтому (в силу второго закона Ньютона) дифференциальное уравнение движения тела имеет такой вид:
ms" =-ks.
Обозначив положительное число k/m через w2,
мы сможем записать это уравнение в виде:
s''=-w2s.
Это уравнение называется уравнением гармонических колебаний, так как функция
s=C1coswt+С2sinwt (20)
при любых С1 и C2 является решением этого уравнения.
В самом деле, по формулам (13) и (14) скорость тела, движущегося по закону (20), равна:
v = s'=-C1wsinwt+С2wcoswt. Продифференцировав еще раз, найдем ускорение:
s"=-C1w2coswt-С2w2 sinwt=-w2 (C1coswt+С2sinwt). Но выражение, стоящее в скобках, равно s. Таким образом, взятая функция s действительно удовлетворяет уравнению s"=-w2s. Можно доказать, что всякое решение этого уравнения имеет такой вид.
Итак, сила, пропорциональная отклонению тела от положения равновесия и стремящаяся вернуть его в это положение, вызывает гармонические колебания частоты w, где w2=k/m
(m — масса тела, k — коэффициент пропорциональности).
Магический шестиугольник
В этом шестиугольнике образовалось 19 узловых точек. Вот и расставьте в этих точках 19 натуральных чисел от 1 до 19 так, чтобы вдоль каждой стороны и вдоль каждого внутреннего прямолинейного отрезка сумма чисел равнялась 38 (должно получиться 15 одинаковых сумм по 38). Ответ на стр. 373.
Игра с кубами чисел
У каждого участника игры должна быть таблица кубов. Назначаем какое-нибудь целое число и ставим задачу: представить это число как алгебраическую сумму пяти кубов.
Пусть назначено, например, число 1. Рассматриваем таблицу кубов и подбираем:
1=43-33-33-23-13 или 1=63-53-43-33+13
Цель игры: за отведенный промежуток времени подобрать как можно больше решений задачи.
У вас, очевидно, возникнет такой вопрос: разве любое целое число может быть представлено в виде алгебраической суммы пяти кубов натуральных чисел, да еще несколькими способами?
Да, любое и даже бесконечным числом способов. Это доказал польский математик В. Серпинский.
Для колебаний электрической цепи можно также записать аналогичный закон, только надо заменить массу тела самоиндукцией катушки, путь, пройденный телом,— напряжением на конденсаторе, а скорость тела — током и т. д. Поскольку законы, управляющие этими явлениями, совершенно аналогичны, то и колебания, возникающие в обоих случаях, записываются одними и теми же формулами. А затухающие колебания возникают, если, кроме силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия, действует еще сопротивление среды, пропорциональное скорости движения тела (или сопротивление электрической цепи).
Моделирование
Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.
Он позволяет изучать одни явления, наблюдая другие, если только оба явления описываются одинаковыми уравнениями. Пусть, например, надо выяснить, как будет двигаться под землей нефть в районе буровых скважин.
Наблюдать движение нефти под землей было бы очень затруднительно. Но движения жидкости описываются теми же самыми дифференциальными уравнениями, что и движения электричества. Поэтому собирают электрическую цепь, в которой движения электричества происходят так же, как изучаемые движения нефти.
Измеряя напряжение и ток в разных точках собранной цепи, можно узнать, где выгоднее всего поставить буровую вышку, куда надо накачивать воду, чтобы усилить выход нефти, и т. д.
Такое изучение одних явлений при помощи других, описываемых теми же самыми уравнениями, называется моделированием явлений. К нему часто прибегают в самых различных вопросах техники.
Ответы и решения
Ответ к стр. 326. 2165904378 и 2934815607.
Ответ к стр. 328. 1 000 000 000=109=(2•5)9=29•59=512•1953125. 1 000 000 000 000 000 000=1018=218•518=262 144•3 814 697 265 625.
Ответ к стр. 329.
1) 849+753 =1602;
2) 1089-432=657;
3) 7039•4 = 28156;
4) 27504:9168=3;
5) 50/(4•7-8)=(9+1)/3Ö26.
В каждом равенстве, как видите, присутствуют все 10 цифр. Возможны и другие решения.
Доказательство к стр. 353.
Пусть начальное число x; разность 1- х;
число, обратное разности:1/(1-x).
Повторяем цикл:
1- 1/(1-x)=-x/(1-x);
число, обратное разности:
-(1-х)/x. Повторяем еще раз:
1-(-(1-x)/x)=1/x; число, обратное этой разности: x.
Ответ к стр. 353.
a =12, b=5, c=13. Решение к стр. 353. (121)B=1•В2+2•В+1•В0=В2+2B+1=(В+1)2.
Ответ к стр. 372.