ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ПОМОГАЕТ ГЕОМЕТРИИ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Зачем изучают векторную алгебру

Затем, что она создает возможность решать такие задачи геометрии, механики и физики, в которых в явной форме (а иной раз и в скры­той) участвуют направленные отрезки.

Мы уже говорили о том, что силы, рассмат­риваемые в механике и физике, очень наглядно

изображаются векторами; такую же нагляд­ность имеет векторное изображение перемеще­ний, скоростей.

Не столь ясно, однако, на первый взгляд, какую роль могут сыграть векторы при изуче­нии геометрии; но именно в этой области век­торная алгебра с особенным успехом может быть использована для решения задач.

Суть дела коренится в следующем обстоя­тельстве. Изучение многих геометрических проблем сводится к изучению взаимного рас­положения отдельных точек пространства, со­ставляющих рассматриваемые в задаче фигу­ры. Целесообразно поэтому выбрать в про­странстве какую-либо одну определенную точку (обозначим ее буквой Р и будем называть начальной точкой или коротко — на­чалом) и соединить ее направленным отрез­ком с каждой из тех точек А, В, С, которые входят в изучаемую фигуру.

Таким образом, мы получим векторы:

®, PB®, PC®,. . .,

т. е. для каждой точки М фигуры свой вектор:

РМ®. Его называют радиус-вектором1 точ­ки М, и он полностью характеризует расположе­ние точки М относительно начала. Другими словами, если точка М будет почему-либо утеряна, но сохранится ее радиус-вектор, мы ее легко восстановим, придется только учесть, где расположен конец этого радиус-вектора.

Важная для геометрии алгебраическая формула

Эта формула очень легко получается — стоит только алгебраически записать правило сере­дины, используя формулу (2). Если точка С — середина отрезка АВ, то по правилу середины:

PA®+PB®=PQ®,

где точка Q симметрична Р относительно точ­ки С. Учитывая, что в силу формулы (2)

РQ®= 2•PС®,

1 Это название, введенное впервые Кеплером, удер­жалось до настоящего времени, хотя оно не совсем удачно; приставка «радиус» перед словом «вектор» может создать у читателя ложное представление, что вместе с радиус-вектором следует еще рассмотреть и некоторую окружность. Однако это не так; дело толь­ко в том, что существует единый центр Р (мы его назва­ли началом), в котором начинаются все радиус-векторы РА, РВ,... тех точек, которые мы изучаем.

402

получим важнейшее для геометрических при­ложений основное правило:

РА®+РВ®= 2•РС®. (8)

Очень полезно запомнить его словесную фор­мулировку: сумма радиус-векторов двух ка­ких-либо точек равна удвоенному радиус-век­тору середины отрезка, определяемого этими точками. Эту формулу можно, очевидно (см. формулу (3), записать и в следующем виде:

РС® (1/2)•(PA®+PB®), (8')

или словами: радиус-вектор середины отрезка равен половине суммы радиус-векторов концов этого отрезка.

Формулы (8) и (8') записывают, таким обра­зом (на алгебраическом языке), простой гео­метрический факт — взаимное расположение се­редины произвольного отрезка относительно его концов. Это обстоятельство имеет очень важные последствия — оно создает возможность алгеб­раически записывать ( как мы в этом скоро убедимся) и более сложные геометрические фак­ты; отсюда возникает алгебраический (точнее, векторно-алгебраический) способ решения мно­гих геометрических задач.

Этот метод изучения геометрии дает не мень­ше пользы, чем метод алгебраического реше­ния арифметических задач. Покажем это на примерах.

Задача о двух параллелограммах

Пусть точки А, В, С, D — последователь­ные вершины параллелограмма; А', В', С', D' — последовательные вершины другого па­раллелограмма. Обозначим точки, являющиеся серединами отрезков АА', BВ', СС', DD', соответственно буквами А", B", С", D".

Что можно сказать о четырехугольнике А"В"С"D"? Посоветуем прежде всего сделать аккуратный чертеж, соответствующий усло­вию задачи, он сразу подскажет ответ: че­тырехугольник A"B"C"D" — параллело­грамм, у которого точки А", С" и В", D" — противоположные вершины.

Теперь следует дать геометрическое дока­зательство нашего (подсказанного только что проделанным опытом) предположения — пусть это сделает читатель самостоятельно. А сейчас познакомимся с новым — алгебраическим — методом решения этой задачи.

Начнем с того, что запишем, как это всегда делают при алгебраическом методе решения,

условие задачи с помощью формул. С этой целью выберем прежде всего какую-либо точ­ку в качестве начала всех радиус-векторов тех 8 точек, которые заданы в условии задачи:

PA®, PB®, PC®, PD®; PA'®, РВ'®, РС'®, PD'®.

Изобразите их на вашем чертеже.

Обозначим буквой М середину диагонали А С первого параллелограмма. Тогда, в силу формулы (8):

РА®+РС®=2•РМ®. (a)

Примем теперь во внимание, что эта точка М является также и серединой диагонали BD; поэтому

PB®+PD® = 2•PM®. (a')

Из равенств (а) и (а') следует, что

РА®+РС®=PB®+PD®. (9)

Словами: если А, В, С, D — последовательные вершины какого-либо параллелограмма, то их радиус-векторы (относительно произвольно вы­бранного начала) удовлетворяют равенству (9).

Легко убедиться в справедливости и об­ратной теоремы: если радиус-векторы точек А, В, С, D (не лежащих на одной прямой) удов­летворяют равенству (9), то эти точки яв­ляются последовательными вершинами парал­лелограмма .

В самом деле, пусть М — середина отрезка АС, N — середина отрезка BD. Тогда, в силу основного правила (8), получим:

PA®+РС®=2•PM®; РВ®+ PD®=2• PN®

По условию теоремы

РА®+ РС®=РВ®+PD®, (a)

поэтому

2• PM ®=2• PN®, и, следовательно,

РМ®=PN®,

а это показывает, что точки М и N совпадают; таким образом, диагонали АС и BD четырех­угольника ABCD делят друг друга пополам, а это означает, что ABCD — параллелограмм, что и требовалось доказать.

403

Равенство (9) записывает, таким образом, первую треть условия задачи; другая треть запишется, очевидно, равенством:

PА'®+РС'®=PB'®+PD'®. (9')

Перейдем теперь к алгебраической записи требований, содержащихся в доказываемой нами теореме; они, очевидно, состоят в том, что нужно доказать справедливость равенства:

PА"®+РС''®=PВ"®+PD"® (10)

(потому что его справедливость есть, как мы это выше установили, условие того, что точки А", В", С", D" — вершины параллелограмма). Приступая к доказательству справедливо­сти формулы (10), примем сначала во внима­ние, что по условию задачи (еще не записан­ная оставшаяся треть условия!)

2•РА®=РА®+ РА'®; 2•PC"®=PC®+ PC'® и, следовательно,

2•РА''®+2•PC"®=PА®+PA'®+PC®+РС'®; поэтому

2•(РА"® + PC''®)=PA®+РА'®+РС®+PC'®. (b) Учтем еще, что по условию задачи

2•РB"®=РВ®+PВ'®; 2•PD"®=PD®+PD'®, и получим:

2•(PB"®+2PD''®) = PВ®+PB'®+PD®+ PD'®. (b')

Нетрудно, однако, убедиться в том, что пра­вые части равенств (b) и (b') равны между собой — это сразу следует из формул (9) и (9'), с помо­щью которых мы записали условие задачи (если их почленно сложить и воспользоваться тем замечательным свойством сочетательности суммы многих векторов, о котором мы говорили на стр. 402). Отсюда следует, что и левые части формул (b) и (b') равны между собой, т. е. что

2•(РА"®+PC"®)=2•(РВ"®+PD"®);

поэтому оказывается справедливым равен­ство, которое и требовалось доказать.

Экономное обозначение для радиус-векторов

Оно возникает, если принять во внимание,

что радиусы-векторы РА®, РВ®, PC®, ... точек А, В, С, ..., рассматриваемых в какой-либо задаче, все имеют общее начало Р. Целесообразно поэтому не включать букву Р, изобра­жающую это начало, в обозначение радиус-вектора, а сохранить в обозначении только его конец, т. е. точку, которую он изображает.

Таким образом, векторы РА, РВ, PC, ... будем

обозначать А, В, С, .... Это упростит внешний вид формул. Чтобы привыкнуть к таким обо­значениям, полезно вернуться к решению за­дачи о двух параллелограммах и записать ее решение в новых обозначениях.

Укажем еще, что в печатном тексте вместо

изображения радиус-векторов символами A, B,... используют А, В, ..., т. е. те же буквы, но набранные жирным шрифтом.

Три задачи о треугольнике

1. Произвольная точка Р отражена от середины сторон треугольника A1A2A3, т. е. построены точки:

P1 — симметричная точке Р относительно середины стороны А2А3,

Р2 — симметричная точке Р относительно середины стороны А3А1,

Р3— симметричная точке Р относительно середины стороны А1А2.

Что можно сказать об отрезках А1Р1, А2Р2 А3Р3?

Ответ подскажет опыт, т. е. тщательно вы­полненный чертеж. Он покажет, что эти три отрезка пересекаются в одной точке, которая делит каждый из них пополам.

Рис. 9 а. Первая задача о треугольнике.

Для доказательства выберем начало радиус-векторов в точке Р и, исполь­зуя экономные обозначения, обозначим А1, А2, А3 радиус-векторы вершин заданного тре­угольника (рис. 9 а). (Не советуем эти радиусвекторы проводить на чертеже, достаточно себе их представить.) Тогда, в силу условия задачи, радиус-векторы точек Р1, Р2, P3, отражений точки Р, определяются по формулам:

P1=A2,+А3; Р2=А3+А1; Р3=А1+А2. Пусть С1 — середина отрезка A1P1; тогда:

2•С1=А1+Р1=А1+(А2+А3). Пусть С2 — середина отрезка А2Р2, тогда:

2•C2=A2+P2=A2+(A3+А1).

Учитывая, что правые части этих формул равны между собой, придем к выводу, что 2•С1=2•С2, т. е. убедимся, что отрезки А1Р1 и А2Р2 имеют общую середину С, имею­щую радиус-вектор C1=С2. Аналогичным спо­собом убедимся, что и отрезки A1P1 и А3Р3 имеют общую середину С, имеющую радиус-вектор C1=С3, Таким образом, все три отрезка имеют общую середину С, а это и требовалось доказать. Запомним, что

2•C=A1+A2+A3 (a)

2. Пусть точки Ql, Q2, Q3 — середины отрезков Р2Р3, P3P1, ,P1P2, рассмотренных в предыдущей задаче, а точки М1, М2, М3 — середины сторон А2А3, А3А1, А1А2. Что можно сказать об от­резках M1Q, M2Q2, M3Q3?

Рис. 9 б. Вторая задача о треугольнике.

Из рис. 9 б видно, что они пересекаются в одной точке, которая является их общей се­рединой. Вот алгебраическое доказательство:

2•Q1=Р2+Р3=(А3+А1)+(А1+А2)=2•А1+А2+А3, (b)

2•Q2=P3+Р1=(А1+A2)+(А2+А3)=2•A2+A3+A1, (b')

2•Q3=Р1+Р2=(А2+А3)+(А3+А1)=2•A3+A1+A2, (b'')

Если D1 — середина отрезка М1 Q1, то 2•Dl = M1+Q1

и, следовательно,

Аналогичным образом получим:

Правые части формул (g), (g'), (g") равны между собой, и поэтому D1=D2=D3, что и требова­лось доказать.

3. Что можно сказать о прямых A1Q1, A2Q2, A3Q3?

Ответ. Они пересекаются в одной точке, которая симметрична точке Р относительно точки С (сделать чертеж).

Доказательство. Обозначим бук­вой Р' точку, симметричную точке Р относи­тельно точки С; тогда Р'=2С и, в силу фор­мулы (a),

P'=A1+A2+A3.

Обозначим теперь буквой А1' середину отрез­ка А1Р'; тогда:

2•А'1=А1+Р'=2•А1+А2+А3. Правая часть этой формулы совпадает с пра­вой частью формулы (b), и поэтому А'1=Q1, т. е. точка А'1 есть не что иное, как уже из­вестная нам точка Q1. Отсюда следует, что точка Р' лежит на прямой A1Q1.

Аналогичным образом докажем, что она лежит и на прямой A2Q2, и на прямой A3Q3, а это и требовалось доказать.

Задача о двух центральных шестиугольниках

Шестиугольник А1А2А3А4А5А6 будем на­зывать центральным, если его главные диаго­нали А1А4, А2А5, А3А6 пересекаются в од­ной точке и делятся в этой точке пополам. Эту точку будем называть центром цен­трального шестиугольника1.

1 Если вершины шестиугольника лежат в одной плоскости, то он называется плоским, если же они не лежат в одной плоскости, то он называется косым. Центральный шестиугольник может быть либо плоским, либо косым. Но центральный четырехугольник обя­зательно плоский — это просто параллелограмм.

Рассмотрим теперь вместе с центральным шестиугольником A1A2A3A4A5A6 еще и какой-либо другой центральный шестиугольник BlB2B3B4B5B6 и рассмотрим точки C1, C2, С3, С4, С5, С6, являющиеся серединами отрезков А1B1, A2B2, ..., А6B6.

Требуется доказать, что эти точки явля­ются последовательными вершинами централь­ного шестиугольника и что его центр делит по­полам отрезок, соединяющий центры обоих исходных шестиугольников.

Для доказательства полезно прежде всего доказать: если точки P1,..., Р6 последова­тельные вершины центрального шестиуголь­ника, то радиус-векторы P1,..., P6 его вершин удовлетворяют следующим двум равенствам:

Р1+Р4=Р2+Р5; Р2+Р5=Р3+Р6 (a)

и наоборот.

Далее нужно записать в алгебраической форме условие задачи (это приведет к четырем векторным равенствам), учесть, что радиус-векторы точек Ci определяются формулой:

Ci=1/2(Ai+Bi) (i= l, 2,...,6),

и убедиться, что из упомянутых четырех усло­вий следует, что векторы Сi удовлетворяют соотношениям (а).

Задача о двух серединах

По заданным трем точкам А, В, С постро­им: а) середину С' отрезка АВ, а затем середи­ну С" отрезка СС';

б) середину А' отрезка ВС, а затем середи­ну А" отрезка АА'.

Возможно ли такое расположение исходных трех точек А, В, С, при котором точка А" совпадает с точкой С"?

Ответ. Только в том случае, когда точки А и С совпадают.

Решение.

2•С'=А+В,

2•С"=С"+С, и поэтому

2•(2С'')=(С'+С)+(С'+С)=2•С'+2•С; таким образом,

2•(2•С")=(А+В)+2•С=(А+В+ С)+С. (a)

Аналогично получим:

2•(2•А")=(В+С+А)+А. (a')

Точки С" и А" совпадут, если С"=А", т. е. в силу формул (a) и (a'), если

(А+В+С)+С =(В+С+А)+А;

а это равенство возможно только при С=А, т. е. если точка А совпадает с точкой С.

Решите сами следующие задачи

1. Условимся в следующих обозначениях:

РА®=1•PA®; РА®+РА®=2•РА® PA®+РА®+РА®=3•РА®,

А'+А+А+А=4•А и т. д. (a)

Доказать, что для произвольных целых чисел m и n справедливы равенства:

m•А+n•А=(m+n)•А; (b1)

m•(А+В)=m•А +m•В; (b2)

n•(m•А)=(n•m)•А. (b3)

Справедливость формул (b) делает целесооб­разным называть вектор m•А произведе­нием числа т к вектора А. Таким образом, эта операция обладает свойством рас­пределительности (формулы b1 и b2) и сочета­тельности (формула b3).

2. Пусть С — середина отрезка АВ, С' — сере­дина отрезка АС и С" — середина отрезка С'В.

Выразить радиус-векторы точек С' и С" через радиус-векторы точек А и В.

Ответ. 4•С'=3. А+В; 4•С"=А+3•В.

3. Средним отрезком произвольного четы­рехугольника (даже и не плоского) называют отрезок, соединяющий середины его двух про­тивоположных сторон. Доказать, что средние отрезки четырехугольника пересекаются и де­лят друг друга пополам.

Указание к решению. Если А, В, C,D — последовательные вершины четырехугольника и если точка М — середина среднего отрезка, соединяющего середину стороны АВ с середи­ной стороны CD, то 4•М=(А+В)+(С+D).

Точку пересечения обоих средних отрезков называют центроидом четырехугольника ABCD.

4. Каждая треугольная пирамида ABCD имеет три пары противоположных ребер: АВ и CD; АС и BD; AD и ВС. Средним отрезком

пирамиды называют отрезок, соединяющий се­редины какой-либо пары противоположных ре­бер.

Доказать, что все три средних отрезка пи­рамиды пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Эту точку называют центро­идом пирамиды.

5. Доказать, что если S1, S2, S3, S4 — сере­дины сторон А1А2, А2А3, А3А4, А4 А1 произволь­ного (даже и не плоского) четырехугольника, то они являются последовательными вершинами параллелограмма

6. Для произвольного восьмиугольника А1А2...А8 построены центроиды1 S1, S2, ..., S8 четырехугольников: А1А2А3А4, А2А3А4А5, ..., A5A6A7A8, A6A7A8A1, ..., А8А1А2А3.

Доказать, что восьмиугольник S1S2 ...S8 — центральный, т. е. что его диаметры S1S5, S2S6, S3S7, S4 S8 пересекаются в общей точке, которая делит каждый из них пополам.

7. Пусть точки B1, B2, ...,В6 — середины сто­рон А1А2, A2A3, ..., А5А6, А6А1 центрального шестиугольника. Доказать, что они также являются последовательными вершинами цен­трального шестиугольника.

Каково взаимное расположение центров обоих шестиугольников? Ответ. Они совпадают.

8. По двум заданным центральным шести­угольникам А1А2...А6 и B1B2...B6 построить шестиугольник C1C2...C6 такой, что его вер­шина Сi симметрична вершине Аi, относитель­но середины отрезка BiB i+1 (i = 1, 2, ..., 6;

B7=B1).

Что можно сказать о многоугольнике

C1C2...C6?

Ответ. Он центральный; его центр сим­метричен центру многоугольника А1,...А6 от­носительно центра многоугольника В1...В6.

9. Сформулировать и решить задачу для двух центральных восьмиугольников, анало­гичную предыдущей задаче.

10. Доказать, что

-(A+В)=(-А)+(-В). Указание. Используя сочетательное свойство сложения и формулы (4') и (4"), убе­диться в справедливости равенства:

(А+В)+{(- А) + ( - В)}=PP®.

11. Найти вектор X, удовлетворяющий уравнению:

Х+А=В.

Доказать, что это решение единственное.

Ответ. X=В+(-А).

Замечание. Вектор В+(-А) назы­вают разностью векторов; B (умень­шаемый вектор) л А (вычитаемый).

В векторной алгебре его принято обозна­чать: В-А. Поэтому в последующих задачах используется равенство:

В-А=В+(-А).

12. Доказать, что

(А+В)-С=А+(В-С).

Каждый из этих векторов принято записывать:

А + В — С.

13. Доказать, что

А-(В+С)=(А-В)-С. (Принята запись: (А-В)-С=А-В-С.)

14. Доказать, что

А-(В-С)=(А-В)+С. (Принята запись: (А-В)+С=А-В+С.)

15. По заданным радиус-векторам то­чек А и С выразить (вычислить) радиус-век­тор точки A', симметричной точке А относи­тельно точки С. Ответ. А'=2•С-А.

16. Точка М отражается от вершины А1 произвольного треугольника A1A2A3, т. е. строится точка M1; симметричная точке М относительно точки А1. Полученная точка М1 отражается от вершины А2; получаем точку M2, которую отражаем от вершины А3; воз­никает точка М3.

Что можно сказать о взаимном расположе­нии точки М3 относительно исходной точки М?

Ответ. Точка М3 симметрична точке М относительно точки A4, которая является чет­вертой вершиной параллелограмма, построен­ного на векторах А2А1® и А2А3®.

17. На отрезке MN расположены точки M1 и М2 так, что M1 есть середина отрезка MM2, а М2 — середина отрезка M1N. Выра­зить радиус-векторы точек М1 и M2 через радиус-векторы точек М и N.

Ответ. М1=1/3•(2•М+N);

О

М2 = 1/3•(М+2•N).

18. Разделим какую-либо медиану треуголь­ника АBС на три равных отрезка и рассмотрим ту точку деления S, которая ближе к основа­нию.

Выразить радиусы-векторы точки S через радиус-векторы точек А, В, С.

Указание. Конец А' медианы АА'

имеет радиус-вектор 1/2(В+С); далее исполь­зовать результат предыдущей задачи.

Ответ. S=1/3•(А+В+С);

он показывает, что точка S лежит и на медиане ВВ', и на медиане СС' (таким образом, полу­чено векторное доказательство известной тео­ремы о трех медианах). Точку S называют центроидом треугольника.

19. Для заданного произвольного шести­угольника А1А2А3А4А5А6 построим центроиды S1, S2, S3, S4, S5, S6 треугольников A1A2A3, А2А3А4, ..., А5А6А1, А6А1А2.

Доказать, что точки Si — последовательные вершины центрального шестиугольника.