ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Необычная конференция

Вообразим, что нам удалось собрать мате­матиков разных веков и стран и поставить пе­ред ними вопрос: «Что вы можете сказать о формуле квадрата суммы?» Стенограмма этой необычной конференции могла бы выглядеть примерно так.

Вавилонский математик, живший 4000 лет назад, сказал, что никаких формул он не знает, так как считает не буквами, а числами. Но ему известно, что если взять два числа, на­пример 20 и 3, то для вычисления квадрата их суммы надо возвести в квадрат число 20, потом число 3, сложить эти квадраты и к сумме приба­вить удвоенное произведение чисел. Это же пра­вило годится и для любых других двух чисел.

Древний грек, живший 2300 лет назад, доказал это правило. Он нарисовал чертеж (рис. 1) и сказал, что площадь квадрата А С (т. е. квадрата, у которого точки А ж С яв­ляются концами диагонали) равна сумме пло­щадей квадратов АВ и ВС и удвоенной площа­ди прямоугольника BD. Поэтому, если сторона квадрата АВ равна 20, а квадрата ВС равна 3, то площадь квадрата АС действительно можно подсчитать так, как предложил его вавилон­ский коллега.

Алгебраист XVI в. записал формулу квадра­та суммы в следующем виде:

В переводе это читалось бы примерно так: А + В в квадрате равно А в квадрате +В в квадрате +А на В2. (Как видите, вместо скобок он писал черту, степени обозначал сло­вами, а коэффициенты писал в конце.)

- Не слишком удобные обозначения,— сказал иронически математик XVII в.

— Однако и с этими обозначениями мы умеем делать значительно больше, чем древ­ние греки,— с обидой возразил выступавший.— Они умели решать лишь квадратные урав­нения, а мы справляемся и с уравнениями третьей и четвертой степеней. Жаль лишь, что слишком часто эти уравнения не решаются, так как полученные формулы приводят к не­лепой операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Выступавший следующим алгебраист XVII в. написал формулу квадрата суммы уже в при­вычном для нас виде:

(а + b)2=а2+2аb+b2.

Он добавил, что его предшественники слишком узко понимают эту формулу. Прежде всего, в ней а и b не обязательно являются длинами отрезков, а сами могут быть площадями, объ­емами, весами и даже отрицательными числами. Более того, вместо а и b в эту формулу можно подставить любые многочлены, например:

[x2+(х+1)]2 = x4+2х2(х+1)+(х+1)2.

Он сказал еще, что эта формула является только одной из большого числа знакомых ему алгебраических формул и что ему хорошо известно искусство буквенных вычислений, а это искусство и есть алгебра.

Алгебраист XVIII в. заявил, что о формуле квадрата суммы нечего много говорить: эта формула, как и все буквенные вычисления,— удел школьной математики. При этом он от­метил, что она всегда верна, и притом не толь­ко для положительных или отрицательных чисел, но и для комплексных, а эти числа совсем не такая уж нелепость! Что же ка­сается предмета алгебраической науки, то это вовсе не искусство буквенных вычисле­ний, а умение решать уравнения и системы уравнений. Для систем уравнений первой сте­пени у него даже есть общая формула решения.

Выступление математика XIX в. часто пре­рывалось возгласами недоверия и шумными восклицаниями. Было ясно, что это выступле­ние явилось для большинства участников полной неожиданностью. Да и в самом деле, выступавший заявил, что формула (а+b)2= а2+2аb+b2 верна далеко не во всех случаях! Например, английский математик У. Гамильтон занимался обобщением комплексных чисел. Он построил числа, названные кватернионами, у которых не одна, а целые три мнимые еди­ницы i, j, k. Так вот, для кватернионов (ко­торые находят много интересных применений) формула квадрата суммы просто неверна. Неверна потому, что здесь мы сталкиваемся со случаем, когда умножение некоммутативное, т. е. не выполняется переместительиый за­кон умножения (например, ij=k, ji=-k), а при выводе формулы квадрата суммы мы пользуемся равенством ab=bа.

Выступавший сказал, что другие матема­тики рассмотрели еще более удивительные обоб­щения комплексных чисел, для которых ум­ножение не только некоммутативно, но даже и неассоциативно, т. е. в общем случае

(аb)¹(bс).

Выступивший вслед затем алгебраист XX в. сказал, что гиперкомплексные числа — это только примеры к тем общим теориям, которы­ми он занимается. Он может доказывать тео­ремы, которые верны не только для гиперком­плексных чисел одного вида, а для всех гипер­комплексных чисел (или для очень многих видов таких чисел). Он умеет складывать и умножать не только числа и многочлены, а и такие вещи, как квадратные таблицы, геомет­рические и алгебраические преобразования, логические суждения и т. д. (см. статью «Алгебра множеств и алгебра логики»).

- Как же вам удается оперировать с та­кими непохожими друг на друга вещами, как квадратные таблицы, гиперкомплексные числа, геометрические преобразования? Что может быть общего в действиях над ними? И как вы узнаете, какие формулы имеют место в тех или иных случаях?

— Весьма несложно; для этого в моем рас­поряжении имеется столь мощное оружие, как аксиоматический метод, который...

— Не может быть,— воскликнул оконча­тельно выведенный из равновесия древний грек,— ведь аксиомы относятся к области гео­метрии?!

...Прервем на этом нашу конференцию и постараемся разобраться во всем сказанном.

Фундамент алгебры

Из всех сделанных высказываний школь­нику Васе Игнатьеву, который был корреспон­дентом школьной стенгазеты и присутствовал на конференции, самым правильным показа­лось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра — искусство буквенных вычислений. Вася учился тогда в седьмом классе и на уроках алгебры много занимался буквенными вычислениями. Тут были и формулы сокращенного умножения, и коэффициенты, и показатели степени, и многое другое — от букв в глазах рябило. Он часто думал: «Хорошо было бы иметь ответы ко всем примерам из Ларичева!» Но вскоре по­нял, что это не поможет,— учитель для кон­трольных работ брал примеры из какого-то другого задачника. А запомнить решения всех

задач из всех задачников на свете — это, по­жалуй, никому не под силу, разве что фокус­никам из цирка, выступающим с сеансами фе­номенальной памяти.

Делать нечего, приходилось заучивать пра­вила: что происходит с коэффициентами и по­казателями при умножении одночленов, как возводить сумму и разность в квадрат и многое другое.

Вася был мальчик любознательный и за­хотел узнать, откуда же эти правила берутся. Внимательно читая учебник, он понял, что все правила, по которым выполняются действия с многочленами, вытекают из небольшого числа основных правил. Эти первоначальные пра­вила таковы:

Из этих правил можно вывести все осталь­ные. Покажем, как выводится формула

(а+b)2=а2+2аb+b2, (2)

обсуждавшаяся на необычной конференции. По закону дистрибутивности имеем:

(а+b)2=(а+b)(а+b)=(а+b)а+(а+b)b.

Используя коммутативность умножения, по­лучаем:

(а+b)2= а(а+b)+b(а+b).

Вторично применяя дистрибутивность, а так­же коммутативность умножения и ассоциатив­ность сложения, находим: (a+b)2=(а2+аb)+(bа+b2)=(а2+ab)+(аb+b2)=а2+(аb+ab)+b2. Здесь

аb+аb=аb•1+ab•1=аb(1+1)=аb•2=2аb, и потому

(а+b)2=а2+2аb+b2. Попробуйте таким же способом проследить вывод формулы:

(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3. Вы увидите, что при этом придется использо­вать и закон ассоциативности умножения.

Итак, правила алгебры выводятся из на­писанных нами первоначальных правил. Таким образом, искусство буквенных вычислений сводится к применению этих основных пра­вил. При этом некоторые следствия из этих правил (например, формула квадрата суммы) применяются настолько часто, что их надо так же хорошо запомнить и применять, как и первоначальные правила.

Не правда ли, это очень напоминает поло­жение дел в геометрии — там тоже есть не­сколько аксиом (т. е. первоначальных положе­ний), из которых выводятся различные след­ствия, называемые теоремами. А при решении задач приходится применять и ак­сиомы, и теоремы. Поэтому мы будем, как и в геометрии, формулы (1) называть аксиомами, а формулы вида (2) — теоремами.

Как и аксиомы геометрии, аксиомы алгебры не доказываются. Они являются обобщением многотысячелетнего опыта практической дея­тельности человечества. Прежде чем сформу­лировать положение: a+b=b+а, надо было много тысяч раз подметить такие арифмети­ческие соотношения, как: 2 + 5 = 5 + 2, 4 + 6 = 6 + 4 и т. д.

Все остальные аксиомы (1) имеют такое же происхождение: они являются буквенной за­писью многократно проверявшихся законов арифметики.

Сила букв

Уже шестиклассники хорошо понимают, насколько алгебра сильнее арифметики: вместо того чтобы решать несколько задач, отлича­ющихся только числовыми данными, можно решить одну задачу с буквенными данными, а потом подставлять в полученный ответ раз­личные числовые данные. Достаточно напом­нить задачу:

Смешали а кГ конфет ценой m рублей за 1 кГ и b кГ конфет ценой n рублей за 1 кГ. Сколько стоит 1 кГ полученной смеси?

Решение этой задачи дается буквенной фор­мулой:

A=(ma+nb)/(a+b)

• где А — стоимость 1 кГ смеси.

При этом полученный алгебраический ответ часто можно упростить, пользуясь правилами алгебраических преобразований, и тогда под­ставлять числовые данные будет гораздо проще.

На этом факте основаны многочисленные «фокусы» с отгадыванием задуманных чисел.

Например, предложим выполнить следу­ющие действия: 1) задумайте число; 2) прибавьте к задуманному числу 5; 3) полученный резуль­тат умножьте на 3; 4) отнимите от получивше­гося теперь результата задуманное число; 5) отнимите 11; 6) разделите полученный ответ на 2. Если сообщить «фокуснику» полученный результат, то он сразу назовет задуманное число. При этом ему не придется выполнять в обрат­ном порядке всей сложной последовательности действий. В самом деле, если обозначить заду­манное число через х, то действия, которые предложено выполнить, записываются следу­ющим образом:

[(х+5)•3-x-11]:2.

Упрощая это выражение, легко найдем, что оно равно х+2. Поэтому «фокуснику» доста­точно отнять от сообщенного ему результата 2, чтобы получить задуманное число.

Однако шестиклассник (да и оканчивающий школу) не оценивает полностью всю силу бук­венных формул. Он считает, что буквы в них — это обязательно какие-то числа (заранее известные или искомые). На самом же деле, производя действия с буквами, он исполь­зует лишь аксиомы алгебры и их следствия. Поэтому все его вычисления годятся не только для чисел, но и для любых вещей, для которых выполняются эти аксиомы. Например, буквы могут означать не отдельные числа, а много­члены, алгебраические дроби и другие алге­браические выражения.

Ведь хорошо известно, что для сложения и умножения многочленов выполняются те же аксиомы (1), что и для сложения и умножения чисел. Например, если а и b — некоторые мно­гочлены, то а+b=b+а, аb=bа и т. д. От­сюда следует, что в любое алгебраическое тож­дество вместо букв можно подставлять не только числа, но и любые многочлены. Например, из того, что

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),

следует тождество:

(x2+х+1)3-(x2-х+1)3= 2х[(х2+х+1)2+(х2+х+1)(x2-х+1)+(x2-x+1)2]].

Если, кроме чисел и многочленов, нам встре­тятся другие вещи, которые можно складывать и умножать, причем выполняются аксиомы (1), то для них будут верны все формулы и выводы алгебры.

Например, старшеклассники встречаются с комплексными числами. Верны ли для таких чисел формулы алгебры, или надо снова выяснять, чему равен куб суммы комплексных чисел?

Из сказанного следует, что проверять заново для комплексных чисел все формулы алгебры не нужно. Достаточно проверить аксиомы (1), а из них уже будут следовать все остальные формулы.

Кольца

Теперь ясно, когда верна формула

(а+b)2=а2+2ab+b2,

да и все остальные формулы алгебры. Они верны для любых объектов, которые можно склады­вать и умножать, причем выполняются ука­занные выше аксиомы (1). Мы уже знаем три примера объектов, для которых эти аксиомы выполняются. Это — действительные числа, комплексные числа и многочлены.

Математики знают много других примеров множеств с аналогичными свойствами:

1) элементы такого множества можно скла­дывать и умножать, причем сумма и произве­дение двух элементов снова принадлежат тому же множеству;

2) среди элементов множества особо от­мечены два элемента, обозначаемые символами О и 1;

3) для каждого элемента а определен проти­воположный элемент — а, принадлежащий тому же множеству;

4) для сложения и умножения в рассматри­ваемом множестве выполняются все аксиомы (1).

Ввиду того что такие множества часто встре­чаются, для них было введено специальное название — кольцо.

Кроме рассмотренных выше трех примеров, можно указать следующие примеры колец: а) множество всех целых чисел (сумма и произ­ведение целых чисел — целые числа, так же как и число, противоположное целому); б) мно­гочлены с целыми коэффициентами; в) числа вида а+bÖ7, где а и b — произвольные целые числа.

А положительные числа (относительно обыч­ных сложения и умножения) кольца не обра­зуют, ведь число, противоположное положи­тельному, уже не является положительным.

Позже понятие кольца было расшире­но. Во-первых, отказались от требования,

что в кольцо входит элемент 1, для которого a•1=1•a=а. Например, все четные числа (как положительные, так и отрицательные) образуют кольцо без единицы. Нечетные же числа вообще не образуют кольца, так как сумма двух нечетных чисел четна.

Потом отказались и от требования комму­тативности умножения, т. е. отбросили акси­ому аb=bа (сохранив остальные аксиомы). Такие кольца стали называть некоммута­тивными. Примером некоммутативного кольца является кольцо всех кватернионов. Наконец, пожертвовали и аксиомой ассоци­ативности умножения, заменив ее другими ак­сиомами.

Например, стали рассматривать кольца, в которых аксиомы коммутативности и ассоциа­тивности умножения заменяются следующими аксиомами:

аb=-bа (антикоммутативность); (ab)c+(bc)a+(са)b=0.

Такие кольца называют алгебрами Ли (по имени норвежского математика С. Ли).

Все это происходило не из любви мате­матиков к обобщениям, а потому, что были найдены важные для практики объекты, для которых имелось естественное сложение и умно­жение, но умножение не было ни коммутатив­ным, ни ассоциативным. Многие такие объекты встретились, например, в современной кванто­вой физике.

Разумеется, вследствие введения новых аксиом пришлось заменить многие формулы алгебры новыми. Например, для алгебр Ли вместо формулы (а-b)(а+b)=а2-b2 спра­ведлива формула

(а-b)(а+b)=2ab. Не прав­да ли, удивительно?!

Поля

Мы уже говорили, что понятие кольца, удовлетворяющего всем аксиомам (1), ока­залось в некоторых вопросах математики слиш­ком узким. Однако для других математических вопросов оно оказалось слишком широким, ведь в определении кольца ни звука не сказано о возможности деления. Да и не во всех коль­цах можно делить. Возьмем, например, кольцо всех (положительных и отрицательных) целых чисел. Если разделить 3 на 5, то целого числа не получится. А без деления нельзя решать даже уравнений первой степени!

Чтобы изучать уравнения, пришлось огра­ничиться кольцами, в которых есть операция деления. Такие кольца математики назвали полями. Как в настоящем поле можно идти в любую сторону, не встречая никаких пре­пятствий, так в математическом поле можно беспрепятственно выполнять все арифметичес­кие действия. Впрочем, одно ограничение есть — на нуль в поле делить нельзя.

Читатель еще в шестом классе познакомился с одним полем — полем всех рациональных чисел (положительных и отрицательных). Поз­же он познакомился с другим, более широким полем — всех действительных чисел (как ра­циональных, так и иррациональных). Наконец, все комплексные числа тоже образуют поле.

Кроме этих трех полей (рациональных, действительных, комплексных чисел), есть еще много других полей, состоящих из чисел. Возь­мем, например, все числа вида а+bÖ3, где а и и b — рациональные числа. В это множество чисел входит, например, Ö3=0+1•Ö3, но не входит Ö5. Покажем, что это множество чисел образует поле.

В самом деле, возьмем два числа: а+bÖ3, с+dÖ3 из нашего множества. Их сумма имеет вид:

(а+bÖ3)+(с+dÖ3)=(а+с)+(b+d) Ö3.

Так как а+с и b+d — рациональные числа, то число (а+bÖ3)+(c+dÖ3) также принадле­жит нашему множеству. Точно так же из ра­венств:

(а+bÖ3) (с+dÖ3)=ас+adÖ3+bсÖ3+3bd=(ас+3bd)+(ad+bc) Ö3

следует, что произведение двух чисел рассмат­риваемого множества снова принадлежит ему. Сложнее обстоит дело с частным. Возьмем

число (a+bÖ3)/(c+Ö3). Чтобы записать его в виде m+

nÖ3, освободимся и от иррациональности в знаменателе:

Числа (ac-3bd)/c2-3d2) и (bc-ad)/(c2-3d2) рациональны, а потому (a+bÖ3)/(c+dÖ3) принадлежит нашему множеству.

Впрочем, не спешите, не все числа можно делить друг на друга (даже в поле рациональ­ных чисел). Если число с2-3d2 окажется рав­ным нулю, то у нас ничего не получится. Но при рациональных с т d равенство с2-3d2=0 может иметь место только в том случае, если с=d=0. А в этом случае число с +dÖ3 равно нулю и делить на него нельзя.

Докажите сами, что числа а+bÖ5, где а и b — рациональны, образуют поле. А вот числа вида а+bÖ2+сÖ3, где а, b, с— рациональны, не образуют поля, потому что Ö2•Ö3=Ö6. Что­бы получить поле, надо расширить это множество чисел, а именно рассматривать числа вида а+bÖ2+cÖ3+dÖ6, где а, b, с, d — рацио­нальны. Поля можно строить не только из чи­сел. Например, множество всех алгебраичес­ких дробей образует поле.