1.5. Теория вероятностей

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 

Считается, что возникновение теории вероятностей относится к XVII веку и связано с исследованиями Б. Паскаля, П. Ферма и Х. Гюйгенса. Так называемый закон больших чисел впервые доказал Я. Бернулли. Большой вклад в развитие новой области математики в XVIII веке внесли П.С. Лаплас, А. Муавр, К.Ф. Гаусс, С. Пуассон. В XIX веке П.Л. Чебышев разработал теорию моментов. В начале ХХ века А.М. Ляпунов, занимаясь общими вопросами науки о случайном, для исследования плотности вероятностей предложил метод характеристических функций. Особое значение имеет работа А.Н. Колмогорова

, в которой дано аксиоматическое изложение теории случайных функций, опирающееся на понятия множества событий, алгебру Дж. Буля над множествами и вероятностную меру.

Не акцентируя внимание на концептуальной базе положительно определенных нормированных функций, частным образом применяемых в аксиоматической теории, то есть отвлекаясь от провалов математической мысли при закладке таких краеугольных камней под «царицу наук», как противоречивая логика, катастрофическая теория множеств и метафизическая пустота математического анализа, затронем несколько спорных ее моментов другого порядка – неадекватных моментов, присущих собственно данному формализму. Движущие мотивы в истоках теории вероятностей – жажда наживы в азартных играх. Желая снискать милость капризной госпожи Фортуны, субъект своих страстей старается предугадать выпадение жребия, но не имеет на то веских причин, кроме повторения опытов и подсчета отношения числа благоприятных исходов к числу всех исходов серии опытов. Так игрок получает представление о частоте появления нужного ему события и строит частотную теорию вероятностей. Критика парадоксальных ситуаций, возникающих в таком подходе, содержится в работе.

В аксиоматике А.Н. Колмогорова над множествами событий действует алгебра Дж. Буля. Еще Л. Витгенштейн заметил, что из теории множеств, как и из логики, формалисты исключают время. В теории вероятностей математик вынужден рассматривать последовательность событий во времени и применять на множествах событий алгебру Дж. Буля, а это неизбежно приводит к противоречиям. Рассмотрим два примера, достаточных для темы настоящих заметок. В алгебре Дж. Буля операции объединения и пересечения множеств коммутативны и ассоциативны. Между тем объективно не одно и то же, если сначала в результате осуществления опыта появляется событие А, а потом событие В, но затем (или одновременно в тех же условиях) в результате проведения другого опыта выпадает событие В, а потом А. Это в принципе разные явления. Например, студент вышел из общежития (событие А), и на него из окна сокурсники вылили теплую воду (событие В); шутники вылили из окна на тротуар ведро чая (событие В), а потом вышел на дорогу к профессору студент (событие А). Так как не каждый день из окон льется вода и не всякий студент приходит на занятия вовремя, то событиям А и В соответствует некоторая вероятностная мера в полном пространстве событий: р(А) и р(В). Но вероятность быть облитым зависит от последовательности наступления событий А и В, при этом р(АÇВ) ¹ р(ВÇА). Или вот еще о зависимости между случайными явлениями. В определении зависимости (и причинной взаимосвязи) между двумя (непрерывными) случайными величинами х и у применяется корреляционная функция. Если в совместной плотности вероятностей допускается разделение переменных: r(х, у) = r(х)r(у), то корреляция между величинами х и у равна нулю. Между тем переменные х и у декартовой системы координат на любых интервалах их изменения жестко коррелированы – хотя бы выбором процедуры «прямоугольной» арифметизации плоскости Е(х, у), выбором конфигурации осей и их направлений. Отсюда – противоречия в аксиоматической теории вероятностей при сравнении ее выводов с ходом реальных процессов, которые математик пытается устранить посредством обобщения своих формальных схем, их разрастанием и сомнительным усовершенствованием.

Следствие этого корреляционного парадокса теории вероятностей как формальной и, значит, неполной системы в квантовой механике выглядит так. Имеется (движущаяся) частица, спин которой совершенно определенно может быть направлен до измерения в произвольную сторону. Проекции спина на четко выбранную экспериментатором ориентацию макроприбора могут принимать тоже только строго детерминированные значения. Но в момент взаимодействия с прибором этих значений по другим ориентациям не существует. Сущностная, общекаузальная корреляция между возможными состояниями микрообъекта есть, а процедурной, процессуальной корреляции нет. Первый тип связи состояний отвечает одному из аспектов единства мира, а вторая ситуация указывает на обособленность и множественность конкретного движения. Что касается двух одинаковых элементарных частиц, то возможности обнаружить их характеристики до опыта совершенно одинаковы (модальная корреляция велика), а по обнаружении характеристики у одной из них корреляция между ними тоже исчезает (модальная корреляция мала), – по крайней мере, до измерения характеристик второй частицы. Однако когда метафизик утверждает, что, измерив характеристику одной частицы, он узнает точно о характеристике другой частицы, происходит подмена корреляции процедурной на корреляцию общекаузальную, подмена, опирающаяся на старые, классические, давно усвоенные представления о физических закономерностях.

Так как всякую аналитическую функцию на заданном интервале изменения аргумента можно разложить в ряд Тейлора или представить полиномом, то это допускает разделение переменных и, далее, ведет к некоррелированности случайных функций, плотности вероятностей которых задаются аналитическими функциями. Вывод о независимости «зависимых» случайных величин достигается при рассмотрении бесконечного числа слагаемых ряда Тейлора или полинома. Значит, корреляция между случайными величинами исчезает в актуальной бесконечности, в единстве. Тем более нет корреляции случайных величин, плотность вероятностей которых представлена разрывными, негладкими, неаналитическими функциями с особенностями, или когда нет никаких функций (отображений), или когда рассматриваются неисчислимые множества событий. Единое не коррелят; в Едином нет взаимосвязи между, так как нет различия; в Едином нет причины и следствия. С другой стороны, в Едином всё сливается в одно (Ксенофан). Значит, всё предельно коррелировано. И опять противоречие, произрастающее из математического анализа. Поэтому парадокс ЭПР (см. ниже), построенный на возможности умозрительной корреляции характеристик разнесенных на макроскопические расстояния микрообъектов, к той весьма оригинальной части квантовой механики, которая имеет отношение к Единому, не имеет отношения. Следствие корреляционного парадокса теории вероятностей в квантовой механике будет рассмотрено ниже.

Другой интересный момент возникает при употреблении в теории вероятностей математической конструкции – меры над множествами. Вероятностник не довольствуется двузначной математической логикой с двумя ее значениями «ложь» и «истина» (0 и 1). Он вводит «вероятностную» логику, заимствовав терминологию из модальной логики. Наступление события бывает «возможно», «необходимо», «невозможно». Невозможное событие имеет меру нуль: р(А) = 0. Это событие А – «невероятное» (в терминологии вероятностной меры). Необходимое событие (непременно происходящее событие) имеет меру единица: р(В) = 1. Это событие В – «достоверное». Любое возможно событие случается с вероятностью 0 < p(C) < 1. Это событие С – «вероятное». Однако и закон меры, и частотная теория вероятностей не могут исключить появления события А, даже если оно невозможно, то есть невероятно, и вероятность его р(А) = 0. То же самое – в случае, если рассматривается событие В: хотя оно наступает достоверно («неумолимо») и вероятность его р(В) = 1, оно вполне может не наступить в конечное или счетное количество моментов непрерывного времени t. Событие А наступает в конечное или счетное количество моментов времени, даже если его мера р(А) = 0, а событие В не выпадает ввиду тех же провалов в буквальном и переносном смысле в действии закона меры при его «употреблении» азартной теорией.

Игрок в казино может разориться и не понять, почему. А математик не разоряется, но тоже не понимает, почему. Обратимся за ответом к первоисточнику, который никогда не обманет, хотя поэты в один голос уверяют, что это не так. В естественном языке слово «вероятность» имеет два корня: «вера» и «ять». Смысл второго термина раскрывается упоминанием слов из той же группы: «являть», «иметься», «быть», «есть». Заглавный термин азартной теории означает формулу «есть вера в то, что». Другой термин – «достоверность» – с тем же основанием интерпретируется как формула «до ста раз верно то, что». Третий термин «невероятно» употребляется как формула «нет веры в то, что». Конечно, в термине «достоверно» слово «сто» – аллегория, так как вместо ста раз опыт дает подтверждение какому-то предположению при миллионе раз (его осуществления) и более. Для нас важно, однако, то, что над совершенно практическим смыслом слов «вероятно», «невероятно» и «достоверно» математик возводит парадоксальные леса антиномий теории меры и противоречий теории множеств и… верит в то, что создал. Роль веры в математике непреходяща. На это обращал внимание Л.Витгенштейн. По существу, роль веры в науке рассматривают Г.Гутнер (см. выше) и В.Л.Соболев.

Причины возникновения «веры» у субъекта познания, а не только у субъекта страстей, кратко рассматривались в п. 3.2.4. Гносеологическая причина ее – в смеси метопистики и прозелитизма. Онтологическая причина близка к следующему пониманию. Человек является конечной, ничтожно малой частью Вселенной, хотя ее и копирует, или, как говорят не-поэты, «отражает». Ввиду малой мощности своей организации (в смысле Г.Кантора даже если живая кибернетическая система с наименованием homo имеет кардинал С3 неисчислимого множества) субъект познания всегда испытывает недостаток информации о происходящих вокруг него событиях и поэтому вынужден конструировать «модные теории» (вероятностный модерн возник в Европе на рубеже XVII и XVIII веков). Может ли человек, являясь обитателем мира множественного, «отразить» Единое (единую Вселенную)? Чтобы Единое полностью «отразить», в том числе в понятиях, в знаках, в математической теории (которая множественна по определению), человеку надо сравняться с Единым. Но тогда или человек перестает быть человеком, или Единое – Единым. Если второе невозможно, осуществляется первое, и становится невозможным «отражение» и невозможной теория вероятностей: она просто не нужна, бессмысленна. Если же возможно, чтобы Единое перестало быть Единым, то оно было бы многим без единства. Тогда во Вселенной сами по себе «существовали» бы многие вещи, события и т.д., не было бы между ними никакой связи (Вселенная, как у Б.Спинозы, «состояла» бы из никак и ничем не связанных частей, между которыми «существовала» бы абсолютная пустота). А если между событиями нет никакой связи, то нет и отношения между ними; события невозможно сравнивать ни между собой, ни с числом посредством введения меры. Сама мера (или ее идея) существует автономно и ни к чему не привязана, в том числе не привязана к математическому уму. Всё рассыпается в «куски», не связанные между собой. Между «кусками» абсолютная пустота. Теория вероятностей в таком мире просто невозможна. Она, как и в первом альтернативном варианте, никому не нужна, так как нет ни того, кто ее бы создал, ни того, кто бы ее применял. Сама «с-мысль» бес-смысл-енна, так как нет ни мысли, ни смысла, нет ни теории, ни вероятностей.

Пусть, наконец, человек – это не человек, а нечто, называемое Единым (поскольку Единое не может быть равным себе, то есть человеку как Единому). Тогда нет «отражения», нет множественного, ибо Единому нечего «отражать». Если бы Единое что-то «отражало», то оно не было бы Единым. Если бы помимо Единого существовало множественное, то оно не было бы Единым. И в данном случае теория вероятностей невозможна, так как, помимо этого, нет событий. Парменид по поводу событий говорил: «Если единое необходимо возникает не вопреки природе, то, возникнув вместе с концом позже другого, оно возникло бы согласно своей природе… Единое моложе другого, а другое старше единого… [Но] Единое имеет тот же возраст, что и всякое другое… [следовательно, череды событий нет в Едином]

. Следовательно, в Едином невозможна теория вероятностей.

Таким образом, теория вероятностей является некоторым откатом математической мысли из сфер «чистой» метафизики всех мастей в лоно чувственно-инструментального позитивизма.