1.4. Математический анализ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 

У Пифагора числа – целые; всё остальное из мира количеств – метаморфоза, сверх формы, помимо формы. Целое число определяет количество, являющееся формальным выражением множественного аспекта бытия. Множественное и Единое взаимообусловлены. "Монада" выделяется из Единого, становится единичным и генерирует другие "монады" – совокупности единиц (числа состоят из единиц, они – из Единого). Деление яблока на части порождает идею делимости и делимого. Деление трех яблок на два яблока порождает идею отношения. Идеи разделения и отношения являются метаморфозами идеи числа как совокупности целых. Обратная рекурсия этих идей на идею числа превращает его метаморфозу в его метафизику. Субстанция, составляющая яблоко до деления его на части, та же, что и после деления. "Яблочная" субстанция не претерпевает изменений от того, как пять яблок относится к семи яблокам.

В математическом анализе метафизика числовой идеи, связанная с делимостью и отношением, присутствует в виде бесконечно малых и бесконечно больших чисел. Абстракция математической переменной величины, соединенная с идеями делимости и отношения, приводит к антиномиям двух типов бесконечности в метафизической конструкции устремления переменной (аргумента или его функции) к пределу. Один тип бесконечности – интенсивная бесконечность все меньших и меньших чисел. Другой тип бесконечности – экстенсивная бесконечность количества все уменьшающихся "устремлений" к пределу. Пока идет процесс устремления к пределу, обе бесконечности потенциальные, аристотелевские. Предел никогда не достигается, если процесс устремления к нему переменной величины бесконечный потенциально. Но предел в математическом анализе "достигается". Значит, потенциальная бесконечность скачком превращается в актуальную бесконечность. Это чудесное превращение происходит помимо и в стороне от апорий Зенона. У элеата движение к пределу невозможно, а у картезианских метафизиков возможно всё. В упоении "гармонией" собственной мысли они перескакивают с одной умозрительной конструкции на другую.

Еще сказочнее дело обстоит с формальным заданием неформального движения к пределу. Если задать процесс сходимости функцией вида a / n, n Î N, где а – начальное отступление декартова бегунка – переменной величины от заветной цели, а / (n + 1) – приращение удаления бегунка от точки старта на n-м шаге, 0 < n, n ® ¥, то бегунок предел проскочит, а не достигнет, так как ряд расходится. Ряд из величин вида a / n2 будет сходиться к некоторому пределу за счетное число шагов (не к желанному, а к точке с координатой а(p2/6 – 1) при n > 1). В обоих случаях движение бегунка происходит рывками, через множества точек "континуума". Наращивая пройденную дистанцию по алгоритму a / (n + 1)2, за счетное количество шагов наш "вездеход" пройдет счетное количество точек и в желанном пределе не окажется (он «забуксует» раньше предела). Если же функция устремления к пределу задана в виде наращивания дистанции промежутками по a / 2n, то предел будет достигнут за счетное число шагов. "Следы" бегунка образуются из счетного множества точек, разделенных везде "континуальными" отрезками – кроме самой предельной точки. Пока идеальная "машина" ума не достигла предела, процесс потенциально бесконечен, и "актуально заданного" кардинального числа С1 = 2Со нет. Как только "машина" метафизика достигла предела, появляется "континуум" приращенного пути в точке предела. Отрезки пути, состоящие из континуумов точек, суммируются счетное число раз. Получается, что актуально заданная счетная бесконечность числа шагов задает актуально заданную несчетную бесконечность количества инфинитезимальных величин. Или задает одну актуально инфинитезимальную величину в точке предела? Счетная экстенсивная бесконечность функционально эквивалентна несчетной интенсивной бесконечности. Предельная точка до осуществления процедуры устремления к пределу была в одном экземпляре, в гордом одиночестве, а по достижении предела картезианско-евклидов кентавр – переменная величина на геометрической прямой – обрел благодаря своему фактическому бездействию в «слипшемся» с предельной точкой состоянии мощность "континуума" – подарок метафизической мысли. Вдобавок точка получила статус континуального множества.

С другой стороны, минимальный отрезок "прямой" состоит из двух точек. Эти точки "касаются" друг друга на "границе", а числа, им соответствующие, не одно и то же (Аристотель). Пусть картезианский кентавр достиг точки, ближайшей к пределу. Точки "касаются" друг друга, между ними нет иных точек, они "слиплись", но отделены численно – числа, им соответствующие, разные. Разные на сколько? Если эти числа разнятся в духе потенциальной бесконечности на малую величину, то между ними должны быть промежуточные числа. Но числам единственным образом соответствуют свои точки. Значит, между двумя соседними точками на самом деле должны быть еще точки, и получается противоречие: между самыми близкими точками нет точек и в то же время они есть. Если же два числа разнятся в духе актуальной бесконечности, то разница между ними актуально ничтожна, то есть ее нет. Два числа сливаются в одно, а точки, соответствующие им, разные. Опять противоречие: одному числу соответствует несколько разных точек.

Пусть теперь картезианский кентавр скачком достигает предела, прыгая к нему из соседней, ближайшей, смежной точки. До "прыжка" его положение было потенциально близким к пределу: числа, соответствующие двум точкам, были близки, но разные; точки тоже были разными и удаленными на потенциально бесконечно малую величину. После прыжка кентавр математической мысли оказался в точке предела, она актуально достигнута. Удаление бегунка от предела актуально равно нулю, и прежние два числа слились в одно число, соответствующее этому пределу. Но возникает вопрос: на каком языке следует теперь говорить о достижении предела? Процедура a / 2n исчерпана счетным числом шагов, и благодаря им осуществлено достижение предела. Была потенциальная бесконечность экстенсиональная – стала актуальная бесконечность интенсиональная. Первая бесконечность была неисчерпаемым процессом следования от одной точки "континуума" к другой его точке – смежной (energeiai). Вторая бесконечность знаменует достижение точки, завершение процесса, устранение неисчерпаемого процесса следования (erga). Если один субъект постулирует существование потенциальной бесконечности, которая экстенсиональна, так как связана с экстенсиональной величиной удаленности от точки старта, и которая интенсиональна, так как определяется интенсиональной величиной приближения к пределу, а другой субъект постулирует существование актуальной бесконечности, которая не только одновременно экстенсиональна и интенсиональна в пределе, да к тому же несчетна, то третий субъект может задать два вопроса. Первый вопрос: если точка – единичный элемент, и в то же время она актуально бесконечна, то элемент ли она актуально бесконечного множества и не противоречит ли ее вновь обретенный статус аксиоме фундирования? Вопросом, является ли "монада" (точка) множеством, математики интересовались ранее. Авторы работы

высказались однозначно: "монада" – не множество. Второй вопрос: если имеется потенциально бесконечный процесс достижения предела, а предел не достигается, и если после этого принимается, что предел все-таки достигнут, то есть актуально достигнут, то какое соотношение, или какой переход между двумя типами бесконечности – потенциальной и актуальной – существует и существует ли? Не нужно ли вводить еще и третий тип утверждения – постулат о возможности взаимных переходов между двумя разными типами бесконечного?

Эту парадоксальную ситуацию, или ей подобную, по-видимому, имели в виду Д. Гильберт и П. Бернайс, когда отмечали, что математики "пытаются обойти рассуждение о том, что сумма бесконечного числа… интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный результат. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить, … на самом деле все-таки должна завершиться"

. Тем не менее математики в попытках избавиться от фундаментальной дихотомии вынуждены отрекаться от идеи физического движения, тем более в случае как угодно малых промежутков и длины, и времени. Эта реакция прирожденных формалистов понятна – она следует из осторожности, с какой нужно распространять известные факты, взятые из вполне определенной области опыта, доступной нашему наблюдению, в область, представления о которой имеются лишь весьма смутные. Здесь уместна аналогия с механикой сплошной среды, в которой материя рассматривается в качестве непрерывно заполняющей пространство. Но эта скоротечная аналогия проблемы, увы, не решает.

На такой логически зыбкой и, по существу, странной и обманчивой почве, отнюдь не имеющей много общего с миром объективных отношений, движений и соответствий, расцвели инфинитезимальный метод И.Кеплера и метод неделимых, были созданы исчисление бесконечно малых и первая теория интегрирования. Далее пустота метафизической мысли была экстраполирована на природу. Вместо изучения движения и развития ученые стали исследовать … "траектории". Когда-то первозданное пифагорейское число испытало череду метаморфоз, из формы ariqmoV (отрицающей ритм, время, движение) инкогнито вернувшись к до конца не понятому движению в малом (обнаруживаемому через делимость, отношение), к непостижимому мыслью peri-retn. А в современном "теперь" наступила пора метаморфозы метаморфоз: обросшее полипами пифагорейское число превращено "взаимно однозначным" соответствием мира действительных чисел и мира геометрических точек в орудие "геометризации" живого физического мира.

В XVII веке Ф. Виет ввел в алгебру буквы. Символическое математическое описание множественного бытия было успешно развито Р. Декартом, И. Ньютоном, Г. Лейбницем, Л. Эйлером. Еще Г. Галилей заявлял, что "величайшая книга Вселенной написана на языке математики". Поэтому вместо реального движения ученые стали изучать "движение" букв из "величайшей книги" (метопистика религиозного пассеизма, скорее всего навеянная чрезмерным чтением библии), а также другие знаки и алгоритмы их перестановки. Появился фундаментальный математический объект: закон изменения символа, отнюдь не всегда дополняемый интерпретацией на языке чисел. Исчисление функций взлетело выше уровня идеального в триаде "Небо – идеальное – природа". Наконец, интегро-дифференциальный метод глубоко проник в математику и ее приложения.

"Л. Эйлер, а за ним другие математики XVIII в. отказались от языка, выбора тем и устройства математики предыдущих веков и в фундамент ее здания заложили понятие функции"

. В производной по аргументу от ее функции одна фикция делится на другую фикцию (что такое устремление к пределу, см. выше). В сущности, две этих фикции дополняются третьей фикцией: их отношением друг к другу. Но это в мире декартовой переменной и функций от нее. Мир прокартезианского математического анализа, разрастаясь, уже не вписывается в "континуум". По аналогии с декартовой переменной в новом сверхконтинууме роль его выполняет функция. Суперконтинуальный мир наделяется суперфикцией, возникшей из идеи вариационного исчисления. Если есть "исчисление", пусть "вариационное", то это значит, что суперконтинуум всех функций – множество исчислимое. Дальше исчислимого множества в парадигме Г. Кантора следуют только неисчислимые множества. Дальше могут быть легитимными только "кардинальные числа", или "трансфинитные числа", но нет самих чисел. Актуальные бесконечности, не отражающие количественную картину бытия, существуют, чисел уже нет, а "исчисление" актуальных бесконечностей остается. Нет чисел, нет алгоритмов их обработки, нет точек, нет меры над множествами точек, задающей расстояния, а "исчисление" есть. Так метафизический стиль мышления, смешавшись с буквенным позитивизмом, "достигает" предела, к которому "не стремился". Не желают этого предела и психиатры.

Существенный вклад в математический метод исследований внесло создание алгебраической геометрии. У истоков ее стоял Р. Декарт, предложивший прямоугольную систему координат на плоскости и в пространстве. На плоскости исследовалось алгебраическое уравнение Р(х, у) = 0. Работы в этой области можно найти по библиографии. Но существуют негеометрические "кривые", или "траектории", которые не поддаются изучению аналитическими методами Р.Декарта. В частности, такие суперкентавры населяют исчислимые множества мощности С2 = 2С1, по Г.Кантору. Кроме того, метафизический крен в теории функций и функционального анализа смещается в теории обобщенных функций в сторону изучения разрывных, негладких функций с "особыми точками". В теории функций комплексного переменного u(z), где z = x + iy, и, далее, функций гиперкомплексного переменного w(z), где z = x1 + ix2 + jx3 + kx4 + …, возникают неоднозначности, называемые скромно "многозначностью", или "многослойностью", или "расслоением". Мало того, что геометрическая кривая, будучи все же достаточно конкретным построением, "дополняет" странный формализм математического анализа, так "исчислимый" мир кентавров из множества обобщенных функций, не вписываясь в континуальное пространство любой конечной или счетной размерности, не вписывается подавно в линию на плоскости, будь она даже "трансцендентальной". Исчислимые кентавры имеют также предрасположенность к "телепортации", "левитации", "медитации": они, как известный Фигаро, одновременно находятся и "здесь", и "там" – в различных расслоениях. Многолистные кентавры появляются как следствие обратной метаморфозы пифагорейского числа: из числа как венца акта конечной или бесконечной делимости целых чисел на части и из числа как отношения множества одних целых чисел к множеству других целых чисел – производится действие возврата к идее становления, выражаемой через число, через "монаду", которая "родом" из Единого. Первозданный акт творения из Единого, как важнейшая составляющая становления, является видом движения на "границе" между бытием (с его относительным движением) и не-бытием в Едином (с его абсолютной неподвижностью). Акт творения дополняется актом возврата в Единое тоже через "границу", через движение. Этого движения "туда" и "оттуда" нет в теории множеств ХХ века, нет в математическом анализе ХХ века. Развития в основаниях математики ХХ века, впитавшей в себя идеи прошлых веков, если можно так выразиться, нет и между "границами" бытия и не-бытия. Противоречия в основаниях математики и в расширениях ее метода в теории множеств, в геометрии и математическом анализе, вызванные издержками формализации, теперь под давлением требований практических приложений явно или косвенно, осознанно или интуитивно математик устраняет введением новых числовых конструкций, новых теорий, в фундаменте которых – свежая числовая идея и некоторый откат от непреложности "морфизмов".

Камень преткновений математических аналитиков лежит перед все тем же пределом: никто не знает, как его достичь, какой процесс устремления к нему задать. Наглядного чувственного опыта в малом нет, как нет опыта в очень быстром. Разрешающая способность органов чувств очень низка, а вожделения мыслящего "я" очень велики. Глаз не различает уже изменений, происходящих за 1/25 долю секунды, и не видит объектов размерами в доли микрона. Со слухом и осязанием дело обстоит еще хуже – на их долю выпадает всего лишь около 5% информации, которую получает homo из окружающей среды. Нюхать и пробовать на вкус точку, имеющую аффикс в какой-либо системе координат, в голову еще никому не приходило. Вот и приходится субъекту познания экстраполировать опыт макроскопического своего бытия на области, в которых "статуя не только не видит, но и не слышит и не ощущает". Метафизикой сие предприятие называется. Конечное создание живой природы, имея в своем арсенале примерно 15 млрд. нервных клеток, или "монад"-нейронов, и порядка 1030 перекрестных связей между ними, не может иметь исчерпывающую информацию об окружающем мире. Более того, всякое создание природы, имеющее в своем распоряжении счетное, или континуальное, или исчислимое множество "монад" – инструментария процесса отражения, не может охватить своим вниманием всю неисчерпаемую Вселенную. Любое создание, стремящееся "объять необъятное", как выразился Козьма Прутков, должно быть по меньшей мере соизмеримо со Вселенной, которая, впрочем, и неисчислима, и ни с кем и ни с чем не соизмерима. Похоже, математический анализ ожидает достойный финал: он возник "из ничего" (из точки) и туда же уйдет (в сингулярность). "О метафизика!".