ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Множества конечные и бесконечные

Обычно арифметику определяют как науку о числах. Числа в простейшем смысле слова, т. е. так называемые натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, ..., отвечают на вопрос «сколько?». Сколько учеников в классе? Сколько книг на столе? Сколько гусей на пруду?

Но каждый раз, когда мы спрашиваем: «Сколько предметов?» — мы должны иметь эти

предметы, их совокупность. Вот мы и говорим о совокупности всех учеников, обра­зующих данный класс, о совокупности книг, лежащих на столе, о совокупности гусей, пла­вающих на пруду. Каждое натуральное число есть число предметов (одушевленных или не­одушевленных), образующих некоторую сово­купность. Иногда эти предметы легко сосчи­тать, например когда идет речь о числе книг, лежащих на столе, или о числе учеников, сидя­щих в классе.

Но значительно труднее ответить на вопрос, сколько в данный момент плавает китов в мировом океане или даже сколько ежиков живет в подмосковных лесах. И уж совсем трудно точно сказать, сколько молекул в стакане воды или звезд в нашей Галактике. Однако во всех этих случаях мы уверены, что число это конеч­ное, хотя, может быть, и очень большое и недо­ступное для точного вычисления при данном состоянии наших научных познаний.

В математике рассматриваются не только конечные, но и бесконечные совокупности. Простейшим примером такой совокупности является совокупность, или, как принято го­ворить, множество, всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Мы уже сказали, что каждое натуральное число есть число предметов, образующих ту или иную совокупность, то или иное множество. Но множество всех натуральных чисел уже не есть конечное множество. На вопрос: «Сколь­ко всего натуральных чисел?» — приходится от­ветить, что их бесконечно много. Какое бы большое число натуральных чисел мы ни заду­мали, всегда есть такие натуральные числа, которые не вошли в число задуманных.

В математике мы постоянно сталкиваемся с примерами бесконечных множеств. Возьмем, например, равносторонний треугольник T1 впи­шем в него равносторонний треугольник Т2. Вершины треугольника Т2 суть середины сто­рон треугольника Т1. Таким же образом впи­шем в Т2 равносторонний треугольник Т3, в Т3 впишем T4 и т. д. (рис. 1). Это построение

T1, T2, T3, T4,T5,... Tn,... . (1)

Тем более бесконечным является множество всех вообще равносторонних треугольников, лежащих в данной плоскости.

Последняя фраза несколько двусмысленна: слово «более» может быть воспринято в ней как составная часть выражения «тем более», упот­ребленного в смысле «и подавно». Раз есть уже бесконечное множество равносторонних тре­угольников, получающихся при некотором оп­ределенном построении, то и подавно множе­ство всех равносторонних треугольников бесконечно. Но слово «более» может быть понято и как сравнительная степень прилагательного, и тогда высказанное выше суждение означает, что множество всех равносторонних треуголь­ников, лежащих в данной плоскости, в каком-то смысле является «более бесконечным», чем бесконечное множестве» построенных нами треугольников

Т1, Т2, Т3…, Тn,…

Как видите, мы затронули интересный воп­рос, долгое время отпугивавший ученых: своей (впрочем, лишь кажущейся) парадоксально­стью: существуют ли, если можно так выра­зиться, различные «степени» бесконечности? Возможна ли количественная оценка бесконеч­ных множеств, позволяющая утверждать, что одно из двух бесконечных множеств является «более бесконечным», чем другое? Или же ут­верждение, что данное множество является бес­конечным, окончательно в том смысле, что не дает возможности дальнейших различений или градаций количественного характера.

Первым, кто пытался ответить на этот во­прос, был знаменитый чешский математик и философ Б. Больцано (1-я половина XIX в.), но он не сумел полностью преодолеть все труд­ности, которые при этом возникли. Постара­емся разобраться, в чем эти трудности и каково решение поставленного вопроса.

Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами

Предположим, что мы имеем два конечных множества, например корзину яблок и корзину груш. Желая установить, чего у нас больше — яблок или груш, мы можем (и это будет самое простое решение вопроса) сосчитать число плодов в каждой корзине. Получим два чи­сла, — сравнение их и даст ответ на наш вопрос.

Но если мы имеем два бесконечных множе­ства, то определить аналогичным образом, какое из них является «более бесконечным», а какое — «менее», нельзя по той простой причине, что бесконечное множество нельзя «сосчи­тать». Во всяком случае, мы не знаем, как это сделать. Поэтому постараемся ответить на во­прос, чего у нас больше — яблок или груш, не сосчитывая их, т. е. не пользуясь понятием

Бернард Больцано.

числа. Вот какой представляется для этого путь.

Разложим наши яблоки, хотя бы на столе, и попробуем положить против каждого яблока по груше. Возможны три случая (рис. 2).

Первый случай: против каждого яблока дей­ствительно окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разложенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш.

Второй случай: против каждого яблока окажется по груше, но при этом еще останется несколько груш в корзине — в этом случае у нас больше груш, чем яблок.

Наконец, возможен последний, третий случай: стараясь разложить все груши так, чтобы против каждого яблока лежала груша, мы не достигнем цели — нам не хватит груш. Тогда, очевидно, груш меньше, чем яблок.

Как видите, мы смогли произвести количе­ственную оценку двух множеств — корзины яблок и корзины груш, не сосчитывая точно, сколько имеется тех и других плодов, но уста­новив, каких плодов больше, или убедившись, что их имеется одинаковое количество. Эту оценку мы произвели, установив, как говорят, взаимно-однозначное соответ­ствие между одним множеством и другим или частью другого. Для лучшего уяснения, что такое взаимно-однозначное соответствие между

двумя множествами, приведем еще несколько примеров.

Дается концерт. Чтобы на него пойти, надо купить билет. Перед нами два множества: мно­жество людей, которые хотят пойти на этот концерт,— обозначим его через А и множество билетов — обозначим его через В. Возможны разные случаи. Первый (не очень вероятный, но математически самый простой): все желаю­щие пойти на концерт приобрели билеты, и все билеты при этом оказались проданными. Тогда каждому элементу множества А (т. е. каждому человеку, желающему пойти на концерт) соот­ветствует определенный элемент множества В (купленный этим человеком билет). При этом каждый элемент множества В поставлен в соот­ветствие одному-единственному элементу мно­жества А (человеку, купившему этот билет). Установлено взаимно-однозначное соответст­вие между множеством А и множеством В, или установлено взаимно-однозначное отобра­жение одного из этих множеств на другое.

Однако может случиться, что каждый чело­век, желавший пойти на концерт, купил себе билет, но в кассе остались еще не распроданные билеты. Опять получается взаимно-однознач­ное отображение множества А, но уже не на все множество В, а только на некоторую его часть — на ту часть, или, как говорят, на то подмножество, множества В, которое состоит из всех проданных билетов. Может, наконец, случиться, что все билеты проданы, но не все желающие пойти на концерт смогли купить билеты. Тогда обозначим через А' мно­жество тех людей, которые не только хотели пойти на концерт, но и получили на него билет. Множество А' оказалось взаимно-однозначно отображенным на множество В.

В математике можно найти многочисленные примеры взаимно-однозначных соответствий. Например, каждой вершине треугольника или тетраэдра соответствует противоположная этой вершине сторона или грань. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством всех вершин треугольника (тетраэдра) и множеством всех его сторон (гра­ней). Множество всех сторон правильного мно­гоугольника находится во взаимно-однознач­ном соответствии с множеством всех перпен­дикуляров, которые опущены на эти стороны из центра правильного многоугольника. Мно­жество всех боковых граней пирамиды нахо­дится во взаимно-однозначном соответствии с множеством апофем этой пирамиды и т. д.

Особенно существенным является тот факт, что взаимно-однозначное соответствие возмож­но и между некоторыми бесконечными множест­вами. Приведем примеры. Обозначим через А множество всех точек данной окружности, а через В — множество всех прямых, являющих­ся касательными к этой окружности (рис. 3, 1). Между множествами А и В установится взаим­но-однозначное соответствие, если мы каждой точке окружности поставим в соответствие ка­сательную в этой точке. Таким образом, каж­дому элементу множества А соответствует един­ственный элемент множества В, и каждый эле­мент множества В (т. е. каждая касательная) при этом поставлен в соответствие единствен­ному элементу множества А — точке прикос­новения данной касательной.

Второй пример. Возьмем две пересекающие­ся прямые a1 и b1 (рис. 3, II). Обозначим через А множество всех точек прямой a1, а через В — множество, состоящее из прямой b1 и из всех прямых, ей параллельных. Каж­дому элементу b множества В (т. е. каждой пря­мой b, параллельной прямой b1 или совпадаю­щей с ней) соответствует единственный эле­мент множества А — единственная точка пря­мой a1, в которой ее пересекает прямая b.

В качестве третьего примера возьмем уже рассмотренное нами множество равносторон­них треугольников

T1, Т2,...Тn,...,

каждый из которых, кроме первого, вписан в предыду­щий (рис. 3, III). Множество всех этих треугольников обоз­начим через X. Каждый тре­угольник получил определен­ное натуральное число n в ка­честве своего номера.

Номером треугольника Тn является натуральное число n. Этим, очевидно, установлено взаимно-одно­значное соответствие между множеством X на­ших треугольников и множеством всех нату­ральных чисел.

Счетные множества

Вообще, если все элементы какого-нибудь множества X удается занумеровать посредст­вом натуральных чисел так, что каждое нату­ральное число придано в качестве номера лишь одному элементу множества X, то такой нуме­рацией устанавливается взаимно-однозначное соответствие между данным множеством X и множеством всех натуральных чисел. И обрат­но, всякое взаимно-однозначное соответствие между каким-нибудь множеством X и множе­ством всех натуральных чисел можно рассмат­ривать как нумерацию (сосчитывание) элемен­тов множества X посредством натуральных чисел,— мы просто приписываем каждому эле­менту множества X в качестве номера соответ­ствующее ему натуральное число.

Мы здесь коснулись очень важного понятия. Ведь установление взаимно-однозначного соот­ветствия между некоторым множеством X и множеством всех натуральных чисел есть пря­мое перенесение в область бесконечных мно­жеств пересчитывания какого-либо конечного множества (например, корзины яблок или стада гусей) с помощью натуральных чисел. Только в случае конечных множеств мы для сосчитывания его элементов нуждаемся лишь в конеч­ном числе чисел (мы считаем: раз, два, три и т. д.— до того числа, которое показывает, сколько у нас яблок в корзине или гусей в ста­де). В примере множества треугольников

Т1,Т2, Т3,...,Тn,... (1)

или вообще любого множества X, которое мо­жет быть приведено во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел, мы вынуждены в качестве номеров поль­зоваться всеми натуральными числами.

Но теперь возникает самый главный, основ­ной для всей теории множеств вопрос. Всегда ли можно занумеровать элементы бесконечного множества натуральными числами так, чтобы каждый элемент данного множества получил определенный номер? Другими словами, можно ли установить взаимно-однозначное соответ­ствие между произвольным бесконечным множеством и множеством всех натураль­ных чисел?

Оказывается, ответ на этот вопрос отри­цательный, и мы постараемся убедиться в этом. Но сначала несколько подготовимся. Прежде всего установим название для тех множеств, которые могут быть поставлены во взаимно-­однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел. Эти множества называются счетными. Это название естественно: счет­ное множество — это такое множество, которое может быть сосчитано посредством натуральных чисел. Наша задача — показать, что сущест­вуют несчетные множества, т. е. такие, которые не могут быть поставлены во взаимно-одно­значное соответствие с множеством всех нату­ральных чисел.

Множество всех рациональных чисел счетно

В поисках несчетного множества обратимся к множеству всех рациональных чисел (чита­тель, конечно, помнит, что рациональными называются все целые и все дробные числа). Посмотрим, можно ли занумеровать все рацио­нальные числа с помощью натуральных. Для простоты рассмотрим сначала все положитель­ные рациональные числа и попробуем их как-нибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся с трудностью: среди положительных рацио­нальных чисел заведомо нет наименьшего чис­ла, каким является единица среди натураль­ных чисел: ведь каково бы ни было положительное рациональное число r, число 1/2r также

является положительным рациональным чис­лом, и оно меньше, чем r. Предположим, мы обойдем эту трудность, начав счет с какого-нибудь рационального числа r1, которое со­гласимся считать первым. Но тогда на следую­щем этапе возникает такая трудность: какое рациональное число считать вторым, т. е. не­посредственно следующим в порядке нашего счета за числом r1? Дело в том, что, какое бы рациональное число r2>r1 мы ни взяли, имеются рациональные числа большие, чем r1,

и меньшие, чем r2, и таких бесконечное мно­жество, например числа:

r3=1/2 (r1+r2), r4=1/2(r1+r3),...

Таким образом, среди всех рациональных чисел, больших, чем выбранное нами число r1, нет наименьшего. Какое же объявить пер­вым из следующих за r1? Но возникшая труд­ность — кажущаяся. Она показывает только, что невозможно занумеровать рациональные числа с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы при этой нумерации возраста­ющим номерам соответствовали возрастающие числа. Придется попытаться занумеровать ра­циональные числа как-нибудь иначе, не стре­мясь к тому, чтобы число r2, первое после r, в порядке нашего счета, было и первым по величине, т. е. наименьшим из всех следую­щих за r1. А тогда нужная нам нумерация находится очень легко.

В самом деле, каждое положительное ра­циональное число однозначно записывается

в виде несократимой дроби p/q (целое число n будем при этом записывать в виде дроби n/1 и также считать ее несократимой). Назовем высотой дроби — натуральное число q+р.

Под высотой рационального числа будем пони­мать высоту той единственной несократимой дроби, которая является записью данного ра­ционального числа.

Посмотрим, сколько приходится рациональ­ных чисел на каждую данную высоту. Высоту

1 не имеет ни одно положительное рациональ­ное число (потому что, записывая рациональное

число в виде несократимой дроби p/q, видим,

что ее высота равна натуральному числу р+q, а так как p³1, q³1, то р+q³2). Высоту

2 имеет, очевидно, единственное рациональное

число 1/1=1.

Высоту 3 имеют дроби 1/2 и 2/1, т. е. рациональные числа 1/2 и 2.

Высоту 4 имеют дроби 1/3, 2/2, 3/1.

Среди них оставляем лишь несократимые

1/3 и 3/1. Итак, высоту 4 имеют рациональные

числа 1/3 и 3.

Высоту 5 имеют дроби 1/4, 2/3,3/2,4/1, среди которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа.

Высоту 6 имеют дроби 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,5/1,

среди которых несократимыми являются лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6

имеют числа — и 5.

О

Продолжая рассуждать таким образом даль­ше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число h>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой.

В самом деле, дроби с высотой h — это, очевидно,

1/(h-1), 2/(h-2),...(h-1)/1.

Их конечное число: h-1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой h.

Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа: мы начи­наем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и со­считывая то (всегда конечное) число рациональ­ных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число 1=r1 получает

номер 1. Далее идут два числа: r2=1/2 и r3=2 высоты 3, потом два числа: г4=1/3 и r5=3

высоты 4, потом четыре числа: r6=1/4, r7=2/3,

r8 =3/2, r9=4 высоты 5, два числа: r10 =1/5,

r11=5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу (через nh обозначено число рациональных чи­сел высоты h):

Так как каждое рациональное число имеет своей высотой некоторое натуральное число h, оно найдет свое место в строке, соответствую­щей этой высоте, и получит определенный но­мер, не больший, чем число n2+n3+...+nh_1+nh.

Итак, множество всех положительных ра­циональных чисел есть счетное множество.

Множество всех действительных чисел несчетно

И тем не менее несчетные множества суще­ствуют. Оказывается, множество всех дейст­вительных чисел — несчетно. Этот заме­чательный факт, как и теорема о счетности множества всех рациональных чисел, впервые в 1874 г. был доказан знаменитым немецким математиком Г. Кантором, основателем современной теории множеств.

Георг Кантор.

Воспроизводим доказательст­во Кантора. Доказываем, что несчетным являет­ся уже множество всех действительных чисел интервала1 (0; 1).

Каждое такое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби с целой частью нуль. При этом каждому действительному числу соответствует лишь од­на такая запись, за исключением действительных чисел, выражаемых конечными десятичны­ми дробями: каждое такое число, например 0,2476622021711, может быть записано двумя способами в виде бесконечной десятичной дроби:

0,2476622021711000000000... и

0,2476622021710999999999...

Одна из этих записей начиная с некоторого момента содержит одни лишь нули, а другая— одни девятки. Если мы согласимся не употреблять записей, в которых, начиная с какого-нибудь места, идут одни девятки, то каждое действительное число будет иметь лишь един­ственную запись в виде бесконечной десятич­ной дроби. Докажем теперь теорему о несчет­ности множества действительных чисел от про­тивного: предположим, что множество дей­ствительных чисел [мы говорим все время о чис­лах X интервала (0 ; 1)] счетно, т.е. может быть занумеровано посредством натуральных чисел. Тогда вся совокупность действительных чисел интервала (0 ; 1) может быть записана

в виде последовательности: х1, х2,... Запишем

разложение числа xn в бесконечную десятичную

дробь в виде: xn=0, а(n)1 а(n)2 а(n)3 а(n)4 ... а(n)n,

где а(n)1, а(n)2, а(n)3,... суть последовательные десятичные знаки числа xn, причем, согласно заключенному нами условию, не может слу­читься, что все десятичные знаки начиная с некоторого суть девятки.

Итак, все действительные числа х [интерва­ла (0; 1)] предполагаются записанными в виде:

Приведем наше предположение к противоре­чию, найдя действительное число с, заклю­ченное между 0 и 1 и заведомо не входящее в табл. I. Для этого рассмотрим цифры, стоя­щие по диагонали в табл. I, а именно:

а(1)1,а(2)2,а(3)3,а(4)4,а(5)5,...,а(n)n,...,

и выберем для каждого n натуральное число bn, не превосходящее число 8 и отличное от числа a(n)n (например, при а(n)n<8 полагаем bn=а(n)n+1, а при a(n)n=8 полагаем bn=7).

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь

0, b1b2b3b4b5...bn....

Она не содержит ни одной девятки и выражает число с, заключенное между 0 и 1, заведомо отличное от всех чисел х1, x2, x3, ..., хn,... В самом деле, если бы было:

с=хn=0, а(n)1 a(n)2 ... а(n)n...,

то на n-м месте в разложении числа с мы должны были бы иметь цифру а(n)n, тогда как действительно имеем bn¹a(n)n. Теорема доказана.

Мощность множества

Нам нужно осмыслить полученный резуль­тат и подвести некоторые итоги всему до сих пор сказанному. Мы начали с понятия взаим­но-однозначного соответствия между двумя

Фокус геометрии движения

Начертите замкнутую кривую, пере­секающую себя 10—12 раз. Но кри­вая может пересечь себя в каждой точке не больше одного раза. Все точки пересечения обозначьте различными буквами (в любом порядке). Теперь поставьте карандаш на любую не узловую точку и двигайтесь вдоль кривой, как бы повторил ее построение. Проходя узловую точку, называйте букву, которой точка обозначена.

Обойти надо всю кривую и вернуть­ся в исходный пункт. На каком-нибудь этапе движения назовите две после­довательно проходимые буквы, но не в порядке их следования, а наоборот. Например, если за буквой В следует буква F, вы произносите вслух не «В, F», a «F, В». Мне не сооб­щайте о такой перестановке после­довательности двух букв, но запо­мните это место. Я его угадаю.

Фокус основан на теореме теории узлов. Угадывающему надо записы­вать называемые буквы на полоске бумаги поочередно сверху черты и

снизу. Если перестановки букв не бы­ло, то каждая буква появится однаж­ды сверху и однажды снизу черты. Если перестановка была, то одна бук­ва появится дважды сверху и одна дважды снизу. Вот в этих буквах и бы­ла перепутана их последовательность! Пример. Мне называют буквы: С, С, Е, А, В, D, Е, A, D, В.

Я записываю:

Замечаю, что сверху черты два раза встречается Е, а снизу — два раза А. Значит, узлы Е и А были названы не в той последовательности, в которой они действительно распо­лагались.

множествами, возможность которого (в случае конечных множеств) равносильна тому, что оба множества состоят из одного и того же числа элементов. Это обстоятельство указывает путь и к установлению количественного равенства, или количественной эквивалентно­сти, между двумя бесконечными множест­вами. Мы скажем, что два (конечных или бес­конечных) множества количественно эквива­лентны, или имеют одну и ту же мощность, если между ними возможно установить взаим­но-однозначное соответствие. Понятие «одина­ковой мощности» означает для конечных мно­жеств, что они состоят из одного и того же числа элементов.

Далее скажем, что множество А имеет боль­шую мощность, чем множество В, если можно множество В отобразить взаимно-однозначно на часть множества А и в то же время нельзя отобразить множество А на часть множества В. Теперь можем сказать, что счетные мно­жества — это множества, количественно эквива­лентные множеству натуральных чисел. Но существуют множества и несчетные, например множество всех действительных чисел, интер­вала (0 ; 1) и любого другого интервала1.

Для того чтобы убедиться в том, что всякое несчетное множество имеет большую мощность, чем каждое счетное множество (все счетные мно­жества имеют, очевидно, одну и ту же мощ­ность), надо доказать следующие два пред­ложения:

1. Всякое подмножество счетного множе­ства или конечно, или счетно.

2. Всякое бесконечное (значит, в частности, всякое несчетное) множество содержит счетное.

Доказательство первого утверждения. Пусть X — счетное множество, Х0 — какое-нибудь подмножество (т. е. часть) множества X. Элементы множества X могут быть занумерованы посредством натуральных чисел, т. е. записаны в виде:

x1, x2, x3,..., xn.... (2)

Среди этих элементов содержатся и все элементы множества Х0. Пусть это будут — в порядке возрастания номеров в последовательности (2) — элементы:

xn1,xn2,xn3,xnk,... (3)

Возможно одно из двух: или последовательность (3) обрывается на каком-то конечном

шаге k, т. е. множество Х0 состоит из конеч­ного числа элементов: хn1, хn2,..., xnk, или же мы имеем бесконечную последовательность: xn1, хn2,..., xnk ..., которую можем переписать, полагая y1=хn1, у2=хn2,..., yk=xnk,..., в виде:

y1, y2,... yk,...,

непосредственно показывающем, что Х0 — счетное множество.

Доказательство второго ут­верждения. Пусть X — бесконечное мно­жество. Выбираем в X какой-нибудь элемент x1.

Несомненно, в X имеются элементы, отлич­ные от х1 (иначе X состояло бы из одного элемента и было бы конечным). Возьмем один из таких элементов и обозначим его через x2, Элементы х1 и х2 не исчерпывают множества X, поэтому существует элемент х3 множества X, отличный как от х1, так и от x2. И так далее. Продолжая этот процесс, получим счет­ное множество: x1, x2, x3,..., xn,..., содержаще­еся в X.

Итак, на вопрос, поставленный в начале нашего изложения: существуют ли бесконечные множества разных «степеней бесконечности» (т. е. разных мощностей),— мы можем ответить утвердительно: существуют состоящие. из действительных чисел множества двух раз­личных мощностей — множество всех дейст­вительных чисел какого-нибудь интервала, с одной стороны, и любое счетное множества действительных чисел (например, множество положительных рациональных чисел) — с дру­гой. К этому выводу мы пришли, обосновывая количественную оценку бесконечных множеств, при помощи понятия взаимно-однозначного со­ответствия. Однако не следует думать, что взаимно-однозначное соответствие между беско­нечными множествами во всем похоже на взаимно-однозначное соответствие между мно­жествами конечными.

Очевидно, никакое конечное множество нельзя взаимно-однозначно отобразить на свою часть (часть никогда не равна целому). Уже простейшие примеры показывают, что это ут­верждение решительно перестает быть верным в области бесконечных множеств: мы видели, что всякое бесконечное подмножество счетного, множества счетно, т. е. счетное множество может быть взаимно-однозначно отображено на всякую свою бесконечную часть. Например,

1 Всякий интервал числовой прямой может быть взаимно-однозначно отображен на интервал (0; 1) например, подобным растяжением или сжатием).

•подписывая под всеми натуральными числами подряд все четные:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...,

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...,

получим взаимно-однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и его частью — множеством одних лишь чет­ных чисел.

Другой пример: существует взаимно-одно­значное отображение между множеством всех

действительных чисел (между всей числовой прямой) и любым ее интервалом.

Для того чтобы получить такое соответст­вие, можно поступить так. Построим в пло­скости окружность, касающуюся сверху оси абсцисс, и возьмем нижнюю полуокружность PQ этой окружности (рис. 4). Концы Р и Q полуокружности к ней не причисляются. Уста­новим взаимно-однозначное соответствие меж­ду всеми точками полуокружности PQ и всеми точками числовой прямой. Для этого сначала поставим в соответствие каждой точке x пря­мой ту точку h полуокружности, в которой ее пересекает луч, идущий из центра окруж­ности в точку x.

Теперь спроектируем полуокружность PQ на интервал Р'Q' оси абсцисс и поставим в соответствие точке h полуокружности ее проекцию h'.

В результате каждой точке x прямой ока­залась поставленной в соответствие точка h' интервала P'Q', и полученное соответствие есть взаимно-однозначное отображение всей числовой прямой на интервал P'Q'.

Можно доказать и другие, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными, теоремы

Свойства совершенных чисел

«Совершенство» совершенных чисел не исчерпывается совпадением числа и суммы его делителей (см. стр. 325). Любители и профессио­налы-математики со временем обнару­жили еще несколько любопытных осо­бенностей таких чисел, например:

а) каждое из известных совершен­ных чисел может быть представлено:

1) в виде произведения 2 p-1(2р-1), где p—простое число:

V1=6=2(22-1);

V2=28=22(23-1);

V3=496= 24(25-1);

V4=8128=26(27-1);

V5=33550336=212(213-1);

2) в виде суммы последовательных степеней числа 2 от 2p-1 до 22(p-1):

V1=6=2+22;

V2=28=22+23+24;

V3=496=24+25+26+27+28;

V4=8128=26+27+...+211+212;

V5=33550336=212+213 +. . .+224

и т. д.;

б) каждое из известных совер­шенных чисел, начиная с V2, разла­гается на сумму кубов последователь­ных нечетных чисел:

V2=28=13+33; V3=496=13+33+53+73;

V4=8128 =13+33+53+73+93+113+133+153;

V5=33550336= 13+33+. . . + 1273 и т. д.;

в) складывая цифры каждого из известных совершенных чисел, начи­ная с V2, и повторяя этот процесс для получающегося результата неко­торое количество раз, всегда в конце концов получим число 1:

V2=28; 2+8=10; 1+0=1; V3=496; 4+9+6=19;

1+9=10; 1+0=1; V4 = 8128; 8+1+2+8=19;

1 + 9 = 10; 1+0=1; V5 = 33550336; сумма цифр=28; 2+8=10; 1+0=1 и т. д.; г) если за основание системы чисел принять не 10, а 2, как это теперь иногда приходится делать для использования электронных вычисли­тельных машин, то совершенные числа принимают такой вид:

по основанию 10 V1=6=2(22-1); V2=28=22(23-1); V3 =496=24(25-1); V4=8128= 26(27-1);

по основанию 2 V1=110; V2=11 100; V3=111 110 000; V4= 1 111 111 000 000 и т. д.

Как видим, в системе с основа­нием 2 число единичек совпадает с числом р в десятичной записи совер­шенного числа

Vn=2p-1 (2p-1), а число нулей равно p-1.

Желающим предлагаем попробо­вать свои силы в решении следующей трудной задачи, связанной с указан­ным выше свойством 6).

Доказать, что каждое совершен­ное число вида

Vn=2p-1(2p-1), начиная с V2 , разлагается на сумму кубов нечетных чисел, где количество

слагаемых равно 2 в мощности различных множеств. Упомянем лишь одну из них: существует взаимно-одно­значное соответствие между всеми точками прямой и всеми точками плоскости.

Заметим, наконец, следующее. В матема­тике наибольшее значение имеют так называ­емые числовые множества, т. е. множества, эле­ментами которых являются действительные числа. Все известные в настоящее время чис­ловые множества или счетны, или имеют ту же мощность, что и вся числовая прямая. Воз­никла, таким образом, гипотеза, что всякое несчетное числовое множество имеет ту же мощность, что и вся числовая прямая. Эта гипотеза была высказана еще Кантором и из­вестна под названием континуум-гипотезы. Она не доказана до сих пор, что связано, по-види­мому, с большими трудностями, возникающими при рассмотрении произвольных числовых множеств. Трудности эти получают свое осве­щение в так называемой математической ло­гике, и мы о них здесь, конечно, говорить не можем.

Эта статья имеет своей целью дать лишь начальное представление о некоторых простей­ших понятиях обширной области математики — теории множеств, области, возникшей менее чем сто лет назад.