АРИФМЕТИКА НАПРАВЛЕННЫХ ОТРЕЗКОВ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Направленные отрезки — векторы

Выберем в пространстве некоторую точку Р и рассмотрим различные отрезки РА, РВ, PC,..., начало которых расположено в точке Р, а концы — в каких-либо точках А, В, С,.. пространства (рис. 1). Таким образом, на каждом из этих от­резков выделяется определенное направление, иду­щее от точки Р (общего начала всех рассматри­ваемых отрезков) к концу отрезка. По этой при-

Рис. 2. Величину и направление силы можно изобразить вектором.

чине они называются не просто отрезками, а на­правленным и отрезками, приложенными в заданной точке Р; чтобы подчерк­нуть это обстоятельство их обозначают

®, РВ®, PC®,...,

т. е. над отрезком простав­ляют стрелку. Принято так­же называть каждый направленный отрезок корот­ким словом «вектор».

Интерес к векторам возник в науке уже очень давно. Еще в самом начале XVII в. голланд­ский ученый С. Стевин использовал векторы для наглядного представления сил. Так как каж­дая сила, приложенная к некото­рой точке Р твердого тела, имеет вполне определенное направление, то для геометрического изображе­ния этой силы удобно воспользо­ваться лучом РР', имеющим то же. направление, что и сила; от­ложим на этом луче от точки Р

направленный отрезок РА, дли­на которого (выраженная, скажем, в мм) равна числу, которое изме­ряет величину рассматриваемой силы (выраженную, скажем, в кГ). Таким образом, каждая сила, приложенная в точке твердого те­ла, изобразится своим вектором (рис. 2).

Правила сложения векторов, приложенных в точке Р

Чтобы прибавить к вектору РА® (первое слагаемое) вектор РВ® (вто­рое слагаемое), поступим следую­щим образом (рис. 3): а) построим середину С отрезка АВ; б) по­строим точку Q, симметричную точке Р относительно точки С, т. е. так расположенную на луче PC, что точка С является середи­ной отрезка PQ. Полученный век­тор PQ® будем называть суммой векторов РА® (первое слагаемое) и РВ® (второе слагаемое); будем это кратко записывать формулой:

pa®+pb®=pq®. (1)

Описанное правило сложения векторов на­зовем правилом середины.

Если слагаемые векторы РА® и РВ® не лежат на одной прямой, то, как легко видеть из

рис. 4, вектор PQ®, являющийся их суммой,

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма: PQ®=PA® +PB®.

представляет собой диагональ параллелограм­ма, сторонами которого являются векторы РА®

и РВ® (в самом деле, в четырехугольнике PAQB диагонали АВ и PQ делят друг друга пополам,— это непосредственно вытекает из правила середины).

Таким образом, для сложения векторов РА

и РВ, не лежащих на одной прямой, можно вместо правила середины воспользоваться сле­дующим правилом: строим параллелограмм PAQB, сторонами которого являются векто­ры-слагаемые РА и РВ, т. е. из конца А пер­вого слагаемого строим прямую, параллельную второму слагаемому, а из конца B второго слагае­мого строим прямую, параллельную первому сла­гаемому. Точка Q пересечения построенных пря­мых и будет концом вектора PQ, являющегося

суммой слагаемых РА и РВ. Для краткости го­ворят: сумма двух векторов есть вектор, являю­щийся диагональю параллелограмма, построен­ного на слагаемых векторах.

Это правило сложения векторов называют правилом параллелограмма. Оно, однако, непригодно, когда слагаемые векторы лежат на одной прямой — такие векторы на­зываются коллинеарными; в этом случае применяют правило середины.

Рассмотрим, например, случай, когда век­тор PC складывается с самим собой, т. е. когда

разыскивается сумма PC + PC (рис. 4а). Прибегнем к правилу середины: а) середина отрезка СС, соединяющего концы слагаемых векторов, есть, очевидно, точка С; б) остается

Рис. 4 о. Сумма двух равных векторов:

PC®+PC®=2PC®=PQ®.

построить точку Q, симметричную точке Р относительно точки С,— она будет концом отрезка PQ, серединой которого является точ­ка С.

Таким образом, вектор PC®+PC® направлен одинаково с вектором PC и имеет длину вдвое

большую, чем длина вектора PC. Этот вектор — сумму двух одинаковых слагаемых — обозна­чают 2•PC®. Итак:

РС®+РС®=2•РС®. (2)

Полезно запомнить (это нам понадобится в дальнейшем), что если точка Q симметрична точке Р относительно точки С, то

РQ®=2•РС®.

Эту формулу записывают также и в следующем виде:

PC®=1/2•PQ®. (3)

Возвратимся теперь к случаю, когда складываются два произвольных коллинеарных вектора (сонаправленных или противона­правленных). Применяя правило середины, придем к следующим результатам: при сложе­нии двух сонаправленных векторов1 РА® и

РВ (рис. 4б) получается вектор PQ®, который имеет такое же направление, как и слагаемые векторы, а его длина равна сумме длин слага-

Рис. 4 б. Сложение коллинеарных сонаправленных векторов: РA®+PB®=PQ®.

Рис. 4 в. Сложение коллинеарных противонаправленных век­торов: PA®+РВ®=PQ®.

емых векторов; при сложении двух противо­направленных векторов1 РА® и РВ® (рис. 4в) получается вектор, имеющий направление та­кое же, как и направление того слагаемого вектора, который имеет большую длину; его длина равна разности длин слагаемых векторов.

Равнодействующая сила

Рассмотренное нами правило сложения век­торов находит свое применение не только в математике, но играет очень важную роль так­же и в физике. Если в какой-либо точке Р при­ложены две силы, то, как известно, их совмест­ное действие равносильно действию некоторой одной силы (также приложенной в точке Р) — ее называют равнодействующей. Мно­гочисленные физические опыты и явления под­тверждают справедливость следующего закона: если в точке Р приложены две силы, которые

изображаются векторами РА® и РВ®, то равно­действующая этих сил изображается вектором

PQ®, который равен сумме векторов РА® и РВ®.

Особый вектор — вектор нуль

Особое внимание следует уделить сложению векторов в случае, который изображен на рис. 5. Здесь точка Р — общее начало обоих

1 Векторов, у которых точка Р внутри отрезка АВ.

слагаемых векторов РА® и РА®' — расположена в середине отрезка АА', соединяющего их концы. Такие векторы называются взаимно противоположными (или равнопротивоположными); они противонаправлены и имеют одну и ту же длину.

Применим к ним правило середины: а) стро­им середину С отрезка АА',— она совпа­дает, очевидно, с точкой Р; б) строим точку Q, симметричную точке Р относительно точ­ки С, т. е. в данном случае относительно точки Р; получаем, что и точка Q совпадает с Р.

Таким образом, сумма двух равнопротивопо­ложных векторов РА® и РА®' есть вектор РР®:

т. е. вектор, у которого конец совпадает с на­чалом. Быть может, первое чувство побудит чита­теля отнестись с недоверием к такому векто­ру хотя бы потому, что у него нет направле­ния. Но если отказаться от рассмотрения та­кого «особого» вектора, то придется признать, что не всякие два вектора можно сложить, а это, конечно, нежелательно.

Итак, любые две точки Р и А, независи­мо от того, различны они или совпадают,

определяют вектор РА®.

Чтобы окончательно увериться в полезной роли «особого» вектора, убедимся, что

pa®+pp®=ра® (5)

(это легко следует из правила середины).

Формула (5) показывает, что вектор РР® играет в арифметике векторов такую же роль, какую число нуль играет в арифметике чисел. По этой

причине вектор РР® называют нуль-вектором. Обратим еще внимание на то, что в форму­ле (4) вектор РА®' играет такую же роль, как и число -а в алгебраической формуле

а+(-а)=0.

Целесообразно поэтому обозначать вектор РА®', равнопротивоположный вектору РА,

символом: -РА® (словами - «минус РА®»).

Формула (4) может быть записана теперь в следующем виде:

РА®+(-РА®)=РР®. (4')

Легко понять, что

-(-РА®) = РА®. (4")

Свойства операции сложения векторов

Совпадают ли они со свойствами операции сложения чисел?

Начнем проверку со свойства перемести­тельности. Нетрудно убедиться, что

PA®+РB®=РB®+РА®

(ведь середина отрезка АВ есть в то же время и середина отрезка ВА).

Теперь выясним, обладает ли операция сло­жения векторов свойством сочетательности, т. е. справедливо ли равенство

(РА®+РВ®)+РС®=РА®+(РВ®+PC®). (6)

Начнем с проверки на каком-либо примере (рис. 6 а,б). Убедимся, что действия над век­торами РА®, РВ®, PC®, указанные в правой части формулы (6), приводят к тому же вектору

PR, к которому приводят действия, указанные в левой части равенства (6).

Посоветуем выполнить проверку справед­ливости формулы (6) и для других каких-либо

векторов РА'®, PB'®, PC'®.

Можем ли мы теперь считать установленной справедливость формулы (6)?

Проверка справедливости сочетательного свойства сложения векторов даже на большом числе примеров не создает, конечно, полной

уверенности в справедливости этого свойства. Необходимо поэтому дать строгое доказатель­ство. Используем для этого одну простую гео­метрическую теорему: если А', В', С', D'— середины сторон АВ, ВС, CD, DA произвольного

четырехугольника (даже и не выпуклого), то се­редина отрезка А'С' совпадет с серединой отрезки B'D' (т. е. четырехугольник A'B'C'D' есть параллелограмм).

Доказательство этой теоремы читатель легко проведет, если воспользуется известной теоремой о средней линии треугольника. Следует только терпеливо рассмотреть различные возможные случаи расположения исходных четырех про­извольных точек А, В, С, D; два из них показа­ны на рис, 7 а и 7 б.

Обратимся теперь к доказательству форму­лы (6). Возьмем три вектора РА, РВ, PC (рис. 8 а), построим точки A', В', С', симметрич­ные точке Р относительно точек А, В, С соот­ветственно, и обозначим буквами М и N середины сторон А'В' и В'С' четырехугольника РА'В'С'.

Примем теперь во внимание, что середина отрезка АВ совпадает с серединой отрезка РМ; это справедливо в силу упомянутой выше вспомогательной теоремы, если применить ее к треугольнику РА'В' (второй частный случай; он показан на рис. 7 б). Поэтому, со­гласно правилу середины,

РА®+РВ®=РМ®.

Пусть R — середина отрезка МС, a R'— точка, симметричная точке Р относительно точки R. Тогда

где S' — точка, симметричная точке Р относи­тельно середины S отрезка AN.

Примем, наконец, во внимание, что точки R и S совпадают — это справедливо в силу указанной выше вспомогательной теоремы, если применить ее к четырехугольнику РА'В'С'; отсюда PR' совпадает с PS', и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Сумма многих векторов

Что такое сумма трех векторов? Ответ как будто очень простой — достаточно сложить два из них и полученный сложить с третьим. Но тут возникает вопрос: какие же два вектора из заданных трех сложить в первую очередь?

Однако теперь, когда мы убедились в спра­ведливости переместительного и сочетательного свойств сложения векторов, можно устано­вить понятие суммы трех векторов РА®, РВ®, PC®, не заботясь о том, какое из этих трех слагаемых считать первым, какое вторым, какое третьим.

В самом деле, все 6 возможных случаев (они указаны на таблице) дадут в результате

не 6 различных векторов, а один и тот же век­тор PS® — это легко следует из доказанных на­ми двух свойств операции векторного сложения. Теперь уже нетрудно понять, как составить

сумму и четырех векторов РА®, РВ®, PC®, PD® (не беспокоясь опять о том, в каком порядке они заданы). Выберем какие-либо три из этих

векторов (скажем, PC®, PA®, PD®) и составим их

сумму: PC®+РА®+PD®. Прибавив к ней остав­шееся четвертое слагаемое, получим вектор:

(PC® +РА®+PD®)+РB®= РS1®.

Если бы мы начали со сложения других трех слагаемых, то получили бы еще три воз­можных вектора:

Какой из этих четырех векторов PS®1 следует назвать суммой наших четырех слагаемых?

На этот вопрос трудно (и даже невозможно!) было бы ответить, если бы операция сложения

двух векторов не обладала свойствами переме­стительности и сочетательности. Но, к сча­стью, эти свойства имеют место, а из них логически следует, что все четыре вектора PS®i равны между собой. Так, например:

Правые части этих формул равны между собой, и, следовательно,

Легко теперь понять, что результат сложе­ния пяти слагаемых (шести, семи и т. д.) также не зависит от порядка, в котором они будут складываться. Можно также убедиться в справедливости сочетательного свойства сум­мы многих слагаемых, т е. доказать, что при нахождении суммы любого числа слагаемых век­торов можно их произвольным образом сочетать в две группы: в первую войдут какие-либо из слагаемых, во вторую — все остальные. Если теперь составить сумму всех слагаемых, входя­щих в первую группу, и прибавить к ней сумму всех слагаемых, входящих во вторую группу, то получится вектор, равный сумме всех исходных векторов.

В дальнейшем мы познакомим читателя еще и с другими действиями над векторами: вычита­нием вектора и умножением вектора и числа. Основные свойства этих операций мы запишем в общей, буквенной форме и таким образом ознакомимся с основами векторной алгебры.