ГРУППЫ

Умножение геометрических преобразований

О том, что такое геометрические преобра­зования и как они применяются для решения задач, было подробно рассказано в статье «Гео­метрические преобразования». На первый взгляд может показаться, что эта область мате­матики относится целиком к геометрии, а ал­гебраистам там делать нечего. Но это не так; оказывается, геометрические преобразования можно умножать, а ведь алгебра изучает свойства самых различных действий, в том числе и умножения преобразований.

Как же умножить геометрическое преобра­зование а на геометрическое преобразование b? А очень просто — сначала сделать преобразо­вание а, а потом р. В результате получится новое преобразование. Его называют про­изведением преобразований a и b и обо­значают ар„ Пусть, например, a — поворот плос­кости вокруг точки О на 30°, а b — поворот вокруг той же точки на 45°. Сделав эти пово­роты один за другим, получим поворот плос­кости вокруг точки О на 75°. Этот поворот и является произведением поворотов a и b.

Умножение преобразований похоже по своим свойствам на умножение чисел. Напри-

мер, для умножения преобразований верен ассоциативный закон:

a(bg)=(ab)g

(и a(bg), и (ab)g сводятся к последовательному применению преобразований a, b, g). Есть и преобразование, играющее роль единицы, т. е. такое, что для любого преобразования a верна формула a•е=е•a=a. Им является тождественное преобразование е, оставляющее все точки на месте. Ясно, что если сначала сде­лать преобразование е, т. е. оставить все неиз­менным, а потом преобразование а, то это все равно что сделать только преобразование а. Поэтому е•a=a. Точно так же доказывается, что a•е=a.

— А нужно ли доказывать последнее равен­ство?— спросит читатель. — Ведь уже доказано, что е•a=a, а от перестановки сомножителей произведение не меняется. Вспомните, однако, что при умножении кватернионов пере­ставлять слагаемые нельзя. Оказывается, их нельзя переставлять и при умножении преоб­разований. Вот простой пример.

Пусть а — сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц, а b—поворот на 90° вокруг точки О. При преобра­зовании а начало координат перейдет в точку А(6; 0). При преобразовании b (т. е. при пово­роте на 90°) точка А перейдет в точку 5(0; 6). Таким образом, преобразование a•b переводит точку О в точку В. Произведем теперь те же преобразования в обратном порядке. При пово­роте а точка О останется на месте. При сдвиге же b точка О перейдет в точку А. Значит, b•a пере­водит О в точку А, а не в точку В. Мы видим, что a•b¹b•a.

Итак, умножение преобразований не обла­дает свойством коммутативности. Выполнение равенства ab=ba является для преобразо­ваний не правилом, а исключением. Одно из таких исключений дается формулой: aе=еa.

Преобразования можно не только умножать, но и делить друг на друга. Для чисел деление сводится к умножению на обратное число, на-

пример: 2:5=2•1/2=2•5-1. И для преобразований деление сводится к умножению на обратное преобразование. Это преобразование определяют следующим об­разом.

Пусть преобразование а переводит точку Р в точку Q. Тогда обратное ему преобразование a-1 переводит Q обратно в точку Р. Например, если a — сдвиг вправо на отрезок а, то a-1 сдвиг влево на тот же отрезок а.

Ясно, что если сначала сделать преоб­разование a, а потом преобразование a-1, то в результате все точки вернутся на свои места и получится тождественное преобразо­вание. Поэтому a•a-1=е. Точно так же a-1•a=е.

Теперь ясно, как можно делить преобра­зования. Только, в отличие от чисел, для пре­образований есть два вида деления — сле­ва и справа. Если разделить преобразо­вание а слева на b, то получится b-1a, если справа — то ab-1.

Зачем же нужно умножать преобразования? Чтобы разобраться в этом, разберемся в поня­тии равенства геометрических фигур.

Что такое равные фигуры

В статье «Геометрические преобразования» рассказано, что две геометрические фигуры называются равными, если существует дви­жение, при помощи которого можно совмес­тить одну фигуру с другой. Геометрические свойства равных фигур совершенно одинаковы. Поэтому можно сказать, что геометрия изучает

Рис. 3.

только те свойства фигур, которые не меняются при движениях.

Однако это определение не всегда удовлет­ворительно. Например, при изучении векторов (а теория векторов — это часть геометрии) два вектора считают равными, если не только их длины одинаковы, но и векторы параллельны и одинаково направлены. Поэтому, например,

векторы ОА® и ОB® (рис. 2) не считаются рав­ными, хотя один из них получается из другого

поворотом вокруг точки О. А векторы ОА® и CD® на том же рисунке равны друг другу. Чтобы

получить вектор CD® из вектора ОА®, надо сде­лать параллельный перенос плос­кости на вектор ОС®.

Таким образом, два вектора называются равными, если один получается из другого с помощью параллельного переноса. Можно сказать, что векторная алгебра изучает свой­ства, остающиеся неизменными при параллель­ных переносах.

В других случаях приходится изучать свой­ства фигур, остающиеся неизменными лишь при поворотах вокруг некоторой точки. Если, например, инженеру надо рассчитать турбину (рис. 3), то для него все лопатки турбины равно­правны — одна получается из другой поворо­том вокруг оси турбины. А сместить лопатку вдоль радиуса нельзя — при этом изменится центробежная сила и весь расчет окажется неверным.

Точно так же две фигуры на сфере надо считать равными, если одна получается из дру­гой поворотом вокруг центра сферы.

Можно привести и такие случаи, когда целе­сообразно считать равными геометрические фигуры, не являющиеся таковыми с обычной точки зрения. Например, при изучении угло­вых свойств окружности можно полностью от­влечься от ее размеров. Тогда все окружности будут для нас одинаковыми. Но окружность S1

на рис. 4 нельзя перевести в окружность S2 движением. Для этого надо применить более общее преобразование подобия. Существуют и такие случаи, когда целесообразно считать равными фигуры, переводимые друг в друга аффинными преобразованиями, проективными и т. д. (см. об этом подробнее в статье «Геомет­рические преобразования»).

Поэтому можно дать такое определение равенства геометрических фигур. Пусть имеет­ся некоторое множество геометрических пре­образований G. Фигура F1 называется равной фигуре F2 относительно этого множества пре-

образований, если есть преобразование a из G, переводящее F1 в F2. Например, если множество G состоит из параллельных переносов, то фи­гуры F1 и F2 на рис. 5 равны, а фигуры F1 и F3 не равны. Если же множество G состоит из пово­ротов вокруг точки О, то равными окажутся фигуры Р1 и F3, а неравными — F1 и F2. На­конец, если взять множество всех движений

плоскости, то относительно него все три фигуры равны.

Ясно, что чем больше преобразований содержит множество G, тем большее число фигур окажется равным относительно этого множества преобразований.

Группы геометрических преобразований

Не всякое множество G геометрических преобразований пригодно для определения ра­венства фигур. Ведь может случиться, что в множестве G отсутствует преобразование, оставляющее какую-то фигуру F неизменной. Тогда окажется, что эта фигура не равна самой себе. Конечно, такое определение равенства никуда не годилось бы. Поэтому потребуем, чтобы среди преобразований множества G было тождественное преобразование е, т. е. такое, при котором все фигуры остаются неизмен­ными. Тогда любая фигура будет равна самой себе относительно этого множества.

Но существования тождественного преобра­зования еще мало. Может случиться, что в множестве G есть преобразование, переводя­щее фигуру F1 в фигуру F2, есть и преобра­зование, переводящее фигуру F2 в фигуру F3, но нет преобразования, переводящего F1 пря­мо в F3. Тогда получится, что F1=F2, F2=F3, но F1¹F3

Чтобы избежать этой неприятности, введем следующее условие: вместе с любыми двумя преобразованиями a и b в множество G вхо­дит и их произведение ар.

Наконец, надо, чтобы из равенства F1=F2 вытекало равенство F2=F1. Иными сло­вами, надо, чтобы вместе с преобразованием, переводящим фигуру F1 в фигуру F2, мно­жество G содержало и преобразование, пе­реводящее F2 в F1. Для этого достаточно, чтобы вместе с преобразованием а множе­ство G содержало и обратное ему преобразо­вание a-1.

Подведем итоги. Для того чтобы равенство геометрических фигур, определенное с помощью множества преобразований G, обладало «хоро­шими» свойствами, нужно следующее: 1) мно­жество G должно содержать тождественное преобразование; 2) вместе с двумя преобра­зованиями a и b в G должно входить их произведение ab; 3) вместе с каждым пре­образованием а множество G должно содер­жать обратное к нему преобразование a-1.

Множество преобразований, для которого выполнены эти три условия, называют груп­пой геометрических преоб­разований.

Таким образом, для того чтобы с помо­щью множества G геометрических преобразо­ваний можно было определить понятие ра­венства геометрических фигур, надо, чтобы это множество было группой.

Разные геометрии

До того времени, пока математики не по­няли, что равенство геометрических фигур мож­но определять при помощи различных групп геометрических преобразований, казалось, что существует только одна геометрия, а имен­но та, которую изучают в школе. Первый удар этому мнению нанес Н. И. Лобачевский, который построил новую геометрию, совсем не, похожую на обычную (см. статью «О раз­личных геометриях»). Истинную причину раз­личия геометрии Лобачевского и геометрии Евклида впервые глубоко осветил немецкий математик Ф. Клейн. Он показал, что все дело в различии групп преобразова­ний, используемых в этих геометриях для определения равенства фигур: в геометрии Ев­клида для этого используется группа обычных движений, а в геометрии Лобачевского совер­шенно другая группа преобразований (их на­зывают гиперболическими дви­жениями плоскости).

Вообще, каждая группа преобразований плоскости определяет свое понятие равенства, а значит, и свою геометрию, В геометрии, соот­ветствующей некоторой группе преобразова­ний, изучаются лишь свойства, одинаковые у всех фигур, равных относительно этой груп­пы. Иными словами, изучаются те геометриче­ские свойства фигур, которые сохраняются при всех преобразованиях рассматриваемой груп­пы. Эту точку зрения на геометрию впервые четко сформулировал Ф. Клейн в 1872 г. на лекции в г. Эрлангене. С тех пор такой под­ход к пониманию геометрии получил название эрлангенской программы.

Теоремы школьной геометрии тоже факти­чески относятся к различным геометриям. Одни из них касаются свойств фигур, не меняющихся при движениях, а другие — более глубоких свойств, не меняющихся при любых аффинных преобразованиях и даже любых проективных преобразованиях (см. подробнее об этом статью «Геометрические преобразования»).

Группы симметрии

Посмотрите на геометрические фигуры, изоб­раженные на рис. 6. Фигуру А на этом рисунке никак нельзя назвать симметричной. Фигуры В и С уже обладают некоторой симметрией, Более симметрична фигура D, и, конечно, самой симметричной из всех начерченных фигур является квадрат. Однако это только слова — сим­метричность не длина и не площадь, а потому понятия «больше» и «меньше» для оценки симметричности пока точного смысла не имеют.

Как же можно оценить большую или мень­шую симметричность фигуры? Для этого надо рассмотреть множество всех движений плоско­сти, которые переводят рассматриваемую фи­гуру самое в себя. Для фигуры А на рис. 6 единственным таким движением является тож­дественное преобразование. Для фигур В и С, кроме тождественного преобразования, есть еще по одному движению, переводящему их в себя. Именно, для равнобочной трапеции — осевая симметрия (относительно прямой, соединяющей середины оснований), для параллелограмма — центральная симметрия. Для ромба D есть уже 4 движения, совмещающих его с самим собой: тождественное преобразование, две осевые симметрии относительно диагоналей и цент­ральная симметрия. Наконец, для квадрата таких преобразований 8 (4 осевые симметрии

относительно средних линий и диагоналей и 4 вращения на углы 0°, 90°, 180° и 270°).

Ясно, что совокупность всех движений, переводящих заданную геометрическую фигуру самое в себя, образует группу. В самом деле, если преобразования a и b переводят фигуру F в себя, то и их произведение a•b преобра­зует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тож­дественное преобразование. То же самое верно и для обратного преобразования. Группу всех движений, переводящих фигуру F самое в себя, называют группой симметрии этой фигуры.

Чем шире группа симметрии данной фигу­ры, тем более симметричной она является. Именно поэтому квадрат является наиболее симметричной из всех фигур, изображенных на рис. 6. Интересные примеры симметрич­ных фигур, обладающих самыми разными ти­пами симметрии, дают узоры (см. цветную вклей­ку на стр. 396—397).

Если фигура переходит сама в себя при

(360°•k)/n всех поворотах на углы вида , где

k — целое, а n — фиксировано, то говорят, что она обладает симметрией порядка п. Такой симметрией обладает, например, правильный n-угольник.

Бывают фигуры, у которых группа симметрии бесконечна. Примерами могут служить окруж­ность, кольцо, а также фигуры, изображен­ные на стр. 424—425 (эти фигуры надо представлять себе простирающимися в бес­конечность).

Разумеется, о группе симметрии можно го­ворить не только для плоских, но и для прост­ранственных фигур. При этом обычно рассмат­ривают только движения пространства, не явля­ющиеся симметриями относительно плоскостей (их нельзя осуществить в пространстве движе­ниями пространственных тел как твердого це­лого). Так, можно говорить о группе симметрии правильного тетраэдра, куба, икосаэдра, пра­вильной n-угольной призмы и т. д. Предостав­ляем читателю убедиться, что группа симмет­рии куба состоит из 24 элементов, а для пра­вильной n-угольной призмы из 2n элементов.

Задача о раскраске куба

Используя группу симметрии куба, легко решить интересную задачу о раскраске куба. Пусть дан куб и 6 красок: синяя, зеленая, жел­тая, красная, коричневая и черная. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 гра­ней куба этими красками так, чтобы все грани имели различный цвет?

Для решения занумеруем грани куба. Тогда

первую грань можно раскрасить б различными способами. Если выбрана окраска первой гра­ни, то для второй грани остается 5 цветов. Всего первые две грани можно раскрасить 6•5=30 способами. Точно так же видно, что первые три грани можно окрасить 6•5•4=120 способами, а весь куб — 6•5•4•3•2•1=720 способами.

А теперь выясним, сколько из этих спосо­бов геометрически различны. Именно, назовем две окраски куба геометрически сов­падающими, если одна получается из другой движением куба как твердого тела. Так как группа симметрии куба состоит из 24 эле­ментов, то число окрасок, геометрически совпа­дающих с данной (включая ее саму), равно 24. Следовательно, число геометрически различ­ных окрасок куба в 24 раза меньше, чем общее число окрасок, т. е. 720:24=30.

Симметрия в природе

Симметрией обладают не только геометри­ческие фигуры или вещи, сделанные рукой человека, но и многие творения природы (ба­бочки, стрекозы, листья, морские звезды, сне­жинки и т. д.). Особенно разнообразны свой­ства симметрии кристаллов. На стр. 424—425 показаны некоторые виды кристаллов. Одни из них более симметричны, другие — менее. Долгое время ученые-кристаллографы не могли описать всех видов симметрии кристаллов. Решил эту задачу в 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров. Он доказал, что есть ровно 230 групп, перево­дящих в себя кристаллические решетки. Это открытие значительно облегчило кристалло­графам изучение видов кристаллов, которые могут существовать в природе.

Следует, однако, заметить, что многообра­зие кристаллов в природе настолько велико, что даже использование группового подхода не дало еще способа описать все возможные формы кристаллов.

Очень широко используется теория групп симметрии в квантовой физике. Уравнения, которыми описывается поведение электронов в атоме (так называемое волновое уравнение Шредингера), уже при небольшом числе элек­тронов настолько сложны, что непосредственное решение их практически невозможно. Однако, используя свойства симметрии атома (неизменность электромагнитного поля ядра при поворотах и симметриях, возможность пере­становки некоторых электронов между собой, т. е. симметричное расположение этих элек­тронов в атоме, и т. д.), удается исследовать их решения, не решая уравнений.

Евграф Степано­вич Федоров.

Вообще, использование теории групп яв­ляется мощным математическим методом иссле­дования и учета симметрии явлений природы.

Группы алгебраических преобразований

Преобразования можно производить не толь­ко над геометрическими фигурами, но и над ал­гебраическими выражениями. Речь идет здесь, конечно, не о тождественных преобразованиях (раскрытии скобок, приведении подобных чле­нов и т. д.). Нет, мы будем рассматривать

такие преобразования, как изменение знаков переменных, перестановки переменных и т. д. Например, многочлен

х3-y2+3xy4

при изменении знаков переменных х и у прев­ращается в многочлен

-x3-у2-3xy4,

а при перестановке х и y — в многочлен

у3-х2+3yx4.

Изучение преобразований алгебраических выражений представляет собой, с точки зрения эрлангенской программы Ф. Клейна, своеоб­разную геометрию. В этой геометрии «фигу­рами» являются алгебраические выражения (многочлены, дроби и т. д.), а группа преобра­зований состоит в одних случаях из всевоз­можных перестановок переменных, в других — из циклических перестановок переменных (при которых каждое переменное заменяется сле­дующим, а последнее — первым), в третьих — из всевозможных замен знаков переменных (рис. 7) и т. д.

Вопросы симметрии относятся не только к геомет­рии, но и к алгебре. На рисунке показана фотография Атомиума — здания павильона на Всемирной вы­ставке в Брюсселе (1958 г.), имеющего форму атома железа. Пятиконечная звезда обладает сим­метрией 5-го порядка и, кроме того, симметричная относительно прямых, соединяющих центр звезды с ее вершинами. Симметрична и кристаллическая решетка алмаза. Снежинка, кроме симметрии 6-го порядка, симметрична и относительно 6 осей (каких?). Бокалы переходят в себя при любом враще­нии вокруг оси, а сосуды, украшенные орнамен­том, только при вращении на определенные углы (другие вращения смещают узор). Очень много осей симметрии у зубчатого колеса. Симметрия часто используется в архитектуре.

Многообразны формы симметрии кристаллов.

Задачей такой геометрии, как и обычной геометрии, является нахождение таких свойств «фигур» (т. е. алгебраических выражений), которые сохраняются при всех преобразовани­ях данной группы. В частности, весьма инте­ресно нахождение и изучение «симметричных фигур» для данной группы, т. е. алгебраиче­ских выражений, которые не изменяются при преобразованиях данной группы. Например, если рассматривать группу всех перемен зна­ков, то «симметричными фигурами» будут чет­ные выражения, т. е. такие, у которых пока­затели всех степеней переменных четны (напри-

мер, х2+у4, х2+5-x8y6, (x2-y2)/x4+y4) и т. д.)

Для группы всех перестановок переменных «симметричными фигурами» будут такие выра­жения, которые не меняются ни при каких перестановках переменных. Они называются симметрическими функциями. На­пример, симметрическими многочленами от двух переменных х, у являются:

x2y2-x4-y4, х2+ху+y2, х5+y5, ху3+х3у.

В такой геометрии есть и свои теоремы. Например, можно доказать, что любой сим­метрический многочлен от х и у выражается через два простейших многочлена х+у и ху. Например:

х5+у5=(х+y)5-5(х+у)3ху+5(х+у)(ху)2.

Эту теорему можно применять при решении систем уравнений. Если оба уравнения системы двух уравнений с двумя неизвестными симмет­ричны относительно х и y, то бывает полезно ввести новые неизвестные: u=х+у, v=ху. Как правило, после этого заданная система уравнений упрощается. Например, система уравнений

при такой замене сводится к системе

Из этой системы легко найти u и v, а по­том x и y.

Любопытно, что теория групп первоначаль­но и возникла при рассмотрении групп алгеб­раических преобразований Чтобы узнать, ре­шается ли данное алгебраическое уравнение

хn+а1хп-1+ ...+аn=0 (4)

в радикалах, алгебраисты стали рассматривать значения, которые принимают многочлены от n переменных, если в них вместо x1; x2, ..., хn подставить корни a1, a2, ..., an уравнения (4). Оказалось, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с по­ведением этих значений многочленов при различных перестановках корней между собой.

Эти исследования привели к созданию новой, очень глубокой и важной ветви алгеб­ры — применению теории групп к исследова­нию уравнений. Основоположные результаты этой теории были получены в 1830—1832 гг. французским математиком Э. Галуа. В его честь весь этот раздел алгебры носит сейчас назва­ние теории Галуа.

Абстрактная теория групп

Рассмотрим следующие две группы преоб­разований. Первой из них является группа симметрии ромба, второй — группа перемен знаков переменных х и у. Обозначим тожде­ственное преобразование ромба через е, сим­метрии относительно диагоналей — через а и b и центральную симметрию — через с. Про­верьте, что «таблица умножения» в этой группе имеет следующий вид:

Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных х и у. Здесь мы также обозна­чим тождественное преобразование х®х, у®у через е. Изменение знака у одного только х (т. е. преобразование х®-х, у®у) обозначим через а, а изменение знака у одного толь­ко у — через b. Наконец, преобразование х®-x, у®-у (изменение знаков у обоих пере­менных) обозначим через с. Легко проверяется тогда, что в рассматриваемой группе преобра­зований «таблица умножения» имеет вид:

Сразу бросается в глаза, что написанные «таб­лицы умножения» совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут ока­заться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и оди­наковую таблицу умножения. Для решения многих вопросов, относящихся к группам пре­образований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются.

Отто Юльевич Шмидт.

Изучением групп с этой точки зрения зани­мается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассмат­ривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразо­ваний), для которых определено каким-то об­разом умножение, обладающее следующими свойствами:

1. Произведение ab двух элементов из G принадлежит G.

2. Существует элемент е (единичный), обла­дающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае=а.

3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а-1, т. е. такой, что аа-1=е.

4. Для любых трех элементов а, b, с выпол­нено равенство а(bс)=(аb)с.

Заметим, что последнее равенство, выража­ющее ассоциативность умножения, всегда вы­полняется для преобразований.

Множество G с указанными свойствами на­зывается группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.

Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических пре­образований, и к группам алгебраических пре­образований, и к изучению атомов и кристал­лов и т. п.

Заключение

Мы рассмотрели различные вопросы, изу­чаемые в алгебре. Все эти вопросы объединя­ются одним общим направлением — изучением общих свойств действий и преобразований. Ал­гебра и дает аппарат изучения этих свойств. Законы действий (т. е. аксиомы, которым они подчиняются) могут быть совершенно различ­ными, в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с этим получаются группы, кольца, поля и т. п.

В современной алгебре рассматриваются и другие объекты, подчиненные совсем иным аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгеб­ры, полугруппы и т. д.). Не следует думать, однако, что работа алгебраиста заключается в выписывании новых, произвольно взятых аксиом и выяснении их следствий. Как пра­вило, интересные алгебраические объекты полу­чаются не таким путем. Интересные объекты возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии, физики, математического анализа, логики и самой алгебры. При изучении этих задач исследователь, отбрасывая второстепен­ное и несущественное, выделяет важное и основ­ное и формулирует общие свойства различных объектов в виде аксиом. Таким образом, и в алгебре аксиомы имеют опытное происхожде­ние (хотя это и не всегда может быть непосред­ственно замечено).