ОМАР ХАЙЯМ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Омар Хайям, один из крупнейших матема­тиков средневекового Востока, родился, ве­роятно, в 1040 г. и умер в 1123 г. (точные годы неизвестны). Он был уроженцем Нишапура, главного города Хорасана. Хорасан, страна, лежавшая на юго-восток и восток от Каспий­ского моря, входила тогда в состав государства сельджуков. Теперь значительная часть тер­ритории Хорасана находится в Иране, север­ные районы — в Туркменской ССР, а восточ­ные — в Афганистане.

Более всего Хайям прославился как автор замечательных четверостиший. Воспевая ра­дость человеческого бытия, он вместе с тем по­рицал несправедливые порядки своего време­ни и высмеивал официальную религию. Он мечтал о лучшем устройстве жизни на земле:

Когда б я властен был над этим небом злым,

Я б сокрушил его и заменил другим,

Чтоб не было преград стремленьям благородным

И человек мог жить, тоскою не томим.

Стихи Хайяма написаны на языке фарси, из которого развились нынешние персидский и таджикский. Сейчас они переведены на русский и многие европейские языки.

В молодые годы Хайяму пришлось много скитаться. Он жил и работал в Самарканде и Бухаре, а в 1074 г. был поставлен во главе обсерватории, организованной в столичном городе Исфахане. Здесь ученый разработал проект нового весьма точного календаря, ко­торый не смог, однако, найти применения. Вскоре один за другим умерли покровитель­ствовавшие Хайяму первый министр Низам ал-Мулк и султан Малик-шах, и обсерватория была закрыта. Мусульманское духовенство не­навидело вольнодумца Хайяма. При преем­никах Малик-шаха влияние духовенства уси­лилось и Хайям впал в немилость.

Математические сочинения Хайяма относятся к алгебре, арифметике и геометрии. Они написаны на арабском языке, которым, как правило, пользовались ученые в странах Азии и Африки, покоренных арабами.

Главный труд Хайяма называется «Трактат о доказательствах задач алгебры и ал-мукабалы». Уравнения в то время приводили для решения к нормальному виду, располагая в обеих частях уравнения члены с положитель­ными коэффициентами. Так, например, раз­личали три вида квадратных уравнений x2=рх+q, х2+рх=q и х2+q=рх и для каждого формулировали свой особый прием решения. Уравнение x2+рх+q=0 вовсе не рассматривалось, так как при р³0, q³0 у него не может быть положительных ре­шений, которые одни принимались во внима­ние. Операция переноса вычитаемых членов данного уравнения в другую часть, где они оказываются уже прибавляемыми, называлась ал-джабр («восполнение»). Операция приве­дения подобных членов в обеих частях урав­нения называлась ал-мукабала («противопо­ставление»). От слова ал-джабр произошло наше слово «алгебра», и уже у Хайяма говорится об «алгебраистах».

Трактат Хайяма посвящен в основном ку­бическим уравнениям. Первые задачи, при­водящиеся к кубическим уравнениям с целы­ми корнями, которые легко найти с помощью простого подбора, появились еще в древнем Вавилоне. Древние греки нашли геометриче­ский прием построения положительных кор­ней кубических уравнений. Прежде всего они применили его к задаче об удвоении куба, т. е. отыскании ребра х такого куба х3, который

был бы вдвое больше данного куба у3. Величину х, т. е. корень уравнения х3=2у3, они построили как абсциссу точки пересече­ния двух парабол с уравнениями ах=y2 и 2ау=х2, отличной от начала координат. За­тем Архимед свел к уравнению вида х3+r=рх2 задачу о делении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых находятся в данном отношении. Он построил корень этого уравнения как абсциссу точки пересече­ния некоторых параболы и гиперболы и про­извел тщательный анализ задачи.

Проблема Архимеда заинтересовала мате­матиков арабских стран еще в середине IX в. Вскоре здесь занялись и другими вопросами геометрии, приводящимися к уравнениям третьей степени. Такие уравнения получили важное значение и для астрономии, а именно для вычисления необходимых астрономам три­гонометрических таблиц. Дело в том, что вычисле­ние синуса 1° можно привести к решению уравнения вида х3+r=qx. Ученые создали различные приемы приближенного вычисле­ния корней уравнений третьей степени. На­ряду с этим возникла потребность в более общей теории.

Наиболее полную для своего времени тео­рию разработал Хайям, широко применив гео­метрический метод древних греков. Он рас­смотрел все нормальные виды кубических урав­нений, которые могут иметь положительные корни. Всего таких видов оказалось 14: одно двучленное, шесть с тремя членами и семь четырехчленных. Для каждого вида Хайям приводит соответствующее ему построение. Так, корень трехчленного уравнения х3+qx=r выражается абсциссой той точки пересечения

окружности x2+y2=(r/q)х и параболы x2=Öqy,

которая отлична от начала координат. Анализируя построение, Хайям выясняет, при каких усло­виях уравнение данного вида имеет один или два положительных корня. Например, урав­нение х3+qx=r при любых значениях коэф­фициентов имеет один, и только один, положи­тельный корень. Это сразу видно из чертежа. Иногда Хайям указывает границы, в которых лежит корень уравнения того или иного вида. На примерах Хайям показывает, как общая теория применяется к исследованию уравне­ний с данными числовыми коэффициентами.

Все же в исследовании Хайяма есть про­белы. Так, он не заметил, что уравнение ви­да x3+qх=рх2+r может иметь в неко­торых случаях три положительных корня. Обнаружить это только с помощью чертежа трудно.

Подобно другим математикам средневекового Востока, Хайям пытался выразить корень кубического уравнения с помощью радикалов, наподобие корней квадратного уравнения. До­стичь успеха ему не удалось. Только в начале XVI в. итальянские математики открыли вы­ражение корня кубического уравнения с по­мощью кубических радикалов. Но уже Хайям пришел к убеждению, что сделать это с помо­щью квадратных радикалов в общем случае невозможно.

Геометрическая теория кубических урав­нений получила дальнейшее развитие как на Востоке, так и в Европе, в частности у Р. Де­карта. В XVI—XVII вв. геометрические прие­мы исследования начинают быстро вытесняться алгебраическими, более совершенными и удобными. Все же до сих пор иногда пользуют­ся геометрическим построением корней уравне­ний (не только кубических), чтобы примерно определить их значение или получить общее представление о числе положительных и отри­цательных корней и т. п.

В алгебраическом трактате Хайям упоми­нает свой труд по арифметике, в котором он изложил прием извлечения корней любой целой положительной степени из чисел. Ранее были известны способы извлечения квадратного и кубического корней. Этот труд до сих пор не обнаружен. Вероятно, Хайям вывел в нем так называемую формулу бинома Ньютона для целого положительного показателя. Впервые она встречается у другого выдающегося сред­неазиатского математика—Насирэддина Туси в учебнике, написанном в 1265 г.

Подобно грекам, математики стран Арабско­го Востока не имели никаких алгебраических обозначений и все уравнения, преобразования и т. д. записывали словами. Это чрезвычайно удлиняло и затрудняло как исследование, так и изложение. Нашему современнику, при­ученному к экономной и изящной символиче­ской записи, трудно читать старинные тракта­ты по алгебре.

Хайям написал также комментарии к «На­чалам» Евклида, в которых разрабатывал теорию отношений и пропорций и учение о параллель­ных. И здесь Хайям высказал ряд интересных мыслей, оказавших влияние на дальнейшее развитие математики.