Зарождение математики

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 
102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 
153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 

Точно датировать возникновение важнейших по­нятий — целого числа, величины, фигуры — невозмож­но. Когда возникла письменность, представление о них уже сложилось. К этому времени были выработаны и различные системы письменной нумерации целых чисел.

2000—1700 гг. до н. э.— первые дошедшие до нас математические тексты: два египетских папируса и многочисленные глиняные таблички из древнего Вавилона, содержащие формулировки и решения за­дач. Египтяне пользовались десятичной непозицион­ной нумерацией и дробями с числителем 1 («основные» дроби). У вавилонян была шестидесятеричная позицион­ная система счисления без нуля и систематические шестидесятеричные дроби. Позднее, в середине первого ты­сячелетия до н. э., вавилоняне ввели знак для обозна­чения пропущенного шестидесятеричного разряда. Гео­метрия в Вавилоне и в Египте была по преимуществу вычислительной. Так, были известны правила вычис­ления площадей треугольника по стороне и высоте, круга по его радиусу (вавилоняне брали при этом в ка­честве p число 3, а египтяне число 3,16), а также объем пирамиды и усеченной пирамиды с квадратным основа­нием. Вавилоняне знали, что в прямоугольном тре­угольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а также обратное предложение. По-видимому, оба эти предложения были открыты ими на примерах и доказывать их в общем виде они еще не умели.

Наиболее замечательное достижение этого перио­да — создание в древнем Вавилоне элементов алгебры и открытие правила решения квадратных уравнений. Вавилоняне умели также находить приближенные зна­чения квадратных корней из неквадратных чисел. Им были известны формулы суммы арифметической прог­рессии и суммы квадратов натурального ряда.

Математические знания излагались в эту эпоху в виде рецептов, правильность которых не доказыва­лась; обычно приводились однотипные числовые при­меры и их решения. Математики как науки еще не было.

Возникновение математики как науки. Построение первых математических теорий (математика древней Греции)

VI в. до н. э. — систематическое введение логиче­ских доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики. В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвле­ченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифа­горейцам восходят первые математические теории: пла­ниметрия прямолинейных фигур (включая строгое до­казательство знаменитой теоремы Пифагора) и элемен­ты теории чисел (введение понятий простого числа, взаимно простых чисел, исследование теории делимо­сти, построения совершенных чисел). В этой же школе были открыты четыре из пяти правильных тел: куб, тетраэдр, октаэдр и додекаэдр.

V в. до н. э.—в Пифагорейской школе сделано ве­личайшее открытие о несоизмеримости стороны квад­рата и его диагонали. Оно показало, что рациональных чисел (т. е. целых чисел и дробей) недостаточно для из­мерения геометрических величин и обоснования учения о подобии. Благодаря этому открытию возникла необ­ходимость создания теории отношений как соизмери­мых, так и несоизмеримых геометрических величин.

V в. до н. э. (вторая половина) — создана так на­зываемая геометрическая алгебра, которая давала возможность в общем виде решать задачи, сводя­щиеся к квадратному уравнению или последователь­ности таких уравнений, чисто геометрически, с по­мощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквен­ной алгебры, но аппарат ее был гораздо менее удобен.

В это же время были сформулированы три знаме­нитые задачи древности: 1) удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного), 2) трисекция угла (разделить произвольный угол на три равные части) и 3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу). Все эти по­строения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую).

В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т. е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равнове­ликие им квадраты.

В конце V в. Гиппократ составил первые «Нача­ла» — систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел.

IV в. до н. э. (первая половина) — афинский мате­матик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациональностей и начал классификацию их. Он определил простейшие классы квадратичных иррацио­нальностей, такие, как Öa, Öa ± Öb,

Ö(ÖÖb), Öab, Ö(Öab),..., которые были впо­следствии описаны в «Началах» Евклида. Он показал также, что 3Öа иррационален, если а не является кубом.

IV в. до н. э. (середина) — великий математик и астроном древности Евдокс из Книда создает общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпа­дает по существу с теорией действительных чисел, пред­ложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определе­ния площадей и объемов Евдокс разработал так назы­ваемый метод исчерпывания. В основе обе­их теорий лежало общее учение о величинах. Величины определялись аксиоматически, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда: если а>b, то можно повторить b столько раз, что nb>а. С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что ко­нус равновелик 1/3 цилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновелика 1/3 соответствующей призмы. Он доказал также, что площа­ди двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

300 г. до н. э.—Евклид создает свои «Начала», в ко­торых подводит итог всему предшествующему развитию античной математики. Метод изложения «Начал» полу­чил название дедуктивного и стал образцом для построе­ния математической теории. В «Началах» не только впервые систематически излагалась геометрия, но и элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь формулировался алго­ритм Евклида для нахождения наибольшего общего де­лителя двух чисел, доказывалось, что произведение двух простых чисел pq не может делиться ни на какое третье простое число, а также устанавливалось, что простых чисел бесконечно много. В «Началах» впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и показывается, что существует только пять правильных тел: куб, тет­раэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — и никаких дру­гих правильных тел нет.

III в. до н. э. — Архимед разрабатывает методы нахождения площадей и объемов, а также методы опре­деления касательных и наибольших и наименьших зна­чений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия пла­вающих тел (см. стр. 472—474). Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчи­сления, созданного в XVII в.

III—II вв. до н. э. — Аполлоний систематически и всесторонне исследует конические сечения, раз­вивая методы как аналитической, так и проектив­ной геометрии. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания аналитической ге­ометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проектив­ной геометрии Б. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при иссле­дованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Га­лилея и И. Ньютона.

I—II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике.

I в. (конец) — Менелай создает систематический курс сферической геометрии, построенный по образ­цу «Начал» Евклида, и развивает сферическую триго­нометрию.

Во II в. Птолемей в своих астрономических трудах излагает плоскую и сферическую тригонометрию; он выводит формулу, равносильную

sin (a±b)=sinacosb±cosasinb,

и составляет подробные таблицы хорд (вместо линии синуса древние рассматривали всю хорду). В таблицах Птолемей употреблял символ для обозначения пропу­щенного шестидесятеричного разряда. Возможно, что этот символ и явился прообразом нуля.

III в. н. э. — Диофант Александрийский, послед­ний великий математик древности, пишет «Арифмети­ку», в которой формулирует общие правила алгебры: правило переноса членов из одной части уравнения в другую и правило приведения подобных членов, а также правило умножения многочлена на многочлен, причем отмечает, что «вычитаемое на вычитаемое дает слагае­мое». В этой книге впервые в истории науки вводится алгебраическая символика для обозначения неизвест­ного и первых его положительных и отрицательных сте­пеней вплоть до шестой, а также для равенства и вычи­тания. Диофант развивает учение о решении неопре­деленных уравнений с целыми коэффициентами в целых или рациональных числах. Эти уравнения получили в современной математике название диофантовых.

Математика стран Дальнего, Среднего и Ближнего Востока

II в. до н. э. — создание древнейшего дошедшего до нас китайского математического трактата «Матема­тика в девяти книгах», содержащего сведения по ариф­метике и геометрии. При решении задач в трактате при­меняется теорема Пифагора. Наиболее замечательным является единообразный метод решения системы ли­нейных уравнений. При этом появляются отрицательные числа, для которых формулируются правила сложения и вычитания. В трактате излагается также алгоритм вы­числения квадратных и кубических корней, аналогич­ный современному. Этот алгоритм в VII—XIII вв. был перенесен на случай вычисления корней общих уравне­ний третьей и четвертой степеней. Он совпадает в ос­новном с так называемой схемой Горнера, полученной в Европе в XIX в.

502

Ill в. н. э.—в трактате Сунь Цзы встречаются име­нованные десятичные дроби.

V—VI вв. — создание в Индии десятичной пози­ционной системы счисления и введение в нее нуля как особой цифры.

499 г. — в астрономическом трактате Ариабхатты решается в целых числах неопределенное уравнение

ах+bу=с.

Около 628 г. — индийский астроном Брахмагупта, свободно оперируя отрицательными числами, дает единое правило для решения любого квадратного урав­нения. Он же формулирует правила действий с нулем, который благодаря этому становится числом, равно­правным с другими числами. Брахмагупта знал способ решения неопределенного уравнения ах2+1=y2

в целых числах. Обоснование этого метода было дано Л. Эйлером и Ж. Лагранжем в XVIII в. Брахмагупта широко пользовался алгебраической символикой: спе­циальными знаками для обозначения неизвестных и их степеней, знаками для корня квадратного, для операций сложения и вычитания.

IX в. — среднеазиатский ученый Мухаммед ал-Хорезми подробно объясняет правила действия с чи­слами, записанными в десятично-позиционной системе, и исследует квадратные уравнения. Слова «алгебра» и «алгоритм» впервые появились в переводе его тракта­тов. Первое из них означало операцию переноса членов из одной части уравнения в другую, а второе — иска­женное имя автора (ал-Хорезми — Algorithmi); оно применялось первоначально только для обозначения правил вычисления по десятичной позиционной си­стеме.

XI в.— математик и поэт Омар Хайям в трактате по алгебре систематически исследует не только уравне­ния первой и второй степеней, но и кубические. Реше­ние их он строит геометрически при помощи пересечения параболы, гиперболы и окружности (см. стр. 474—476).

XII в.— индийский ученый Бхаскара-акарья сфор­мулировал все правила действий с отрицательными чи­слами и специально отметил, что корень квадратный из отрицательного числа не имеет действительных зна­чений. Бхаскара отмечал также, что благодаря двузнач­ности квадратного корня квадратное уравнение может иметь два решения.

XIII в. — Насирэддин Туси систематически из­лагает сферическую геометрию, исследует все слу­чаи решения сферического треугольника, в том чи­сле и по трем углам его, развивает дальнейшие идеи Хайяма о сближении отношений с числами и подробно излагает теорию составных частей.

XV в. — Гийяс ад-Дин Джемшид ал-Каши, рабо­тавший в обсерватории Улугбека близ Самарканда, вводит и систематически использует десятичные дро­би. Этим десятичная позиционная система была распро­странена для записи любых действительных чисел. Он вычислил число p с точностью до 17 десятичных знаков. Ал-Каши сформулировал в общем виде пра­вило возведения бинома в любую целую степень и опи­сал способ извлечения корня любой степени.

Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения

XII—XIII вв. — на латинский язык переводятся арабские и греческие сочинения по математике. Посте­пенно распространяется десятичная позиционная си­стема.

XIII в. — Леонардо Пизанский (Фибоначчи) изла­гает новую позиционную нумерацию, дает сведения по алгебре и арифметике, рассматривает различные числовые ряды.

XIV—XV вв. — совершенствуются алгебраические обозначения, вводятся обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.

XVI в.— первый крупный успех европейской мате­матики: итальянские ученые С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано решили уравнения третьей степени в ради­калах и ученик Кардано, Л. Феррари,— уравнение четвертой степени.

1572 г.— в «Алгебре» Р. Бомбелли впервые рассмат­ривает мнимые числа a+bÖ-1 и формулирует правила действия с ними. Сами эти числа он трактует как сим­волы, удобные для получения результатов относительно действительных чисел,

1685 г.— С. Стевин вводит систему десятичных дро­бей.

XVI в. (вторая половина) — французский матема­тик Ф. Виет вводит буквенные обозначения для неизве­стных и постоянных величин и создает математическую формулу (см. стр. 476—478).

Период математики переменных величин (XVII—XVIII вв.)

В XVII в. делает большие успехи механика зем­ных и небесных тел, и в связи с этим возникают про­блемы изучения зависимостей одних величин от дру­гих, проблемы определения скоростей, ускорений, пло­щадей криволинейных фигур, центров тяжести и т. д. Для решения этих проблем в математике не было гото­вого аналитического аппарата. Ученые начинают ис­кать пути изучения переменных величин в математике, используя творения античных математиков. В резуль­тате в математику входит функциональная зависимость. С этих пор функция становится таким же основным объ­ектом математики, как число и величина.

1614 г.— Д. Непер вводит логарифмы и публикует первые логарифмические таблицы. Несколько позднее таблицы логарифмов опубликовал Й. Бюрги.

1636—1637 гг.— Р. Декарт и П. Ферма вводят в ма­тематику метод координат, который позволяет сводить геометрические задачи к алгебраическим и изучать ши­рокий класс функциональных зависимостей. Незави­симо друг от друга Декарт и Ферма начинают строить с помощью нового метода аналитическую геометрию (см. стр. 478—481).

1608—1650 гг. — развитие методов анализа беско­нечно малых (методов определения объемов, площа­дей, центров тяжестей, касательных, экстремумов, скоростей, ускорений) в работах И. Кеплера, Б. Кавальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаля, Дж. Валлиса и др.

503

30—40-е гг. XVII в.— П. Ферма закладывает осно­вы теории чисел. Он формулирует знаменитые проблемы ее, которые в течение 200 лет были центральными в теоретико-числовых исследованиях.

70—80-е гг. XVII в. — И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга создают дифференциальное и интегральное исчисление (см. стр. 484, 487) и вводят в математический анализ основной его аппарат — беско­нечные ряды. Ньютон распространил формулу возведе­ния бинома в степень на случай, когда показатель степени — любое рациональное число.

1684 г.— выход в свет книги «Математические на­чала натуральной философии» И. Ньютона, в которой впервые было дано математическое построение основ классической механики земных и небесных тел.

1713 г.— Я. Бернулли формулирует и доказывает простейшую форму закона больших чисел — одного из основных законов теории вероятностей.

1748 г. — Л. Эйлер развивает учение о функциях как действительного, так и комплексного переменного. Эйлер подробно исследует элементарные функции хn, ах, logx:, sinx, cosx, находит для них выра­жения в виде бесконечных рядов и определяет логариф­мы отрицательных и мнимых чисел (см. стр. 488—490).

1770—1771 гг.— Ж. Лагранж написал знамени­тый мемуар «Размышления об алгебраическом решении уравнений», в котором проанализировал все методы решения в радикалах уравнений первых четырех степе­ней и показал, почему все эти методы не годятся для решения уравнений пятой степени. Он открыл, что раз­решимость уравнений в радикалах зависит от свойств группы перестановок корней этого уравнения, и тем самым обратил внимание на значение изучения групп.

1796 г. — К. Гаусс показывает, что если и — про­стое число, то правильный n-угольник может быть по­строен с помощью циркуля и линейки, когда n имеет вид 22k+i (см. стр. 490—492).

1799 г.— К. Вессель дал геометрическую интер­претацию комплексных чисел. Однако его работы остались неизвестными. В 1806 г. аналогичная геомет­рическая интерпретация была предложена Ж. Арганом. Всеобщее признание в математике интерпре­тация комплексных чисел получила только после то­го, как в 1832 г. К. Гаусс изложил основные ее идеи.

Период современной математики (XIX—XX вв.)

Математические методы проникают почти во все отделы физики, в химию, биологию, медицину, лингвистику, экономику. Сама математика необыкно­венно расширяется количественно и претерпевает глу­бокие качественные изменения. В целом она подни­мается на более высокую ступень абстракции.

1799—1825 гг. — К. Гаусс доказывает основную теорему алгебры, причем на протяжении указанного времени дает четыре различных доказательства ее.

1801 г.— К. Гаусс создает основы теории чисел. Он впервые развивает теорию сравнений, изучает до кон­ца теорию квадратичных вычетов, доказывает основные теоремы этой теории, излагает теорию уравнений де­ления круга.

1821 г.— О. Коши развивает теорию пределов и на ее основе строит учение о функциях, определяет поня­тия суммы ряда, непрерывности функции, а позднее кладет учение о пределах в основу всего математического анализа. При изложении этой области науки мы до сих пор следуем пути, намеченному Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во вто­рой половине XIX в. К. Вейерштрассом. Коши принад­лежит также разработка основ теории функций комп­лексного переменного.

1824—1826 гг. — молодой норвежский математик Н. Абель доказал, что алгебраические уравнения сте­пени n³5 неразрешимы в радикалах.

1827 г.— К. Гаусс развивает так называемую внут­реннюю геометрию поверхностей, в которой каждая по­верхность выступает как носительница своей особой геометрии.

1829—1830 гг. — Н. И. Лобачевский опубликовал свои первые работы по неевклидовой геометрии (см. стр. 492—494).

В 1832 г.— независимо от Н. И. Лобачевского си­стему неевклидовой геометрии построил Я. Бояи.

1830—1832 гг. — Э. Галуа находит признак того, решается ли данное уравнение с числовыми коэффи­циентами в радикалах. При этом он развивает методы теории групп и полей, которые приобрели огромное значение в математике и ее приложениях (см. стр. 494—496).

1832 г. — в связи со своими исследованиями по теории чисел К. Гаусс обобщает понятие целого числа на комплексные числа a+bi, где а и b — целые. Он определяет понятие простого числа, взаимно простых чисел, переносит на новые целые числа алгоритм нахож­дения наибольшего общего делителя и развивает всю арифметику целых комплексных чисел.

1840—1851 гг. — У. Гамильтон обобщает понятие комплексного числа, построив кватернионы — числа вида а+bi+сj+dk, где i2=j2=k2=-1; а, b, с, d — действительные числа. Оказалось, что для этих чисел вы­полняются уже не все законы обычной арифметики. Так, умножение кватернионов не обладает свойством переместительности (ij¹ji).

1849 г. — П. Л. Чебышев получил первые после Евклида точные результаты о законе распределения простых чисел в натуральном ряде (см. стр. 496— 498).

1854 г.— Б. Риман вводит n-мерные пространства и, обобщая идеи Гаусса но внутренней геометрии поверх­ностей, дает способ построения всевозможных метри­ческих неевклидовых геометрий. Римановы геометрии стали впоследствии основным математическим аппа­ратом общей теории относительности. Частным слу­чаем римановых геометрий являются геометрия Ев­клида и геометрия Лобачевского.

1881—1882 гг. — Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс строят тремя различными способами теорию действительных чисел. Вскоре в работах Дедекинда и особенно Кантора возникает новая важная область современной математики — теория множеств.

1899 г. — Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» строит полную аксиоматику геометрии Евклида и ана­лизирует соотношения между различными группами аксиом. С этого времени большое развитие в матема­тике получает аксиоматический метод.

XX в. — созданы новые математические дисцип­лины, играющие чрезвычайно большую роль как в самой математике, так и в математическом естествознании и технике.