Задача Кеплера

Если бы бочки умели говорить, то, несо­мненно, многие из них с удовольствием рас­сказали бы поучительную историю о великих заслугах бочек в создании ... высшей матема­тики! История эта такова.

В ноябре 1613 г. королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он при­обрел несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражен тем, что про­давец определял вместимость бочки, производя одно-единственное действие — измеряя рас­стояние от наливного отверстия до самой даль­ней от него точки днища (рис. 1). Ведь такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интерес­нейшая математическая задача — по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашел фор­мулы не только для объема бочек, но и для объема самых различных тел: лимона, яб­лока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроум­ные методы.

В наши дни вычислять объемы различных тел (значительно более сложных, чем у Кепле­ра) необходимо при решении многих техни­ческих задач: при нахождении объема корпуса корабля, объема газгольдера, объема водохра­нилища и др. И решать такие задачи приходится почти каждому инженеру, каждому тех­нику. Простые и общие методы решения по­добных задач даются высшей математикой.

Математика за чайным столом

Чтобы получить представление об этих общих методах, попробуем найти объем поданного к сто­лу лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (шар, цилиндр, конус и т. д.), лимон непохож. Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие ломтики. Ровно обрезав край каждого ломтика, можно превра­тить его в низенький цилиндр (рис. 2), объем которого легко высчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры, мы получим ступенчатое тело (рис. 3). Его объем равен сумме объемов цилиндров. Если ломтики очень тонки, то объем ступенчатого тела мало отличается от объема лимона, и чем тоньше будут ломтики, тем это отличие будет меньше.

Объем тела

Прием, примененный нами для вычисления объема лимона, пригоден для вычисления объе­ма любого тела вращения. Пусть фигура ABCD (рис. 4) вращается вокруг стороны АВ. Разре­жем получающееся тело вращения (рис. 5) на тонкие ломтики и каждый ломтик заменим цилиндром. Тогда легко сможем найти объем получающегося ступенчатого тела (рис. 6). Для этого надо знать, как меняется площадь сечения с высотой (рис. 7). Пусть площадь сече­ния, проведенного на высоте h, равна S(h). Предположим, кроме того, что тело разрезано на n ломтиков сечениями, проведенными на вы­сотах h0, h1,..., hn над плоскостью нижнего основания (плоскость нижнего основания со­впадает с сечением на высоте h0, а плоскость верхнего — с сечением на высоте hn, т. е. h0=0, hn=H (см. рис. 6). Площадь сечения на высоте hk равна S(hk). Поэтому объем цилиндра, кото­рым мы заменяем k-й ломтик (рис. 8), будет равен S(hk)(hk-hk-1) (так как его высота рав­на hk-hk-1). Складывая объемы цилиндров, получим объем всего ступенчатого тела:

Vступ. тела = S(h1)(h1-h0)+S(h2) (h2-h1)+...+ S(hn)(hn-hn-1).

Чем тоньше будут ломтики, тем ближе объем ступенчатого тела к объему тела вращения.

Таким же образом можно найти объем лю­бого тела, если известно, как меняется площадь тела с высотой сечения. Например, для того чтобы вычислить объем проектируемого ко­рабля, достаточно иметь чертежи (выполненные в определенном масштабе) поперечных разрезов корабля. По этим чертежам надо найти пло­щадь каждого разреза (как вычислять площади сложных фигур, мы расскажем ниже), после

чего указанная выше формула даст приблизи­тельное значение объема корабля. Разумеется, таким же приемом можно находить объемы газ­гольдеров, водохранилищ и других тел.

Промер реки

При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в реке, т. е. количество воды, протекающей в данном месте за 1 сек. Ясно, что расход воды в реке равен произве­дению площади поперечного сечения реки на скорость течения. Скорость течения определить довольно просто, а вот площадь поперечного сечения найти гораздо сложнее. Однако и здесь на помощь нам приходит разрезание на «лом­тики». Каждый «ломтик» можно приближенно заменить прямоугольником. Складывая затем площади этих прямоугольников, мы и найдем приближенное значение площади сечения. Чем тоньше будут «ломтики», тем более точное зна­чение площади мы получим. Измерим глубину реки в точках, находящихся на расстоянии x0,x1, ...,хn от берега (х0=0; хn=Н — ширина реки). Пусть на расстоянии xk от берега глу­бина равна f(xk) (рис. 9). Тогда площадь попе­речного сечения приблизительно равна

Sпопер. сеч. » f(x1)(x1-x0 )+f(x2) (x2-x1)+...+ f(xn)(xn-xn-1).

Вообще если геометрическая фигура имеет вид, изображенный на рис. 10 (такая фигура называется криволинейной трапецией), и если высота в точке с абсциссой х равна f(x), то для вычисления площади фигуры мы можем поль­зоваться той же формулой. Чем гуще распо­ложены точки х0, x1,..., хп на отрезке АВ, тем более точное значение для площади фигуры получим по этой формуле.

В автомобиле

Для измерения пути, пройденного автомо­билем, на нем устанавливают специальный счетчик. Но даже если этот счетчик испорчен, можно подсчитать пройденный автомобилем путь по спидометру (прибору, показывающему скорость автомобиля). Для этого надо записать показания спидометра в моменты времени t0 = 0, t1, t2,..., tn=T. Если бы движение автомобиля от момента tk-1 до момента tk совершалось рав­номерно с той скоростью v(tk), которую он в действительности имел в конце этого про­межутка, т. е. в момент tk, то за промежуток времени от tk-l до tk он проехал бы расстояние v(tk)(tk-tk-1). Поэтому путь, пройденный за все время движения от 0 до Т, был бы равен:

v(t1)(tl-t0)+ v(t2)(t2-t1)+...+ v(tn)(tn-tn-1).

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета пути, пройденного автомобилем. Но автомобиль не всегда движется равномерно, и даже за маленький промежуток времени скорость его успевает несколько раз измениться. Однако чем чаще будем записывать показания спидометра, т. е. чем меньше будут промежутки времени между отдельными изме­рениями, тем точнее написанная формула будет давать пройденный автомобилем путь.

Интеграл

Мы разобрали ряд задач из различных об­ластей физики, техники, геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, пло­щади, пути и т. д.) мы получали сумму вида:

Здесь f(x) — некоторая функция, заданная на отрезке от а до b, а х0=а, х1..., хп-1, хп=b— точки на этом отрезке. Например, при вычисле­нии пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только время мы раньше обозначали буквой t, а не х, что, конечно, несущественно), а было равно нулю, а b равнялось времени Т движения автомобиля.

Суммы такого вида встречаются в матема­тике и ее приложениях очень часто. Их называ­ют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой величины только приближенно. Но если мы будем брать точки х0, х1,..., хn все гуще и гуще на отрезке от а до b, то интегральные суммы будут прибли­жаться к некоторому числу, а именно к точному значению искомой величины. Это число назы­вается интегралом от функции f(x) на от-

резке от а до b и обозначается через

Таким образом,

где предел lim берется при условии, что число промежутков неограниченно увеличивается, а их длины стремятся к нулю.

В самом обозначении

сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из ко­торой получается интеграл. В Италии букву 5 часто пишут в виде ∫. Поэтому сам знак интег­рала есть просто первая буква латинского слова Summa (сумма). Вслед за знаком [ указывается, что суммировались выражения f(xk)(xk-xk-1). Только вместо разности xk-xk-1 пишут dx, где d — первая буква латинского слова differentia (разность). Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим по­нятием, можно записать многие полученные ранее формулы гораздо короче и не прибли­женно, а точно. Например, формула объема лю­бого тела принимает вид:

где Н — высота этого тела, a S(h) — площадь сечения, проведенного параллельно основанию тела на высоте h от основания (см. рис. 7).

Формулу площади фигуры, изображенной на рис. 10, можно записать в виде:

где f(x) — высота кривой CD в точке с абсцис­сой х.

Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до Т, выражается через скорость v(t) по формуле:

Геометрическое вычисление интегралов

Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, на стр. 368, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)

Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула пло­щади прямоугольника: S=hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную тра­пецию, высота которой во всех точках одинакова

и равна h (рис. 11), так что его площадь может

быть записана в виде интеграла:

где h — постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:

(h — постоянная). В частности, при h=1 получаем:

Вспомним теперь формулу площади прямо­угольного треугольника: S=1/2hb, где h и b —

катеты. Из рис. 12 видно, что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию,

высота у которой в точке с абсциссой х равна hx/b (это вытекает из подобия треугольников

ОАВ и OCD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла:

Таким образом, мы доказали, что

Если треугольник ОАВ равнобедренный, т. е. если h=b, то получаем формулу:

Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пира­миду с ребром в основании, равным b, и высо­той, равной этому ребру (рис. 13). Поставим

357

пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость парал­лельно основанию пирамиды на расстоянии х от вершины. Тогда в сечении получится квадрат

со стороной, тоже равной х, а площадь его S(х) будет равна x2. Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:

Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:

или:

Найденные выше формулы (5), (6), (7), оче­видно, можно объединить в одну общую фор­мулу:

при n=0, 1, 2.

Эта формула, как доказывается в математи­ке, справедлива не только при n= 0, 1, 2, но и при любых положительных значениях показа­теля n, например:

Интегрирование многочленов

Теперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем пред­варительно два простых, но очень важных за­мечания.

Первое замечание. Пусть два тела М1 и М2 движутся в одном и том же на­правлении, причем так, что скорость те­ла М2 в каждый момент времени в k раз больше скорости тела М1. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M2, будет в k раз больше пути, пройденного за то же время телом M1. Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M1 в момент t через v(t), тогда скорость тела М2 в тот же момент равна kv(t). Пути s1 и s2, пройденные телами М1 и M2 за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:

Но так как путь, пройденный вторым телом, в k раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s2=ks1), то

Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Второе замечание. Пусть тело М1 дви­жется в некотором направлении, а по его поверх­ности движется в том же направлении тело М2. Например, баржа плывет по реке, а по ее па-

358

лубе идет человек. Обозначим скорость дви­жения тела M1 через v1(t), а скорость пере­мещения тела М2 по поверхности тела М1 — через v2(t). Тогда путь, пройденный телом М1 за время от t=0 до t=T, равен

а путь, пройденный телом M2 по поверхности тела М1, равен

Общий же путь, пройденный в пространстве телом M2 (как за счет собственного движения, так и за счет движения тела М1, которое его везет), равен

Но ясно, что скорость перемещения тела М2 в пространстве равна v1(t)+v2(t), так что путь, пройденный этим телом, имеет значение:

Приравнивая оба найденных значения пути, получим:

т. е. интеграл от суммы двух (или несколь­ких) функций равен сумме интегралов от сла­гаемых.

Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл

Так как подынтегральное выражение есть сумма х2+(-3x)+5, то можно наш интеграл разбить на три:

Во втором и третьем интегралах можно вынести за знак интеграла числовой множитель, после чего легко получим ответ:

Иначе говоря, интегрировать многочлены можно почленно. Вообще, если

f(х)=а0хn+а1xn-1+...+ an-lx+ аn —

некоторый многочлен n-й степени, то его ин­теграл находится по формуле:

Применение интегралов

Мы научились вычислять интегралы от мно­гочленов. Этого уже достаточно, чтобы иметь возможность решать многие математические и физические задачи.

Покажем для начала, как просто получа­ются с помощью интегралов некоторые форму­лы, изучаемые в школе.

Выведем формулу пути равноускоренного движения. Если начальная скорость тела в мо­мент t=0 равна v0, а ускорение движения рав­но а, то в момент времени t скорость тела со­ставит v(t)=v0+at. Поэтому по формуле (3) путь, пройденный телом с начала движения до момента Т, выражается формулой:

Выведем теперь некоторые геометрические формулы. Сначала найдем, чему равен объем шара радиуса R. Конечно, нам достаточно найти объем полушара, а потом его удвоить. Рассе­чем полушар плоскостью, параллельной его основанию и отстоящей на х от основания (рис. 14). В сечении получится круг радиуса АВ=Ö(R2-х2) (это получается, если приме­нить теорему Пифагора к треугольнику ОАВ). Поэтому площадь получившегося сечения равна:

p((Ö(R2-x2)2)=pR2-px2.

Но тогда объем полушара (высота его равна R) выражается формулой:

Следовательно, объем всего шара равен

4/3pR3.

Но с помощью интегрального исчисления можно найти и такие площади и объемы, ко­торые не изучаются в школе. Найдем, напри­мер, площадь параболического сегмента АОВА, у которого хорда АВ равна b, а стрелка ОС равна h (рис. 15). Уравнение параболы имеет

вид y=аx2. В точке с абсциссой х=b/2 ордината AD должна равняться длине стрелки h.

Поэтому h=ab2/4. Но это значит, что а 4h/b2.

Итак, наш параболический сегмент ограни­чен снизу параболой, у которой в точке с абсциссой х ордината у=4hx2/b2.

Мы легко можем теперь найти площадь криволинейного тре­угольника ОАD.

По формуле (2) она равна:

Площадь же прямоугольника ABED равна bh. Но площадь параболического сегмента по­лучается, если из площади прямоугольника вычесть удвоенную площадь треугольника

OAD, т. е. она равна 2bh/3.

Круговой сегмент, имеющий небольшой цен­тральный угол, можно приближенно заме­нить параболическим сегментом с той же хор­дой и той же стрелкой (рис. 16). Поэтому для площади кругового сегмента имеет место при­ближенная формула:

Sкруг. сегм.»2/3bh.

Например, если центральный угол равен 60°, то приближенная формула дает результат

0,0893... R2, а точная 0,0906...R2. Таким об­разом даже для такого сравнительно большого центрального угла, как 60°, приведенная фор­мула дает точность до 1,5%.

Чудесная формула

Тот же прием, который мы применили для приближенного вычисления площади кругового сегмента, можно, конечно, применить и для случая произвольной криволинейной тра­пеции, ограниченной сверху кривой CD с урав­нением y=f(x) (рис. 17). Обозначим через М

середину отрезка АВ и восставим в точках А, М и В ординаты AD, MN, ВС кривой CD. Дли­ны этих ординат обозначим через у0, у1, у2. Проведем через точки С, N и D дугу параболы, имеющей вертикальную ось (такую дугу можно провести всегда, и притом только одну; иног­да она превращается в отрезок прямой).

Довольно простые подсчеты, использующие формулы (5), (6), (7), показывают, что площадь, лежащая под этой дугой параболы, равна

((b-a)/6)(у0+4y1+y2),

где b и а — абсциссы точек В и А. Без боль­шой ошибки можно принять, что этому же рав­на и площадь криволинейной трапеции ABCD, т. е. что:

Sabcd »((b-a)/6(y0+4y1+y2). Поскольку площадь криволинейной трапеции выражается интегралом

то

найденная формула дает приближенное зна­чение этого интеграла. Иными словами,

где у0, у1, y2 — значения функции f(x) в точ­ках с абсциссами а, (a+b)/2 и b.

О

Объем любого тела можно приближенно считать по такой же формуле:

где Н — высота тела, S0— площадь нижнего сечения, S1 — площадь среднего сечения, S2— площадь верхнего сечения. К этой формуле прибегают для приближенного вычисления объема дерева, стога, бочки и других фигур более или менее сложной формы. Замечательно, что для всех фигур, изучаемых в школе (призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, усеченной пира­миды, усеченного конуса, шара, шарового слоя, шарового сегмента), эта формула дает не приближенный, а совершенно точный ре­зультат. Проверьте это утверждение.

Как измерить скорость полета пули

Мы часто говорили о скорости движения (на­пример, автомобиля). Мы имели формулу;

в которой v(t) означает скорость движения тела в момент времени t. Такую скорость в физике называют мгновенной ско­ростью. Каким же образом можно измерить мгновенную скорость движения? Если речь идет о скорости движения автомобиля, в кабине которого мы едем, то все обстоит очень прос­то — надо лишь посмотреть на стрелку спи­дометра, и мы будем знать скорость движения. Но как узнать скорость движения автомобиля, проезжающего мимо нас по улице, или скорость полета пули? Мы знаем, что существуют при­боры для измерения расстояний (линейки, рулетки и др.). Приложим такой прибор к измеряемому расстоянию, и ответ сразу ви­ден. Есть приборы и для измерения времени (часы, хронометры). Много есть и других по­лезных приборов. Но «скоростемеров» — при­боров, которые можно было бы «приложить» к движущемуся мимо нас телу, чтобы непосред­ственно по его показанию узнать скорость дви­жения тела, нет. Да и как «приложить» прибор к мчащемуся мимо автомобилю или летящей пуле?

До некоторой степени нам могут помочь приборы, измеряющие расстояние и время. Эти приборы позволяют измерить путь, кото­рый пролетела пуля, и время, которое она на это затратила. Разделив путь на время, мы и уз­наем скорость полета пули. Однако таким обра­зом мы получаем лишь среднюю ско­рость полета пули, которая мало о чем говорит: ведь сопротивление воздуха посте­пенно замедляло движение пули, и потому в конце пути она летела с меньшей скоростью, чем в его начале. Поэтому для определения скорости пули в некоторой точке ее пути посту­пают иначе. В этой точке ставят лист тонкого материала, соединенный с часами таким об­разом, что они отмечают момент времени t1, когда пуля пробивает этот лист. На небольшом расстоянии от него ставят второй лист, также соединенный с часами, так что они отмечают момент t2, когда пуля его пробивает. Пусть первый лист находится на расстоянии s1 от ли­нии огня, а второй — на расстоянии s2 (рис. 18). Тогда расстояние s2-s1 пуля пролетает за время t2-t1. Значит, средняя скорость по­лета пули за это время равна:

vср=(s2-s1)/(t2-t1).

Но и это измерение не дает точного значения мгновенной скорости в момент t1. Ведь воздух

тормозил пулю, когда она летела между лис­тами, и ко второму листу пуля подлетела с не­сколько меньшей скоростью, чем к первому. Чтобы уменьшить влияние сопротивления воз­духа на скорость пули, надо ставить листы ближе друг к другу. И чем ближе будет второй лист к первому, тем точнее измерим мы мгно­венную скорость полета пули в момент t1 (мы считаем, конечно, что у нас совершенно точные часы и безукоризненные линейки). При этом чем ближе друг к другу расположены листы, тем за меньший промежуток времени t2-t1 пролетает пуля расстояние между ними. Мы можем сказать, таким образом, что мгновенная скорость полета пули равна:

v(t1)=lim(s2-s1)/(t2-t1),

где предел берется при условии, что значение s2 приближается к значению s1 (или, что то же самое, при условии, что значение t2 прибли­жается к значению t1).

Скорость радиоактивного распада

Различные радиоактивные вещества распа­даются не одинаково быстро.

В каком же смысле можно говорить о том, что распад происходит быстро или медленно? Как можно измерить скорость распада куска радиоактивного вещества в данный момент времени? Легко измерить среднюю скорость распада за 1 год: надо измерить количество вещества, распавшегося за 1 год, и разделить его на число секунд в году. Это и даст среднюю скорость распада, выраженную в г/сек. Однако для нахождения мгновенной скорости рас­пада этот расчет мало пригоден — ведь в тече­ние года количество радиоактивного вещества постепенно уменьшалось, поэтому оно распа­далось все медленнее и медленнее. Чтобы по­точнее определить скорость распада в данный момент времени, надо измерить среднюю ско­рость распада не за год, а за месяц или еще лучше за сутки, час, минуту и т. д. Каждый раз надо брать количество вещества, распавшегося за это время, и делить на число секунд в выб­ранном промежутке времени. Так, уменьшая промежутки времени между двумя измерени­ями массы вещества, мы будем приближаться к какому-то числу. Это число и даст скорость распада в данный момент времени.

Формулами это можно записать следующим образом. Предположим, что в момент времени t1 масса еще не распавшегося радиоактивного вещества в пробирке была равна m1, а через некоторое время, в момент t2, масса его умень­шилась (так как часть вещества превратилась в продукт распада) и стала равной m2. Таким образом, за время t2-tl масса имевшегося в пробирке радиоактивного вещества измени­лась на m2-m1 (это число отрицательное — ведь масса нераспавшегося радиоактивного вещества с течением времени уменьшается). Отношение

(m2-m1)/(t2-t1) представляет собой среднюю скорость изме­нения массы радиоактивного вещества в про­бирке за рассматриваемый промежуток вре­мени, т. е. среднюю скорость распада. Чем меньше промежуток времени t2-t1 тем точ­нее это отношение выражает мгновенную ско­рость распада. Мы можем сказать, таким обра­зом, что мгновенная скорость распада u(t1) в момент t1 равна:

u(t1)=lim(m2-m1)/(t2-t1),

где предел берется при условии, что значение t2 приближается к t1.

Совершенно аналогично можно определить мгновенную скорость химической реакции.

Умеете ли вы проводить касательную ?

Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспом­ните построение касательной к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только ничего не сказано о проведении каса­тельной к любой кривой, но даже не опреде­ляется, что это такое. Нельзя, разумеется, опре­делять касательную как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только в одной точке (рис. 19), но вряд ли кому-нибудь придет в голо­ву говорить, что эта ось касается параболы.

Что же такое касательная к кривой и как ее провести? Постараемся ответить на эти во­просы. Проведем через точку М, лежащую на кривой, секущую MN (рис. 20). Если теперь точку N приближать по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки

М, все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная к кривой в точке М. Для окружности это определение касатель­ной совпадает с обычным (рис. 21): по мере при­ближения точки N к точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу.

Итак, касательная — это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается (по рассматриваемой кривой) к точке М.

Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой формулы. Для этого будем считать, что кривая АВ яв­ляется графиком некоторой функции y=f(x). Обозначим ординаты точек M и N через y1 и y2, а их абсциссы — через х1 и х2. Рассматривая прямоугольный треугольник MNP с гипоте­нузой MN и катетами, параллельными осям координат (рис. 22), мы можем легко опреде­лить угол j, под которым секущая наклонена к оси х:

tgj=PN/MP.

Но из рис. 22 ясно, что PN = у2-у1, МР=х2-х1. Таким образом,

tgj=(y2-y1)/(x2-x1).

Если теперь точка N начнет по кривой АВ при­ближаться к точке М, то секущая MN будет, поворачиваясь, приближаться к положению касательной, так что в пределе мы получим тангенс угла, под которым касательная накло­нена к оси х:

tga=lim(y2-y1)/(x2-x1).

Предел берется при условии, что точка N при­ближается к М, т. е. что значение х2 прибли­жается к х1.

Производная

Мы рассмотрели несколько задач из физики и геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. В первых двух задачах (скорость движения, скорость распада) это общее заключалось в том, что мы в обоих случаях имели скорость изме­нения некоторой величины: скорость движения есть скорость изменения пути с течением времени, скорость распада есть скорость изменения массы радиоактивного вещества. Но и в третьем примере мы имели некоторую скорость изменения: тангенс угла наклона касательной есть скорость изменения ординаты, когда мы перемещаемся по оси х.

Действительно, отношение (y2-y1)/(x2-x1) представляет собой среднюю скорость возрастания орди­наты при перемещении от точки х1 к точке х2, а предельное значение этого отношения (равное

tga) дает мгновенную скорость изменения ординаты.

Итак, во всех рассмотренных задачах мы имели мгновенную скорость изменения неко­торой величины; этим и объясняется, что при определении этих на первый взгляд очень непо­хожих величин получились очень похожие формулы. Чисто математически скорость изме­нения можно определить следующим образом. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Обозначим те значения, которые эта функция принимает в двух точках х1 и х2, через y1 и y2. Тогда разность y2-y1 показывает, на сколько изме­нилось значение рассматриваемой функции при переходе от значения x1 к значению х2,

а отношение (y2-y1)/(x2-x1) представляет собой среднюю скорость изменения функции y=f(x) на промежутке от x1 до х2. Если теперь уменьшать этот промежуток, приближая значение x2 к x1, то мы получим в пределе мгновенную скорость изменения рассмат­риваемой функции в точке х1; она равна

lim(y2-y1)/(x2-x1),

где предел берется при условии, что значение x2 приближается к х1. Эта мгновенная скорость изменения называется производной от функции у=f(x) по аргументу х в точке х1; она обозначается через f'(x1).

В этих обозначениях явно указывается, в какой точке берется мгновенная скорость изменения (т. е. производная). Есть и другие обозначения для производной, но мы их не бу­дем указывать. Конечно, производную можно находить в различных точках, так что произ­водная f'(x) есть опять некоторая функция от х. Теперь ясно, что рассмотренные выше задачи из физики и геометрии могут быть сформули­рованы с помощью производной.

Скорость движения v(t) есть производная от пути s(t) по времени:

v(t)=s'(t). (9)

Скорость u(t) радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества m(t) по времени:

u(t)=m'(t). (10)

Наконец, тангенс наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точ­ке с абсциссой х, есть производная от функции f(x):

tga│в точке х=f'(x). (11)

Производные многочленов

Из сказанного выше ясно, что для решения ряда задач физики, геометрии и других наук весьма важно уметь находить производные различных функций (нахождение производных называется дифференцированием). Мы рас­смотрим сейчас пример непосредственного вычисления производной.

Возьмем функцию у=х3. Отношение, кото­рое нужно рассмотреть при вычислении этой производной, имеет такой вид:

Если теперь х2 будет приближаться к x1, то последнее выражение будет, очевидно, при­ближаться к значению х21+х21+х21=3x21. Та­ким образом, производная от функции у=х3 имеет в точке х=х1 значение Зх21, т. е.

(х3)' │при x=x1=3x21. Более кратко это записыва­ют так: (х3)'=3x2.

Предоставляем читателю таким же образом найти производные от функций у=х2 и у=х. Результаты получаются такие:

(х2)' = 2х; (х)'=1.

Эти формулы вычисления производных объ­единяются, очевидно, одной общей формулой:

(хn)'=nхn-1. (12)

Для случая целого положительного значе­ния n эту формулу можно проверить примерно таким же способом, как мы выше вычислили производную от x3. В математике доказы­вается, что формула (12) верна при любом п. Заметим, что производная единицы (или вообще любой постоянной величины) равна нулю. Это легко следует из формулы (12), а впрочем, ясно и без этого, так как скорость изменения посто­янной, очевидно, равна нулю.

Заметим теперь, что производная обладает следующими простыми, но важными свойства­ми: постоянный множитель можно выносить за знак производной; кроме того, производная суммы двух (или нескольких) функций равна сумме производных от слагаемых:

[kf(x)]'=k•f'(x),

[f1(x)+f2(x)]'=f'1(x)+f'2(x).

Справедливость этих правил легко проил­люстрировать с помощью формулы (9), при-

мерно так же, как мы сделали выше для инте­гралов.

Теперь уже легко можно находить произ­водные любых многочленов, например:

Вообще, если

многочлен n-й степени, то его производная вычисляется по формуле:

Пчелы-математики

Русский математик П. Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что особенную важность имеют те методы на­уки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для дости­жения по возможности большей выгоды. Так, рабочий-металлист старается из куска метал­ла получить как можно больше деталей; раскройщик на обувной фабрике старается из куска кожи выкроить как можно больше за­готовок; технолог старается так расставить станки на заводе, чтобы обработка деталей заняла как можно меньше времени, и т. д.

Да и не только человеку приходится решать такие задачи. Пчелы бессознательно решают одну из таких задач — они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объеме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают эту задачу (рис. 23).

Пчелам помогает решать эту задачу ин­стинкт. Человек же действует не по инстинкту, а по разуму. Маркс го­ворил, что «самый пло­хой архитектор от наи­лучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в сво­ей голове».

И большую помощь в решении таких задач оказывает человеку математика, в особенности понятие производной. Чтобы понять, как же математики решают такие задачи, рассмотрим одну из них.

Как сделать самую большую коробку

Пусть перед нами квадратный кусок кар­тона со стороной а. Из него надо сделать коробку без крышки. Вырежем по углам куска квадратики (рис. 24) и согнем по линиям, отмеченным пунктиром. У нас получилась коробка (рис. 25); но много ли в нее можно положить? Это зависит от того, какие квад­ратики мы вырезали из этой коробки. Если

они были очень маленькие, то коробка полу­чится низкая (рис. 26, а) и в нее много не поло­жишь. А если они будут слишком большие (рис. 26, б), то коробка получится слишком узкая и в нее тоже войдет довольно мало. Най­дем, при какой стороне х вырезанного квадра­тика объем V(x) сделанной коробки будет наи­большим. Из рис. 25 видно, что V=х(а-2x)2=4x3-4аx2+а2х. График этой функции имеет вид, указанный на рис. 27. При этом х должен лежать между 0 и a/2, так как вырезать из куска картона со стороной а четыре квадрата со сто­роной, большей, чем a/2, нельзя. Из рис. 27 вид­но, что в той точке, где значение объема наи­большее, касательная идет горизонтально, т. е. образует с осью х угол, равный нулю. Но это значит, что в этой точке производная равна нулю. Таким образом, чтобы найти значение xmax, при котором объем коробки будет самым большим, надо найти все значения ж, при которых производная функции

V (х)=4x3-4аx2+а2х

обращается в нуль; среди них обязательно будет и искомое значение xшах. По формуле диффе­ренцирования многочлена находим: V'(х)=12x2-8ах+а2. Приравниваем производную нулю и находим

два корня: х1=a/2, х2=a/6. Разумеется, корень x1=a/2 нас не устраивает: если мы вырежем

квадраты со стороной a/2, то от листа картона ничего не останется. Значит, наибольшее зна­чение объема получится, если за xmax примем

оставшееся значение a/6, т. е. вырежем квадраты со стороной х=a/6. Объем коробки тогда будет

равен 2а3/27 . Сделать из данного куска картона коробку большего объема невозможно.

Балка наибольшей прочности

Основным элементом любой строительной конструкции является балка. Прочность балки зависит от того, какую форму имеет ее попе­речное сечение. Инженерные расчеты показы­вают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты h. Иными словами, проч­ность такой балки (измеренная в некоторых единицах) равна kah2, где k — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из ко­торого она сделана, и т. д.

Деревянные балки приходится обычно выте­сывать из круглых бревен. В связи с этим воз­никает задача, как из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности. На рис. 28 изображено поперечное сечение брев­на. Разумеется, проч­ность вырезанной балки будет функцией от ши­рины этой балки. Но ес­ли взять ширину слиш­ком большой (почти рав­ной диаметру бревна), то получится балка очень маленькой высо­ты и прочность ее будет мала (рис. 29, а). Мала будет прочность балки, если сделать ее слишком узкой (рис. 29, б). Чтобы найти, при каком соот­ношении длины и шири­ны прочность будет наибольшей, выразим проч­ность балки как функцию от ее ширины х. Из треугольника АBС, изображенного на рис. 28, видно, что высота балки, имеющей ширину х, равна Ö(4R2-х2). Поэтому прочность такой балки равна:

kx(4R2-x2)=4R2kx-kx3.

График функции у=4R2kx-kx3 имеет вид, указанный на рис. 30, а ее производная рав­на 4R2k-3kx2 и обращается в нуль при

x1,2±(2RÖ3)/3.

Поскольку ширина балки должна быть по­ложительной, получаем, что самая прочная

балка будет, если ширина ее а=(2RÖ3)/3; высота

О

балки определится по формуле:

Отношение h/a равно Ö2»7/5. Именно такое

отношение высоты балки к ширине и предпи­сано правилами производства строительных работ.

Формула Ньютона — Лейбница

Между дифференцированием и интегрированием имеется глубокая связь: формула (3) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а фор­мула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференци­рования и интегрирования связаны друг с дру­гом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти опе­рации взаимно обратны.

Например, пользуясь тем, что v(t)=s'(t), можно записать формулу (3) в виде:

Здесь s — путь, пройденный телом начиная с момента t=0.

Но может случиться и так, что пройден­ный путь отсчитывается не с момента t=0, a с какого-то более раннего момента (например, не с момента начала путешествия, а с момента выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s придется записать в виде разности s(T)-s(0) пути, пройденного к моменту t=T, и пути, пройденного к моменту t=0. Равенство (3) примет тогда такой вид:

Таким же образом для любых двух моментов времени t=a и t=b справедливо равенство:

Вообще, для любой функции F(x) имеет место равенство:

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница — в честь знаменитых математиков И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно установивших ее в конце XVII в. (примерно через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеп­лера «Новая стереометрия винных бочек»). Сле­дует сказать, что в геометрической форме эту формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу в 1670 г. Он указал, что вычисление площа­дей — действие, обратное проведению каса­тельных.

Значение формулы Ньютона — Лейбница состоит в следующем: если мы знаем какую-нибудь функцию F(x), производная которой равна f(x), т. е. F'(х) =f(х), то легко вычислить интеграл

— он равен разности

значений функций F(x) в точках b и а. Каждую функцию F(x), для которой F' (х)=f(х), назы­вают первообразной для функции f(x). Значит, если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то f(x) — производная для функции F(x).

Таким образом, вычисление интегралов сво­дится в основном к нахождению первообразных. А нахождение первообразных есть задача, об­ратная дифференцированию. Поэтому, чем

большее число функций мы будем уметь диф­ференцировать, тем больше первообразных будем знать и тем больше интегралов сможем найти. Пока что мы умеем дифферен­цировать только многочлены. Этого уже до­статочно, чтобы интегрировать любые много­члены (не прибегая к примененным выше гео­метрическим приемам).

Но во многих задачах встречаются функ­ции, отличные от многочленов. Мы научимся сейчас дифференцировать показательную и три­гонометрические функции.

Производные синуса и косинуса

Производные от тригонометрических функ­ций проще всего вычислить, исходя из физи­ческих соображений. Рассмотрим точку А, движущуюся по окружности радиуса R со ско­ростью wR. Будем считать, что при t=0 точка А находилась в положении А0 (рис. 31).

Через t сек. точка пройдет путь длиной wRt и окажется в положении А. Дуга А0А имеет длину wRt, т. е. содержит wt радиан, значит, и угол АОА0 равен wt радиан. Поэтому коорди­наты точки А равны х=Rcoswt и y=Rsinwt (это легко выводится из треугольника АВО). Иными словами, проекция В точки А на ось Ох движется по закону x = Rcoswt, а проекция С этой же точки на ось Оу движется по за­кону у=Rsinwt. Найдем скорости этих ко­лебаний.

Для этого разложим скорость движения точки А на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Вектор скорости точки А (имеющий длину сой) направлен по касательной к окруж­ности, проведенной в точке А, и потому обра­зует с осью Ох угол wt+p/2, а с осью Оу — угол

и

wt(рис. 32). Следовательно, его проекция на ось

Ох (т. е. скорость движения точки В) равна: vx=wRcos(wt+p/2)=-wRsinwt,

а его проекция на ось Оу (т. е. скорость дви­жения точки С) равна:

vy=wRcoswt.

Мы доказали, что скорость колебания, про­исходящего по закону х=Rcoswt, равна: vx=-wRsinwt. Так как скорость является производной от пути по времени, это означает, что

(Rcoswt)'=-wRsinwt,

или при R=1

(coswt)'=-wsinwt. (13)

Точно так же доказывается (из рассмотре­ния движения точки С), что

(sinwt)'=wcoswt. (14)

В частности, при w=1 мы получаем, что (cost)'=-sint; (sint)'=cost.

Производная показательной функции

Теперь продифференцируем показательную функцию у=ех. Мы уже знаем (см. статью «Функции в природе и технике»), что касательная к кривой у=ех, проведенная в точке пересечения ее с осью ординат, наклонена к осям под углом в 45°. Вспоминая геометриче­ский смысл производной (см. стр. 364), мы можем сказать, что производная функции у=ех в точке х=0 равна tg45°, т. е. 1.

Итак, (еx)'|при x=0 =1.

Чтобы сосчитать производную от функции у=ех в какой-либо точке х0, сдвинем график этой функции на отрезок х0. После сдвига в точке х ордината станет равной не ех, а ех-х0, т. е. сдвинутая кривая является графиком функции у=ех-х0 (рис. 33). При сдвиге графика касательная, проведенная к кривой у=ех в точке х=0, перейдет в касательную, проведенную к сдвинутой кри­вой (т.е. кривой у=ех-x0) в точке х=х0 (рис. 34).

Таким образом, касательная к кривой у=ех-х0 в точке х0 наклонена к оси х под углом 45°, т. е.

(еx-x0)' |при x=x0 =1.

Теперь легко найти производную функции у=ех в точке х=х0. В самом деле, так как постоянный множитель ех0 можно вынести за знак производной, получим:

(ex)'|при х=х0 =(eкex-x0)' | при х=х0 = еx0(еx-x0)' |при x=x0=еx0•1 =ex0.

369

Этим доказано, что производная от функции ех в точке х=х0 равна ех0. Так как х0 — произвольная точка, то мы можем просто на­писать:

(ех)'=ех.

Лишь немногим более сложные рассужде­ния показывают, что

(еCх)'= СеСх. (15)

Радиоактивный распад

Многие физические законы связывают меж­ду собой некоторую величину и скорость ее изменения. Рассмотрим, например, радио­активный распад. Скорость распада тем боль­ше, чем больше взято радиоактивного веще­ства. Это и понятно: если, скажем, в каждом грамме взятого радиоактивного вещества за 1 сек. распадается 0,0001 г, то в двух граммах этого вещества за 1 сек. распадается 0,0002 г, в семи граммах распадается за 1 сек. 0,0007 г и т. д. Иначе говоря, скорость распада (мы ее обозначали выше буквой и; см. формулу (10) прямо пропорциональна массе т имеющегося радиоактивного вещества:

и=-km. (16)

Здесь k — положительный коэффициент про­порциональности, а знак «-» поставлен потому, что вещество распадается и его становится меньше, т. е. скорость распада отрицательная. (Этот закон, связывающий массу радиоактив­ного вещества и скорость распада, справедлив лишь в случае, если количество радиоактив­ного вещества не слишком велико и не проис­ходит цепной реакции.)

На первый взгляд кажется, что из уравне­ния (16) ничего нельзя определить: ведь это одно уравнение с двумя неизвестными u и m (коэффициент пропорциональности k для каж­дого вида радиоактивного вещества опреде­ляется из опыта), а для нахождения двух неиз­вестных надо иметь два уравнения. Однако второе уравнение легко найти: ведь и — это скорость изменения массы т, а потому и u=m'. Поэтому мы можем переписать закон радиоактивного распада (т. е. формулу (16) в виде:

m' =-km. (17)

Мы получили одно уравнение для опреде­ления одного неизвестного т. Только это урав­нение не такое, какие изучаются в школе: оно связывает величину т и ее скорость изменения (производную). Уравнения, связывающие величины и их производные, называются дифференциальными уравнениями. Легко проверить, что функция т = Се-kt, где С — любое число, является решением диф­ференциального уравнения (17) (т. е. если под­ставить в это уравнение вместо т эту функцию, то оно обратится в тождество). В самом деле:

m'=(Се-kt)' =-Cke-kt=-km.

Можно показать, что других функций (кроме m(t)=Ce-kt), удовлетворяющих уравнение (17), не существует, т. е. что всякое решение уравнения (17) имеет вид: m(t)=Ce-kt. Это и есть закон уменьшения массы радио­активного вещества с течением времени.

У нас остался невыясненным один вопрос: чему равна постоянная C? На этот вопрос не­трудно ответить. Из формулы т(t)=Се-kt находим (полагая t=0), что масса радиоак­тивного вещества в начальный момент времени t=0 была равна Се0 = С. Таким образом, С — это масса радиоактивного вещества в на­чальный момент времени; ее принято обозна­чать через m0. Поэтому, заменяя С на m0, по­лучаем окончательный вид закона радиоактив­ного распада:

т(t)=m0е-kt. (18)

Найдем теперь, через сколько лет количе­ство радиоактивного вещества уменьшит­ся вдвое. Для этого нужно определить число

Т0 из уравнения e-kT0 =1/2. После логари­фмирования (по основанию е) находим, что Т0 =1/kln2»0,69/k (через lnx мы обозначаем

логарифм числа х по основанию е). Этот проме­жуток времени Т0 называют периодом полурас­пада данного радиоактивного вещества. Он не зависит от того, сколько было взято радиоактив­ного вещества, а зависит только от k, т. е. от то­го, какое взято вещество. Например, период по­лураспада радия равен 1590 годам, урана-238 — 4,5 млрд. лет, тория С всего 0,0000003 сек. С помощью числа Т0 закон радиоактивного распада можно записать так:

m(t)=m0(e-kT0)t/T0=m0(1/2)t/T0.

В этой форме его обычно и используют в физике.

Показательная функция в природе и технике

Существует огромное количество процессов в природе, которые описываются такими же дифференциальными уравнениями, как урав­нение (17) для радиоактивного распада. Общим для всех этих процессов является то, что ско­рость изменения рассматриваемой величины у прямо пропорциональна значению этой вели­чины в данный момент времени, т. е.

y'=су. (19)

Коэффициент пропорциональности с положи­телен или отрицателен в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются с течением времени значения величины у. Дифференци­альное уравнение (19) имеет точно такой же вид, как и уравнение радиоактивного распада (только коэффициент пропорциональности здесь обозначается через с, а не через —k). Так как одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, то для всех таких процессов значе­ния у0 в любой момент времени t выражаются формулой:

y(t)=y0ect,

где у0 — значение величины у при t = 0. Теперь становится понятным, почему в при­роде и технике встречается так много величин, изменяющихся по показательному закону (ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения; изме­нение давления с высотой подъема и т. д.; см. статью «Функции в природе и технике»). Все эти величины удовлетворяют дифференциаль­ным уравнениям вида (19).

Леверье и Адамс открывают новую планету

По второму закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение:

F=ma.

Но ускорение тела, движущегося прямоли­нейно, представляет собой скорость изменения скорости, т. е. является производной от ско­рости a=v'. Сама же скорость является про­изводной от пройденного пути: v=s'. Таким образом, чтобы найти ускорение движущегося тела, надо два раза продифференцировать функцию s(t). Поэтому ускорение называют второй производной от пути по времени. Обозначают это так: a(t)=s"(t). Пользуясь этим обозначением, мы можем за-

писать второй закон Ньютона в следующем виде:

F=ms".

Сила F зависит от многих обстоятельств: от времени, от скорости движения, от того, в какой точке пространства находится движу­щееся тело. Например, на парашютиста, спу­скающегося с раскрытым парашютом, дейст­вуют сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорцио­нальной скорости падения, т. е. равной -kv. Таким образом, общая сила, действующая на парашютиста, равна:

F=mg-kv=mg-ks'.

Следовательно, движение парашютиста описы­вается дифференциальным уравнением ms"=mg-ks'.

Иной вид имеет уравнение движения раке­ты, вертикально поднимающейся по инерции после полного сгорания горючего. Сила при­тяжения ракеты к Земле обратно пропорцио­нальна квадрату расстояния ракеты от центра Земли, т. е.

F=-k/s2

(мы считаем, что ракета вышла из земной атмосферы и потому на нее не действует сила сопро­тивления воздуха).

Таким образом, указанное движение ракеты описывается дифференциальным уравнением

ms''=-k/s2,

где m — масса ракеты. (Этим уравнением описывается также вертикальное падение метео­рита на Землю до вхождения его в атмосферу.)

Вообще, второй закон Ньютона позволяет описывать самые разнообразные движения тел с помощью дифференциальных уравнений. Можно написать дифференциальные уравнения для движения поршня паровой машины, ко­рабля в море, планеты вокруг Солнца, искус­ственного спутника вокруг Земли.

Решая дифференциальные уравнения дви­жения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, так как планеты притягива­ются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечных и лунных затме­ний. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной ор­биты, ученые нисколько не усомнились в «пра­вильности» математики. В середине XIX в.

Уравнение гармонических колебаний

Во многих случаях тела совершают коле­бания около положения равновесия под дей­ствием силы, величина которой пропорцио­нальна отклонению тела от положения равно­весия и которая стремится возвратить это тело в положение равновесия. Например, это имеет место для груза, подвешенного на пружине. Иначе говоря, сила, действующая на тело, вы­ражается формулой:

F=-ks,

где s — отклонение тела от положения равно­весия, а k — жесткость пружины. Поэтому (в силу второго закона Ньютона) дифференциаль­ное уравнение движения тела имеет такой вид:

ms" =-ks.

Обозначив положительное число k/m через w2,

мы сможем записать это уравнение в виде:

s''=-w2s.

Это уравнение называется уравнени­ем гармонических колебаний, так как функция

s=C1coswt+С2sinwt (20)

при любых С1 и C2 является решением этого уравнения.

В самом деле, по формулам (13) и (14) ско­рость тела, движущегося по закону (20), равна:

v = s'=-C1wsinwt+С2wcoswt. Продифференцировав еще раз, найдем уско­рение:

s"=-C1w2coswt-С2w2 sinwt=-w2 (C1coswt+С2sinwt). Но выражение, стоящее в скобках, равно s. Таким образом, взятая функция s действи­тельно удовлетворяет уравнению s"=-w2s. Можно доказать, что всякое решение этого уравнения имеет такой вид.

Итак, сила, пропорциональная отклонению тела от положения равновесия и стремящаяся вернуть его в это положение, вызывает гармо­нические колебания частоты w, где w2=k/m

(m — масса тела, k — коэффициент пропор­циональности).

Магический шестиугольник

В этом шестиугольнике образо­валось 19 узловых точек. Вот и рас­ставьте в этих точках 19 натуральных чисел от 1 до 19 так, чтобы вдоль каждой стороны и вдоль каждого внутреннего прямолинейного отрезка сумма чисел равнялась 38 (должно получиться 15 одинаковых сумм по 38). Ответ на стр. 373.

Игра с кубами чисел

У каждого участника игры должна быть таблица кубов. Назначаем ка­кое-нибудь целое число и ставим задачу: представить это число как алгебраическую сумму пяти кубов.

Пусть назначено, например, чис­ло 1. Рассматриваем таблицу кубов и подбираем:

1=43-33-33-23-13 или 1=63-53-43-33+13

Цель игры: за отведенный про­межуток времени подобрать как можно больше решений задачи.

У вас, очевидно, возникнет такой вопрос: разве любое целое число может быть представлено в виде алгебра­ической суммы пяти кубов натураль­ных чисел, да еще несколькими спо­собами?

Да, любое и даже бесконечным числом способов. Это доказал поль­ский математик В. Серпинский.

Для колебаний электрической цепи можно также записать аналогичный закон, только надо заменить массу тела самоиндукцией ка­тушки, путь, пройденный телом,— напряже­нием на конденсаторе, а скорость тела — током и т. д. Поскольку законы, управляющие этими явлениями, совершенно аналогичны, то и коле­бания, возникающие в обоих случаях, записы­ваются одними и теми же формулами. А зату­хающие колебания возникают, если, кроме си­лы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия, действует еще сопротивление сре­ды, пропорциональное скорости движения тела (или сопротивление электрической цепи).

Моделирование

Тот факт, что самые различные явления опи­сываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.

Он позволяет изучать одни явления, наблюдая другие, если только оба явления описываются одинаковыми уравнениями. Пусть, например, надо выяснить, как будет двигаться под зем­лей нефть в районе буровых скважин.

Наблюдать движение нефти под землей было бы очень затруднительно. Но движения жидко­сти описываются теми же самыми дифферен­циальными уравнениями, что и движения элек­тричества. Поэтому собирают электрическую цепь, в которой движения электричества про­исходят так же, как изучаемые движения нефти.

Измеряя напряжение и ток в разных точках собранной цепи, можно узнать, где выгоднее всего поставить буровую вышку, куда надо накачивать воду, чтобы усилить выход нефти, и т. д.

Такое изучение одних явлений при помощи других, описываемых теми же самыми уравне­ниями, называется моделированием явлений. К нему часто прибегают в самых различных вопросах техники.

Ответы и решения

Ответ к стр. 326. 2165904378 и 2934815607.

Ответ к стр. 328. 1 000 000 000=109=(2•5)9=29•59=512•1953125. 1 000 000 000 000 000 000=1018=218•518=262 144•3 814 697 265 625.

Ответ к стр. 329.

1) 849+753 =1602;

2) 1089-432=657;

3) 7039•4 = 28156;

4) 27504:9168=3;

5) 50/(4•7-8)=(9+1)/3Ö26.

В каждом равенстве, как видите, присутствуют все 10 цифр. Возможны и другие решения.

Доказательство к стр. 353.

Пусть начальное число x; разность 1- х;

число, обратное разности:1/(1-x).

Повторяем цикл:

1- 1/(1-x)=-x/(1-x);

число, обратное разности:

-(1-х)/x. Повторяем еще раз:

1-(-(1-x)/x)=1/x; число, обратное этой разности: x.

Ответ к стр. 353.

a =12, b=5, c=13. Решение к стр. 353. (121)B=1•В2+2•В+1•В0=В2+2B+1=(В+1)2.

Ответ к стр. 372.