1.2. Теория множеств

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 

Мир предстает перед субъектом познания во множественном аспекте. Эмпирический мир множествен, как и ощущения – всё вокруг «течет», то есть меняется. Даже «статуя начинает различать ощущения, которые она испытала одновременно, лишь после того, как она испытала их одно за другим»

. Суждения множественны, как и самые высокие мысли. Знаковые системы уже по одному своему происхождению обладают множественным бытием. Любой язык множествен по своей природе, в том числе язык жестов, вздохов, язык птичий. Вся логика – это неопозитивизм во всем своем пышном цвете; это изначальная ложь, закладываемая в фундамент математики, а затем и в основания других наук. Знаковый позитивизм, из которого навсегда удалено время и развитие, – это каркас, обруч на голове, или стена из кирпичей, которой homo обкладывает свой мозг, уберегая его от необходимости думать. Субъект познания, временно отгораживаясь от живого процесса отражения закостенелым формализмом, отрывается от темпорально-генетической нити Мнемозины и Ариадны – дуальной нити интенсионально сжатого времени-памяти и выпадает в «вечное» настоящее, производит экстенсионально развернутое освоение со-бытийного пространства и слышит логические речи … Пифии. Когда живительные источники информации, обеспеченные былым функционированием субъекта познания в осевом и генетическом времени, иссякают, то есть становятся недостаточными для поддержания экспансии в окружающий мир, наступают моменты рефлексии и репликации, в том числе проводится анализ причин наступления «теперь», полного тупиков и антиномий. И этот процесс перманентного «самокопания», свойственного homo, цикличен, являясь множественным копированием становления: возникновения из Единого и возврата в него.

Не понимая сущности логики, но осознавая непременную множественность своего бытия и принимая позитивный вклад математики в практическую деятельность, субъект познания, как знаток формализованных дисциплин, стремится обосновать свое ощущение превосходства над косной природой, услужливо подаваемое им самим из области идеального, с помощью установки множественного фундамента под «царицу наук». Ключевая и одновременно вершинная часть этой затеи содержится в оптимистическом изречении Кузанца: «Актуальная бесконечность есть единство, в котором изображение есть истина». Бог у Николая из Кузы бесконечен и един, а если кто-то из людей усматривает его, то видит в нем только себя как истину в последней инстанции.

Итак, в отличие от приверженцев А-метафизики с ее потенциальной бесконечностью, субъект познания парит выше – к божественной актуальной бесконечности, то есть впадает в П-метафизику. Это было бы восхитительно и экстазиабельно – обосноваться в «рае, созданном для математиков Г. Кантором», как выразился Д. Гильберт, если бы не было так больно. И не одни отрицательные пугнические и праксические эмоции, а и полный паралич мысли, или её забвение, приобретенные формалистами на этом пути, то есть в конце его – в тупике, незамедлительно восстают пред homo tutti frutti, лишь только он обрезает те корни, которые питают его логику.

Логика кормится внизу, на природе, в неустанном метаболизме, является его производной, вспомогательной функцией. Как только досточтимый формалист отрывается от логики динамического развития, поддержания жизнедеятельности и начинает творить логику застывших форм, он при абсолютизации последних обрекает себя на дорогу назад, в «ничто». Возможно, эта дорога запрограммирована в общей структуре мироздания и реализация ее заложена в становлении конкретного космического процесса – образовании планетных систем звезд, и тогда следует по-новому взглянуть на судьбу планеты Фаэтон. Но уже сейчас можно утверждать, что при забвении живительных источников так называемого логического мышления и формализации всего и вся, в том числе посредством «геометризации» мира, человечество не избежит подобной участи: форма – это остановка времени, а стоп-время означает, в общем случае, конец движения, развития, жизни. Об этом предостерегал еще Анаксимандр (см. эпиграф к этой главе).

Как всякая формальная система, теория множеств воздвигается на основе аксиоматического метода. Постулаты принимаются согласно «здравого смысла», по подсказке интуиции, на содержательном уровне, после осмысления и анализа повседневного опыта не только рядового армии формалистов, но и homo в целом: как ratio, так и sensus, как faber, так и sapiens. В результате получается набор аксиом, который можно дополнить или обрезать, как заключают металогики К. Гёдель и А. Тарский, что прежде всего означает мозаичность и множественность формализма, в фокусе внимания которого – актуальная бесконечность, она же – единство.

Два аспекта философии науки соответствуют такому положению дел. Первый аспект – метопистический, доставшийся от предков, поклонявшихся всем идолам, какие только можно вообразить или воплотить в изваяния, подобные глыбам на острове Пасхи. В этой форме мышление исподволь и косвенно уходит от бытийного настоящего, от подлинного прогресса; жива каменная традиция – сводная сестра пассеизма, эмбриональным швом связанная с застоем и дегенерацией. Даже хрупкое «теперь» у идолопоклонников каменеет.

Второй аспект – идеалистический. Метафизика в духе Плотина и его последователей, законспирировавшись, инкогнито присутствует в теле любой теории множеств. Очередная попытка жаворонка познания улететь за облака идеального заканчивается тем, чем закончился последний день Помпеи: крахом логических оснований «рая для математиков».

Одним из первых обратил внимание на противоречия теории множеств Б. Рассел. Парадокс понятия «множество всех множеств» состоит в том, что если это действительно такое множество, то оно должно содержать себя в качестве элемента. Но тогда оно не является множеством всех множеств, так как оно одновременно вне множества всех множеств и внутри множества всех множеств. Иными словами, эта конструкция вступает в противоречие с аксиомой фундирования (х Ï х, или Х Ï Х). Парадокс Б. Рассела и подобен, и адекватен знаменитому парадоксу лжеца: «Я – лжец». «Причину парадокса можно усматривать в структуре высказывания, написанного в кавычках; оно ссылается само на себя. Здесь проявляется абстракция отчуждения, в силу которой исследователь сам процесс своего исследования, свои мысли, делает объектом исследования»

. Подобный приведенному, существует «парадокс парикмахера, который бреет только тех, кто сам не бреется». Нечто похожее на выход из создавшейся коллизии конструкторы теории множеств нашли в переименовании универсальных множеств типа «множества всех множеств», назвав их классами. То есть фактически «выход» был прост – он состоял в отказе от рассмотрения таких конструкций. Другие семантические и логические парадоксы – парадоксы Бурали-Форти (1987), Кантора (1899), Ришара (1905), Берри (1906), Греллинга (1908). Е.Цермело построил аксиоматическую теорию множеств в надежде избавиться от парадоксов наивной теории множеств Г. Кантора. Но ком антиномий отнюдь не растаял, а стал расти еще быстрее. Обобщим парадокс Б. Рассела, приведя следующее

Следствие 1. Понятие множества противоречиво.

Много кривотолков вызывают аксиома выбора и проблема континуума, при этом без должного внимания остается аксиома степени. Аксиома объемности принимается в виде утверждения, что два множества равны в том (и только в том) случае, если они состоят из одних и тех же элементов: X = Y « x = y. Неопозитивист пишет в разных местах на бумаге, да еще отражает в сознании то, что написал: X = {1, 2}, Y = {2, 1} и считает, что X = Y, хотя знаки расположены в разных местах, в различном порядке и написаны в разное время. Эти знаки разные по форме – атомы красителя также разные и находятся в неподконтрольном движении, но главное – они движутся по-разному. Но эта неопозитивистская метафизика всеобщая, а не конкретная, так как одно множество в воображении, а другое, ему якобы соответствующее, записано символически.

Или пусть одно множество чисел (в некоторой системе счисления) извлекается из памяти для выполнения операций над ними, то есть копируется, – различия между ними сохраняются. Кроме того, добавляются различия по их обработке и функциональному назначению. А формалист просто принимает на «веру» аксиому объемности (равенства двух множеств, которые никогда не были и не будут равными, так как порождены из Единого, так как являют собой множественное).

Следствие 2. В теории множеств Г. Кантора аксиома объемности неправомочна (неправомочна во всех теориях множеств).

Аксиома степени гласит: Семейство подмножеств F непустого множества F тоже множество (так как элементы «множества» F суть множества, то из предосторожности оно названо «семейством»). Затем изготавливается воображаемая процедура штамповки «семейств», в которой не принимается во внимание порядок извлечения элементов из исходного множества при копировании и не рассматривается механизм компоновки извлеченных элементов в подмножества. Молчаливо предполагается, что сохраняется F, хотя простой пример из объективного мира элементарных частиц показывает, что это не совсем и не всегда так. Данная процедура конструирования подмножеств совершенно бессмысленна, если исходное множество – это газ фермионов. При любом манипулировании с элементами этого множества или даже с одним элементом исходное множество исчезает, а вместо него появляется нечто иное. Даже если этот очевидный факт не брать во внимание, то упаковка фермионов в подмножества сведет на нет весь смысл аксиомы степени, вложенный в нее наивными множественниками: результат зависит от расположения частиц в том вместилище, какое называется множеством. Упаковка элементов может осуществляться по самым скромным оценкам не менее N = n! способами, где n – количество изъятых их F элементов, а знак «!» означает, что перемножаются все целые числа от 1 до n. Вместо последовательного решения проблемы компоновки элементов в F вводится аксиома выбора, то есть изначально постулируется произвол. Согласно следствию из аксиомы выбора, каждое множество можно вполне упорядочить. Это означает, что первозданный порядок, в котором элементы компоновались в множество, нарушен, а «упорядочивать» элементы можно различными способами. И всё это будет одним и тем же множеством. Непоследовательность данного решения очевидна, так как создается теория множеств, призванная отображать мир в его множественном бытии, а само различие и, таким образом, множественность в ней нивелируются. Не сверхъестественное ли воздействие идеи актуальной бесконечности, «которая есть единство», то есть бог, ощущает математик, когда в экстазе от создаваемых им приятных иллюзий забывает о логике и математике? В итоге, как видим, Аксиому выбора вместе с Аксиомой степени можно опровергнуть простым (и не единичным) примером.

Рассмотрим множество А передвижений автобуса за смену в течение некоторых промежутков времени. Элементы множества А фиксируются в протоколе алгоритма его задания. Сам протокол П уже не множество движений, а его отображение (отражение), как и элементы из П являются отображениями элементов из А. Множество реальных движений автобуса естественным образом объединено его общим движением за рассматриваемый интервал времени – за смену. Множество «копий» реальных движений автобуса на бумаге объединяются в единое множество фикцией – процедурой замыкания (отличной от процедуры К.Куратовского; можно в равной мере принимать в качестве начальной конструкции открытые или замкнутые множества по К.Куратовскому). Процедура замыкания ни на чем не основана в случае протокольных записей, кроме, возможно, абстрактной деятельности ума, или наличием листа бумаги. Здесь процедура объединения элементов в множество – это и не операция объединения алгебры Дж. Буля над множествами, а только слабый отзвук Единого, которое рассматривал Парменид.

Но пусть теперь мы рассматриваем движение какого-либо произвольно выбранного предмета. Предмет испытывает сложное движение. Форма его меняется в зависимости от температуры окружающего пространства, возможно заполненного газом, от давления, влажности, силы тяжести и т.д. Предмет качается вокруг точки опоры при ее колебаниях. Предмет вращается вокруг оси планеты Земля вместе с ее суточным вращением, колеблется вместе с содроганиями земной коры, испытывает вибрации при воздействии сейсмических волн, образованных прибоем в норвежских фиордах, звуками голоса. Наконец, предмет вращается вместе с Землей вокруг Солнца и движется с ним вокруг ядра галактики… Выделим вращательные движения из множества всех движений предмета и определим среди них элементарные вращения вокруг собственной оси. Введем декартову систему координат с произвольно выбранными ориентацией и началом. Тело может независимо испытывать вращения вокруг трех осей координат в произвольном направлении: влево или вправо и в произвольно выбранном порядке на углы, равные по абсолютному значению p / 2. Пусть, далее, начальное положение тела зафиксировано и принято за единичное. Замечая ориентации тела после выполнения произвольных последовательностей поворотов, придем к выводу, что эти элементарные движения не коммутативны и не ассоциативны: xy ¹ yx и x(yz) ¹ (xy)z, соответственно. Результат (ориентация тела по выполнении серии поворотов) зависит от порядка следования элементов множества, составленного из элементарных движений. В пространстве размерности n > 3 ситуация еще более сложная. Но резюме получаем такое: существуют множества, элементы которых нельзя переставлять ни парами, ни тройками, ни бόльшими количествами.

Следствие 3. Аксиома выбора в теории множеств Г. Кантора неправомочна (неправомочна в любой теории множеств).

Следствие 4. Отсутствие последовательности движений в общем случае устраняет из теории множеств время.

Следствие 5. Вместо конструирования последовательности семейств с использованием процедуры Г. Кантора Cn+1 = 2Cn для количества их элементов (для мощности семейства F) нужно рассматривать более общую процедуру Сn+1 = Cn!, то есть брать не число, похожее на «сумму всех сочетаний» из элементов множества F, а факториал – количество всех перестановок. В случае обобщенной неассоциативности процедура Сn+1 = Cn! заменяется на процедуру Сn+1 = exp(Cn!). Последний вывод легко получить из простых подсчетов результирующих положений неассоциатиных и обобщенно неассоциативных элементов. Отсюда также получаем

Следствие 6. Процедура составления подмножеств из непустого множества F, принятая в проканторовских теориях множеств, – не только произвольна, но и бесконечно бедна в количественном аспекте, а это непростительный «грех» для теории множеств.

Аксиома бесконечности гласит, что существует актуально бесконечное множество (которое есть «единство»). Во-первых, эта аксиома сразу ограничивает область существования множественного, отображаемого с помощью теории множеств (то есть теория множеств рассматривает заведомо не все множества). Во-вторых, далее принимается, что первым бесконечным множеством является множество чисел натурального ряда N с мощностью Со. Однако еще Архимед доказал, что множество простых чисел Р бесконечно. В наивной теории множеств Г. Кантора, как и во всех последующих, полагается умозрительная безосновательная процедура взаимно-однозначного отображения этих множеств: Р « N, то есть что мощности их равны. Перестроим ряд натуральных чисел не по их возрастанию, а по возрастанию количества простых сомножителей в них. Мощность множества N от этой перестройки не изменится, в отличие от результата Л. Эйлера для суммирования рядов. Имея в виду, что из множества Р можно получить множество N в рамках основной теоремы арифметики, запишем ряд: N = {1, P, …}, где символическая запись третьего члена означает, что берется аналог числа сочетаний из Р по 2, а не само число сочетаний, так как к нему добавляется остаток количества квадратов, наполовину учтенных в формуле для сочетаний. Поэтому вместо знаков «–» в соответствующих местах формул для «числа сочетаний» берутся знаки «+», что только усилит вывод. А он состоит в том, что переход от бесконечного множества к следующему более мощному множеству, осуществляемый согласно процедуре Cn+1 = 2Cn, примененный для перехода от Р к N, проходит по тому же сценарию, что и переход от счетного множества N к несчетному множеству мощности C1 = 2Cо. Кардинальное число С1 определяет мощность континуума.

Следствие 7. За начальное бесконечное множество логически более последовательно принять не множество натуральных чисел N, а множество простых чисел Р.

Следствие 8. Задание в качестве начального бесконечного множества какого-либо конкретного множества произвольно.

Континуум вместе с его проблемой возникают по той же причине – из-за отсутствия логики у отцов теории множеств. Суть проблемы континуума состоит в следующем: никто не может дать ответ на вопрос, существует ли между счетным множеством типа N мощности С0 и множеством континуума мощности С1 промежуточное множество, мощность которого была бы С0 < Cx < C1. Вообще, неизвестно, существует ли само несчетное множество. Доказательства существования континуума, муссируемые в математической литературе, основаны, мягко говоря, на недоразумении. Приведем одно из них – метод «диагональной процедуры» Г. Кантора.

В любой системе счисления С можно все числа на отрезке геометрической прямой x Î X = [0; 1] «попытаться» выразить через с-ичные дроби:

0,a1b1g1 … w1 …

0,a2b2g2 … w2 …

0,a3b3g3 … w3 …

0,anbngn … wn …

Пусть число разрядов n ® ¥ (к счетной бесконечности – иначе невозможно, так как знак разряда имеет конечный размер по ширине и в этом масштабе знаков на горизонтальной оси (– ¥; + ¥)уместится счетное их множество). Тогда комбинаций всех перестановок различных цифр в с-ичной системе счисления будет сn. Возьмем для простоты с = 2, что не меняет существа вопроса (любое число, записанное в с-ичной системе счисления, однозначно отображается на число, записанное в d-ичной системе счисления, и наоборот). По вертикали чисел будет не n, как принято у всех множественников на протяжении нескольких столетий, а сn (2n). Высота знака тоже имеет конечный размер. Значит, на плоскости строк, определяющих числа х, уместится счетное количество. Между тем их сn (2n), а не n. «Мощность» всех чисел (точек в интервале Х) есть С1 = 2Со, а количество их в множестве на плоскости С0. Не отдавая себе отчета, как разместить на плоскости эти знаки, математик устраняет все «лишние» дроби в небытие, зато строит «диагональную процедуру» для доказательства несчетности количества дробей, расположенных по вертикали. Следуя «по диагонали», математик заменяет  все цифры, расположенные в разрядах с номерами 1 £ i £ n…, то есть a1, b2, g3, … wn …на другие (в двоичной системе счисления 1 заменяется на 0, а 0 на 1). В конце этого акта математик объявляет, что получено новое число, которое не содержится среди всех строк чисел. Так «доказывается» несчетность множества действительных чисел: сначала математик удаляет всё, что сверх N, не сумев разместить «лишнее», а затем в пустой абстракции показывает, что «лишнее» здесь есть, оно никуда не делось. Вопрос: математик ли это? Нет, это фокусник!

Тем не менее с помощью простой проверки на примере двоичной системы счисления убеждаемся, что любые перемены знаков при составлении «новых» чисел не выводят за рамки уже полученных (n можно устремить к бесконечности). Значит, «доказательство» Г. Кантора и его последователей содержит логическую лакуну и вопрос теперь состоит в том, можно ли сn чисел (n ® ¥) разместить на плоскости, не уменьшая размеры знаков до «бесконечно малых» (зачем вводить еще одну проблему, превращая знак в точку и усложняя картину?). И эта задача – не дань натурализму, а возвращение из заоблачных высот актуальной бесконечности к практической целесообразности. Решение задачи размещения сn чисел на плоскости (или в бесконечном кортеже плоскостей) требует введения реальной процедуры осуществимости.

Следствие 9. Существование любого типа актуально бесконечного множества нужно постулировать, а не «доказывать».

Таким образом, всё здание «рая для математиков» рушится при первом же непредвзятом рассмотрении, так как крах одних аксиом приводит к кардинальному пересмотру других аксиом или к отказу от них, или к отказу от всей аксиоматической теории множеств.

Полный провал «доказательства» несчетности действительных чисел, предпринятого Г. Кантором, с позиций раскрытия несостоятельности утверждения, что посредством счетного количества добавлений новых «диагональных» чисел к множеству всех чисел на отрезке [0; 1] можно «дойти» до континуального множества, обнаружил автор работы

. Кроме того, «1. Доказательство Кантора фактически содержит в себе не-финитный этап…, то есть такое рассуждение не является математическим доказательством в смысле Д. Гильберта и … в смысле классической математики.

2. Вывод Кантора о несчетности множества Х «перепрыгивает» через потенциально-бесконечный этап…, т.е. рассуждение Кантора содержит логическую ошибку «недоказанного основания».

3. Кантор в действительности доказывает, причем строго математически, именно потенциальный, то есть принципиально незавершенный характер бесконечности множества Х всех действительных чисел. Другими словами, строго математически доказывает фундаментальный принцип классической логики и классической математики: Infinitum Actu Non Datur (Аристотель)».

А.А.Зенкин замечает, что это «доказательство» – бесконечная пустая тавтология (с. 168). «Сама Теорема Кантора оказывается просто неверной с точки зрения классической логики (Аристотеля)» – анализ логических ошибок теории множеств в вопросе существования несчетных множеств развивается цитируемым автором с 1997 г.

Сама постановка парадокса лжеца, то есть парадокса «Я лжец и не лжец в одно и то же время»: А & ØА (= Æ), основана на метафизической структуре математики, в которой «процесс совпадает с результатом». В динамическом мышлении, отличном от мышления математического, такого парадокса не существует, так как в один момент времени субъект лжет, а в другой может не лгать. И так далее. То есть смысл высказываний субъекта и их оценка зависят от конкретной ситуации, от хода, от развития процесса общения и соотношения с окружающим миром. А.А. Зенкин решает проблему парадоксов средствами, выработанными внутри математики, заменяя фразы и их смысл. Б. Рассел ввел методику логицизма: запрет применять в математике логические конструкции, в которых существуют утверждения или отрицания относительно самих этих конструкций.

Различные подходы в устранении парадоксов – в интуиционизме и формализме. «Брауэр отказался от использования закона исключенного третьего (интуиционизм)». Д. Гильберт вообще против семантики в математических утверждениях (формализм) и сводит всю математику к «игре в символы» (метаматематика, претендующая на то, чтобы стать единственно верной «теорией доказательства» и рассматривающая всю математику от Пифагора до наших дней как содержательную, неформальную, то есть как наивную). Общим основанием для всех этих «технологий» служит готовность пожертвовать любой частью статного тела математической науки, но отнюдь не для избавления математики от казусов, а ради увековечивания теории трансфинитных чисел Г. Кантора. А.А.Зенкин же предлагает изгнать из математики актуальную бесконечность и, тем самым, трансфинитные числа Г. Кантора, введенные вопреки стагиритовскому: Infinitum Actu Non Datur.

«Сегодня можно констатировать, что усилия Рассела, Брауэра, Гильберта и вообще всей математики ХХ в. Были направлены на то, чтобы обойти проблему парадоксов, а не на то, чтобы решить эту проблему… Как бы то ни было, но нельзя остаться равнодушным к поистине выстраданному воплю великой математической души: «Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности, – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?». Это было высказано в 1925 г.

«Однако спустя и два десятилетия это «невыносимое состояние» остается неизменным [в 1946 г.]. Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах (логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня мы переживаем «кризис»… А еще через десять лет «трагические краски» сгущаются: «Не существует, да и не предвидится, никакого единого и общепринятого способа перестройки математики, и в этом смысле кризис оснований… продолжается»

. Спустя сто лет на пороге третьего тысячелетия проблема парадоксов так же неразрешима для мощнейшего аппарата современной математической логики и метаматематики, как и вначале ХХ века (с. 80 – 81). Далее А.А.Зенкин мощно призывает отказаться от актуальной бесконечности. Но не проще ли вернуться к основаниям математики, чем безуспешно обсуждать ее парадоксы?

Математика – наука естественная (хоть и «дана» человеку и считается языком), она является обобщением эмпирического знания. Априорное начало в ней может присутствовать в форме первозданной потенции живого существа возникать из окружающего мира с унаследованными от природы определенными законами развития, в том числе законами мышления. Обобщая повседневный опыт, накапливаемый миллионы лет, человек совершенствует математический аппарат, математический и логический образ мыслей. Динамическое и математическое мышления взаимодействуют и дополняют друг друга. То что это так, показывает работа, где рассматривается догматическая ссылка на фокус математика С.К. Клини, который рассматривает вместо «всех чисел на отрезке [0; 1] – произвольный пересчет каких-либо … чисел, принадлежащих интервалу». Здесь читателю демонстрируется типичный пример субъективизма, но уже не в процедуре измерения или подсчета, а в «свободе выбора» того, что подсчитывать и как подсчитывать.

Но А.А. Зенкин приводит контраргументы и дает сравнение «доказательств» Н. Бурбаки, Ф. Хаусдорфа, С.К. Клини, М.Дж. Коэна: все они образец действенности гипноза, которым, видимо, обладал маг и «гуру» наивной теории множеств Г. Кантор. А.А. Зенкин предлагает все же вместо актуально заданной бесконечности рассматривать множества потенциально бесконечные. Это так называемая Аксиома Аристотеля. Из нее и аристотелевского определения понятия потенциальной бесконечности немедленно следует Теорема 1: Любое бесконечное множество не содержит всех своих элементов. Результат, надо прямо сказать, «из ряда вон выходящий».

К сожалению, при всей прогрессивности их взглядов, аргументация А.А. Зенкина и Я. Шрамко не выходит за рамки методологии, которой, как и Г. Кантор, пользовался Ж. Пеано еще в XIX веке при аксиоматическом построении арифметики, в которую как в математическую структуру изначально вводятся коммутативные и ассоциативные операции над элементами-числами. А это не отвечает реальному течению дел в том мире, где возникла самая странная из всех математических теорий – теория множеств. Для нормального же человека и вовсе непонятен тот птичий язык, на котором с легкой идеи Г. Кантора стали щебетать высоко в облаках метафизики жаворонки с «базовым» математическим образованием.