ГРУППЫ
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
Умножение геометрических преобразований
О том, что такое геометрические преобразования и как они применяются для решения задач, было подробно рассказано в статье «Геометрические преобразования». На первый взгляд может показаться, что эта область математики относится целиком к геометрии, а алгебраистам там делать нечего. Но это не так; оказывается, геометрические преобразования можно умножать, а ведь алгебра изучает свойства самых различных действий, в том числе и умножения преобразований.
Как же умножить геометрическое преобразование а на геометрическое преобразование b? А очень просто — сначала сделать преобразование а, а потом р. В результате получится новое преобразование. Его называют произведением преобразований a и b и обозначают ар„ Пусть, например, a — поворот плоскости вокруг точки О на 30°, а b — поворот вокруг той же точки на 45°. Сделав эти повороты один за другим, получим поворот плоскости вокруг точки О на 75°. Этот поворот и является произведением поворотов a и b.
Умножение преобразований похоже по своим свойствам на умножение чисел. Напри-
мер, для умножения преобразований верен ассоциативный закон:
a(bg)=(ab)g
(и a(bg), и (ab)g сводятся к последовательному применению преобразований a, b, g). Есть и преобразование, играющее роль единицы, т. е. такое, что для любого преобразования a верна формула a•е=е•a=a. Им является тождественное преобразование е, оставляющее все точки на месте. Ясно, что если сначала сделать преобразование е, т. е. оставить все неизменным, а потом преобразование а, то это все равно что сделать только преобразование а. Поэтому е•a=a. Точно так же доказывается, что a•е=a.
— А нужно ли доказывать последнее равенство?— спросит читатель. — Ведь уже доказано, что е•a=a, а от перестановки сомножителей произведение не меняется. Вспомните, однако, что при умножении кватернионов переставлять слагаемые нельзя. Оказывается, их нельзя переставлять и при умножении преобразований. Вот простой пример.
Пусть а — сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц, а b—поворот на 90° вокруг точки О. При преобразовании а начало координат перейдет в точку А(6; 0). При преобразовании b (т. е. при повороте на 90°) точка А перейдет в точку 5(0; 6). Таким образом, преобразование a•b переводит точку О в точку В. Произведем теперь те же преобразования в обратном порядке. При повороте а точка О останется на месте. При сдвиге же b точка О перейдет в точку А. Значит, b•a переводит О в точку А, а не в точку В. Мы видим, что a•b¹b•a.
Итак, умножение преобразований не обладает свойством коммутативности. Выполнение равенства ab=ba является для преобразований не правилом, а исключением. Одно из таких исключений дается формулой: aе=еa.
Преобразования можно не только умножать, но и делить друг на друга. Для чисел деление сводится к умножению на обратное число, на-
пример: 2:5=2•1/2=2•5-1. И для преобразований деление сводится к умножению на обратное преобразование. Это преобразование определяют следующим образом.
Пусть преобразование а переводит точку Р в точку Q. Тогда обратное ему преобразование a-1 переводит Q обратно в точку Р. Например, если a — сдвиг вправо на отрезок а, то a-1 сдвиг влево на тот же отрезок а.
Ясно, что если сначала сделать преобразование a, а потом преобразование a-1, то в результате все точки вернутся на свои места и получится тождественное преобразование. Поэтому a•a-1=е. Точно так же a-1•a=е.
Теперь ясно, как можно делить преобразования. Только, в отличие от чисел, для преобразований есть два вида деления — слева и справа. Если разделить преобразование а слева на b, то получится b-1a, если справа — то ab-1.
Зачем же нужно умножать преобразования? Чтобы разобраться в этом, разберемся в понятии равенства геометрических фигур.
Что такое равные фигуры
В статье «Геометрические преобразования» рассказано, что две геометрические фигуры называются равными, если существует движение, при помощи которого можно совместить одну фигуру с другой. Геометрические свойства равных фигур совершенно одинаковы. Поэтому можно сказать, что геометрия изучает
Рис. 3.
только те свойства фигур, которые не меняются при движениях.
Однако это определение не всегда удовлетворительно. Например, при изучении векторов (а теория векторов — это часть геометрии) два вектора считают равными, если не только их длины одинаковы, но и векторы параллельны и одинаково направлены. Поэтому, например,
векторы ОА® и ОB® (рис. 2) не считаются равными, хотя один из них получается из другого
поворотом вокруг точки О. А векторы ОА® и CD® на том же рисунке равны друг другу. Чтобы
получить вектор CD® из вектора ОА®, надо сделать параллельный перенос плоскости на вектор ОС®.
Таким образом, два вектора называются равными, если один получается из другого с помощью параллельного переноса. Можно сказать, что векторная алгебра изучает свойства, остающиеся неизменными при параллельных переносах.
В других случаях приходится изучать свойства фигур, остающиеся неизменными лишь при поворотах вокруг некоторой точки. Если, например, инженеру надо рассчитать турбину (рис. 3), то для него все лопатки турбины равноправны — одна получается из другой поворотом вокруг оси турбины. А сместить лопатку вдоль радиуса нельзя — при этом изменится центробежная сила и весь расчет окажется неверным.
Точно так же две фигуры на сфере надо считать равными, если одна получается из другой поворотом вокруг центра сферы.
Можно привести и такие случаи, когда целесообразно считать равными геометрические фигуры, не являющиеся таковыми с обычной точки зрения. Например, при изучении угловых свойств окружности можно полностью отвлечься от ее размеров. Тогда все окружности будут для нас одинаковыми. Но окружность S1
на рис. 4 нельзя перевести в окружность S2 движением. Для этого надо применить более общее преобразование подобия. Существуют и такие случаи, когда целесообразно считать равными фигуры, переводимые друг в друга аффинными преобразованиями, проективными и т. д. (см. об этом подробнее в статье «Геометрические преобразования»).
Поэтому можно дать такое определение равенства геометрических фигур. Пусть имеется некоторое множество геометрических преобразований G. Фигура F1 называется равной фигуре F2 относительно этого множества пре-
образований, если есть преобразование a из G, переводящее F1 в F2. Например, если множество G состоит из параллельных переносов, то фигуры F1 и F2 на рис. 5 равны, а фигуры F1 и F3 не равны. Если же множество G состоит из поворотов вокруг точки О, то равными окажутся фигуры Р1 и F3, а неравными — F1 и F2. Наконец, если взять множество всех движений
плоскости, то относительно него все три фигуры равны.
Ясно, что чем больше преобразований содержит множество G, тем большее число фигур окажется равным относительно этого множества преобразований.
Группы геометрических преобразований
Не всякое множество G геометрических преобразований пригодно для определения равенства фигур. Ведь может случиться, что в множестве G отсутствует преобразование, оставляющее какую-то фигуру F неизменной. Тогда окажется, что эта фигура не равна самой себе. Конечно, такое определение равенства никуда не годилось бы. Поэтому потребуем, чтобы среди преобразований множества G было тождественное преобразование е, т. е. такое, при котором все фигуры остаются неизменными. Тогда любая фигура будет равна самой себе относительно этого множества.
Но существования тождественного преобразования еще мало. Может случиться, что в множестве G есть преобразование, переводящее фигуру F1 в фигуру F2, есть и преобразование, переводящее фигуру F2 в фигуру F3, но нет преобразования, переводящего F1 прямо в F3. Тогда получится, что F1=F2, F2=F3, но F1¹F3
Чтобы избежать этой неприятности, введем следующее условие: вместе с любыми двумя преобразованиями a и b в множество G входит и их произведение ар.
Наконец, надо, чтобы из равенства F1=F2 вытекало равенство F2=F1. Иными словами, надо, чтобы вместе с преобразованием, переводящим фигуру F1 в фигуру F2, множество G содержало и преобразование, переводящее F2 в F1. Для этого достаточно, чтобы вместе с преобразованием а множество G содержало и обратное ему преобразование a-1.
Подведем итоги. Для того чтобы равенство геометрических фигур, определенное с помощью множества преобразований G, обладало «хорошими» свойствами, нужно следующее: 1) множество G должно содержать тождественное преобразование; 2) вместе с двумя преобразованиями a и b в G должно входить их произведение ab; 3) вместе с каждым преобразованием а множество G должно содержать обратное к нему преобразование a-1.
Множество преобразований, для которого выполнены эти три условия, называют группой геометрических преобразований.
Таким образом, для того чтобы с помощью множества G геометрических преобразований можно было определить понятие равенства геометрических фигур, надо, чтобы это множество было группой.
Разные геометрии
До того времени, пока математики не поняли, что равенство геометрических фигур можно определять при помощи различных групп геометрических преобразований, казалось, что существует только одна геометрия, а именно та, которую изучают в школе. Первый удар этому мнению нанес Н. И. Лобачевский, который построил новую геометрию, совсем не, похожую на обычную (см. статью «О различных геометриях»). Истинную причину различия геометрии Лобачевского и геометрии Евклида впервые глубоко осветил немецкий математик Ф. Клейн. Он показал, что все дело в различии групп преобразований, используемых в этих геометриях для определения равенства фигур: в геометрии Евклида для этого используется группа обычных движений, а в геометрии Лобачевского совершенно другая группа преобразований (их называют гиперболическими движениями плоскости).
Вообще, каждая группа преобразований плоскости определяет свое понятие равенства, а значит, и свою геометрию, В геометрии, соответствующей некоторой группе преобразований, изучаются лишь свойства, одинаковые у всех фигур, равных относительно этой группы. Иными словами, изучаются те геометрические свойства фигур, которые сохраняются при всех преобразованиях рассматриваемой группы. Эту точку зрения на геометрию впервые четко сформулировал Ф. Клейн в 1872 г. на лекции в г. Эрлангене. С тех пор такой подход к пониманию геометрии получил название эрлангенской программы.
Теоремы школьной геометрии тоже фактически относятся к различным геометриям. Одни из них касаются свойств фигур, не меняющихся при движениях, а другие — более глубоких свойств, не меняющихся при любых аффинных преобразованиях и даже любых проективных преобразованиях (см. подробнее об этом статью «Геометрические преобразования»).
Группы симметрии
Посмотрите на геометрические фигуры, изображенные на рис. 6. Фигуру А на этом рисунке никак нельзя назвать симметричной. Фигуры В и С уже обладают некоторой симметрией, Более симметрична фигура D, и, конечно, самой симметричной из всех начерченных фигур является квадрат. Однако это только слова — симметричность не длина и не площадь, а потому понятия «больше» и «меньше» для оценки симметричности пока точного смысла не имеют.
Как же можно оценить большую или меньшую симметричность фигуры? Для этого надо рассмотреть множество всех движений плоскости, которые переводят рассматриваемую фигуру самое в себя. Для фигуры А на рис. 6 единственным таким движением является тождественное преобразование. Для фигур В и С, кроме тождественного преобразования, есть еще по одному движению, переводящему их в себя. Именно, для равнобочной трапеции — осевая симметрия (относительно прямой, соединяющей середины оснований), для параллелограмма — центральная симметрия. Для ромба D есть уже 4 движения, совмещающих его с самим собой: тождественное преобразование, две осевые симметрии относительно диагоналей и центральная симметрия. Наконец, для квадрата таких преобразований 8 (4 осевые симметрии
относительно средних линий и диагоналей и 4 вращения на углы 0°, 90°, 180° и 270°).
Ясно, что совокупность всех движений, переводящих заданную геометрическую фигуру самое в себя, образует группу. В самом деле, если преобразования a и b переводят фигуру F в себя, то и их произведение a•b преобразует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тождественное преобразование. То же самое верно и для обратного преобразования. Группу всех движений, переводящих фигуру F самое в себя, называют группой симметрии этой фигуры.
Чем шире группа симметрии данной фигуры, тем более симметричной она является. Именно поэтому квадрат является наиболее симметричной из всех фигур, изображенных на рис. 6. Интересные примеры симметричных фигур, обладающих самыми разными типами симметрии, дают узоры (см. цветную вклейку на стр. 396—397).
Если фигура переходит сама в себя при
(360°•k)/n всех поворотах на углы вида , где
k — целое, а n — фиксировано, то говорят, что она обладает симметрией порядка п. Такой симметрией обладает, например, правильный n-угольник.
Бывают фигуры, у которых группа симметрии бесконечна. Примерами могут служить окружность, кольцо, а также фигуры, изображенные на стр. 424—425 (эти фигуры надо представлять себе простирающимися в бесконечность).
Разумеется, о группе симметрии можно говорить не только для плоских, но и для пространственных фигур. При этом обычно рассматривают только движения пространства, не являющиеся симметриями относительно плоскостей (их нельзя осуществить в пространстве движениями пространственных тел как твердого целого). Так, можно говорить о группе симметрии правильного тетраэдра, куба, икосаэдра, правильной n-угольной призмы и т. д. Предоставляем читателю убедиться, что группа симметрии куба состоит из 24 элементов, а для правильной n-угольной призмы из 2n элементов.
Задача о раскраске куба
Используя группу симметрии куба, легко решить интересную задачу о раскраске куба. Пусть дан куб и 6 красок: синяя, зеленая, желтая, красная, коричневая и черная. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 граней куба этими красками так, чтобы все грани имели различный цвет?
Для решения занумеруем грани куба. Тогда
первую грань можно раскрасить б различными способами. Если выбрана окраска первой грани, то для второй грани остается 5 цветов. Всего первые две грани можно раскрасить 6•5=30 способами. Точно так же видно, что первые три грани можно окрасить 6•5•4=120 способами, а весь куб — 6•5•4•3•2•1=720 способами.
А теперь выясним, сколько из этих способов геометрически различны. Именно, назовем две окраски куба геометрически совпадающими, если одна получается из другой движением куба как твердого тела. Так как группа симметрии куба состоит из 24 элементов, то число окрасок, геометрически совпадающих с данной (включая ее саму), равно 24. Следовательно, число геометрически различных окрасок куба в 24 раза меньше, чем общее число окрасок, т. е. 720:24=30.
Симметрия в природе
Симметрией обладают не только геометрические фигуры или вещи, сделанные рукой человека, но и многие творения природы (бабочки, стрекозы, листья, морские звезды, снежинки и т. д.). Особенно разнообразны свойства симметрии кристаллов. На стр. 424—425 показаны некоторые виды кристаллов. Одни из них более симметричны, другие — менее. Долгое время ученые-кристаллографы не могли описать всех видов симметрии кристаллов. Решил эту задачу в 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров. Он доказал, что есть ровно 230 групп, переводящих в себя кристаллические решетки. Это открытие значительно облегчило кристаллографам изучение видов кристаллов, которые могут существовать в природе.
Следует, однако, заметить, что многообразие кристаллов в природе настолько велико, что даже использование группового подхода не дало еще способа описать все возможные формы кристаллов.
Очень широко используется теория групп симметрии в квантовой физике. Уравнения, которыми описывается поведение электронов в атоме (так называемое волновое уравнение Шредингера), уже при небольшом числе электронов настолько сложны, что непосредственное решение их практически невозможно. Однако, используя свойства симметрии атома (неизменность электромагнитного поля ядра при поворотах и симметриях, возможность перестановки некоторых электронов между собой, т. е. симметричное расположение этих электронов в атоме, и т. д.), удается исследовать их решения, не решая уравнений.
Евграф Степанович Федоров.
Вообще, использование теории групп является мощным математическим методом исследования и учета симметрии явлений природы.
Группы алгебраических преобразований
Преобразования можно производить не только над геометрическими фигурами, но и над алгебраическими выражениями. Речь идет здесь, конечно, не о тождественных преобразованиях (раскрытии скобок, приведении подобных членов и т. д.). Нет, мы будем рассматривать
такие преобразования, как изменение знаков переменных, перестановки переменных и т. д. Например, многочлен
х3-y2+3xy4
при изменении знаков переменных х и у превращается в многочлен
-x3-у2-3xy4,
а при перестановке х и y — в многочлен
у3-х2+3yx4.
Изучение преобразований алгебраических выражений представляет собой, с точки зрения эрлангенской программы Ф. Клейна, своеобразную геометрию. В этой геометрии «фигурами» являются алгебраические выражения (многочлены, дроби и т. д.), а группа преобразований состоит в одних случаях из всевозможных перестановок переменных, в других — из циклических перестановок переменных (при которых каждое переменное заменяется следующим, а последнее — первым), в третьих — из всевозможных замен знаков переменных (рис. 7) и т. д.
Вопросы симметрии относятся не только к геометрии, но и к алгебре. На рисунке показана фотография Атомиума — здания павильона на Всемирной выставке в Брюсселе (1958 г.), имеющего форму атома железа. Пятиконечная звезда обладает симметрией 5-го порядка и, кроме того, симметричная относительно прямых, соединяющих центр звезды с ее вершинами. Симметрична и кристаллическая решетка алмаза. Снежинка, кроме симметрии 6-го порядка, симметрична и относительно 6 осей (каких?). Бокалы переходят в себя при любом вращении вокруг оси, а сосуды, украшенные орнаментом, только при вращении на определенные углы (другие вращения смещают узор). Очень много осей симметрии у зубчатого колеса. Симметрия часто используется в архитектуре.
Многообразны формы симметрии кристаллов.
Задачей такой геометрии, как и обычной геометрии, является нахождение таких свойств «фигур» (т. е. алгебраических выражений), которые сохраняются при всех преобразованиях данной группы. В частности, весьма интересно нахождение и изучение «симметричных фигур» для данной группы, т. е. алгебраических выражений, которые не изменяются при преобразованиях данной группы. Например, если рассматривать группу всех перемен знаков, то «симметричными фигурами» будут четные выражения, т. е. такие, у которых показатели всех степеней переменных четны (напри-
мер, х2+у4, х2+5-x8y6, (x2-y2)/x4+y4) и т. д.)
Для группы всех перестановок переменных «симметричными фигурами» будут такие выражения, которые не меняются ни при каких перестановках переменных. Они называются симметрическими функциями. Например, симметрическими многочленами от двух переменных х, у являются:
x2y2-x4-y4, х2+ху+y2, х5+y5, ху3+х3у.
В такой геометрии есть и свои теоремы. Например, можно доказать, что любой симметрический многочлен от х и у выражается через два простейших многочлена х+у и ху. Например:
х5+у5=(х+y)5-5(х+у)3ху+5(х+у)(ху)2.
Эту теорему можно применять при решении систем уравнений. Если оба уравнения системы двух уравнений с двумя неизвестными симметричны относительно х и y, то бывает полезно ввести новые неизвестные: u=х+у, v=ху. Как правило, после этого заданная система уравнений упрощается. Например, система уравнений
при такой замене сводится к системе
Из этой системы легко найти u и v, а потом x и y.
Любопытно, что теория групп первоначально и возникла при рассмотрении групп алгебраических преобразований Чтобы узнать, решается ли данное алгебраическое уравнение
хn+а1хп-1+ ...+аn=0 (4)
в радикалах, алгебраисты стали рассматривать значения, которые принимают многочлены от n переменных, если в них вместо x1; x2, ..., хn подставить корни a1, a2, ..., an уравнения (4). Оказалось, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с поведением этих значений многочленов при различных перестановках корней между собой.
Эти исследования привели к созданию новой, очень глубокой и важной ветви алгебры — применению теории групп к исследованию уравнений. Основоположные результаты этой теории были получены в 1830—1832 гг. французским математиком Э. Галуа. В его честь весь этот раздел алгебры носит сейчас название теории Галуа.
Абстрактная теория групп
Рассмотрим следующие две группы преобразований. Первой из них является группа симметрии ромба, второй — группа перемен знаков переменных х и у. Обозначим тождественное преобразование ромба через е, симметрии относительно диагоналей — через а и b и центральную симметрию — через с. Проверьте, что «таблица умножения» в этой группе имеет следующий вид:
Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных х и у. Здесь мы также обозначим тождественное преобразование х®х, у®у через е. Изменение знака у одного только х (т. е. преобразование х®-х, у®у) обозначим через а, а изменение знака у одного только у — через b. Наконец, преобразование х®-x, у®-у (изменение знаков у обоих переменных) обозначим через с. Легко проверяется тогда, что в рассматриваемой группе преобразований «таблица умножения» имеет вид:
Сразу бросается в глаза, что написанные «таблицы умножения» совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут оказаться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и одинаковую таблицу умножения. Для решения многих вопросов, относящихся к группам преобразований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются.
Отто Юльевич Шмидт.
Изучением групп с этой точки зрения занимается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассматривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразований), для которых определено каким-то образом умножение, обладающее следующими свойствами:
1. Произведение ab двух элементов из G принадлежит G.
2. Существует элемент е (единичный), обладающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае=а.
3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а-1, т. е. такой, что аа-1=е.
4. Для любых трех элементов а, b, с выполнено равенство а(bс)=(аb)с.
Заметим, что последнее равенство, выражающее ассоциативность умножения, всегда выполняется для преобразований.
Множество G с указанными свойствами называется группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.
Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических преобразований, и к группам алгебраических преобразований, и к изучению атомов и кристаллов и т. п.
Заключение
Мы рассмотрели различные вопросы, изучаемые в алгебре. Все эти вопросы объединяются одним общим направлением — изучением общих свойств действий и преобразований. Алгебра и дает аппарат изучения этих свойств. Законы действий (т. е. аксиомы, которым они подчиняются) могут быть совершенно различными, в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с этим получаются группы, кольца, поля и т. п.
В современной алгебре рассматриваются и другие объекты, подчиненные совсем иным аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгебры, полугруппы и т. д.). Не следует думать, однако, что работа алгебраиста заключается в выписывании новых, произвольно взятых аксиом и выяснении их следствий. Как правило, интересные алгебраические объекты получаются не таким путем. Интересные объекты возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии, физики, математического анализа, логики и самой алгебры. При изучении этих задач исследователь, отбрасывая второстепенное и несущественное, выделяет важное и основное и формулирует общие свойства различных объектов в виде аксиом. Таким образом, и в алгебре аксиомы имеют опытное происхождение (хотя это и не всегда может быть непосредственно замечено).