1.3. Геометрия

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 

Аксиоматический метод Аристотеля, развитый им в логике, с успехом был применен Евклидом при построении дедуктивной геометрической теории. С тех пор ученые задают вопросы: 1) не могут ли аксиомы из системы аксиом определенной геометрии быть выведены из других аксиом этой системы; 2) нельзя ли прийти посредством логических умозаключений при использовании аксиом системы к двум или более противоречивым теоремам или следствиям; 3) можно ли аксиомы дополнить какими-либо новыми аксиомами независимо от старой системы аксиом без привнесения в нее противоречий? Ввиду ее в некоторой степени первозданности, рассмотрим геометрию Евклида несколько подробнее.

Аксиоматика евклидовой геометрии содержит «пять групп аксиом: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы движения, аксиома непрерывности и аксиома параллельности». Первая группа относится к утверждениям, касающимся: 1) соединения двух точек прямой линией (единственным образом); 2) принадлежности прямой по меньшей мере двух точек [что это такое – прямая, состоящая из двух точек?]; 3) возможности трех точек не составлять прямую [что такое самое прямая?]; 4) образования [соединением?] плоскости, «проходящей» через три точки (в плоскости имеется хотя бы одна точка [непостижимо и восхитительно!]) единственным образом; 5) принадлежности прямой плоскости, если две ее точки лежат на плоскости; 6) принадлежности одной точки двум плоскостям, из чего следует, что имеется еще одна точка, которая лежит на этих плоскостях; 7) невозможности провести через все произвольно выбранные четыре точки плоскость.

Все так называемые геометрические образы в этих утверждениях – неподдельное умозрение; во всем пустота «очевидности»; язык изложения нечеток, неясен, двусмыслен. По всей видимости, многовековые упражнения древних египтян и греков в измерениях длин и площадей, в вычерчивании на песке треугольников и окружностей настолько внедрились в рассудок, что суть процесса стала для них невидимой и в абстракции отчуждения отбрасывается. Итак, перед нами ранние плоды метафизики: «прямая», которая понимается как чувственный образ, без определения «как соответствующая кратчайшему расстоянию между двумя ее точками» (образ без процедуры измерения, знак ума, идеализация опыта); «прямая из двух точек» (эти геометрические точки «соприкасаются», как части прямой, но числа, точкам соответствующие, различны и разделены, по Аристотелю, – опять противоречие: точки «слиплись», но чем и как «разделены» числа?). Возникают вопросы: что значит «соединение» точек, если они и без того «соприкасаются», а числа, им соответствующие, «разные»? чем и как точки «соединяются»? что значит «провести плоскость»? Не ответив на эти вопросы, «геометризаторы» философии и физики в пору цветения картезианства уже торопятся перенести следствия из своих геометризованных теорий на гуманитарные дисциплины, на общественные процессы, в морально-этические сферы и другие области знания и бытия.

Вторая группа – аксиомы порядка. Вводится понятие направления – из какой «теории»? «Направление» связывается с отношением между точками: точка А предшествует точке В (А < В). Знак «<» между точками без количественной меры, без алгоритма определения порядка следования – это также чувственный образ, или одноразовое лаконичное изображение нескольких чувственных образов. «Если А < В, то В > А» – «кубики» переложили, поменяв их местами, словно дети. Одновременно не выполняется А < В и А > В [а на окружности как считать?]. Зародыш «дурной бесконечности» усматривается в аксиоме: «Если А < В, а В < С, то А < С» [в том числе на окружности? если «да», то до каких точек окружности это справедливо?]. Еще одно противоречие: «В одном из двух направлений для всякой точки В найдутся точки А и С такие, что А < В < С» (с. 25). Пусть, однако, прямая состоит из двух точек. Тогда, как легко проверить, любая подстановка этих точек в формулу А < В < С приводит к ее невозможности. Во всяком случае, о появлении точки между двумя точками этой прямой ничего не говорится, так как не задан процесс обнаружения или рождения точки вообще – о пифагорейском «перевоплощении» монады в точку речи здесь нет. Две ближайшие аристотелевские точки «касаются», но не точками и не через третью точку.

Аксиомы движения не менее парадоксальны. «Каждое движение сохраняет отношение принадлежности» – во-первых, по Зенону, «движение невозможно», тем паче, по Л. Витгенштейну, невозможно в формальной системе, какой является геометрия Евклида. Но на самом деле движение – это нескончаемый процесс, потенциально бесконечный, при котором, по А.А. Зенкину, вполне возможно, что элементы потенциально бесконечного геометрического множества точек на некотором этапе уже не принадлежат этому множеству – «испаряются»! Во-вторых, что значит идиома «движение сохраняет»? Что это за движение и движение ли это? Не в голове ли метафизика «сохранение движется», а «движение сохраняется»? Метафизик от логики всегда обманывает, даже когда пытается говорить правду, и честен, когда лжет. А картезианский метафизик движется, когда не движется, и окостенел, когда рассыпается.

Из этой же группы аксиом через все века наследуется другая ложь: «Движения образуют группу». Мало того, что самотождественность – это «вид движения» (самотождественно Единое, а оно неподвижно), так старое понятие алгебры – «группа» употребляется в пространстве движений. На плоскости – группа, так как движения на ней коммутативные и ассоциативные. А вот в трехмерном пространстве, не говоря уже о пространствах размерности n > 3, движения группу не образуют: они не коммутативны и не ассоциативны. А равенство (конгруэнтность) самому себе геометрического объекта? что значит в таком случае сравнить объект с самим собой? как сравнить? отделить сначала весь объект от самого себя, затем запустить механизм «сравнения», после чего снова соединить две «равные» половины? или эта «философема» тождественности себе – очередное излишество ума homo sapiens?

Аксиома непрерывности принимается согласно Р.Дедекинду (Архимеду)

или выражается на языке теории архимедовых групп. Г.Кантор делит отрезок на все более мелкие (связные?) части и в «конце» сего действа объявляет, что найдется «последняя» точка С, которая принадлежит всем отрезкам АnВn. Суть аксиомы Архимеда рассмотрим на единичном случае: прямая, как это заявлено в аксиомах связности, состоит по меньшей мере из двух точек А и В, которые друг друга «касаются» (Аристотель), но числа, им соответствующие, «различные».

Если точки различные, но «касаются», значит область касания из точек не состоит – область касания геометрических точек не является геометрическим образованием. С другой стороны, в природе, в мире, в геометрии нет пустоты, как гласит аксиома Архимеда, – тем более в геометрии нет «абсолютной пустоты», понятие которой использовал И.Ньютон. В геометрии – сплошь точки, даже на бесконечности – «бесконечно удаленная точка». Числа, соответствующие точкам А и В, различные, но между этими числами нет других чисел. Значит, между точками А и В есть субстанция, которая не является числовой и не является геометрической. Иначе говоря, точки А и В находятся рядом – они "касаются", будучи разными. Следовательно то, что составляет область касания точек, не есть Единое, ибо Единое не может что-то разделять, так как оно – Единое. Нечисловая негеометрическая субстанция, не являющаяся Единым, есть множественная субстанция. Множественное не умещается в рамки континуума, которому соответствует множество действительных чисел (а может быть, судя по "структуре" теории множеств, и не соответствует).

Но связь между точками А и В есть: во-первых, они "касаются", а во-вторых, из них образуется прямая. Значит нечто, организующее геометрическую прямую, не может быть геометрической прямой. Ближайшим и легче всего воспринимаемым геометрическим образом, не являющимся образом прямой в мире финитного, является образ окружности. "Подобно тому как, двигаясь по окружности от данной точки, мы возвращаемся к этой точке, подобно этому круговорот причинного отношения состоит в том, что оно возвращается к своему началу, действие возвращается к своему источнику. Причина и действие производят и причиняют друг друга взаимно, они взаимодействуют. Взаимодействие есть третья и высшая, истинная форма абсолютного отношения". Но здесь фигурирует не геометрическая окружность, а взаимодействие, круговорот причины и следствия, каузистика. Абсолютность истинной картины отношения между точками А и В, если мы хотим далее формализовать геометрию как часть физики, выражается символами i, j, k…, отличными от акцепта действительного пространства на основе его арифметизации. Это принципиальное решение, вносящее в "пустоту" геометрических форм содержание, а именно: абсолютное (круговое) движение, в корне отличается от картезианского решения. В картезианской геометризации физики из пустоты вырастают побеги метафизического релятивизма, а классическая причинность механики И. Ньютона деформируется благодаря формализму пространства Г. Минковского, – устранение геометрической метафизики Евклида и Р. Декарта выводит математика на понимание амбивалентности и дополнительности абсолютного и относительного, содержания и формы, причины и следствия. В итоге, если точка С принадлежит отрезку АnВn, состоящему из двух ближайших точек, то она либо попадает в область их «слипания», то есть «испаряется» из геометрии, либо «конгруэнтна» одной из них. Несостоятельность метафизических представлений о конгруэнтности и самотождественности была отмечена выше.

Аксиома параллельности интенсивно обсуждается почти два столетия. Благодаря ее пересмотру были построены геометрии Н.И. Лобачевского и Б. Римана. Обе геометрии находят применение в космологии и физике тяготения. Псевдоевклидова геометрия Г. Минковского служит моделью 4-мерного пространства-времени и математической формулировкой специальной теории относительности. Три координаты в пространстве Г. Минковского соответствуют возможности его арифметизации в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Четвертая координата – "чисто мнимая" (i = ) и вводится для параметризации времени и объединения пространства и времени в единое образование. Сопряжение идей, приведших к пространству Г. Минковского, с формализмом риманова пространства послужило основанием для построения псевдориманова пространства-времени. Это математическая подложка общей теории относительности.

В аксиоматике геометрии, приводимой различными авторами, есть разночтения. Отличный от варианта аксиомы Архимеда, данного Г. Кантором, предлагают вариант А.Д. Александров и Н.Ю. Нецветаев: "Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т.е. если С на АВ, то АВ составлен из АС и ВС". Однако, если отрезок допустимо в определенной топологии считать прямой, то он, как совпадающий с прямой, может состоять как минимум из двух точек. Если первоначально заданный отрезок состоит из двух точек, то приведенная аксиома не выполняется (одна точка никакой линии не образует). То же справедливо для отрезка, состоящего из трех точек. Для отрезка, состоящего из четырех точек, можно допустить, что выполняется аксиома Р. Дедекинда при сохранении рассмотренной выше аксиомы связи. Но, в принципе, если линия, состоящая из двух ближайших точек (просто из двух точек) – это абсурд, то линия, состоящая из множества пар точек, которые можно рассматривать опять парами, – это абсурд абсурдов.

Все геометрические системы, построенные в фарватере идей Евклида, устраняют из фундамента теории движение и каузальную связь, но "компенсируют" это метафизическое вычленение формы из содержания последующим привнесением в геометрию движения форм. В итоге получается, что в принципе не имеющие движения и развития точка, линия, фигура или объемная область испытывают формальное движение. То, что абсолютно не движется, у преемников античной геометрической метафизики – картезианцев движется абстрактно, умозрительно, релятивно. Любое множество точек может перемещаться относительно других множеств точек только потому, что движения нет вообще. В таком "интеллектуальном экстазе" крайнего себе-противоречия строятся группы движения на плоскости, в пространстве, кристаллографические группы Е.С.Федорова

и так далее. В наглядном описании свойств кристаллических решеток методы метафизической геометрии еще могут как-то применяться, но далее следует их экспансия на физическое движение, описываемое на основе незначительно модифицируемых геометрий. Как следствие метафизического мышления, в поле зрения геометра и естествоиспытателя не попадают такие состояния объектов изучения, как их ориентация по отношению к другим объектам, и изменение ориентации отдельного тела со временем в процессе его взаимодействия с окружающим материальным миром.

Отнюдь не аристотелевская метафизика в основаниях геометрии вследствие отречения от "телесного" в духе Плотина порождает экстазированную метафизику картезианства, опускаемую затем в виде пустых форм на природу. Над ученым довлеет метопистический пассеизм. Не осознавая, где прореха в его мышлении, этот ученый в последних актах своей трагедии пытается реанимировать картезианскую метафизику, густо разбавленную позитивизмом, посредством смены декораций в физическом мире. В природе животное линяет, меняет цвет кожи или сбрасывает ее совсем. Наш заблудившийся в лабиринтах естествознания сциентист выбрасывает за борт корабля познания метод аналогий, воплощенный в множественном аспекте бытия, в числовой идее. В интеллектуальном бессилии он впадает в новый экстаз – экстаз прозелитизма и перекладывает ношу познания на пифагореизм. В этом действе видно, тем не менее, вызревание труженика науки, пусть пока недоуменное, но закономерное. Интуиция подсказывает сциентирующему философу, что понятия "число" и "точка", доставшиеся ему по наследству, в нашем "теперь" уже недостаточны, что их нужно пересматривать и развивать. В этом же – вечная песнь прозелитизму и хвала исследователю, застрявшему в кривом зеркале геометрии Б.Римана, "дополненном" касающейся его всюду мнимой прямизной геометрической рамки Г.Минковского. "Когда математика прямого и кривого оказывается, можно сказать, исчерпанной, – новое, почти безграничное поприще открывается такой математикой, которая рассматривает кривое как прямое (дифференциальный треугольник) и прямое как кривое (кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной). О метафизика!"

Таким образом, из оснований геометрии устраняется движение и развитие, затем в застывшем мире абстрактных образов принимаются аксиомы. На основании веры в правомерность содеянного принятые аксиомы развертываются посредством теорем и следствий из них в тело теории. Структура всякой нетривиальной развивающейся теории включает: 1) предложение; 2) выставление (отделение от известной части теории); 3) ограничение (определение области существования рассматриваемого математического объекта); 4) построение (алгоритма, схемы, отыскание формальных средств выражения); 5) доказательство; 6) заключение. В процессе построения тела теории выявляется, что математик амбивалентен по отношению к математическому законодательству: "Двойной характер индивида – как подчиняющегося закону и полагающего закон – становится здесь очевидным". В подчинении логико-математическому закону математик реализует связь с темпорально-генетической памятью – держится за нить, тянущуюся от пуповины бытия, а при осмыслении своего состояния в "теперь" меняет законы, их "полагает", отрывая нить Ариадны и наращивая ее свежим акцептом. "Чтобы сделать действительно новый шаг в нашем мышлении, нужно, очевидно, вернуться уже не к Евклиду и Проклу [и Пифагору], а дальше – к истинам самой математики" (там же, с. 119). То есть нужно дернуть за всю нить сразу, или, по крайней мере, тряхнуть ее до достаточно удаленного прошлого.

Но просто доказательства, как такового, мало – надо еще найти и причины того, что толкает к нему, то есть найти его исходные посылки. А здесь две дороги ("две судьбы"): одна – "туда", другая – "обратно". "Туда-сюда" называется, анализ и синтез. Однако доказательство – это уже следствие, реализация той идеи, что лежит в основе процедуры принятия аксиом. Эта объединяющая идея всех идей, лежащая впереди аксиом перед их принятием, есть даже не вполне идея, а вера. Склонность же индивида к вере дана ему априори. Вера – это презумпция метода аналогий, производная от подражания. И подражания не только окружающей природе, а и самому себе. В уродливой форме тяга к вере реализуется в религиозных конфессиях. Индивид себе подражает, то есть в каждый миг исчезает (его клетки отмирают) и в тот же миг восстанавливается (новые клетки штампуются на наковальне генетики). В таком случае вера – такое же инертное состояние homo, как и метод аналогий, как генетический штамп, как самоподражание и самосохранение. Отсюда следует, что мысль, как движение, имеет основанием не-движение, инерцию, что мысль как развитие состояния субъекта познания опирается на память, на "отпечатки" времени, на застывшее, что движение и бытие исходят из Единого, из не-бытия. Таковы предпосылки аксиом и, следовательно, теорем и их доказательств.

Надо "сначала угадать универсальную формулу [систему аксиом], а затем испытать ее методом анализа – синтеза". В угадывании, основанном на вере, скрытно присутствует онтология, выдаваемая за гносеологию. С глубокого онтологического уровня (в конечном итоге более обусловленного онтологической сущностью человека в целом и его мышления в частности, совпадением форм и законов мышления и материи) – на менее онтологический уровень, к логике. На весах онтологического и гносеологического все имеет меру и взаимодополнительность. Затем вообще идет обобщение (гносеология) в чистом виде. Наиболее общее из гносеологического своего "бытия" перерождается, далее, в нечто, имеющее больший онтологический вес. Получается спираль развития онтологии-гносеологии. И тут три финала: 1) аристотелевская карусель между бытием в природе и идеальным для естественников; 2) торможение в облаках идеального и затем пике на утесы истины для картезианцев; 3) штопор из занебесья в сырую землю для неоплатоников.

Если соображение о соотношении априорного и апостериорного, онтологического и гносеологического, высказанное выше, распространить на формальные системы теории множеств и геометрии, то можно выделить множества генетические (порожденные) и предковые (рождающие). "Генетические множества образуют существенную часть предмета современной науки. Таковы множества чисел [и точек]…" (там же). Задача для последователей картезианства состоит в следующем. Нужно найти признак, качество, свойство, присущие всем математическим объектам (в физике – всем материальным телам: элементарным частицам, атомам, клеткам, живым организмам, планетам, звездам…) и принять за предковое множество все (или часть) их единичные реализации. Далее можно строить по правилам, имеющим соответствие с математическим смыслом (с физическим содержанием), генетические множества. Между множествами снова вводятся правила их соотношения, принимаются правила их использования.

Но онтология предковых множеств раскрывается в дальнейшем анализе и синтезе на всех уровнях развертывания геометрического формализма. Вера исчезает при обнаружении парадоксов, при углублении научного исследования. Тогда достигнутая форма подкрепляется содержанием, сравнивается с ним. Вера в точку, в "монаду", в аффикс как в неподвижные сущности, сошедшие с небес, из Единого, перерастает в скептицизм, и вместо абстрактных конструкций мышление поднимается к конкретному – к движению и содержанию реальных объектов окружающего объективного мира.