Зачем нужно изучать случайные явления

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

. Приведенные примеры достаточно убеди­тельно показывают, что с игрой случая прихо­дится считаться в большинстве видов челове­ческой деятельности. Однако убедиться в этом— еще не означает, что становится ясной цель изучения случайных явлений. А ведь всегда полезно видеть, к чему следует стремиться, что может дать обществу вновь приобретенное знание. Мы постараемся выяснить этот во­прос на нескольких примерах.

Что может, скажем, дать нам знание зако­номерностей случайного прихода судов в порт? В первую очередь ясное представление о числе судов, с которыми придется иметь дело. А это уже многое. Действительно, руководитель пор­та должен так организовать работу, чтобы при­бывающие суда не простаивали в ожидании освобождения причала для погрузки или вы­грузки. Сколько нужно причалов, если известен

О качестве всей продукции можно судить и по малой ее части.

грузооборот порта? Если мы поступим чисто арифметически, т. е. разделим количество пере­рабатываемых грузов на число часов в месяце и число тонн, которое в течение часа способны переработать механизмы порта, то такой под­счет будет ошибочным. Ведь при этом мы не уч­тем того обстоятельства, что моменты подхода судов случайны. Современная теория вероят­ностей позволяет произвести расчеты так, что будут учтены многие случайные факторы: под­ходы судов, случайные колебания длитель­ности обработки судна и пр. И при этом можно добиться такого положения, чтобы общая сумма затрат на содержание флота и причалов была минимальной. Таким образом, решение важной экономической задачи опирается на познание случайных явлений.

Когда мы ставим какой-нибудь эксперимент или производим наблюдения, то нас в первую очередь интересует вопрос: сколько измерений нужно произвести или сколько раз следует поставить опыт, чтобы можно было быть уве­ренным в том, что полученный результат ока­жется достаточно точным? Поскольку наша задача состоит в том, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок измерений, то для исклю­чения влияния случая мы должны знать законы случайных явлений.

Важное и часто встречающееся в практи­ческой деятельности использование наших знаний закономерностей случайных явлений проходит по такому пути: о составе большого числа предметов судят по сравнительно неболь­шой пробе (или, как часто говорят, «выборке»). Так, когда хотят составить представление о дли­не и крепости волокон хлопка, находящегося в кипе, то совершенно случайно выхватывают из этой кипы небольшой пучок (штапель). По результатам изучения длины и крепости волокон, содержащихся в штапеле, судят о ка­честве волокна во всей кипе. Этот способ дает прекрасные результаты. И исследование, про­веденное буквально над долями грамма, дает надежную основу для назначения последую­щего технологического процесса, которому должен быть подвергнут хлопок этой партии. Точно таким же способом судят о качестве боль­шой партии зерна по небольшой пробе, взятой из этой партии наудачу. В основе этих широко используемых практических методов лежат общие теоремы теории вероятностей, получив­шие название законов больших чисел.

При современном промышленном производ­стве зачастую нет возможности проверить ка­чество каждого отдельного изделия, так как либо этих изделий так много, что на их испы­тание необходимо потратить многие годы, либо

изделия таковы, что при испытании приходят в негодность. Поэтому испытывают лишь не­большую долю продукции и по ней судят о ка­честве всей партии. Как следует выбирать такие доли продукции? Как много изделий при этом следует испытывать? Насколько точные резуль­таты при этом могут быть получены? Все эти вопросы таковы, что на них может дать опре­деленный ответ лишь наука о случае. И прак­тика в наше время этим ответом очень широко пользуется. Оказывается, что эти методы дают превосходные результаты, позволяющие эко­номить средства, материалы, труд и время.

Зарождение науки о случае

Как и все науки, наука о случае начала раз­виваться тогда, когда в этом появилась потреб­ность, когда задачи практики уже не могли обходиться выводами, сделанными на глаз, а понадобился точный расчет. Первые шаги в создании теории вероятностей — математи­ческой науки о случайных явлениях — были сделаны в середине XVII в., в эпоху зарождения новой математики. Почти одновременно были заложены основы аналитической геометрии и появились ростки, давшие вскоре элементы дифференциального и интегрального исчисле­ний — основы всей современной математики. Этот бурный расцвет математики закономерен. Он был вызван крупными сдвигами в обществен­ных отношениях: развитием торговли, промыш­ленного производства, мореплавания.

Первые понятия теории вероятностей фор­мировались под влиянием потребностей стра­хования и азартных игр. Страхование в ту пору получило широкое распространение из-за не­прерывного роста морских сообщений и морской торговли. Азартные игры захватили феодаль­ную верхушку общества. Множество дворян искали в играх способ поправить свои дела. Наряду с большинством бездумных игроков ока­зались и такие, которые стремились подметить в случайных ситуациях некоторые закономер­ности. Один из страстных игроков, кавалер де Мере, обратился с рядом возникших у него задач к крупнейшему математику и мыслителю того времени Б. Паскалю. Вот одна из них. При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы раз или же шестерка не появится ни разу?

Посмотрим, как решается эта задача. При бросании одной игральной кости может выпасть одна из 6 граней. В 5 случаях из 6 выпадает грань без шестерки. Если же мы бросим игральную кость один за другим 4 раза, то возможных сочетаний выпавших граней будет значительно больше. Действительно, при дву­кратном бросании кости число различных соче­таний выпадения граней при первом и втором бросаниях уже будет 36=б2 (они записаны в таблице 1).

При бросании кости трижды будет уже б3 различных сочетаний, а при четырехкрат­ном бросании может представиться б4 =1296 различных возможностей. При скольких же возможных исходах ни разу не появится ше­стерка? Из нашей таблички видно, что из 36 возможностей при двукратном бросании кости

в 25 случаях (52) шестерка не появится ни разу. При четырехкратном бросании игральной кости шестерка ни разу не появится в 54=625 слу­чаях. Отсюда вытекает, что хотя бы раз при 4 бросаниях шестерка появится в 1296-625=671 случае. Таким образом, при четырех­кратном бросании игральной кости хотя бы раз шестерка появляется несколько чаще, чем ни разу. Это открытие, согласно воспоминаниям современников, не без успеха было использо­вано кавалером де Мере.

Возникновение основных понятий теории вероятностей и правил действия с ними связано с именами математиков XVII в.— Б. Паскаля, П. Ферма, X. Гюйгенса и Я. Бернулли.

Те задачи, которые возникали на заре тео­рии вероятностей, сводились примерно к таким ситуациям: при каждом испытании может по­явиться одно из n одинаково возможных собы­тий. Интересующее нас событие А появляется тогда, и только тогда, когда происходят опре­деленные т из них. Пример: при бросании четырех костей возможны 1296 различных состояний; из них 625 таковы, что при каждом из них ни разу не выпадает шестерка.

Число случаев, при которых наступает инте­ресующее нас событие А, дает нам средство оценки того, как часто оно может наступить при реальных испытаниях. Однако такой спо­соб оценки неудобен, и в науку было введено следующее понятие: вероятностью события А называется отношение числа случаев, при ко­торых событие А наступает, к числу всех воз­можных случаев. Вероятность события А мы обозначим символом Р{А}. Таким образом, по определению

Р{А}=m/n.

В нашем примере вероятность того, что при 4 бросаниях ни разу не выпадет шестерка, равна:

Р{A}=625/1296

Вероятность же того, что шестерка выпадет

671 хотя бы один раз, равна 671/1296.

Рассмотрим теперь еще одну задачу, отно­сящуюся ко времени возникновения теории вероятностей. (Рассказывают, что с этой зада­чей обратился к X. Гюйгенсу один из ландс­кнехтов — наемных солдат.) При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще — 11 или 12? Ландскнехт заметил, что и та и другая сумма может осуществиться шестью различными способами, а именно:

11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4,

12 =1+5+6=2+5+5=2+4+6=3+3+6=3+4+5=4+4+4.

Словами: сумма 11 может появиться только тогда, когда или на одной из костей появляется 1, на другой 4 и на третьей 6, или и т. д. Точно так же 12 может появиться только тогда, когда или на одной кости появится 1, на другой 5, на третьей 6, или и т. д.

Казалось бы, 11 и 12 должны появляться одинаково часто, предполагал ландскнехт, однако его долголетний опыт учит другому: 11 появляется несколько чаще, чем 12. В чем же здесь причина?

Мы уже знаем, что всех различных исходов при бросании трех игральных костей будет 216. Теперь задача состоит в том, чтобы под­считать число всех одинаково возможных исхо­дов, при которых в сумме появляется 11 и 12. Мы увидим при этом, что одинаковое число разложений 11 и 12 на сумму трех слагаемых еще не является достаточным основанием для заключения равенства вероятностей этих со­бытий. Все дело в том, что не все эти суммы одинаково часто встречаются. Так, все суммы, 3 которых все три слагаемых различны при под­счете числа возможных исходов, должны быть взяты с большим весом, чем остальные. Дей­ствительно, разложение 11 на сумму слагаемых 1+4+6 может произойти шестью различными способами: (1, 4, 6), (1, 6, 4), (4, 1,6), (4, 6, 1), (6, 1, 4), (6, 4, 1). Мы мысленно нумеруем кости и на первом месте указываем число очков, вы­павших на первой кости, на втором — на вто­рой кости и на третьем — на третьей.

Точно так же суммы, в которых два сла­гаемых одинаковы, например 1+5+5, могут осуществиться лишь тремя различными спо­собами: (1, 5, 5), (5, 1, 5), (5, 5, 1). И, наконец, сумма 4 + 4 + 4 осуществляется одним-единственным способом: (4, 4, 4).

Если теперь учтем только что сказанное, то окажется, что число случаев, при которых в сумме появляется 11, равно: 6+6+6+3+3+3=27, а при которых появляется 12, равно: 6+6+6+3+3+1=25. Таким образом, получаем, что:

Р{11}=27/216, Р{12}=25/216.

Мы теперь же должны сказать, что расши­рение области применений теории вероятно­стей убедительно показало недостаточность того классического определения вероятности, которым мы пользовались, и установило необ­ходимость широкого его обобщения. Такое обобщение сейчас уже произведено, и пока оно удовлетворяет всем запросам как практиков, так и теоретиков. Тем не менее классическое опреде­ление вероятности оказалось исключительно полезным для современного естествознания; оно лежит в основе многих важных заключений.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Прежде всего рассмотрим две важные фор­мулы, которые лежат в основе действий с ве­роятностями. Эти формулы носят название теорем сложения и умножения вероятностей. Пусть два события А и В таковы, что при каждом испытании может появиться только одно из них или же ни одного, а вместе появить­ся они не могут. Такие события называются несовместными. Теорема сложения утверждает, что если А и В несовместны, то

Р{А или В}=Р{А}+Р{В}.

Представим теперь себе, что события А и В таковы, что наступление одного из них не из­меняет вероятности наступления другого. Та­кие события называются независимыми. Для независимых событий имеет место теорема умножения, состоящая в следующем:

Р{А и В}=Р{А}•Р{В}.

Рассмотрим для иллюстрации следующую задачу, с которой в настоящее время прихо­дится часто встречаться при организации про­изводства. Ремонтный рабочий обслуживает 6 механизмов, каждый из которых независимо от других может выйти из нормального рабо­чего режима и потребовать к себе внимания. Вероятность выхода каждого из механизмов за период длительности Т равна р. Чему равна вероятность того, что за период длительности Т из рабочего режима выйдет не более чем 2 механизма?

Вероятность того, что данный механизм за весь период работы не выйдет из нормального рабочего состояния, равна 1 — р. По теореме умножения вероятность того, что все шесть механизмов проработают благополучно, равна (1-р)6.

Вероятность того, что определенный меха­низм выйдет из нормального состояния работы, а остальные пять будут работать хорошо, рав­на по теореме умножения р(1-р)5. Меха­низмом, потребовавшим внимания, может ока­заться любой из 6, поэтому вероятность того, что из строя выйдет только один механизм (без­различно какой), равна по теореме сложения

6p(1-p)5.

Вычислим еще вероятность того, что какие-то два механизма выйдут из рабочего состоя­ния, а остальные четыре будут работать нор­мально. С этой целью заметим, что по теореме умножения вероятность выхода из строя двух определенных механизмов и нормальной рабо­ты остальных четырех равна р2(1-р)4. Но два механизма из шести можно выбрать C26= 15 различными способами. Для каж­дого из них вероятность уже вычислена. В результате по теореме сложения искомая ве­роятность равна 15р2(1-р)4.

Так как интересующее нас событие (выход из нормального рабочего состояния не более чем двух механизмов) может осуществиться следующими несовместимыми способами: все механизмы будут работать безотказно, отка­жет лишь один механизм, откажут в точности два механизма, то его вероятность по теореме сложения равна:

(1-р)6+6р(1-р)5+15р2(1-р)4.

Если, для примера, вероятность выхода ме­ханизма из нормального рабочего состояния равна 0,2, то вероятность того, что за указан­ный срок:

все механизмы будут работать нормально, равна 0,262144;

только один механизм выйдет из строя, равна 0,393216;

только два механизма выйдут из строя, равна 0,245760.

Таким образом, при указанных условиях работы искомая вероятность равна 0,90112.

Дополнительные исторические сведения

Конец XVIII и XIX век принесли множе­ство новых задач, связанных со случайны­ми явлениями. Прежде всего бурное раз­витие астрономии, физики, химии, точных тех­нических измерений со всей остротой поста-

вило задачу построения теории ошибок изме­рений. Почти одновременно основы современ­ной теории ошибок наблюдений были созданы двумя крупнейшими математиками — А. Лежандром и К. Гауссом. Далее, развитие воен­ного дела потребовало развития теории стрель­бы. Пока стрельба велась на малые расстояния по видимым целям, задача прицела, например,

При многократной стрельбе по мишени попадания выявляют определенную закономерность.

совсем не могла даже возникнуть. Исключи­тельное значение для прогресса всего естество­знания и науки о случайных явлениях имело развитие молекулярных концепций в физике. Создание кинетической теории газов с особой силой потребовало систематического изучения теории случайных величин.

Такие выдающиеся математики, как П. Лап­лас, С. Пуассон, П. Л. Чебышев, A. M. Ляпунов, А. А. Марков, обогатили теорию вероятностей рядом замечательных открытий.

Вместе с тем во второй половине XIX в. стала все сильнее ощущаться необходимость создания новой математической дисциплины, которая получила название математиче­ской статистики. Среди простейших вопросов, которые относятся к ней, упомянем лишь следующий. Допустим, нам неизвестна вероятность р случайного события А. Как оценить ее значение? С этой целью производят некоторое число n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с неизменной вероятностью p, нам неизвестной. Далее подсчитывают число появлений события А. Отношение этого числа к n дает нужную оценку.

В наши дни математическая статистика приобрела особенно большое значение. На ее правилах и результатах основаны, в частно­сти, методы анализа производственных про­цессов, текущий и приемочный статистический контроль качества массовой промышленной продукции, оценка наличия или отсутствия сигнала на фоне шума и пр.

Закон больших чисел

Мы ограничимся здесь формулировкой двух теорем, получивших многочисленные теоре­тические и практические применения. Первая из них была доказана Я. Бернулли и опубли­кована в 1713 г.

Производится последовательность незави­симых испытаний, в каждом из которых собы­тие А может произойти с одной и той же ве­роятностью р. Пусть среди первых n испыта­ний событие А наступило в некоторых m. Тогда, как бы мало ни было взято e>0,

Таким образом, если взять n достаточно большим, то вероятность неравенства│m/n-р│>e

становится как угодно малой. А так как собы­тия с малой вероятностью имеют мало шансов наступить, то мы видим, что при больших n, как

правило, отношение m/n будет близко к р.

Теорема Я. Бернулли служит базой для приближенной оценки неизвестных вероятно­стей случайных событий. Длительные наблю­дения над рождениями установили, что в сред­нем на каждую 1000 рождений приходится 511 мальчиков и 489 девочек. Отсюда делается вывод, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,511. По вероятности рождения мальчика делаются серьезные про­гнозы о составе населения.

Все страховое дело построено на определе­нии статистическим путем (посредством тео­ремы Бернулли) вероятностей различных собы­тий: смерти лица определенной профессии в те­чение определенного года его жизни, гибели от пожара дома, гибели посевов от града и т. д. На этой базе рассчитываются страховые взно­сы. Эти расчеты оказываются настолько точ­ными, что страховые общества не разоряются, а приносят систематический доход.

Вторая теорема доказана П. Л. Чебышевым в 1867 г. Доказательство Чебышева исключи­тельно просто и изящно. По своим математи­ческим средствам оно вполне доступно уча­щимся девятого класса. Мы ограничимся фор­мулировкой лишь частного случая теоремы.

Предположим, что случайная величина x может принимать значения x1, х2, ...,хn соответ­ственно с вероятностями p1, р2, ..., рn( p1+р2+...+pn=1). Средним значением (матема­тическим ожиданием) случайной величины x называется сумма Мx=р1x1+p2x2+...+pnxn.

Представим теперь себе, что имеется по­следовательность независимых случайных ве­личин x1,x2,...,xk, ..., каждая из которых имеет среднее значение, равное а, и все случайные величины ограничены некоторым числом с. При этих условиях для любого e>0 имеет место неравенство:

Таким образом, среднее арифметическое не­зависимых случайных величин при большом числе слагаемых становится почти постоянным. Это обстоятельство исключительно важно, оно находит широкое и разнообразное использо­вание на практике. Пусть, для примера, xk есть результат k-го измерения некоторой ве­личины а, лишенного систематической ошибки (например, постоянной ошибки измеритель­ного прибора). Закон больших чисел утверж­дает, что для получения приближенного значе­ния измеряемой величины следует взять сред­нее арифметическое из результатов измерений, и чем измерений больше, тем среднее арифме­тическое будет ближе к измеряемой величине.

В качестве другого примера рассмотрим дав­ление газа на стенку заключающего его сосу­да. Это давление есть результат суммарного воздействия ударов отдельных молекул о стен­ку. Число этих ударов в единицу времени и их сила — дело случая. Таким образом, давление в каждой части поверхности сосуда подвергает­ся случайным колебаниям. Но так как дав­ление складывается из колоссального числа уда­ров отдельных частиц, то среднее арифме­тическое отдельных производимых ими давле­ний, согласно закону больших чисел, практи­чески достоверно является почти постоянной величиной. Отсюда вытекает, что давление газа в нормальных условиях (для не слишком раз­реженных газов) лишь ничтожно мало колеблет­ся около некоторой постоянной величины. Но это утверждение мы знаем из физики под названием закона Паскаля. Таким образом, мы за­кон Паскаля получили не как опытный факт, а как результат теории, как следствие из об­щей теоремы теории вероятностей, из теоремы Чебышева.

Заметим, что теорема Чебышева содержит в себе теорему Бернулли как простейший ча­стный случай, когда все случайные величины могут принимать лишь два значения 0 и 1, соответственно с вероятностями 1-р и р.

Некоторые современные направления развития теории вероятностей

Основными понятиями, обогатившими со­временную теорию вероятностей, следует счи­тать понятия случайного процесса, случайного поля, информации.

Известно, что физика, химика, биолога и техника интересует в первую очередь изучение процессов, т. е. явлений, протекающих во вре­мени. Так, при изучении химической реакции или же в технологических процессах на хими­ческом предприятии нас всегда интересует, как при заданных условиях эта реакция про­текает во времени, какая часть вещества уже вступила в реакцию, когда практически реак­ция уже закончилась.

Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-либо молеку­лы газа или жидкости. В случайные моменты времени эта молекула сталкивается с другими молекулами, меняет при этом свою скорость и направление движения. Ряд физических за­дач требует для своего решения умения вы­числять вероятности того, как много молекул успеет за тот или иной промежуток времени передвинуться на то или иное расстояние. Так, например, если приведены в соприкосновение две жидкости, то начинается взаимное проник­новение молекул одной жидкости в другую— происходит диффузия. Как быстро протекает процесс диффузии, по каким законам, когда образующаяся смесь газов становится прак­тически однородной? На все эти вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, в основе которой лежат вероятностные расчеты.

Весьма важный круг явлений происходит по принципу радиоактивного распада. Это явление, как известно, состоит в том, что в случайные моменты времени какие-то атомы

радиоактивного вещества распадаются, пре­вращаясь в атомы другого вещества. Каж­дый распад происходит подобно взрыву, с вы­делением некоторой энергии. Если масса рас­падающегося вещества не слишком велика (меньше определенной величины, называемой критической), то распады атомов, как показы­вают многочисленные наблюдения, происходят независимо друг от друга. Для изучения про­цесса радиоактивного распада весьма важно определить вероятность того, что за определен­ный промежуток времени распадается то или иное число атомов. Впрочем, в точности такая задача возникает в телефонном деле, при про­ектировании пропускной способности мостов, в теории надежности, в экономике, в военном деле, в технике. Независимо от конкретного воплощения, вопрос, который постоянно воз­никает, ставится так: как велика вероятность того, что за определенный промежуток време­ни наступит некоторое число определенных событий (вызовов абонентов на телефонную станцию; машин, которым требуется пересечь мост; отказов элементов, из которых состав­лено сложное оборудование, и т. д.)? При весь­ма широких условиях искомая вероятность может быть вычислена по формуле:

Здесь Pk(t) означает вероятность того, что за промежуток времени t произойдет ровно k со­бытий; l — постоянная, так называемая интен­сивность наступления событий, е=2,71828..., k!=1•2•3•...•k.

В начале статьи была приведена неболь­шая табличка приходов судов в Одесский порт. Нижняя строка таблички вычислялась как раз по этой формуле. Эта же формула широко используется в физике для подсчета числа кос­мических частиц, попадающих на определен­ный участок земной поверхности за время t. Она же служит для вычисления числа ламп в электронной вычислительной машине, кото­рые перегорят за срок t. Эта формула дает прекрасное совпадение с фактически наблю­даемым числом вызовов на телефонной станции.

Рассмотрение задач естествознания не с точки зрения качественного, а с позиций их количественного изучения привело к формиро­ванию понятия случайного процесса. Первые идеи в этом направлении были высказаны био­логами и физиками еще в конце прошлого века. Более определенную форму они приняли в ра­ботах физиков А. Фоккера и М. Планка. Однако точное определение и начала теории впер­вые были построены А. Н. Колмогоровым и А. Я. Хинчиным. Первому из них принадле­жит заслуга в создании основ так называемых марковских процессов, второ­му — стационарных процессов.

На базе этой теории строятся далеко идущие заключения в физике, химии, аэродинамике, ра­диотехнике, биологии, геофизике и экономике.

Теория вероятностей — наука о случайных явлениях — в настоящее время находится на крутом подъеме. К ней теперь обращаются и физики, и астрономы, и экономисты, и лингви­сты. Без нее не может быть глубокого позна­ния процессов образования помех при радио­вещании, правильного расчета организации производства, создания рациональных спосо­бов приема больших партий продукции, рас­чета запасов и средств обороны.

Прогресс теории вероятностей и ее примене­ний требует непрерывного пополнения творче­ски работающих в ней математиков способной молодежью. Несомненно, среди читателей Дет­ской энциклопедии будет и та часть молодежи, которая даст новых Лапласов и Чебышевых.

Сколько рыб в озере?

Рыбоводу понадобилось определить, сколько в озере рыб, годных для улова. Следуя рекомендации теории вероятностей, рыбовод забросил сеть с за­ранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, пе­ресчитал добычу. Рыб оказалось 38. Сделав пометку на каждой рыбке, рыбовод всех их выпустил в озеро.

На другой день он опять забросил ту же самую сеть и теперь выловил уже 53 рыбки, две из ко­торых оказались мечеными. По этим данным ры­бовод и вычислил приблизительно количество рыб в озере, годных для улова данной сетью.

К какому результату пришел рыбовод?

Решение на стр. 471.