1.1. Математическая логика

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 

Логика как наука связана с именем Стагирита

, хотя определенные успехи в построении системы высказываний были продемонстрированы еще досократиками (Фалес, Гераклит, Анаксимандр, Парменид…). Сократ для убеждения Протагора использовал метод взаимно противоречивых умозаключений

. В диалоге Платона «Парменид»

ярко проявилась диалектическая логика трех титанов античной философии: Парменида, Зенона, Сократа. У них логика выступает как главный инструмент приращения знания. Аристотель выделил из естественного языка логические формы, отвлекся от содержания высказываний, ввел буквенную символику для суждений и правила построения силлогизмов. «Аристотелевская концепция логики, особенно исследование им аксиоматического (дедуктивного) метода, предпринятое во «Второй аналитике», оказало большое влияние на древнегреческую математику, в частности на труд Евклида».

В XIII – XIV веках схоласт Р. Луллий, сочетавший утонченную логическую культуру с мистикой и теологией, указал направление развития «спекулятивной теории»: вычислительная техника. Первые шаги к тайне «искусственного интеллекта» философ сделал с помощью «счетной машины» – системы крутящихся дисков с рисками и цифрами. Подобные круги, или «доски», на которые заносятся царапины символов, имеющих некоторый смысл, в переносном смысле присутствуют в головах современных людей, особенно у начетчиков и так называемых энциклопедистов. Важно отметить, что ветвь логического древа, произрастая в этой вертикали, символизирует стремление homo автоматизировать процесс мышления, то есть взвалить его на «плечи» роботов. Сам же «царь природы» может выбрать в результате «механизации ума» два варианта дальнейшего существования: развивать альтернативные формы отражения собственно человека, создавать искусственную жизнь.

В XVIII веке И. Кант, трансформируя метод логического познания в математический, замечает: «В учении о природе содержится науки в подлинном смысле слова лишь столько, сколько имеется в ней априорного знания, и учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той форме, в какой может быть применена в нем математика». Таким образом, понятие математизации познания, науки вытекает из понятия логического познания; эти признаки научности познания связаны с общей априористской философской концепцией труда «Метафизические начала естествознания» (с. 664).

В пифагореизме логическое мышление является составной частью «третьей функции головы» (мозга), которая подчинена метаболическому процессу, характеризующему развитую биологическую систему. Это – инструмент, с помощью которого обеспечивается регулярность и устойчивость обмена веществ. Мышление, как вспомогательное орудие поддержания равновесия живого организма со средой обитания, как важнейшая компонента управления, подразделяется на несколько ступеней: образное мышление, моторное, логическое, ассоциативное, дискурсивное, интуитивное, аутистическое, абстрактное, творческое и т.д. Эти ступени имеют между собой вертикальные и горизонтальные связи, обеспечиваются соответствующими физиологическими состояниями мозга и организма в целом, поддерживаются определенными биоритмами. Кроме того, мышление дифференцируется по уровню организации в мнемоническом аспекте и скоростью протекания. Философы разделяют мышление на динамическое и формальное; разные формы мышления вступают в противоречия между собой.

Л. Витгенштейна характеризует констатация роли «веры» в логике и математике, спокойное отношение к противоречиям в этих науках и настороженность по отношению к непомерно большим логическим системам. Как философ, изучающий основания логики и математики, Л. Витгенштейн приходит к выводу, что «в логике процесс и результат эквивалентны» (это в равной мере относится и к математике). Таким образом, из формальных систем фактически исключается время. Это изъятие времени представляется как перевод его смыслового содержания в «спрессованную память» темпорально-генетической дуали. На этой двойной нити Мнемозины и формируется логическая реакция. Естественно альтернативную часть мышления – динамическое мышление связывать с становлением, в процессе которого логическая реакция претерпевает изменения, испытывает противоречивые и неадекватные отклики в кибернетической системе метаболирующего организма, развивается.

В таком подходе логика предстает действительно как малая часть функций управления метаболизмом, особенно если ее связывать только с какой-либо узкой знаковой системой. Если, например, на вопрос «Откуда вы идете с таким сияющим лицом?» кто-то отвечает: «Из погреба», то в различных кибернетических системах ответ будет иметь разный смысл, но он изначально неполон. Полный ответ мог бы быть следующим: «Я иду с таким сияющим лицом из погреба». Но и теперь ответ может оказаться неполным. Автор же вопроса домысливает ответ, наблюдая за жестами, видом и состоянием вернувшегося «из погреба». Он может увидеть, что «погреб» – винный. Но и этого мало: вовсе не обязательно в винном «погребе» дегустировать вино. Судя по мимике и другим атрибутам поведения завсегдатая «погребов», в том числе эмоционального состояния, можно прийти к заключению, что в «погребе» было, например, свидание. Из этого следует, что формальная логика как конкретная знаковая система непомерно бедна, а не «непомерно большая», чего не воспринимает Л. Витгенштейн. А вопрос «Не идете ли вы из погреба?» вообще не имеет однозначное ответа в форме «да» или «нет».

Итак, имеется знаковая система, которая есть застывшая форма, всегда неполна и домысливается в со-бытийном настоящем, то есть логический формализм дополняется динамикой мыслительных актов. В этом также и зачатки амбивалентности логики как части реакции на внешние раздражители, по большому счету бессмысленной без полного взаимодействия с окружающим миром. Мысль, сформировавшаяся во всегда актуальном становлении, в настоящем, запоминается, уходит на «задний план» и по возвращении в оперативную память субъекта становится «внешним раздражителем» для новой, актуальной мысли. Для оперативной работы мозга, для актуального «я» эта старая мысль становится «окружающим внешним миром». В данной, скажем так, нейрофизиологической кибернетике мозга и появляются, а точнее говоря – «изначально» присутствуют, предпосылки таких «теорем» металогиков и метаматематиков, как теорема К. Гёделя о неполноте формальной системы

и теорема А. Тарского о невыразимости финитными методами ключевого понятия логики – истинности. Трансфинитные же методы, при том что кто-то их понимает (см. следующий пункт), зиждятся на понятии актуальной бесконечности.

Действительно, всякая формальная система неполна, в том числе арифметика. В ней, по К. Гёделю, всегда найдутся формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках, то есть внутри самой арифметики. В «непомерно больших» логико-математических системах проблема неполноты дополняется зависимостью процедуры доказательства и вывода от количества заложенных в основания формальной теории аксиом. В неполной знаковой системе никто не знает, что такое доказательство. А вводить меру истинности над множеством высказываний математик может самым различным образом, причем все «образы» находятся в тесной зависимости от сущности, бытия, темпорально-генетического пласта подсознания человека, приковывающего его к прошлому. Истина одной своей гранью лежит в генерации всего из «ничего», а другой – зияет в дегенерации всего в «ничто». Истина многогранна, связана с становлением, динамична и ускользает из абстрактной логико-математической теории как из тусклой и жесткой формы, в которую впечатывают ее неопозитивисты. В итоге жаворонок познания, оторвавшись от природы и исполняющий метафизические трели на акустических знаках, при наборе высоты в разреженном воздухе истины теряет голос вместе с сознанием и впадает в медитативный экстаз.

Если резать живую истину бытия формализмом где-то между рождением и смертью, в том числе не только отдельного биологического вида, а и нашей вселенной, то истина станет релятивной. У стоиком триада «референт (материя, природа, фон…) – знак (символ, память) – мысль (идеальное, настоящее)» в целом истинна как совокупность взаимосвязанных элементов бытия. В конкретном срезе бытия знак мертв, вне времени и развития, и множества знаком могут иметь только относительно истинное значение. Мысль без знака пуста, самовырождается в ничто, то есть в ложь, хотя любители поэйзиса утверждают обратное: акустические знаки, в которые упаковывается мысль, уже ложь, а вот внутреннее ничто – глубочайшая истина. Если внутреннее ничтожество глубоко сокрытой мысли – истина, то, очевидно, не нужно референта. «Я», которое Б. Паскаль назвал «ненавистным я», самозакупоривается в белковом теле, а его «истина» отрывается от материального мира. Всё вокруг ложь, но истину прячет где-то далеко в под- или надсознании субъект самоотрицания, и эта истина – абсолютно относительна. Если отвлечься от символа, знака, формальной логики и вернуться к референту, который является причиной самоистинности картезианского релятивиста, то можно заключить, что мир неопозитивиста разбит на несвязанные между собой три области: формальная знаковая система, счастливое эго в парах идеальной истины и пустая лживая природа как источник чувственно-эмоциональных переживаний, которым «нельзя верить». Эти три области относительно друг друга взаимно пусты в полном согласии с метафизическим тезисом Б. Спинозы о существовании во Вселенной «предметов, никоим образом и никогда друг с другом не имеющих ничего общего».

Эскиз построения логической системы дан в. Сначала выбирается язык (общения, передачи информации) с алфавитом Б (знаками, буквами…) и множеством всех слов Б¥, записанных в этом алфавите. Затем определяется подмножество «истинных утверждений» Т Ì  Б¥, конструируются формулы. Процедура доказательства имеет в общем случае свой алфавит D ® D¥. Вводится функция выделения доказанного d, и тройка {D, E, d} объявляется дедуктикой, в которой Е – алгоритмы доказательств. Отмечается после этого, что «хотя термин ‘доказательство’ является едва ли не самым главным в математике, он не имеет точного определения» (с. 9). И вся эта конструкция математического ума либо неполна, либо противоречива, либо и то и другое вместе.

Существен парадокс лжеца, приведенный в качестве эпиграфа к этим заметкам: «Я – лжец», принадлежащий Эвбулиду. Эта семантическая антиномия античного мыслителя – родственница парадокса Б. Рассела. В обеих антиномиях не употребляются сложные конструкции типа множества, содержащего себя в качестве элемента, но противоречия извлекаются из незатейливого понимания слов естественного языка.

А.Н.Паршин отмечает: «Сначала Гильберт построил свою аксиоматику геометрии и успех на этом пути давал ему уверенность, что его теория доказательств окажется успешной и для арифметики, т.е. аксиоматической теории натуральных чисел», но К. Гёдель в 1931 г. доказал теоремы о неполноте и противоречивости каждой достаточно богатой формальной системы: 1) в ней существуют истинные, но невыводимые, недоказуемые утверждения; 2) в ней (внутри системы) нельзя доказать её непротиворечивость (самообусловленность). Второе утверждение интуитивно понятно: вообще говоря, так и должно быть в мире, где всё взаимосвязано (нет «абсолютной пустоты»). Спроецировав его на проблему времени, можно заключить, что все логические утверждения даны в момент «теперь», поскольку логика объявляется неподверженной времени [антропогенному времени]. В состоянии «теперь» схватывается только настоящий, застывший «оттиск» с движения, которое бесконечно и неисчерпаемо. Изнутри «теперь» нельзя обозреть место и состояние сей конструкции психики и интеллекта по отношению к достаточно большому, то есть продолжительному потоку времени, но это можно попытаться сделать только извне, из другой «теории».

Первое утверждение может быть обосновано с помощью аналогии с ходом времени, с его становлением. «Теперь» есть, по Аристотелю, начало будущего и конец прошлого, но «теперь» определяется прошлым и определяет будущее [в классической физике, например]. Если мы рассматриваем «теперь» извне (рассматриваем конкретную математическую теорию), то есть с использованием памяти и способности к прогнозу – сообразно ходу временного потока, то увидим в «теперь» много истин в другом плане, так как наше мышление [в «теперь»] будет скорректировано интуитивными, аутистическими процессами в мозгу, имеющими корни в квантовом взаимодействии с Космосом и, возможно, с эфирным состоянием Мира. А это меняет структуру «теперь», ошибочно понимаемую как отделенную от «не-теперь». Метафизика отпочкования отдельного («неделимого») элемента времени («теперь») от непрерывного, взаимосвязанного потока времени становится очевидной. Поэтому в метаматематике и обнаруживаются установки математики, в том числе классической, имеющие в основании традиционный метод познания: анализ и идеализация отсеченного.

Философская мысль (то есть ее логика) останавливается, далее, и на модальной логике [логические круги, чередуясь и сменяя друг друга, сближаются к центральной проблеме мышления вообще]. «Задача состоит в определении онтологического статуса объектов мысли… Применительно к онтологической проблематике вопросы… можно свести… к следующему: каким образом должен быть представлен предмет в рассуждении, чтобы о нем можно было судить как существующем. При таком подходе (который уместно назвать трансцендентальным) естественным является обращение к философии Канта». Рассматриваются категории модальности: «возможное», «действительное», «необходимое», которые И. Кант понимал следующим образом: 1) что согласно с формальными условиями опыта, что касается наглядных представлений и понятий, то возможно; 2) что связано с материальными условиями опыта, с ощущениями, то действительно; 3) то, связь чего с действительностью определяется согласно общим условиям опыта, то необходимо.

Есть ли в логике и математике такие [непосредственно воспринимаемые] предметы? Несомненно есть, так как любое математическое рассуждение так или иначе оставляет «след на бумаге или на доске» – это «несомненный» ультрапозитивистский выверт. Однако далее изрекается мудрость: «Предмет знания может быть возможным предметом [это – о сути, не о мелом написанных буквах, а о той картине движения, которая представляется возможной индивиду]. Сказанного здесь уже достаточно, чтобы предполагать, что именно о возможных предметах и говорит прежде всего математика. Математическая онтология есть по преимуществу онтология возможного» (с. 121).

Что такое «полнота синтеза»? И. Кант различает логическую и реальную (или трансцендентальную) возможности. Понятие «возможно тогда, когда осуществлен его синтез». Но речь идет о понятии и его возможности, о его синтезе – в этом опять «можно» узреть понятийный позитивизм. «Синтетическое суждение», высказываемое в постулате, подразумевает не только возможность, но и действительность обсуждаемого объекта. Возможность понятия установлена, когда предъявляется соответствующий этому понятию единичный объект, воспринимаемый чувствами. Возможность и необходимость оказались категориями достаточно близкими. Устанавливая необходимость какого-либо положения дел, одновременно показывается возможность некоторого понятия (при соответствии теории и практики). Возможность и необходимость устраняются при одинаковых обстоятельствах, но относятся к разному. Возможность относится к одному понятию, тому которое конструируется в синтетическом суждении – необходимость относится к связи понятий [понятие или предмет не могут быть необходимыми; необходимым может быть какое-то положение дел: связь понятий или отношение объектов]. Возможность фиксируется категорическим суждением, конструирующим новое понятие. Необходимость фиксируется гипотетическим суждением, указывающим на условие, при котором неизбежно наступает какое-то положение дел. Три элемента математического дискурса участвуют в рассмотрении объекта исследования с помощью теории: понятие, единичный объект, событие. Соответственно сопоставляются модальности: возможность, действительность, случайность. При этом необходимость описывает отношения понятий. Согласно И. Канту, схема необходимости есть существование предмета «во всякое время», а у Г. Гутнера необходимость устанавливается вследствие произвольности момента события. Необходимость состоит в том, что когда бы ни произошло событие, ему обязательно будет соответствовать некоторое, причем всегда одно и то же, положение дел.

«Понятие является общим потому, что задает схему, согласно которой строятся многие единичные объекты» (с. 121 – 127). Особенно это касается сложного синтезированного понятия, непосредственно возникающего из опыта, в том числе из системы чувственных опытов. Понятие становится общим для многих различных объектов; оно много раз актуализируется, врастается в настоящее, в «теперь», будучи возможным. По И. Канту, то, связь чего с действительностью определяется согласно общим условия опыта, существует необходимо. Существуют схемы соответствия: 1) формулы на доске или бумаге с представлениями в сознании (знака со смыслом, понятием); 2) представления в голове, сопоставляемые с реально возможным и/или существующим положением дел, вещей в окружающем мире (понятие, смысл – референт, объект).

То есть весь этот комплекс проблем логического мышления и формализации процесса познания достаточно стар. «Начало логики не логично, оно выходит за пределы логики, но в то же время служит ее основанием, является для нее необходимым». Руководящим принципом в осмыслении данного комплекса проблем является принцип совпадения законов и форм мышления с законами и формами движения материи. Как высшая форма и развитие отражения в общественном сознании, парадоксы логического мышления возникают на фоне универсализации, динамичности, злободневности, возросшего влияния антагонизмов, соотношения коллективистского и индивидуального, отсутствия их толерантности. Так называемая «кентавр-проблема»

состоит в том, что в обществе и индивиде сочетаются противоположные, крайне противоречивые взгляды и концепции. Это антагонизм осевого времени и генетической памяти, темпоральной информации и индивидуального знания. В физике имеются аналоги данной ситуации, примиряемые принципом «дополнительности» в трактовках поведения сложных объектов: «волна и частица», «непрерывное и дискретное», «эфир и относительность». К «кентаврам», к сожалению, некоторые специалисты по философской логике причисляют и реальные свойства физических пространства и времени, выражаемые через некоммутирующие операторы, а соотношение вида (ab)c ¹ a(bc) вообще выше всякой логики и понимания, хотя в физическом мире движений оно встречается сплошь и рядом.

Однако реальные свойства познаются, синтезируется информация о единичных опытных данных, обобщается и упаковывается в подходящую знаковую форму. Множество знаков дополняется правилами их использования. Развитая знаковая система в качестве обратной связи возвращается к осмыслению реальных свойств…