ПЬЕР ФЕРМА

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Мы очень мало знаем о жизни этого великого математика. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции в семье торговца кожами, изучал юридические науки и состоял советни­ком тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубо­кий отпечаток на все дальнейшее развитие тео­рии чисел, геометрии и математического ана­лиза. Жизнь Пьера Ферма была скромной, и, по-видимому, он провел ее только в Тулузе и ее окрестностях, не побывав даже в Париже.

Тогда еще не было ни академии наук, ни научных журналов, и отдельные любители нау­ки, разбросанные по всей стране, либо непо­средственно писали друг другу, либо посыла­ли письма в Париж к какому-нибудь любителю, который переписывал их и пересылал другим ученым. Так, свои захватывающие мысли и идеи Ферма излагал в письмах к друзьям, среди ко­торых были Р. Декарт, Ж. Роберваль, Б. Пас­каль, Ж. Дезарг и другие. И все они считали Ферма величайшим математиком Европы.

Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г.

Ферма установил основной принцип гео­метрической оптики, согласно которому свет распространяется из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого тре­буется минимальное время. Из этого принципа Ферма выводятся законы отражения и прелом­ления света.

Прекрасный знаток древности, Ферма пи­сал стихи по-гречески и по-латыни. Так же как и Паскаль, он был одним из создателей литера­турного французского языка. Тот, кто читал его письма в подлиннике, может по достоинству оценить изящество и красоту его стиля. Во время самой острой полемики с учеными, кото­рые иногда, не поняв какого-нибудь из рассуж­дений Ферма, резко нападали на него, Ферма неизменно сохранял благородное спокойствие, доброжелательство и терпеливо объяснял свою мысль. Из переписки Ферма рисуется именно таким человеком, к которому полностью при­менимы слова Аристотеля, сказанные по по­воду великого математика древности Евдокса Книдского: «Он был образцом умеренности, доброты и силы характера».

Пьер Ферма.

С наибольшей силой гений Ферма проявил­ся в математике. Так, еще до Декарта и в более совершенной форме он построил систему ана­литической геометрии, открыл общий метод для определения максимумов, минимумов и каса­тельных, существенно развил метод Архимеда и применил его для определения площадей, объемов и длин дуг. Но любимой его областью, которую он по существу открыл, была тео­рия чисел. Ферма сумел среди множества разнообразных задач и вопросов выделить имен­но те, которые стали центральными в теории чисел XVIII и XIX вв. Однако он, как правило, не сообщал доказательств своих теорем. Поэтому утверждения Ферма так и остались для после­дующих ученых проблемами, часть из которых и до сих пор не получила решения.

Остановимся на четырех проблемах Ферма.

1. Занимаясь теорией чисел, Ферма обратил внимание на то, что во всех вопросах арифме­тики чрезвычайно важную роль играют про­стые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Он попы­тался найти такую формулу, которая при подстановке вместо n целых чисел 1, 2, 3, 4, ... давала бы только простые числа. Ферма пола­гал, что именно таким будет выражение 22n+1. Но через 100 лет Л. Эйлер заметил, что хотя при n=0, 1, 2, 3, 4 формула и будет давать про­стые числа 3, 5, 17, 257, 65 837, однако при n=5 получается число 4 294 967 297, которое делится на 641. Числа вида 22n+1 носят теперь название чисел Ферма. Они встречаются во мно­гих исследованиях по теории чисел. Однако до сих пор неизвестно, имеется ли среди этих чи­сел бесконечно много простых или нет.

2. В поисках критерия для определения того, является ли данное число простым, Ферма на­шел следующую замечательную теорему: если n — простое число и а — целое число, которое не делится на n, то an-1-1 нацело делится на п. Так, например, 56-1 без остатка делится на 7, а 74-1 делится на 5. Но 25-1 не будет де­литься на 6, следовательно, число 6 непростое. Эта теорема получила название малой теоремы Ферма. Она была впервые доказана Л. Эйлером, и теперь известно много ее различных доказа­тельств. Она играет фундаментальную роль при исследовании проблем теории чисел и тео­рии групп.

3. Еще большую известность, чем «малая», получила «большая», или «великая», теорема Ферма, в которой утверждается, что уравнение

хn+уn=zn (1)

не имеет целых решений, если только n>2.

Случай n=2 был рассмотрен еще в древности; тогда же было доказано, что решений у такого уравнения будет бесконечно много. На полях «Арифметики» александрийского математика Диофанта, где излагалась эта задача, Ферма записал свою «великую» теорему. Он добавил, что нашел для нее «поистине чудесное доказатель­ство», однако не может его записать из-за недо­статка места. С тех пор прошло около 400 лет, но общее доказательство «великой» теоремы до сих пор не найдено.

Интересна ее судьба. С одной стороны, ма­тематики, стараясь доказать теорему, развивали все более и более тонкие методы, открывали новые обширные области для исследований. В настоящее время теорема доказана для всех n£10 000.

С другой стороны, эта теорема получила большую известность среди неспециалистов. Их привлекала простота формулировки, а также загадочное замечание Ферма о найденном им «чудесном» доказательстве. Сотни людей тра­тили и до сих пор тратят свое время и силы, пытаясь доказать «великую» теорему элемен­тарными средствами, ничего не зная об истории этой теоремы и о ее взаимосвязях с современными математическими теориями. Быть может, ни одна из теорем математики не принесла людям так много горьких разочарований и об­манутых надежд. Теперь уже ясно, что людям, незнакомым с современной высшей математи­кой, не следует приниматься за доказательство этой теоремы.

4. «Великая» теорема представляет собой одну из задач так называемого диофантова анализа. Уравнение с двумя или более неизвест­ными, как, например, хn+уn=zn, называется неопределенным. Одна из главных задач диофантова анализа: узнать, имеет ли заданное неопределенное уравнение с целыми коэффи­циентами целые решения или нет, а если реше­ния имеются, то конечное ли их число или бес­конечное и в последнем случае постараться оп­ределить их все (например, так, как это было сделано в древности для уравнения (1) при n=2). Сам Ферма исследовал неопределенное уравнение

x2-аy2=± 1. (2)

В «Началах» Евклида говорится, как найти бесконечное множество решений уравнения х2-2y2=±1

исходя из наименьшего: x0=1, y0=1. Сле­дующее решение будет: x1=х0+2у0=3; у1=х0+у0=2. И вообще, если xn, yn — решение, то из него можно получить следующее решение по формулам:

xn+1=xn+2yn, yn+1=хn+yn .

Ферма исследовал уравнение (2) при любом целом неквадратном а. В одном из своих писем он поставил перед математиками следующие задачи: 1) дать способ нахождения наименьшего реше­ния этого уравнения; 2) найти формулы для нахождения всех остальных решений, если наименьшее уже известно. Сам Ферма, безус­ловно, владел методом решения обеих задач. Чтобы узнать, имеется ли метод у других ма­тематиков, он нарочно выбрал такие значения а, для которых наименьшее решение очень велико, и поэтому его трудно найти простым подбором.

Исчерпывающее решение обеих задач было получено только Л. Эйлером и Ж. Лагранжем в XVIII в.

Мы остановились здесь только на несколь­ких проблемах, которыми занимался великий математик. Но и их достаточно, чтобы оценить силу его гения.